Theorem xpscf 16612

Description: Equivalent condition for the pair function to be a proper function on 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpscf	⊢ (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌}):2o⟶𝐴 ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem xpscf

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifid 4346	. . . . . 6 ⊢ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) = 𝐴
2	1	eleq2i 2851	. . . . 5 ⊢ ((◡({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) ↔ (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘𝑘) ∈ 𝐴)
3	2	ralbii 3162	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ 2o (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) ↔ ∀𝑘 ∈ 2o (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘𝑘) ∈ 𝐴)
4	3	anbi2i 616	. . 3 ⊢ ((◡({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴)) ↔ (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘𝑘) ∈ 𝐴))
5		ovex 6954	. . . . 5 ⊢ ({𝑋} +𝑐 {𝑌}) ∈ V
6	5	cnvex 7392	. . . 4 ⊢ ◡({𝑋} +𝑐 {𝑌}) ∈ V
7	6	elixp 8201	. . 3 ⊢ (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌}) ∈ X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) ↔ (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴)))
8		ffnfv 6652	. . 3 ⊢ (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌}):2o⟶𝐴 ↔ (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘𝑘) ∈ 𝐴))
9	4, 7, 8	3bitr4i 295	. 2 ⊢ (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌}) ∈ X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) ↔ ◡({𝑋} +𝑐 {𝑌}):2o⟶𝐴)
10		xpsfrnel2 16611	. 2 ⊢ (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌}) ∈ X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴))
11	9, 10	bitr3i 269	1 ⊢ (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌}):2o⟶𝐴 ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ∀wral 3090  ∅c0 4141  ifcif 4307  {csn 4398  ^◡ccnv 5354   Fn wfn 6130  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  2_oc2o 7837  Xcixp 8194   +_𝑐 ccda 9324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-cda 9325

This theorem is referenced by:  xpsmnd  17716  xpsgrp  17921  dmdprdpr  18835  dprdpr  18836  xpstopnlem1  22021  xpstps  22022  xpsxms  22747  xpsms  22748