Theorem tmsxms 24680

Description: The constructed metric space is an extended metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
tmsbas.k	⊢ 𝐾 = (toMetSp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
tmsxms	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐾 ∈ ∞MetSp)

Proof of Theorem tmsxms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tmsbas.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (toMetSp‘𝐷)
2	1	tmsds 24678	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 = (dist‘𝐾))
3	1	tmsbas 24677	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘𝐾))
4	3	fveq2d 6892	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∞Met‘𝑋) = (∞Met‘(Base‘𝐾)))
5	2, 4	eleq12d 2860	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ↔ (dist‘𝐾) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾))))
6	5	ibi 270	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (dist‘𝐾) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾)))
7		ssid 3962	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) ⊆ (Base‘𝐾)
8		xmetres2 24555	. . 3 ⊢ (((dist‘𝐾) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾)) ∧ (Base‘𝐾) ⊆ (Base‘𝐾)) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾)))
9	6, 7, 8	sylancl 598	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾)))
10		xmetf 24523	. . . . . 6 ⊢ ((dist‘𝐾) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾)) → (dist‘𝐾):((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))⟶ℝ*)
11		ffn 6712	. . . . . 6 ⊢ ((dist‘𝐾):((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))⟶ℝ* → (dist‘𝐾) Fn ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
12		fnresdm 6661	. . . . . 6 ⊢ ((dist‘𝐾) Fn ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = (dist‘𝐾))
13	6, 10, 11, 12	4syl 20	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = (dist‘𝐾))
14	13, 2	eqtr4d 2804	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = 𝐷)
15	14	fveq2d 6892	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (MetOpen‘((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))) = (MetOpen‘𝐷))
16		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
17	1, 16	tmstopn 24679	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾))
18	15, 17	eqtr2d 2802	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (TopOpen‘𝐾) = (MetOpen‘((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))))
19		eqid 2766	. . 3 ⊢ (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾)
20		eqid 2766	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
21		eqid 2766	. . 3 ⊢ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
22	19, 20, 21	isxms2 24642	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ∞MetSp ↔ (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾)) ∧ (TopOpen‘𝐾) = (MetOpen‘((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))))
23	9, 18, 22	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐾 ∈ ∞MetSp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3908   × cxp 5664   ↾ cres 5668   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  ℝ^*cxr 11260  Basecbs 17294  distcds 17344  TopOpenctopn 17499  ∞Metcxmet 21544  MetOpencmopn 21549  ∞MetSpcxms 24511  toMetSpctms 24513

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-fz 13554  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-tset 17354  df-ds 17357  df-rest 17500  df-topn 17501  df-topgen 17521  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-top 23088  df-topon 23105  df-topsp 23127  df-bases 23140  df-xms 24514  df-tms 24516

This theorem is used by:  tmsms  24681  tmsxps  24730  tmsxpsmopn  24731  tmsxpsval  24732