MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xlemul1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlemul1 13218
Description: Extended real version of lemul1 12015. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xlemul1 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ)))

Proof of Theorem xlemul1
StepHypRef Expression
1 rpxr 12932 . . . 4 (๐ถ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„*)
2 rpge0 12936 . . . 4 (๐ถ โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)
31, 2jca 513 . . 3 (๐ถ โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ))
4 xlemul1a 13216 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ))
54ex 414 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ)))
63, 5syl3an3 1166 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ)))
7 simp1 1137 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
813ad2ant3 1136 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„*)
9 xmulcl 13201 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„*)
107, 8, 9syl2anc 585 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„*)
11 simp2 1138 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
12 xmulcl 13201 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„*)
1311, 8, 12syl2anc 585 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„*)
14 rpreccl 12949 . . . . . 6 (๐ถ โˆˆ โ„+ โ†’ (1 / ๐ถ) โˆˆ โ„+)
15143ad2ant3 1136 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (1 / ๐ถ) โˆˆ โ„+)
16 rpxr 12932 . . . . 5 ((1 / ๐ถ) โˆˆ โ„+ โ†’ (1 / ๐ถ) โˆˆ โ„*)
1715, 16syl 17 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (1 / ๐ถ) โˆˆ โ„*)
18 rpge0 12936 . . . . 5 ((1 / ๐ถ) โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค (1 / ๐ถ))
1915, 18syl 17 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โ‰ค (1 / ๐ถ))
20 xlemul1a 13216 . . . . 5 ((((๐ด ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„* โˆง (๐ต ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„* โˆง ((1 / ๐ถ) โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค (1 / ๐ถ))) โˆง (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ)) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ถ) ยทe (1 / ๐ถ)) โ‰ค ((๐ต ยทe ๐ถ) ยทe (1 / ๐ถ)))
2120ex 414 . . . 4 (((๐ด ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„* โˆง (๐ต ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„* โˆง ((1 / ๐ถ) โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค (1 / ๐ถ))) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ถ) ยทe (1 / ๐ถ)) โ‰ค ((๐ต ยทe ๐ถ) ยทe (1 / ๐ถ))))
2210, 13, 17, 19, 21syl112anc 1375 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ถ) ยทe (1 / ๐ถ)) โ‰ค ((๐ต ยทe ๐ถ) ยทe (1 / ๐ถ))))
23 xmulass 13215 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„* โˆง (1 / ๐ถ) โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ถ) ยทe (1 / ๐ถ)) = (๐ด ยทe (๐ถ ยทe (1 / ๐ถ))))
247, 8, 17, 23syl3anc 1372 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ถ) ยทe (1 / ๐ถ)) = (๐ด ยทe (๐ถ ยทe (1 / ๐ถ))))
25 rpre 12931 . . . . . . . . 9 (๐ถ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
26253ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
2715rpred 12965 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (1 / ๐ถ) โˆˆ โ„)
28 rexmul 13199 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (1 / ๐ถ) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ ยทe (1 / ๐ถ)) = (๐ถ ยท (1 / ๐ถ)))
2926, 27, 28syl2anc 585 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ถ ยทe (1 / ๐ถ)) = (๐ถ ยท (1 / ๐ถ)))
3026recnd 11191 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
31 rpne0 12939 . . . . . . . . 9 (๐ถ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ถ โ‰  0)
32313ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ถ โ‰  0)
3330, 32recidd 11934 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ถ ยท (1 / ๐ถ)) = 1)
3429, 33eqtrd 2773 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ถ ยทe (1 / ๐ถ)) = 1)
3534oveq2d 7377 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด ยทe (๐ถ ยทe (1 / ๐ถ))) = (๐ด ยทe 1))
36 xmulid1 13207 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (๐ด ยทe 1) = ๐ด)
377, 36syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด ยทe 1) = ๐ด)
3824, 35, 373eqtrd 2777 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ถ) ยทe (1 / ๐ถ)) = ๐ด)
39 xmulass 13215 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„* โˆง (1 / ๐ถ) โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐ต ยทe ๐ถ) ยทe (1 / ๐ถ)) = (๐ต ยทe (๐ถ ยทe (1 / ๐ถ))))
4011, 8, 17, 39syl3anc 1372 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ต ยทe ๐ถ) ยทe (1 / ๐ถ)) = (๐ต ยทe (๐ถ ยทe (1 / ๐ถ))))
4134oveq2d 7377 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต ยทe (๐ถ ยทe (1 / ๐ถ))) = (๐ต ยทe 1))
42 xmulid1 13207 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„* โ†’ (๐ต ยทe 1) = ๐ต)
4311, 42syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต ยทe 1) = ๐ต)
4440, 41, 433eqtrd 2777 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ต ยทe ๐ถ) ยทe (1 / ๐ถ)) = ๐ต)
4538, 44breq12d 5122 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐ด ยทe ๐ถ) ยทe (1 / ๐ถ)) โ‰ค ((๐ต ยทe ๐ถ) ยทe (1 / ๐ถ)) โ†” ๐ด โ‰ค ๐ต))
4622, 45sylibd 238 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต))
476, 46impbid 211 1 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5109  (class class class)co 7361  โ„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   ยท cmul 11064  โ„*cxr 11196   โ‰ค cle 11198   / cdiv 11820  โ„+crp 12923   ยทe cxmu 13040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xmul 13043
This theorem is referenced by:  xlemul2  13219  xltmul1  13220  nmoleub2lem  24500  xrmulc1cn  32575
  Copyright terms: Public domain W3C validator