Theorem tmsxms 24811

Description: The constructed metric space is an extended metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
tmsbas.k	⊢ 𝐾 = (toMetSp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
tmsxms	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐾 ∈ ∞MetSp)

Proof of Theorem tmsxms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tmsbas.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (toMetSp‘𝐷)
2	1	tmsds 24809	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 = (dist‘𝐾))
3	1	tmsbas 24808	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘𝐾))
4	3	fveq2d 6890	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∞Met‘𝑋) = (∞Met‘(Base‘𝐾)))
5	2, 4	eleq12d 2854	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ↔ (dist‘𝐾) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾))))
6	5	ibi 270	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (dist‘𝐾) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾)))
7		ssid 3930	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) ⊆ (Base‘𝐾)
8		xmetres2 24686	. . 3 ⊢ (((dist‘𝐾) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾)) ∧ (Base‘𝐾) ⊆ (Base‘𝐾)) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾)))
9	6, 7, 8	sylancl 598	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾)))
10		xmetf 24654	. . . . . 6 ⊢ ((dist‘𝐾) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾)) → (dist‘𝐾):((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))⟶ℝ*)
11		ffn 6710	. . . . . 6 ⊢ ((dist‘𝐾):((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))⟶ℝ* → (dist‘𝐾) Fn ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
12		fnresdm 6659	. . . . . 6 ⊢ ((dist‘𝐾) Fn ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = (dist‘𝐾))
13	6, 10, 11, 12	4syl 20	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = (dist‘𝐾))
14	13, 2	eqtr4d 2798	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = 𝐷)
15	14	fveq2d 6890	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (MetOpen‘((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))) = (MetOpen‘𝐷))
16		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
17	1, 16	tmstopn 24810	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾))
18	15, 17	eqtr2d 2796	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (TopOpen‘𝐾) = (MetOpen‘((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))))
19		eqid 2760	. . 3 ⊢ (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾)
20		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
21		eqid 2760	. . 3 ⊢ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
22	19, 20, 21	isxms2 24773	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ∞MetSp ↔ (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾)) ∧ (TopOpen‘𝐾) = (MetOpen‘((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))))
23	9, 18, 22	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐾 ∈ ∞MetSp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   × cxp 5648   ↾ cres 5652   Fn wfn 6534  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  ℝ^*cxr 11346  Basecbs 17393  distcds 17443  TopOpenctopn 17598  ∞Metcxmet 21669  MetOpencmopn 21674  ∞MetSpcxms 24642  toMetSpctms 24644

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-sup 9438  df-inf 9439  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-q 13080  df-rp 13125  df-xneg 13245  df-xadd 13246  df-xmul 13247  df-fz 13644  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-tset 17453  df-ds 17456  df-rest 17599  df-topn 17600  df-topgen 17620  df-psmet 21676  df-xmet 21677  df-bl 21679  df-mopn 21680  df-top 23218  df-topon 23235  df-topsp 23257  df-bases 23270  df-xms 24645  df-tms 24647

This theorem is used by:  tmsms  24812  tmsxps  24861  tmsxpsmopn  24862  tmsxpsval  24863