Theorem xreceu 30624

Description: Existential uniqueness of reciprocals. Theorem I.8 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
xreceu	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem xreceu

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressxr 10674	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
2		xrecex 30622	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)
3	2	3adant1 1127	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)
4		ssrexv 3982	. . . 4 ⊢ (ℝ ⊆ ℝ* → (∃𝑦 ∈ ℝ (𝐵 ·e 𝑦) = 1 → ∃𝑦 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑦) = 1))
5	1, 3, 4	mpsyl 68	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑦) = 1)
6		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
7		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8	6, 7	xmulcld 12683	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)) → (𝑦 ·e 𝐴) ∈ ℝ*)
9		oveq1 7142	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ·e 𝑦) = 1 → ((𝐵 ·e 𝑦) ·e 𝐴) = (1 ·e 𝐴))
10	9	ad2antll 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)) → ((𝐵 ·e 𝑦) ·e 𝐴) = (1 ·e 𝐴))
11		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
12	11	rexrd 10680	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13		xmulass 12668	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐵 ·e 𝑦) ·e 𝐴) = (𝐵 ·e (𝑦 ·e 𝐴)))
14	12, 6, 7, 13	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)) → ((𝐵 ·e 𝑦) ·e 𝐴) = (𝐵 ·e (𝑦 ·e 𝐴)))
15		xmulid2 12661	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (1 ·e 𝐴) = 𝐴)
16	7, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)) → (1 ·e 𝐴) = 𝐴)
17	10, 14, 16	3eqtr3d 2841	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)) → (𝐵 ·e (𝑦 ·e 𝐴)) = 𝐴)
18		oveq2 7143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ·e 𝐴) → (𝐵 ·e 𝑥) = (𝐵 ·e (𝑦 ·e 𝐴)))
19	18	eqeq1d 2800	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ·e 𝐴) → ((𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 ·e (𝑦 ·e 𝐴)) = 𝐴))
20	19	rspcev 3571	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ·e 𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e (𝑦 ·e 𝐴)) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴)
21	8, 17, 20	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴)
22	21	rexlimdvaa 3244	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑦) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴))
23	22	3adant3 1129	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (∃𝑦 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑦) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴))
24	5, 23	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴)
25		eqtr3 2820	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 𝐴) → (𝐵 ·e 𝑥) = (𝐵 ·e 𝑦))
26		simp1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
27		simp2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
28		simp3l 1198	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℝ)
29		simp3r 1199	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ≠ 0)
30	26, 27, 28, 29	xmulcand 30623	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐵 ·e 𝑥) = (𝐵 ·e 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
31	25, 30	syl5ib 247	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
32	31	3expa 1115	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
33	32	expcom 417	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (((𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦)))
34	33	3adant1 1127	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (((𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦)))
35	34	ralrimivv 3155	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (((𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
36		oveq2 7143	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ·e 𝑥) = (𝐵 ·e 𝑦))
37	36	eqeq1d 2800	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 ·e 𝑦) = 𝐴))
38	37	reu4 3670	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (((𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦)))
39	24, 35, 38	sylanbrc 586	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  ∃!wreu 3108   ⊆ wss 3881  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527  ℝ^*cxr 10663   ·_e cxmu 12494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-xneg 12495  df-xmul 12497

This theorem is referenced by:  xdivcld  30625  xdivmul  30627  rexdiv  30628  xrmulc1cn  31283