Theorem xlemul1 13192

Description: Extended real version of lemul1 11976. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xlemul1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶)))

Proof of Theorem xlemul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpxr 12903	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐶 ∈ ℝ*)
2		rpge0 12907	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐶)
3	1, 2	jca 511	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶))
4		xlemul1a 13190	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))
5	4	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶)))
6	3, 5	syl3an3 1165	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶)))
7		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8	1	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ*)
9		xmulcl 13175	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
10	7, 8, 9	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
11		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12		xmulcl 13175	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
13	11, 8, 12	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
14		rpreccl 12921	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐶) ∈ ℝ+)
15	14	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ+)
16		rpxr 12903	. . . . 5 ⊢ ((1 / 𝐶) ∈ ℝ+ → (1 / 𝐶) ∈ ℝ*)
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ*)
18		rpge0 12907	. . . . 5 ⊢ ((1 / 𝐶) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (1 / 𝐶))
19	15, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (1 / 𝐶))
20		xlemul1a 13190	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ ((1 / 𝐶) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 𝐶))) ∧ (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶)) → ((𝐴 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) ≤ ((𝐵 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)))
21	20	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ ((1 / 𝐶) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 𝐶))) → ((𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶) → ((𝐴 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) ≤ ((𝐵 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶))))
22	10, 13, 17, 19, 21	syl112anc 1376	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶) → ((𝐴 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) ≤ ((𝐵 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶))))
23		xmulass 13189	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ*) → ((𝐴 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) = (𝐴 ·e (𝐶 ·e (1 / 𝐶))))
24	7, 8, 17, 23	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) = (𝐴 ·e (𝐶 ·e (1 / 𝐶))))
25		rpre 12902	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐶 ∈ ℝ)
26	25	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
27	15	rpred 12937	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
28		rexmul 13173	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) → (𝐶 ·e (1 / 𝐶)) = (𝐶 · (1 / 𝐶)))
29	26, 27, 28	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 ·e (1 / 𝐶)) = (𝐶 · (1 / 𝐶)))
30	26	recnd 11143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
31		rpne0 12910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐶 ≠ 0)
32	31	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ≠ 0)
33	30, 32	recidd 11895	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (1 / 𝐶)) = 1)
34	29, 33	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 ·e (1 / 𝐶)) = 1)
35	34	oveq2d 7365	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ·e (𝐶 ·e (1 / 𝐶))) = (𝐴 ·e 1))
36		xmulrid 13181	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)
37	7, 36	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)
38	24, 35, 37	3eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) = 𝐴)
39		xmulass 13189	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ*) → ((𝐵 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) = (𝐵 ·e (𝐶 ·e (1 / 𝐶))))
40	11, 8, 17, 39	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) = (𝐵 ·e (𝐶 ·e (1 / 𝐶))))
41	34	oveq2d 7365	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 ·e (𝐶 ·e (1 / 𝐶))) = (𝐵 ·e 1))
42		xmulrid 13181	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 ·e 1) = 𝐵)
43	11, 42	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 ·e 1) = 𝐵)
44	40, 41, 43	3eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) = 𝐵)
45	38, 44	breq12d 5105	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) ≤ ((𝐵 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
46	22, 45	sylibd 239	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐵))
47	6, 46	impbid 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5092  (class class class)co 7349  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   · cmul 11014  ℝ^*cxr 11148   ≤ cle 11150   / cdiv 11777  ℝ⁺crp 12893   ·_e cxmu 13013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xmul 13016

This theorem is referenced by:  xlemul2  13193  xltmul1  13194  nmoleub2lem  25012  xrmulc1cn  33897