Theorem xmulcl 13224

Description: Closure of extended real multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmulcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmulf 13223	. 2 ⊢ ·e :(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ*
2	1	fovcl 7511	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7384  ℝ^*cxr 11219   ·_e cxmu 13063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5283  ax-nul 5290  ax-pow 5347  ax-pr 5411  ax-un 7699  ax-cnex 11138  ax-resscn 11139  ax-1cn 11140  ax-addrcl 11143  ax-mulrcl 11145  ax-rnegex 11153  ax-cnre 11155  ax-pre-lttri 11156  ax-pre-lttrn 11157

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3426  df-v 3468  df-sbc 3765  df-csb 3881  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3952  df-nul 4310  df-if 4514  df-pw 4589  df-sn 4614  df-pr 4616  df-op 4620  df-uni 4893  df-iun 4983  df-br 5133  df-opab 5195  df-mpt 5216  df-id 5558  df-po 5572  df-so 5573  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6475  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-ov 7387  df-oprab 7388  df-mpo 7389  df-1st 7948  df-2nd 7949  df-er 8677  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-pnf 11222  df-mnf 11223  df-xr 11224  df-ltxr 11225  df-xmul 13066

This theorem is referenced by:  xmulpnf1n  13229  xmulge0  13235  xmulasslem3  13237  xmulass  13238  xlemul1a  13239  xlemul1  13241  xltmul1  13243  xadddi  13246  xadddi2  13248  xmulcld  13253  ge0xmulcl  13412  xrsmcmn  20879  xdivpnfrp  31900