Theorem xlemul1 12671

Description: Extended real version of lemul1 11481. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xlemul1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶)))

Proof of Theorem xlemul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpxr 12386	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐶 ∈ ℝ*)
2		rpge0 12390	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐶)
3	1, 2	jca 515	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶))
4		xlemul1a 12669	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))
5	4	ex 416	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶)))
6	3, 5	syl3an3 1162	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶)))
7		simp1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8	1	3ad2ant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ*)
9		xmulcl 12654	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
10	7, 8, 9	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
11		simp2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12		xmulcl 12654	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
13	11, 8, 12	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
14		rpreccl 12403	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐶) ∈ ℝ+)
15	14	3ad2ant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ+)
16		rpxr 12386	. . . . 5 ⊢ ((1 / 𝐶) ∈ ℝ+ → (1 / 𝐶) ∈ ℝ*)
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ*)
18		rpge0 12390	. . . . 5 ⊢ ((1 / 𝐶) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (1 / 𝐶))
19	15, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (1 / 𝐶))
20		xlemul1a 12669	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ ((1 / 𝐶) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 𝐶))) ∧ (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶)) → ((𝐴 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) ≤ ((𝐵 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)))
21	20	ex 416	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ ((1 / 𝐶) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 𝐶))) → ((𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶) → ((𝐴 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) ≤ ((𝐵 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶))))
22	10, 13, 17, 19, 21	syl112anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶) → ((𝐴 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) ≤ ((𝐵 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶))))
23		xmulass 12668	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ*) → ((𝐴 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) = (𝐴 ·e (𝐶 ·e (1 / 𝐶))))
24	7, 8, 17, 23	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) = (𝐴 ·e (𝐶 ·e (1 / 𝐶))))
25		rpre 12385	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐶 ∈ ℝ)
26	25	3ad2ant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
27	15	rpred 12419	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
28		rexmul 12652	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) → (𝐶 ·e (1 / 𝐶)) = (𝐶 · (1 / 𝐶)))
29	26, 27, 28	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 ·e (1 / 𝐶)) = (𝐶 · (1 / 𝐶)))
30	26	recnd 10658	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
31		rpne0 12393	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐶 ≠ 0)
32	31	3ad2ant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ≠ 0)
33	30, 32	recidd 11400	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (1 / 𝐶)) = 1)
34	29, 33	eqtrd 2833	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 ·e (1 / 𝐶)) = 1)
35	34	oveq2d 7151	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ·e (𝐶 ·e (1 / 𝐶))) = (𝐴 ·e 1))
36		xmulid1 12660	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)
37	7, 36	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)
38	24, 35, 37	3eqtrd 2837	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) = 𝐴)
39		xmulass 12668	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ*) → ((𝐵 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) = (𝐵 ·e (𝐶 ·e (1 / 𝐶))))
40	11, 8, 17, 39	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) = (𝐵 ·e (𝐶 ·e (1 / 𝐶))))
41	34	oveq2d 7151	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 ·e (𝐶 ·e (1 / 𝐶))) = (𝐵 ·e 1))
42		xmulid1 12660	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 ·e 1) = 𝐵)
43	11, 42	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 ·e 1) = 𝐵)
44	40, 41, 43	3eqtrd 2837	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) = 𝐵)
45	38, 44	breq12d 5043	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) ≤ ((𝐵 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
46	22, 45	sylibd 242	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐵))
47	6, 46	impbid 215	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   · cmul 10531  ℝ^*cxr 10663   ≤ cle 10665   / cdiv 11286  ℝ⁺crp 12377   ·_e cxmu 12494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xmul 12497

This theorem is referenced by:  xlemul2  12672  xltmul1  12673  nmoleub2lem  23719  xrmulc1cn  31283