![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > xltmul1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Extended real version of ltmul1 12065. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
xltmul1 | โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง ๐ถ โ โ+) โ (๐ด < ๐ต โ (๐ด ยทe ๐ถ) < (๐ต ยทe ๐ถ))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | xlemul1 13272 | . . . 4 โข ((๐ต โ โ* โง ๐ด โ โ* โง ๐ถ โ โ+) โ (๐ต โค ๐ด โ (๐ต ยทe ๐ถ) โค (๐ด ยทe ๐ถ))) | |
2 | 1 | 3com12 1120 | . . 3 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง ๐ถ โ โ+) โ (๐ต โค ๐ด โ (๐ต ยทe ๐ถ) โค (๐ด ยทe ๐ถ))) |
3 | 2 | notbid 318 | . 2 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง ๐ถ โ โ+) โ (ยฌ ๐ต โค ๐ด โ ยฌ (๐ต ยทe ๐ถ) โค (๐ด ยทe ๐ถ))) |
4 | xrltnle 11282 | . . 3 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ*) โ (๐ด < ๐ต โ ยฌ ๐ต โค ๐ด)) | |
5 | 4 | 3adant3 1129 | . 2 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง ๐ถ โ โ+) โ (๐ด < ๐ต โ ยฌ ๐ต โค ๐ด)) |
6 | simp1 1133 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง ๐ถ โ โ+) โ ๐ด โ โ*) | |
7 | rpxr 12986 | . . . . 5 โข (๐ถ โ โ+ โ ๐ถ โ โ*) | |
8 | 7 | 3ad2ant3 1132 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง ๐ถ โ โ+) โ ๐ถ โ โ*) |
9 | xmulcl 13255 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ถ โ โ*) โ (๐ด ยทe ๐ถ) โ โ*) | |
10 | 6, 8, 9 | syl2anc 583 | . . 3 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง ๐ถ โ โ+) โ (๐ด ยทe ๐ถ) โ โ*) |
11 | simp2 1134 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง ๐ถ โ โ+) โ ๐ต โ โ*) | |
12 | xmulcl 13255 | . . . 4 โข ((๐ต โ โ* โง ๐ถ โ โ*) โ (๐ต ยทe ๐ถ) โ โ*) | |
13 | 11, 8, 12 | syl2anc 583 | . . 3 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง ๐ถ โ โ+) โ (๐ต ยทe ๐ถ) โ โ*) |
14 | xrltnle 11282 | . . 3 โข (((๐ด ยทe ๐ถ) โ โ* โง (๐ต ยทe ๐ถ) โ โ*) โ ((๐ด ยทe ๐ถ) < (๐ต ยทe ๐ถ) โ ยฌ (๐ต ยทe ๐ถ) โค (๐ด ยทe ๐ถ))) | |
15 | 10, 13, 14 | syl2anc 583 | . 2 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง ๐ถ โ โ+) โ ((๐ด ยทe ๐ถ) < (๐ต ยทe ๐ถ) โ ยฌ (๐ต ยทe ๐ถ) โค (๐ด ยทe ๐ถ))) |
16 | 3, 5, 15 | 3bitr4d 311 | 1 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง ๐ถ โ โ+) โ (๐ด < ๐ต โ (๐ด ยทe ๐ถ) < (๐ต ยทe ๐ถ))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โ wb 205 โง w3a 1084 โ wcel 2098 class class class wbr 5141 (class class class)co 7404 โ*cxr 11248 < clt 11249 โค cle 11250 โ+crp 12977 ยทe cxmu 13094 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7721 ax-cnex 11165 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-id 5567 df-po 5581 df-so 5582 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7360 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-er 8702 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-pnf 11251 df-mnf 11252 df-xr 11253 df-ltxr 11254 df-le 11255 df-sub 11447 df-neg 11448 df-div 11873 df-rp 12978 df-xneg 13095 df-xmul 13097 |
This theorem is referenced by: xltmul2 13275 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |