MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xlemul1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlemul1 13329
Description: Extended real version of lemul1 12117. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xlemul1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶)))

Proof of Theorem xlemul1
StepHypRef Expression
1 rpxr 13042 . . . 4 (𝐶 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ*)
2 rpge0 13046 . . . 4 (𝐶 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐶)
31, 2jca 511 . . 3 (𝐶 ∈ ℝ+ → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶))
4 xlemul1a 13327 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))
54ex 412 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴𝐵 → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶)))
63, 5syl3an3 1164 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐵 → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶)))
7 simp1 1135 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ*)
813ad2ant3 1134 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ*)
9 xmulcl 13312 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
107, 8, 9syl2anc 584 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
11 simp2 1136 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12 xmulcl 13312 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
1311, 8, 12syl2anc 584 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
14 rpreccl 13059 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐶) ∈ ℝ+)
15143ad2ant3 1134 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ+)
16 rpxr 13042 . . . . 5 ((1 / 𝐶) ∈ ℝ+ → (1 / 𝐶) ∈ ℝ*)
1715, 16syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ*)
18 rpge0 13046 . . . . 5 ((1 / 𝐶) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (1 / 𝐶))
1915, 18syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (1 / 𝐶))
20 xlemul1a 13327 . . . . 5 ((((𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ ((1 / 𝐶) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 𝐶))) ∧ (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶)) → ((𝐴 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) ≤ ((𝐵 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)))
2120ex 412 . . . 4 (((𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ ((1 / 𝐶) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 𝐶))) → ((𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶) → ((𝐴 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) ≤ ((𝐵 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶))))
2210, 13, 17, 19, 21syl112anc 1373 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶) → ((𝐴 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) ≤ ((𝐵 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶))))
23 xmulass 13326 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ* ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ*) → ((𝐴 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) = (𝐴 ·e (𝐶 ·e (1 / 𝐶))))
247, 8, 17, 23syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) = (𝐴 ·e (𝐶 ·e (1 / 𝐶))))
25 rpre 13041 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ)
26253ad2ant3 1134 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
2715rpred 13075 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
28 rexmul 13310 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) → (𝐶 ·e (1 / 𝐶)) = (𝐶 · (1 / 𝐶)))
2926, 27, 28syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 ·e (1 / 𝐶)) = (𝐶 · (1 / 𝐶)))
3026recnd 11287 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
31 rpne0 13049 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ ℝ+𝐶 ≠ 0)
32313ad2ant3 1134 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ≠ 0)
3330, 32recidd 12036 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (1 / 𝐶)) = 1)
3429, 33eqtrd 2775 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 ·e (1 / 𝐶)) = 1)
3534oveq2d 7447 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ·e (𝐶 ·e (1 / 𝐶))) = (𝐴 ·e 1))
36 xmulrid 13318 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)
377, 36syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)
3824, 35, 373eqtrd 2779 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) = 𝐴)
39 xmulass 13326 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ* ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ*) → ((𝐵 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) = (𝐵 ·e (𝐶 ·e (1 / 𝐶))))
4011, 8, 17, 39syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) = (𝐵 ·e (𝐶 ·e (1 / 𝐶))))
4134oveq2d 7447 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 ·e (𝐶 ·e (1 / 𝐶))) = (𝐵 ·e 1))
42 xmulrid 13318 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 ·e 1) = 𝐵)
4311, 42syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 ·e 1) = 𝐵)
4440, 41, 433eqtrd 2779 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) = 𝐵)
4538, 44breq12d 5161 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) ≤ ((𝐵 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) ↔ 𝐴𝐵))
4622, 45sylibd 239 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶) → 𝐴𝐵))
476, 46impbid 212 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158  *cxr 11292  cle 11294   / cdiv 11918  +crp 13032   ·e cxmu 13151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xmul 13154
This theorem is referenced by:  xlemul2  13330  xltmul1  13331  nmoleub2lem  25161  xrmulc1cn  33891
  Copyright terms: Public domain W3C validator