Theorem xnegred 45454

Description: An extended real is real if and only if its extended negative is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
xnegred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xnegred	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ -𝑒𝐴 ∈ ℝ))

Proof of Theorem xnegred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnegred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xnegre 45450	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ↔ -𝑒𝐴 ∈ ℝ))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ -𝑒𝐴 ∈ ℝ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2108  ℝcr 11150  ℝ^*cxr 11290  -_𝑒cxne 13147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-er 8741  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-sub 11490  df-neg 11491  df-xneg 13150

This theorem is referenced by:  liminfreuzlem  45790