Theorem xltmul1 13244

Description: Extended real version of ltmul1 12005. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xltmul1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 ·e 𝐶) < (𝐵 ·e 𝐶)))

Proof of Theorem xltmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlemul1 13242	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ (𝐵 ·e 𝐶) ≤ (𝐴 ·e 𝐶)))
2	1	3com12 1124	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ (𝐵 ·e 𝐶) ≤ (𝐴 ·e 𝐶)))
3	2	notbid 318	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 ·e 𝐶) ≤ (𝐴 ·e 𝐶)))
4		xrltnle 11212	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))
5	4	3adant3 1133	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))
6		simp1 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ*)
7		rpxr 12952	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐶 ∈ ℝ*)
8	7	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ*)
9		xmulcl 13225	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
10	6, 8, 9	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
11		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12		xmulcl 13225	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
13	11, 8, 12	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
14		xrltnle 11212	. . 3 ⊢ (((𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ*) → ((𝐴 ·e 𝐶) < (𝐵 ·e 𝐶) ↔ ¬ (𝐵 ·e 𝐶) ≤ (𝐴 ·e 𝐶)))
15	10, 13, 14	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 ·e 𝐶) < (𝐵 ·e 𝐶) ↔ ¬ (𝐵 ·e 𝐶) ≤ (𝐴 ·e 𝐶)))
16	3, 5, 15	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 ·e 𝐶) < (𝐵 ·e 𝐶)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7367  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179   ≤ cle 11180  ℝ⁺crp 12942   ·_e cxmu 13062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xmul 13065

This theorem is referenced by:  xltmul2  13245