Theorem xreceu 31196

Description: Existential uniqueness of reciprocals. Theorem I.8 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
xreceu	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem xreceu

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressxr 11019	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
2		xrecex 31194	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)
3	2	3adant1 1129	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)
4		ssrexv 3988	. . . 4 ⊢ (ℝ ⊆ ℝ* → (∃𝑦 ∈ ℝ (𝐵 ·e 𝑦) = 1 → ∃𝑦 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑦) = 1))
5	1, 3, 4	mpsyl 68	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑦) = 1)
6		simprl 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
7		simpll 764	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8	6, 7	xmulcld 13036	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)) → (𝑦 ·e 𝐴) ∈ ℝ*)
9		oveq1 7282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ·e 𝑦) = 1 → ((𝐵 ·e 𝑦) ·e 𝐴) = (1 ·e 𝐴))
10	9	ad2antll 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)) → ((𝐵 ·e 𝑦) ·e 𝐴) = (1 ·e 𝐴))
11		simplr 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
12	11	rexrd 11025	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13		xmulass 13021	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐵 ·e 𝑦) ·e 𝐴) = (𝐵 ·e (𝑦 ·e 𝐴)))
14	12, 6, 7, 13	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)) → ((𝐵 ·e 𝑦) ·e 𝐴) = (𝐵 ·e (𝑦 ·e 𝐴)))
15		xmulid2 13014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (1 ·e 𝐴) = 𝐴)
16	7, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)) → (1 ·e 𝐴) = 𝐴)
17	10, 14, 16	3eqtr3d 2786	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)) → (𝐵 ·e (𝑦 ·e 𝐴)) = 𝐴)
18		oveq2 7283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ·e 𝐴) → (𝐵 ·e 𝑥) = (𝐵 ·e (𝑦 ·e 𝐴)))
19	18	eqeq1d 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ·e 𝐴) → ((𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 ·e (𝑦 ·e 𝐴)) = 𝐴))
20	19	rspcev 3561	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ·e 𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e (𝑦 ·e 𝐴)) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴)
21	8, 17, 20	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴)
22	21	rexlimdvaa 3214	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑦) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴))
23	22	3adant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (∃𝑦 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑦) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴))
24	5, 23	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴)
25		eqtr3 2764	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 𝐴) → (𝐵 ·e 𝑥) = (𝐵 ·e 𝑦))
26		simp1 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
27		simp2 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
28		simp3l 1200	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℝ)
29		simp3r 1201	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ≠ 0)
30	26, 27, 28, 29	xmulcand 31195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐵 ·e 𝑥) = (𝐵 ·e 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
31	25, 30	syl5ib 243	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
32	31	3expa 1117	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
33	32	expcom 414	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (((𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦)))
34	33	3adant1 1129	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (((𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦)))
35	34	ralrimivv 3122	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (((𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
36		oveq2 7283	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ·e 𝑥) = (𝐵 ·e 𝑦))
37	36	eqeq1d 2740	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 ·e 𝑦) = 𝐴))
38	37	reu4 3666	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (((𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦)))
39	24, 35, 38	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  ∃!wreu 3066   ⊆ wss 3887  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872  ℝ^*cxr 11008   ·_e cxmu 12847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-xneg 12848  df-xmul 12850

This theorem is referenced by:  xdivcld  31197  xdivmul  31199  rexdiv  31200  xrmulc1cn  31880