Theorem xltmul1 13317

Description: Extended real version of ltmul1 12064. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xltmul1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 ·e 𝐶) < (𝐵 ·e 𝐶)))

Proof of Theorem xltmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlemul1 13315	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ (𝐵 ·e 𝐶) ≤ (𝐴 ·e 𝐶)))
2	1	3com12 1139	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ (𝐵 ·e 𝐶) ≤ (𝐴 ·e 𝐶)))
3	2	notbid 321	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 ·e 𝐶) ≤ (𝐴 ·e 𝐶)))
4		xrltnle 11275	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))
5	4	3adant3 1148	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))
6		simp1 1152	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ*)
7		rpxr 13025	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐶 ∈ ℝ*)
8	7	3ad2ant3 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ*)
9		xmulcl 13298	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
10	6, 8, 9	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
11		simp2 1153	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12		xmulcl 13298	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
13	11, 8, 12	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
14		xrltnle 11275	. . 3 ⊢ (((𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ*) → ((𝐴 ·e 𝐶) < (𝐵 ·e 𝐶) ↔ ¬ (𝐵 ·e 𝐶) ≤ (𝐴 ·e 𝐶)))
15	10, 13, 14	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 ·e 𝐶) < (𝐵 ·e 𝐶) ↔ ¬ (𝐵 ·e 𝐶) ≤ (𝐴 ·e 𝐶)))
16	3, 5, 15	3bitr4d 314	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 ·e 𝐶) < (𝐵 ·e 𝐶)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  (class class class)co 7411  ℝ^*cxr 11241   < clt 11242   ≤ cle 11243  ℝ⁺crp 13015   ·_e cxmu 13135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xmul 13138

This theorem is referenced by:  xltmul2  13318