Theorem xrsmcmn 21339

Description: The "multiplicative group" of the extended reals is a commutative monoid (even though the "additive group" is not a semigroup, see xrsmgmdifsgrp 21356.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xrsmcmn	⊢ (mulGrp‘ℝ*𝑠) ∈ CMnd

Proof of Theorem xrsmcmn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘ℝ*𝑠) = (mulGrp‘ℝ*𝑠)
2		xrsbas 21331	. . . . 5 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
3	1, 2	mgpbas 20090	. . . 4 ⊢ ℝ* = (Base‘(mulGrp‘ℝ*𝑠))
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℝ* = (Base‘(mulGrp‘ℝ*𝑠)))
5		xrsmul 21333	. . . . 5 ⊢ ·e = (.r‘ℝ*𝑠)
6	1, 5	mgpplusg 20089	. . . 4 ⊢ ·e = (+g‘(mulGrp‘ℝ*𝑠))
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ·e = (+g‘(mulGrp‘ℝ*𝑠)))
8		xmulcl 13281	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝑦) ∈ ℝ*)
9	8	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝑦) ∈ ℝ*)
10		xmulass 13295	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ·e 𝑦) ·e 𝑧) = (𝑥 ·e (𝑦 ·e 𝑧)))
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*)) → ((𝑥 ·e 𝑦) ·e 𝑧) = (𝑥 ·e (𝑦 ·e 𝑧)))
12		1re 11227	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
13		rexr 11273	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ*)
14	12, 13	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ*)
15		xmullid 13288	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (1 ·e 𝑥) = 𝑥)
16	15	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (1 ·e 𝑥) = 𝑥)
17		xmulrid 13287	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 ·e 1) = 𝑥)
18	17	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 1) = 𝑥)
19	4, 7, 9, 11, 14, 16, 18	ismndd 18719	. . 3 ⊢ (⊤ → (mulGrp‘ℝ*𝑠) ∈ Mnd)
20		xmulcom 13274	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝑦) = (𝑦 ·e 𝑥))
21	20	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝑦) = (𝑦 ·e 𝑥))
22	4, 7, 19, 21	iscmnd 19760	. 2 ⊢ (⊤ → (mulGrp‘ℝ*𝑠) ∈ CMnd)
23	22	mptru 1546	1 ⊢ (mulGrp‘ℝ*𝑠) ∈ CMnd

Syntax hints:   ∧ w3a 1086   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6527  (class class class)co 7399  ℝcr 11120  1c1 11122  ℝ^*cxr 11260   ·_e cxmu 13119  Basecbs 17213  +_gcplusg 17256  ℝ^*_𝑠cxrs 17499  CMndccmn 19746  mulGrpcmgp 20085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-tp 4604  df-op 4606  df-uni 4881  df-iun 4966  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-om 7856  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8474  df-er 8713  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12233  df-2 12295  df-3 12296  df-4 12297  df-5 12298  df-6 12299  df-7 12300  df-8 12301  df-9 12302  df-n0 12494  df-z 12581  df-dec 12701  df-uz 12845  df-xneg 13120  df-xmul 13122  df-fz 13514  df-struct 17151  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17214  df-plusg 17269  df-mulr 17270  df-tset 17275  df-ple 17276  df-ds 17278  df-xrs 17501  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-cmn 19748  df-mgp 20086

This theorem is referenced by: (None)