Theorem xlemul1 13203

Description: Extended real version of lemul1 11991. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xlemul1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶)))

Proof of Theorem xlemul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpxr 12913	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐶 ∈ ℝ*)
2		rpge0 12917	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐶)
3	1, 2	jca 511	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶))
4		xlemul1a 13201	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))
5	4	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶)))
6	3, 5	syl3an3 1165	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶)))
7		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8	1	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ*)
9		xmulcl 13186	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
10	7, 8, 9	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
11		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12		xmulcl 13186	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
13	11, 8, 12	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
14		rpreccl 12931	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐶) ∈ ℝ+)
15	14	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ+)
16		rpxr 12913	. . . . 5 ⊢ ((1 / 𝐶) ∈ ℝ+ → (1 / 𝐶) ∈ ℝ*)
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ*)
18		rpge0 12917	. . . . 5 ⊢ ((1 / 𝐶) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (1 / 𝐶))
19	15, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (1 / 𝐶))
20		xlemul1a 13201	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ ((1 / 𝐶) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 𝐶))) ∧ (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶)) → ((𝐴 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) ≤ ((𝐵 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)))
21	20	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ ((1 / 𝐶) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 𝐶))) → ((𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶) → ((𝐴 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) ≤ ((𝐵 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶))))
22	10, 13, 17, 19, 21	syl112anc 1376	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶) → ((𝐴 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) ≤ ((𝐵 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶))))
23		xmulass 13200	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ*) → ((𝐴 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) = (𝐴 ·e (𝐶 ·e (1 / 𝐶))))
24	7, 8, 17, 23	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) = (𝐴 ·e (𝐶 ·e (1 / 𝐶))))
25		rpre 12912	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐶 ∈ ℝ)
26	25	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
27	15	rpred 12947	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
28		rexmul 13184	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) → (𝐶 ·e (1 / 𝐶)) = (𝐶 · (1 / 𝐶)))
29	26, 27, 28	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 ·e (1 / 𝐶)) = (𝐶 · (1 / 𝐶)))
30	26	recnd 11158	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
31		rpne0 12920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐶 ≠ 0)
32	31	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ≠ 0)
33	30, 32	recidd 11910	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (1 / 𝐶)) = 1)
34	29, 33	eqtrd 2769	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 ·e (1 / 𝐶)) = 1)
35	34	oveq2d 7372	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ·e (𝐶 ·e (1 / 𝐶))) = (𝐴 ·e 1))
36		xmulrid 13192	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)
37	7, 36	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)
38	24, 35, 37	3eqtrd 2773	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) = 𝐴)
39		xmulass 13200	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ*) → ((𝐵 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) = (𝐵 ·e (𝐶 ·e (1 / 𝐶))))
40	11, 8, 17, 39	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) = (𝐵 ·e (𝐶 ·e (1 / 𝐶))))
41	34	oveq2d 7372	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 ·e (𝐶 ·e (1 / 𝐶))) = (𝐵 ·e 1))
42		xmulrid 13192	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 ·e 1) = 𝐵)
43	11, 42	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 ·e 1) = 𝐵)
44	40, 41, 43	3eqtrd 2773	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) = 𝐵)
45	38, 44	breq12d 5109	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) ≤ ((𝐵 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
46	22, 45	sylibd 239	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐵))
47	6, 46	impbid 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930   class class class wbr 5096  (class class class)co 7356  ℝcr 11023  0cc0 11024  1c1 11025   · cmul 11029  ℝ^*cxr 11163   ≤ cle 11165   / cdiv 11792  ℝ⁺crp 12903   ·_e cxmu 13023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xmul 13026

This theorem is referenced by:  xlemul2  13204  xltmul1  13205  nmoleub2lem  25068  xrmulc1cn  34036