Theorem xrsmcmn 21404

Description: The "multiplicative group" of the extended reals is a commutative monoid (even though the "additive group" is not a semigroup, see xrsmgmdifsgrp 21421.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xrsmcmn	⊢ (mulGrp‘ℝ*𝑠) ∈ CMnd

Proof of Theorem xrsmcmn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘ℝ*𝑠) = (mulGrp‘ℝ*𝑠)
2		xrsbas 21396	. . . . 5 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
3	1, 2	mgpbas 20142	. . . 4 ⊢ ℝ* = (Base‘(mulGrp‘ℝ*𝑠))
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℝ* = (Base‘(mulGrp‘ℝ*𝑠)))
5		xrsmul 21398	. . . . 5 ⊢ ·e = (.r‘ℝ*𝑠)
6	1, 5	mgpplusg 20141	. . . 4 ⊢ ·e = (+g‘(mulGrp‘ℝ*𝑠))
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ·e = (+g‘(mulGrp‘ℝ*𝑠)))
8		xmulcl 13315	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝑦) ∈ ℝ*)
9	8	3adant1 1131	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝑦) ∈ ℝ*)
10		xmulass 13329	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ·e 𝑦) ·e 𝑧) = (𝑥 ·e (𝑦 ·e 𝑧)))
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*)) → ((𝑥 ·e 𝑦) ·e 𝑧) = (𝑥 ·e (𝑦 ·e 𝑧)))
12		1re 11261	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
13		rexr 11307	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ*)
14	12, 13	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ*)
15		xmullid 13322	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (1 ·e 𝑥) = 𝑥)
16	15	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (1 ·e 𝑥) = 𝑥)
17		xmulrid 13321	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 ·e 1) = 𝑥)
18	17	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 1) = 𝑥)
19	4, 7, 9, 11, 14, 16, 18	ismndd 18769	. . 3 ⊢ (⊤ → (mulGrp‘ℝ*𝑠) ∈ Mnd)
20		xmulcom 13308	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝑦) = (𝑦 ·e 𝑥))
21	20	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝑦) = (𝑦 ·e 𝑥))
22	4, 7, 19, 21	iscmnd 19812	. 2 ⊢ (⊤ → (mulGrp‘ℝ*𝑠) ∈ CMnd)
23	22	mptru 1547	1 ⊢ (mulGrp‘ℝ*𝑠) ∈ CMnd

Syntax hints:   ∧ w3a 1087   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  1c1 11156  ℝ^*cxr 11294   ·_e cxmu 13153  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  ℝ^*_𝑠cxrs 17545  CMndccmn 19798  mulGrpcmgp 20137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-xneg 13154  df-xmul 13156  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-xrs 17547  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-cmn 19800  df-mgp 20138

This theorem is referenced by: (None)