Theorem xrsmcmn 20091

Description: The "multiplicative group" of the extended reals is a commutative monoid (even though the "additive group" is not a semigroup, see xrsmgmdifsgrp 20105.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xrsmcmn	⊢ (mulGrp‘ℝ*𝑠) ∈ CMnd

Proof of Theorem xrsmcmn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2799	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘ℝ*𝑠) = (mulGrp‘ℝ*𝑠)
2		xrsbas 20084	. . . . 5 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
3	1, 2	mgpbas 18811	. . . 4 ⊢ ℝ* = (Base‘(mulGrp‘ℝ*𝑠))
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℝ* = (Base‘(mulGrp‘ℝ*𝑠)))
5		xrsmul 20086	. . . . 5 ⊢ ·e = (.r‘ℝ*𝑠)
6	1, 5	mgpplusg 18809	. . . 4 ⊢ ·e = (+g‘(mulGrp‘ℝ*𝑠))
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ·e = (+g‘(mulGrp‘ℝ*𝑠)))
8		xmulcl 12352	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝑦) ∈ ℝ*)
9	8	3adant1 1161	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝑦) ∈ ℝ*)
10		xmulass 12366	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ·e 𝑦) ·e 𝑧) = (𝑥 ·e (𝑦 ·e 𝑧)))
11	10	adantl 474	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*)) → ((𝑥 ·e 𝑦) ·e 𝑧) = (𝑥 ·e (𝑦 ·e 𝑧)))
12		1re 10328	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
13		rexr 10374	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ*)
14	12, 13	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ*)
15		xmulid2 12359	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (1 ·e 𝑥) = 𝑥)
16	15	adantl 474	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (1 ·e 𝑥) = 𝑥)
17		xmulid1 12358	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 ·e 1) = 𝑥)
18	17	adantl 474	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 1) = 𝑥)
19	4, 7, 9, 11, 14, 16, 18	ismndd 17628	. . 3 ⊢ (⊤ → (mulGrp‘ℝ*𝑠) ∈ Mnd)
20		xmulcom 12345	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝑦) = (𝑦 ·e 𝑥))
21	20	3adant1 1161	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝑦) = (𝑦 ·e 𝑥))
22	4, 7, 19, 21	iscmnd 18520	. 2 ⊢ (⊤ → (mulGrp‘ℝ*𝑠) ∈ CMnd)
23	22	mptru 1661	1 ⊢ (mulGrp‘ℝ*𝑠) ∈ CMnd

Syntax hints:   ∧ w3a 1108   = wceq 1653  ⊤wtru 1654   ∈ wcel 2157  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  ℝcr 10223  1c1 10225  ℝ^*cxr 10362   ·_e cxmu 12192  Basecbs 16184  +_gcplusg 16267  ℝ^*_𝑠cxrs 16475  CMndccmn 18508  mulGrpcmgp 18805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-xneg 12193  df-xmul 12195  df-fz 12581  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-xrs 16477  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-cmn 18510  df-mgp 18806

This theorem is referenced by: (None)