MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsmcmn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrsmcmn 21404
Description: The "multiplicative group" of the extended reals is a commutative monoid (even though the "additive group" is not a semigroup, see xrsmgmdifsgrp 21421.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrsmcmn (mulGrp‘ℝ*𝑠) ∈ CMnd

Proof of Theorem xrsmcmn
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . 5 (mulGrp‘ℝ*𝑠) = (mulGrp‘ℝ*𝑠)
2 xrsbas 21396 . . . . 5 * = (Base‘ℝ*𝑠)
31, 2mgpbas 20142 . . . 4 * = (Base‘(mulGrp‘ℝ*𝑠))
43a1i 11 . . 3 (⊤ → ℝ* = (Base‘(mulGrp‘ℝ*𝑠)))
5 xrsmul 21398 . . . . 5 ·e = (.r‘ℝ*𝑠)
61, 5mgpplusg 20141 . . . 4 ·e = (+g‘(mulGrp‘ℝ*𝑠))
76a1i 11 . . 3 (⊤ → ·e = (+g‘(mulGrp‘ℝ*𝑠)))
8 xmulcl 13315 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝑦) ∈ ℝ*)
983adant1 1131 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝑦) ∈ ℝ*)
10 xmulass 13329 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ·e 𝑦) ·e 𝑧) = (𝑥 ·e (𝑦 ·e 𝑧)))
1110adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*)) → ((𝑥 ·e 𝑦) ·e 𝑧) = (𝑥 ·e (𝑦 ·e 𝑧)))
12 1re 11261 . . . . 5 1 ∈ ℝ
13 rexr 11307 . . . . 5 (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ*)
1412, 13mp1i 13 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℝ*)
15 xmullid 13322 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ* → (1 ·e 𝑥) = 𝑥)
1615adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (1 ·e 𝑥) = 𝑥)
17 xmulrid 13321 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 ·e 1) = 𝑥)
1817adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 1) = 𝑥)
194, 7, 9, 11, 14, 16, 18ismndd 18769 . . 3 (⊤ → (mulGrp‘ℝ*𝑠) ∈ Mnd)
20 xmulcom 13308 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝑦) = (𝑦 ·e 𝑥))
21203adant1 1131 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝑦) = (𝑦 ·e 𝑥))
224, 7, 19, 21iscmnd 19812 . 2 (⊤ → (mulGrp‘ℝ*𝑠) ∈ CMnd)
2322mptru 1547 1 (mulGrp‘ℝ*𝑠) ∈ CMnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  w3a 1087   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2108  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  1c1 11156  *cxr 11294   ·e cxmu 13153  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  *𝑠cxrs 17545  CMndccmn 19798  mulGrpcmgp 20137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-xneg 13154  df-xmul 13156  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-xrs 17547  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-cmn 19800  df-mgp 20138
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator