MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ge0xmulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ge0xmulcl 13446
Description: The nonnegative extended reals are closed under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ge0xmulcl ((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž)) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ (0[,]+โˆž))

Proof of Theorem ge0xmulcl
StepHypRef Expression
1 elxrge0 13440 . 2 (๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โ†” (๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ด))
2 elxrge0 13440 . 2 (๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โ†” (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต))
3 xmulcl 13258 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„*)
43ad2ant2r 744 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„*)
5 xmulge0 13269 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยทe ๐ต))
6 elxrge0 13440 . . 3 ((๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ (0[,]+โˆž) โ†” ((๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยทe ๐ต)))
74, 5, 6sylanbrc 582 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ (0[,]+โˆž))
81, 2, 7syl2anb 597 1 ((๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž)) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ (0[,]+โˆž))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  0cc0 11112  +โˆžcpnf 11249  โ„*cxr 11251   โ‰ค cle 11253   ยทe cxmu 13097  [,]cicc 13333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-xmul 13100  df-icc 13337
This theorem is referenced by:  xrge0adddir  32696  xrge0slmod  32966  xrge0mulc1cn  33451  sitmcl  33880
  Copyright terms: Public domain W3C validator