MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmsxms Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tmsxms 24515
Description: The constructed metric space is an extended metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
tmsbas.k 𝐾 = (toMetSp‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
tmsxms (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐾 ∈ ∞MetSp)

Proof of Theorem tmsxms
StepHypRef Expression
1 tmsbas.k . . . . . 6 𝐾 = (toMetSp‘𝐷)
21tmsds 24513 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 = (dist‘𝐾))
31tmsbas 24512 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘𝐾))
43fveq2d 6911 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∞Met‘𝑋) = (∞Met‘(Base‘𝐾)))
52, 4eleq12d 2833 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ↔ (dist‘𝐾) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾))))
65ibi 267 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (dist‘𝐾) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾)))
7 ssid 4018 . . 3 (Base‘𝐾) ⊆ (Base‘𝐾)
8 xmetres2 24387 . . 3 (((dist‘𝐾) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾)) ∧ (Base‘𝐾) ⊆ (Base‘𝐾)) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾)))
96, 7, 8sylancl 586 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾)))
10 xmetf 24355 . . . . . 6 ((dist‘𝐾) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾)) → (dist‘𝐾):((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))⟶ℝ*)
11 ffn 6737 . . . . . 6 ((dist‘𝐾):((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))⟶ℝ* → (dist‘𝐾) Fn ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
12 fnresdm 6688 . . . . . 6 ((dist‘𝐾) Fn ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = (dist‘𝐾))
136, 10, 11, 124syl 19 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = (dist‘𝐾))
1413, 2eqtr4d 2778 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = 𝐷)
1514fveq2d 6911 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (MetOpen‘((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))) = (MetOpen‘𝐷))
16 eqid 2735 . . . 4 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
171, 16tmstopn 24514 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾))
1815, 17eqtr2d 2776 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (TopOpen‘𝐾) = (MetOpen‘((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))))
19 eqid 2735 . . 3 (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾)
20 eqid 2735 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
21 eqid 2735 . . 3 ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
2219, 20, 21isxms2 24474 . 2 (𝐾 ∈ ∞MetSp ↔ (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾)) ∧ (TopOpen‘𝐾) = (MetOpen‘((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))))
239, 18, 22sylanbrc 583 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐾 ∈ ∞MetSp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963   × cxp 5687  cres 5691   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  *cxr 11292  Basecbs 17245  distcds 17307  TopOpenctopn 17468  ∞Metcxmet 21367  MetOpencmopn 21372  ∞MetSpcxms 24343  toMetSpctms 24345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-tset 17317  df-ds 17320  df-rest 17469  df-topn 17470  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-xms 24346  df-tms 24348
This theorem is referenced by:  tmsms  24516  tmsxps  24565  tmsxpsmopn  24566  tmsxpsval  24567
  Copyright terms: Public domain W3C validator