Theorem xnegre 41171

Description: An extended real is real if and only if its extended negative is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
xnegre	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ↔ -𝑒𝐴 ∈ ℝ))

Proof of Theorem xnegre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnegrecl 41141	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantl 474	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
3		xnegrecl2 41165	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	impbida 788	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ↔ -𝑒𝐴 ∈ ℝ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∈ wcel 2050  ℝcr 10334  ℝ^*cxr 10473  -_𝑒cxne 12321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-po 5326  df-so 5327  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-sub 10672  df-neg 10673  df-xneg 12324

This theorem is referenced by:  xnegred  41175