Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsmcmn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrsmcmn 20567
 Description: The "multiplicative group" of the extended reals is a commutative monoid (even though the "additive group" is not a semigroup, see xrsmgmdifsgrp 20581.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrsmcmn (mulGrp‘ℝ*𝑠) ∈ CMnd

Proof of Theorem xrsmcmn
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2821 . . . . 5 (mulGrp‘ℝ*𝑠) = (mulGrp‘ℝ*𝑠)
2 xrsbas 20560 . . . . 5 * = (Base‘ℝ*𝑠)
31, 2mgpbas 19244 . . . 4 * = (Base‘(mulGrp‘ℝ*𝑠))
43a1i 11 . . 3 (⊤ → ℝ* = (Base‘(mulGrp‘ℝ*𝑠)))
5 xrsmul 20562 . . . . 5 ·e = (.r‘ℝ*𝑠)
61, 5mgpplusg 19242 . . . 4 ·e = (+g‘(mulGrp‘ℝ*𝑠))
76a1i 11 . . 3 (⊤ → ·e = (+g‘(mulGrp‘ℝ*𝑠)))
8 xmulcl 12665 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝑦) ∈ ℝ*)
983adant1 1126 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝑦) ∈ ℝ*)
10 xmulass 12679 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ·e 𝑦) ·e 𝑧) = (𝑥 ·e (𝑦 ·e 𝑧)))
1110adantl 484 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*)) → ((𝑥 ·e 𝑦) ·e 𝑧) = (𝑥 ·e (𝑦 ·e 𝑧)))
12 1re 10640 . . . . 5 1 ∈ ℝ
13 rexr 10686 . . . . 5 (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ*)
1412, 13mp1i 13 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℝ*)
15 xmulid2 12672 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ* → (1 ·e 𝑥) = 𝑥)
1615adantl 484 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (1 ·e 𝑥) = 𝑥)
17 xmulid1 12671 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 ·e 1) = 𝑥)
1817adantl 484 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 1) = 𝑥)
194, 7, 9, 11, 14, 16, 18ismndd 17932 . . 3 (⊤ → (mulGrp‘ℝ*𝑠) ∈ Mnd)
20 xmulcom 12658 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝑦) = (𝑦 ·e 𝑥))
21203adant1 1126 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝑦) = (𝑦 ·e 𝑥))
224, 7, 19, 21iscmnd 18918 . 2 (⊤ → (mulGrp‘ℝ*𝑠) ∈ CMnd)
2322mptru 1540 1 (mulGrp‘ℝ*𝑠) ∈ CMnd
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ w3a 1083   = wceq 1533  ⊤wtru 1534   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  ℝcr 10535  1c1 10537  ℝ*cxr 10673   ·e cxmu 12505  Basecbs 16482  +gcplusg 16564  ℝ*𝑠cxrs 16772  CMndccmn 18905  mulGrpcmgp 19238 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-xneg 12506  df-xmul 12508  df-fz 12892  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-xrs 16774  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-cmn 18907  df-mgp 19239 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator