Theorem xpscf 17584

Description: Equivalent condition for the pair function to be a proper function on 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpscf	⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}:2o⟶𝐴 ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem xpscf

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifid 4546	. . . . . 6 ⊢ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) = 𝐴
2	1	eleq2i 2827	. . . . 5 ⊢ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) ↔ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ 𝐴)
3	2	ralbii 3083	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) ↔ ∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ 𝐴)
4	3	anbi2i 623	. . 3 ⊢ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴)) ↔ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ 𝐴))
5		df-3an 1088	. . . 4 ⊢ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ V ∧ {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴)) ↔ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ V ∧ {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o) ∧ ∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴)))
6		elixp2 8920	. . . 4 ⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) ↔ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ V ∧ {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴)))
7		2onn 8659	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ ω
8		fnex 7214	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ 2o ∈ ω) → {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ V)
9	7, 8	mpan2 691	. . . . . 6 ⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o → {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ V)
10	9	pm4.71ri 560	. . . . 5 ⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ↔ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ V ∧ {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o))
11	10	anbi1i 624	. . . 4 ⊢ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴)) ↔ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ V ∧ {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o) ∧ ∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴)))
12	5, 6, 11	3bitr4i 303	. . 3 ⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) ↔ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴)))
13		ffnfv 7114	. . 3 ⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}:2o⟶𝐴 ↔ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ 𝐴))
14	4, 12, 13	3bitr4i 303	. 2 ⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) ↔ {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}:2o⟶𝐴)
15		xpsfrnel2 17583	. 2 ⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴))
16	14, 15	bitr3i 277	1 ⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}:2o⟶𝐴 ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  Vcvv 3464  ∅c0 4313  ifcif 4505  {cpr 4608  ⟨cop 4612   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  ωcom 7866  1_oc1o 8478  2_oc2o 8479  Xcixp 8916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7867  df-1o 8485  df-2o 8486  df-ixp 8917  df-en 8965  df-fin 8968

This theorem is referenced by:  xpsmnd  18760  xpsgrp  19047  dmdprdpr  20037  dprdpr  20038  xpsrngd  20144  xpsringd  20297  xpstopnlem1  23752  xpstps  23753  xpsxms  24478  xpsms  24479