Theorem xrsmcmn 20879

Description: The "multiplicative group" of the extended reals is a commutative monoid (even though the "additive group" is not a semigroup, see xrsmgmdifsgrp 20893.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xrsmcmn	⊢ (mulGrp‘ℝ*𝑠) ∈ CMnd

Proof of Theorem xrsmcmn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘ℝ*𝑠) = (mulGrp‘ℝ*𝑠)
2		xrsbas 20872	. . . . 5 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
3	1, 2	mgpbas 19938	. . . 4 ⊢ ℝ* = (Base‘(mulGrp‘ℝ*𝑠))
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℝ* = (Base‘(mulGrp‘ℝ*𝑠)))
5		xrsmul 20874	. . . . 5 ⊢ ·e = (.r‘ℝ*𝑠)
6	1, 5	mgpplusg 19936	. . . 4 ⊢ ·e = (+g‘(mulGrp‘ℝ*𝑠))
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ·e = (+g‘(mulGrp‘ℝ*𝑠)))
8		xmulcl 13224	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝑦) ∈ ℝ*)
9	8	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝑦) ∈ ℝ*)
10		xmulass 13238	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ·e 𝑦) ·e 𝑧) = (𝑥 ·e (𝑦 ·e 𝑧)))
11	10	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*)) → ((𝑥 ·e 𝑦) ·e 𝑧) = (𝑥 ·e (𝑦 ·e 𝑧)))
12		1re 11186	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
13		rexr 11232	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ*)
14	12, 13	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ*)
15		xmullid 13231	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (1 ·e 𝑥) = 𝑥)
16	15	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (1 ·e 𝑥) = 𝑥)
17		xmulrid 13230	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 ·e 1) = 𝑥)
18	17	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 1) = 𝑥)
19	4, 7, 9, 11, 14, 16, 18	ismndd 18614	. . 3 ⊢ (⊤ → (mulGrp‘ℝ*𝑠) ∈ Mnd)
20		xmulcom 13217	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝑦) = (𝑦 ·e 𝑥))
21	20	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝑦) = (𝑦 ·e 𝑥))
22	4, 7, 19, 21	iscmnd 19612	. 2 ⊢ (⊤ → (mulGrp‘ℝ*𝑠) ∈ CMnd)
23	22	mptru 1548	1 ⊢ (mulGrp‘ℝ*𝑠) ∈ CMnd

Syntax hints:   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6523  (class class class)co 7384  ℝcr 11081  1c1 11083  ℝ^*cxr 11219   ·_e cxmu 13063  Basecbs 17116  +_gcplusg 17169  ℝ^*_𝑠cxrs 17418  CMndccmn 19598  mulGrpcmgp 19932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5283  ax-nul 5290  ax-pow 5347  ax-pr 5411  ax-un 7699  ax-cnex 11138  ax-resscn 11139  ax-1cn 11140  ax-icn 11141  ax-addcl 11142  ax-addrcl 11143  ax-mulcl 11144  ax-mulrcl 11145  ax-mulcom 11146  ax-addass 11147  ax-mulass 11148  ax-distr 11149  ax-i2m1 11150  ax-1ne0 11151  ax-1rid 11152  ax-rnegex 11153  ax-rrecex 11154  ax-cnre 11155  ax-pre-lttri 11156  ax-pre-lttrn 11157  ax-pre-ltadd 11158  ax-pre-mulgt0 11159

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3372  df-rab 3426  df-v 3468  df-sbc 3765  df-csb 3881  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4310  df-if 4514  df-pw 4589  df-sn 4614  df-pr 4616  df-tp 4618  df-op 4620  df-uni 4893  df-iun 4983  df-br 5133  df-opab 5195  df-mpt 5216  df-tr 5250  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6280  df-ord 6347  df-on 6348  df-lim 6349  df-suc 6350  df-iota 6475  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7340  df-ov 7387  df-oprab 7388  df-mpo 7389  df-om 7830  df-1st 7948  df-2nd 7949  df-frecs 8239  df-wrecs 8270  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8677  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-pnf 11222  df-mnf 11223  df-xr 11224  df-ltxr 11225  df-le 11226  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12185  df-2 12247  df-3 12248  df-4 12249  df-5 12250  df-6 12251  df-7 12252  df-8 12253  df-9 12254  df-n0 12445  df-z 12531  df-dec 12650  df-uz 12795  df-xneg 13064  df-xmul 13066  df-fz 13457  df-struct 17052  df-sets 17069  df-slot 17087  df-ndx 17099  df-base 17117  df-plusg 17182  df-mulr 17183  df-tset 17188  df-ple 17189  df-ds 17191  df-xrs 17420  df-mgm 18533  df-sgrp 18582  df-mnd 18593  df-cmn 19600  df-mgp 19933

This theorem is referenced by: (None)