Theorem xpscf 17737

Description: Equivalent condition for the pair function to be a proper function on 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpscf	⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}:2o⟶𝐴 ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem xpscf

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifid 4523	. . . . . 6 ⊢ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) = 𝐴
2	1	eleq2i 2853	. . . . 5 ⊢ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) ↔ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ 𝐴)
3	2	ralbii 3109	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) ↔ ∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ 𝐴)
4	3	anbi2i 635	. . 3 ⊢ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴)) ↔ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ 𝐴))
5		df-3an 1105	. . . 4 ⊢ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ V ∧ {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴)) ↔ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ V ∧ {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o) ∧ ∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴)))
6		elixp2 8929	. . . 4 ⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) ↔ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ V ∧ {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴)))
7		2onn 8651	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ ω
8		fnex 7223	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ 2o ∈ ω) → {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ V)
9	7, 8	mpan2 704	. . . . . 6 ⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o → {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ V)
10	9	pm4.71ri 570	. . . . 5 ⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ↔ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ V ∧ {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o))
11	10	anbi1i 636	. . . 4 ⊢ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴)) ↔ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ V ∧ {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o) ∧ ∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴)))
12	5, 6, 11	3bitr4i 306	. . 3 ⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) ↔ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴)))
13		ffnfv 7119	. . 3 ⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}:2o⟶𝐴 ↔ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ 𝐴))
14	4, 12, 13	3bitr4i 306	. 2 ⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) ↔ {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}:2o⟶𝐴)
15		xpsfrnel2 17736	. 2 ⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴))
16	14, 15	bitr3i 280	1 ⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}:2o⟶𝐴 ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  Vcvv 3451  ∅c0 4279  ifcif 4482  {cpr 4586  ⟨cop 4590   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  ωcom 7877  1_oc1o 8469  2_oc2o 8470  Xcixp 8925

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-om 7878  df-1o 8476  df-2o 8477  df-ixp 8926  df-en 8974  df-fin 8977

This theorem is used by:  xpsmnd  18971  xpsgrp  19269  dmdprdpr  20265  dprdpr  20266  xpsrngd  20401  xpsringd  20562  xpstopnlem1  24128  xpstps  24129  xpsxms  24853  xpsms  24854