MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xltmul1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xltmul1 13309
Description: Extended real version of ltmul1 12100. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xltmul1 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด ยทe ๐ถ) < (๐ต ยทe ๐ถ)))

Proof of Theorem xltmul1
StepHypRef Expression
1 xlemul1 13307 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต โ‰ค ๐ด โ†” (๐ต ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยทe ๐ถ)))
213com12 1120 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต โ‰ค ๐ด โ†” (๐ต ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยทe ๐ถ)))
32notbid 317 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (ยฌ ๐ต โ‰ค ๐ด โ†” ยฌ (๐ต ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยทe ๐ถ)))
4 xrltnle 11317 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” ยฌ ๐ต โ‰ค ๐ด))
543adant3 1129 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” ยฌ ๐ต โ‰ค ๐ด))
6 simp1 1133 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
7 rpxr 13021 . . . . 5 (๐ถ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„*)
873ad2ant3 1132 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„*)
9 xmulcl 13290 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„*)
106, 8, 9syl2anc 582 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„*)
11 simp2 1134 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
12 xmulcl 13290 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„*)
1311, 8, 12syl2anc 582 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„*)
14 xrltnle 11317 . . 3 (((๐ด ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„* โˆง (๐ต ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ถ) < (๐ต ยทe ๐ถ) โ†” ยฌ (๐ต ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยทe ๐ถ)))
1510, 13, 14syl2anc 582 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ถ) < (๐ต ยทe ๐ถ) โ†” ยฌ (๐ต ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยทe ๐ถ)))
163, 5, 153bitr4d 310 1 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด ยทe ๐ถ) < (๐ต ยทe ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง w3a 1084   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5150  (class class class)co 7424  โ„*cxr 11283   < clt 11284   โ‰ค cle 11285  โ„+crp 13012   ยทe cxmu 13129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-rp 13013  df-xneg 13130  df-xmul 13132
This theorem is referenced by:  xltmul2  13310
  Copyright terms: Public domain W3C validator