MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmsxms Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tmsxms 23239
Description: The constructed metric space is an extended metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
tmsbas.k 𝐾 = (toMetSp‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
tmsxms (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐾 ∈ ∞MetSp)

Proof of Theorem tmsxms
StepHypRef Expression
1 tmsbas.k . . . . . 6 𝐾 = (toMetSp‘𝐷)
21tmsds 23237 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 = (dist‘𝐾))
31tmsbas 23236 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘𝐾))
43fveq2d 6678 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∞Met‘𝑋) = (∞Met‘(Base‘𝐾)))
52, 4eleq12d 2827 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ↔ (dist‘𝐾) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾))))
65ibi 270 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (dist‘𝐾) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾)))
7 ssid 3899 . . 3 (Base‘𝐾) ⊆ (Base‘𝐾)
8 xmetres2 23114 . . 3 (((dist‘𝐾) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾)) ∧ (Base‘𝐾) ⊆ (Base‘𝐾)) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾)))
96, 7, 8sylancl 589 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾)))
10 xmetf 23082 . . . . . 6 ((dist‘𝐾) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾)) → (dist‘𝐾):((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))⟶ℝ*)
11 ffn 6504 . . . . . 6 ((dist‘𝐾):((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))⟶ℝ* → (dist‘𝐾) Fn ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
12 fnresdm 6455 . . . . . 6 ((dist‘𝐾) Fn ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = (dist‘𝐾))
136, 10, 11, 124syl 19 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = (dist‘𝐾))
1413, 2eqtr4d 2776 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = 𝐷)
1514fveq2d 6678 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (MetOpen‘((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))) = (MetOpen‘𝐷))
16 eqid 2738 . . . 4 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
171, 16tmstopn 23238 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾))
1815, 17eqtr2d 2774 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (TopOpen‘𝐾) = (MetOpen‘((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))))
19 eqid 2738 . . 3 (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾)
20 eqid 2738 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
21 eqid 2738 . . 3 ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
2219, 20, 21isxms2 23201 . 2 (𝐾 ∈ ∞MetSp ↔ (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾)) ∧ (TopOpen‘𝐾) = (MetOpen‘((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))))
239, 18, 22sylanbrc 586 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐾 ∈ ∞MetSp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2114  wss 3843   × cxp 5523  cres 5527   Fn wfn 6334  wf 6335  cfv 6339  *cxr 10752  Basecbs 16586  distcds 16677  TopOpenctopn 16798  ∞Metcxmet 20202  MetOpencmopn 20207  ∞MetSpcxms 23070  toMetSpctms 23072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-sup 8979  df-inf 8980  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-q 12431  df-rp 12473  df-xneg 12590  df-xadd 12591  df-xmul 12592  df-fz 12982  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-tset 16687  df-ds 16690  df-rest 16799  df-topn 16800  df-topgen 16820  df-psmet 20209  df-xmet 20210  df-bl 20212  df-mopn 20213  df-top 21645  df-topon 21662  df-topsp 21684  df-bases 21697  df-xms 23073  df-tms 23075
This theorem is referenced by:  tmsms  23240  tmsxps  23289  tmsxpsmopn  23290  tmsxpsval  23291
  Copyright terms: Public domain W3C validator