Theorem xpscf 17276

Description: Equivalent condition for the pair function to be a proper function on 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpscf	⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}:2o⟶𝐴 ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem xpscf

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifid 4499	. . . . . 6 ⊢ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) = 𝐴
2	1	eleq2i 2830	. . . . 5 ⊢ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) ↔ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ 𝐴)
3	2	ralbii 3092	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) ↔ ∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ 𝐴)
4	3	anbi2i 623	. . 3 ⊢ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴)) ↔ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ 𝐴))
5		df-3an 1088	. . . 4 ⊢ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ V ∧ {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴)) ↔ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ V ∧ {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o) ∧ ∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴)))
6		elixp2 8689	. . . 4 ⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) ↔ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ V ∧ {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴)))
7		2onn 8472	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ ω
8		fnex 7093	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ 2o ∈ ω) → {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ V)
9	7, 8	mpan2 688	. . . . . 6 ⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o → {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ V)
10	9	pm4.71ri 561	. . . . 5 ⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ↔ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ V ∧ {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o))
11	10	anbi1i 624	. . . 4 ⊢ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴)) ↔ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ V ∧ {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o) ∧ ∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴)))
12	5, 6, 11	3bitr4i 303	. . 3 ⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) ↔ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴)))
13		ffnfv 6992	. . 3 ⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}:2o⟶𝐴 ↔ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ 𝐴))
14	4, 12, 13	3bitr4i 303	. 2 ⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) ↔ {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}:2o⟶𝐴)
15		xpsfrnel2 17275	. 2 ⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴))
16	14, 15	bitr3i 276	1 ⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}:2o⟶𝐴 ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  Vcvv 3432  ∅c0 4256  ifcif 4459  {cpr 4563  ⟨cop 4567   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  ωcom 7712  1_oc1o 8290  2_oc2o 8291  Xcixp 8685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-om 7713  df-1o 8297  df-2o 8298  df-ixp 8686  df-en 8734  df-fin 8737

This theorem is referenced by:  xpsmnd  18425  xpsgrp  18694  dmdprdpr  19652  dprdpr  19653  xpstopnlem1  22960  xpstps  22961  xpsxms  23690  xpsms  23691