Theorem xlemul1 13257

Description: Extended real version of lemul1 12041. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xlemul1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶)))

Proof of Theorem xlemul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpxr 12968	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐶 ∈ ℝ*)
2		rpge0 12972	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐶)
3	1, 2	jca 511	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶))
4		xlemul1a 13255	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))
5	4	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶)))
6	3, 5	syl3an3 1165	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶)))
7		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8	1	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ*)
9		xmulcl 13240	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
10	7, 8, 9	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
11		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12		xmulcl 13240	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
13	11, 8, 12	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
14		rpreccl 12986	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐶) ∈ ℝ+)
15	14	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ+)
16		rpxr 12968	. . . . 5 ⊢ ((1 / 𝐶) ∈ ℝ+ → (1 / 𝐶) ∈ ℝ*)
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ*)
18		rpge0 12972	. . . . 5 ⊢ ((1 / 𝐶) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (1 / 𝐶))
19	15, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (1 / 𝐶))
20		xlemul1a 13255	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ ((1 / 𝐶) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 𝐶))) ∧ (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶)) → ((𝐴 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) ≤ ((𝐵 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)))
21	20	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ ((1 / 𝐶) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 𝐶))) → ((𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶) → ((𝐴 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) ≤ ((𝐵 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶))))
22	10, 13, 17, 19, 21	syl112anc 1376	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶) → ((𝐴 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) ≤ ((𝐵 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶))))
23		xmulass 13254	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ*) → ((𝐴 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) = (𝐴 ·e (𝐶 ·e (1 / 𝐶))))
24	7, 8, 17, 23	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) = (𝐴 ·e (𝐶 ·e (1 / 𝐶))))
25		rpre 12967	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐶 ∈ ℝ)
26	25	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
27	15	rpred 13002	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
28		rexmul 13238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) → (𝐶 ·e (1 / 𝐶)) = (𝐶 · (1 / 𝐶)))
29	26, 27, 28	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 ·e (1 / 𝐶)) = (𝐶 · (1 / 𝐶)))
30	26	recnd 11209	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
31		rpne0 12975	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐶 ≠ 0)
32	31	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ≠ 0)
33	30, 32	recidd 11960	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (1 / 𝐶)) = 1)
34	29, 33	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 ·e (1 / 𝐶)) = 1)
35	34	oveq2d 7406	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ·e (𝐶 ·e (1 / 𝐶))) = (𝐴 ·e 1))
36		xmulrid 13246	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)
37	7, 36	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)
38	24, 35, 37	3eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) = 𝐴)
39		xmulass 13254	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ*) → ((𝐵 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) = (𝐵 ·e (𝐶 ·e (1 / 𝐶))))
40	11, 8, 17, 39	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) = (𝐵 ·e (𝐶 ·e (1 / 𝐶))))
41	34	oveq2d 7406	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 ·e (𝐶 ·e (1 / 𝐶))) = (𝐵 ·e 1))
42		xmulrid 13246	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 ·e 1) = 𝐵)
43	11, 42	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 ·e 1) = 𝐵)
44	40, 41, 43	3eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) = 𝐵)
45	38, 44	breq12d 5123	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) ≤ ((𝐵 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
46	22, 45	sylibd 239	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐵))
47	6, 46	impbid 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080  ℝ^*cxr 11214   ≤ cle 11216   / cdiv 11842  ℝ⁺crp 12958   ·_e cxmu 13078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xmul 13081

This theorem is referenced by:  xlemul2  13258  xltmul1  13259  nmoleub2lem  25021  xrmulc1cn  33927