Theorem xrsmcmn 21375

Description: The "multiplicative group" of the extended reals is a commutative monoid (even though the "additive group" is not a semigroup, see xrsmgmdifsgrp 21389.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xrsmcmn	⊢ (mulGrp‘ℝ*𝑠) ∈ CMnd

Proof of Theorem xrsmcmn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘ℝ*𝑠) = (mulGrp‘ℝ*𝑠)
2		xrsbas 17570	. . . . 5 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
3	1, 2	mgpbas 20126	. . . 4 ⊢ ℝ* = (Base‘(mulGrp‘ℝ*𝑠))
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℝ* = (Base‘(mulGrp‘ℝ*𝑠)))
5		xrsmul 21371	. . . . 5 ⊢ ·e = (.r‘ℝ*𝑠)
6	1, 5	mgpplusg 20125	. . . 4 ⊢ ·e = (+g‘(mulGrp‘ℝ*𝑠))
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ·e = (+g‘(mulGrp‘ℝ*𝑠)))
8		xmulcl 13225	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝑦) ∈ ℝ*)
9	8	3adant1 1131	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝑦) ∈ ℝ*)
10		xmulass 13239	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ·e 𝑦) ·e 𝑧) = (𝑥 ·e (𝑦 ·e 𝑧)))
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*)) → ((𝑥 ·e 𝑦) ·e 𝑧) = (𝑥 ·e (𝑦 ·e 𝑧)))
12		1re 11144	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
13		rexr 11191	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ*)
14	12, 13	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ*)
15		xmullid 13232	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (1 ·e 𝑥) = 𝑥)
16	15	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (1 ·e 𝑥) = 𝑥)
17		xmulrid 13231	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 ·e 1) = 𝑥)
18	17	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 1) = 𝑥)
19	4, 7, 9, 11, 14, 16, 18	ismndd 18724	. . 3 ⊢ (⊤ → (mulGrp‘ℝ*𝑠) ∈ Mnd)
20		xmulcom 13218	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝑦) = (𝑦 ·e 𝑥))
21	20	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝑦) = (𝑦 ·e 𝑥))
22	4, 7, 19, 21	iscmnd 19769	. 2 ⊢ (⊤ → (mulGrp‘ℝ*𝑠) ∈ CMnd)
23	22	mptru 1549	1 ⊢ (mulGrp‘ℝ*𝑠) ∈ CMnd

Syntax hints:   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  1c1 11039  ℝ^*cxr 11178   ·_e cxmu 13062  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  ℝ^*_𝑠cxrs 17464  CMndccmn 19755  mulGrpcmgp 20121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-xneg 13063  df-xmul 13065  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-xrs 17466  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-cmn 19757  df-mgp 20122

This theorem is referenced by: (None)