Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xreceu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xreceu 31820
Description: Existential uniqueness of reciprocals. Theorem I.8 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
xreceu ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต

Proof of Theorem xreceu
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ressxr 11206 . . . 4 โ„ โŠ† โ„*
2 xrecex 31818 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = 1)
323adant1 1131 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = 1)
4 ssrexv 4016 . . . 4 (โ„ โŠ† โ„* โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = 1))
51, 3, 4mpsyl 68 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = 1)
6 simprl 770 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„* โˆง (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„*)
7 simpll 766 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„* โˆง (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
86, 7xmulcld 13228 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„* โˆง (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (๐‘ฆ ยทe ๐ด) โˆˆ โ„*)
9 oveq1 7369 . . . . . . . 8 ((๐ต ยทe ๐‘ฆ) = 1 โ†’ ((๐ต ยทe ๐‘ฆ) ยทe ๐ด) = (1 ยทe ๐ด))
109ad2antll 728 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„* โˆง (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ((๐ต ยทe ๐‘ฆ) ยทe ๐ด) = (1 ยทe ๐ด))
11 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„* โˆง (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1211rexrd 11212 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„* โˆง (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
13 xmulass 13213 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐ต ยทe ๐‘ฆ) ยทe ๐ด) = (๐ต ยทe (๐‘ฆ ยทe ๐ด)))
1412, 6, 7, 13syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„* โˆง (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ((๐ต ยทe ๐‘ฆ) ยทe ๐ด) = (๐ต ยทe (๐‘ฆ ยทe ๐ด)))
15 xmulid2 13206 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (1 ยทe ๐ด) = ๐ด)
167, 15syl 17 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„* โˆง (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (1 ยทe ๐ด) = ๐ด)
1710, 14, 163eqtr3d 2785 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„* โˆง (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (๐ต ยทe (๐‘ฆ ยทe ๐ด)) = ๐ด)
18 oveq2 7370 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทe ๐ด) โ†’ (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = (๐ต ยทe (๐‘ฆ ยทe ๐ด)))
1918eqeq1d 2739 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทe ๐ด) โ†’ ((๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด โ†” (๐ต ยทe (๐‘ฆ ยทe ๐ด)) = ๐ด))
2019rspcev 3584 . . . . . 6 (((๐‘ฆ ยทe ๐ด) โˆˆ โ„* โˆง (๐ต ยทe (๐‘ฆ ยทe ๐ด)) = ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด)
218, 17, 20syl2anc 585 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„* โˆง (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด)
2221rexlimdvaa 3154 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด))
23223adant3 1133 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด))
245, 23mpd 15 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด)
25 eqtr3 2763 . . . . . . 7 (((๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด โˆง (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = ๐ด) โ†’ (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = (๐ต ยทe ๐‘ฆ))
26 simp1 1137 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„* โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„*)
27 simp2 1138 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„* โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„*)
28 simp3l 1202 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„* โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
29 simp3r 1203 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„* โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ต โ‰  0)
3026, 27, 28, 29xmulcand 31819 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„* โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ต ยทe ๐‘ฅ) = (๐ต ยทe ๐‘ฆ) โ†” ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
3125, 30imbitrid 243 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„* โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (((๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด โˆง (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = ๐ด) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
32313expa 1119 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„* โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„*) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (((๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด โˆง (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = ๐ด) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
3332expcom 415 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„* โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„*) โ†’ (((๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด โˆง (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = ๐ด) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)))
34333adant1 1131 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„* โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„*) โ†’ (((๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด โˆง (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = ๐ด) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)))
3534ralrimivv 3196 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„* โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„* (((๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด โˆง (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = ๐ด) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
36 oveq2 7370 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = (๐ต ยทe ๐‘ฆ))
3736eqeq1d 2739 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด โ†” (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = ๐ด))
3837reu4 3694 . 2 (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„* โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„* (((๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด โˆง (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = ๐ด) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)))
3924, 35, 38sylanbrc 584 1 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  โˆ€wral 3065  โˆƒwrex 3074  โˆƒ!wreu 3354   โŠ† wss 3915  (class class class)co 7362  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059  โ„*cxr 11195   ยทe cxmu 13039
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-xneg 13040  df-xmul 13042
This theorem is referenced by:  xdivcld  31821  xdivmul  31823  rexdiv  31824  xrmulc1cn  32551
  Copyright terms: Public domain W3C validator