Theorem xreceu 32088

Description: Existential uniqueness of reciprocals. Theorem I.8 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
xreceu	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem xreceu

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressxr 11258	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
2		xrecex 32086	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)
3	2	3adant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)
4		ssrexv 4052	. . . 4 ⊢ (ℝ ⊆ ℝ* → (∃𝑦 ∈ ℝ (𝐵 ·e 𝑦) = 1 → ∃𝑦 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑦) = 1))
5	1, 3, 4	mpsyl 68	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑦) = 1)
6		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
7		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8	6, 7	xmulcld 13281	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)) → (𝑦 ·e 𝐴) ∈ ℝ*)
9		oveq1 7416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ·e 𝑦) = 1 → ((𝐵 ·e 𝑦) ·e 𝐴) = (1 ·e 𝐴))
10	9	ad2antll 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)) → ((𝐵 ·e 𝑦) ·e 𝐴) = (1 ·e 𝐴))
11		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
12	11	rexrd 11264	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13		xmulass 13266	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐵 ·e 𝑦) ·e 𝐴) = (𝐵 ·e (𝑦 ·e 𝐴)))
14	12, 6, 7, 13	syl3anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)) → ((𝐵 ·e 𝑦) ·e 𝐴) = (𝐵 ·e (𝑦 ·e 𝐴)))
15		xmullid 13259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (1 ·e 𝐴) = 𝐴)
16	7, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)) → (1 ·e 𝐴) = 𝐴)
17	10, 14, 16	3eqtr3d 2781	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)) → (𝐵 ·e (𝑦 ·e 𝐴)) = 𝐴)
18		oveq2 7417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ·e 𝐴) → (𝐵 ·e 𝑥) = (𝐵 ·e (𝑦 ·e 𝐴)))
19	18	eqeq1d 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ·e 𝐴) → ((𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 ·e (𝑦 ·e 𝐴)) = 𝐴))
20	19	rspcev 3613	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ·e 𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e (𝑦 ·e 𝐴)) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴)
21	8, 17, 20	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴)
22	21	rexlimdvaa 3157	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑦) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴))
23	22	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (∃𝑦 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑦) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴))
24	5, 23	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴)
25		eqtr3 2759	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 𝐴) → (𝐵 ·e 𝑥) = (𝐵 ·e 𝑦))
26		simp1 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
27		simp2 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
28		simp3l 1202	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℝ)
29		simp3r 1203	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ≠ 0)
30	26, 27, 28, 29	xmulcand 32087	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐵 ·e 𝑥) = (𝐵 ·e 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
31	25, 30	imbitrid 243	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
32	31	3expa 1119	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
33	32	expcom 415	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (((𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦)))
34	33	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (((𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦)))
35	34	ralrimivv 3199	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (((𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
36		oveq2 7417	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ·e 𝑥) = (𝐵 ·e 𝑦))
37	36	eqeq1d 2735	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 ·e 𝑦) = 𝐴))
38	37	reu4 3728	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (((𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦)))
39	24, 35, 38	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  ∃!wreu 3375   ⊆ wss 3949  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111  ℝ^*cxr 11247   ·_e cxmu 13091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-xneg 13092  df-xmul 13094

This theorem is referenced by:  xdivcld  32089  xdivmul  32091  rexdiv  32092  xrmulc1cn  32910