MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xlemul1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlemul1 13268
Description: Extended real version of lemul1 12065. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xlemul1 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ)))

Proof of Theorem xlemul1
StepHypRef Expression
1 rpxr 12982 . . . 4 (๐ถ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„*)
2 rpge0 12986 . . . 4 (๐ถ โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)
31, 2jca 512 . . 3 (๐ถ โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ))
4 xlemul1a 13266 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))
54ex 413 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ)))
63, 5syl3an3 1165 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ)))
7 simp1 1136 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
813ad2ant3 1135 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„*)
9 xmulcl 13251 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„*)
107, 8, 9syl2anc 584 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„*)
11 simp2 1137 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
12 xmulcl 13251 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„*)
1311, 8, 12syl2anc 584 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„*)
14 rpreccl 12999 . . . . . 6 (๐ถ โˆˆ โ„+ โ†’ (1 / ๐ถ) โˆˆ โ„+)
15143ad2ant3 1135 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (1 / ๐ถ) โˆˆ โ„+)
16 rpxr 12982 . . . . 5 ((1 / ๐ถ) โˆˆ โ„+ โ†’ (1 / ๐ถ) โˆˆ โ„*)
1715, 16syl 17 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (1 / ๐ถ) โˆˆ โ„*)
18 rpge0 12986 . . . . 5 ((1 / ๐ถ) โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค (1 / ๐ถ))
1915, 18syl 17 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โ‰ค (1 / ๐ถ))
20 xlemul1a 13266 . . . . 5 ((((๐ด ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„* โˆง (๐ต ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„* โˆง ((1 / ๐ถ) โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค (1 / ๐ถ))) โˆง (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ)) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ถ) ยทe (1 / ๐ถ)) โ‰ค ((๐ต ยทe ๐ถ) ยทe (1 / ๐ถ)))
2120ex 413 . . . 4 (((๐ด ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„* โˆง (๐ต ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„* โˆง ((1 / ๐ถ) โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค (1 / ๐ถ))) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ถ) ยทe (1 / ๐ถ)) โ‰ค ((๐ต ยทe ๐ถ) ยทe (1 / ๐ถ))))
2210, 13, 17, 19, 21syl112anc 1374 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ถ) ยทe (1 / ๐ถ)) โ‰ค ((๐ต ยทe ๐ถ) ยทe (1 / ๐ถ))))
23 xmulass 13265 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„* โˆง (1 / ๐ถ) โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ถ) ยทe (1 / ๐ถ)) = (๐ด ยทe (๐ถ ยทe (1 / ๐ถ))))
247, 8, 17, 23syl3anc 1371 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ถ) ยทe (1 / ๐ถ)) = (๐ด ยทe (๐ถ ยทe (1 / ๐ถ))))
25 rpre 12981 . . . . . . . . 9 (๐ถ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
26253ad2ant3 1135 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
2715rpred 13015 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (1 / ๐ถ) โˆˆ โ„)
28 rexmul 13249 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (1 / ๐ถ) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ ยทe (1 / ๐ถ)) = (๐ถ ยท (1 / ๐ถ)))
2926, 27, 28syl2anc 584 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ถ ยทe (1 / ๐ถ)) = (๐ถ ยท (1 / ๐ถ)))
3026recnd 11241 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
31 rpne0 12989 . . . . . . . . 9 (๐ถ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ถ โ‰  0)
32313ad2ant3 1135 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ถ โ‰  0)
3330, 32recidd 11984 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ถ ยท (1 / ๐ถ)) = 1)
3429, 33eqtrd 2772 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ถ ยทe (1 / ๐ถ)) = 1)
3534oveq2d 7424 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด ยทe (๐ถ ยทe (1 / ๐ถ))) = (๐ด ยทe 1))
36 xmulrid 13257 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (๐ด ยทe 1) = ๐ด)
377, 36syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด ยทe 1) = ๐ด)
3824, 35, 373eqtrd 2776 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ถ) ยทe (1 / ๐ถ)) = ๐ด)
39 xmulass 13265 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„* โˆง (1 / ๐ถ) โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐ต ยทe ๐ถ) ยทe (1 / ๐ถ)) = (๐ต ยทe (๐ถ ยทe (1 / ๐ถ))))
4011, 8, 17, 39syl3anc 1371 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ต ยทe ๐ถ) ยทe (1 / ๐ถ)) = (๐ต ยทe (๐ถ ยทe (1 / ๐ถ))))
4134oveq2d 7424 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต ยทe (๐ถ ยทe (1 / ๐ถ))) = (๐ต ยทe 1))
42 xmulrid 13257 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„* โ†’ (๐ต ยทe 1) = ๐ต)
4311, 42syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต ยทe 1) = ๐ต)
4440, 41, 433eqtrd 2776 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ต ยทe ๐ถ) ยทe (1 / ๐ถ)) = ๐ต)
4538, 44breq12d 5161 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐ด ยทe ๐ถ) ยทe (1 / ๐ถ)) โ‰ค ((๐ต ยทe ๐ถ) ยทe (1 / ๐ถ)) โ†” ๐ด โ‰ค ๐ต))
4622, 45sylibd 238 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต))
476, 46impbid 211 1 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   ยท cmul 11114  โ„*cxr 11246   โ‰ค cle 11248   / cdiv 11870  โ„+crp 12973   ยทe cxmu 13090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xmul 13093
This theorem is referenced by:  xlemul2  13269  xltmul1  13270  nmoleub2lem  24629  xrmulc1cn  32905
  Copyright terms: Public domain W3C validator