Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xreceu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xreceu 32355
Description: Existential uniqueness of reciprocals. Theorem I.8 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
xreceu ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต

Proof of Theorem xreceu
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ressxr 11262 . . . 4 โ„ โŠ† โ„*
2 xrecex 32353 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = 1)
323adant1 1128 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = 1)
4 ssrexv 4050 . . . 4 (โ„ โŠ† โ„* โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = 1))
51, 3, 4mpsyl 68 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = 1)
6 simprl 767 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„* โˆง (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„*)
7 simpll 763 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„* โˆง (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
86, 7xmulcld 13285 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„* โˆง (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (๐‘ฆ ยทe ๐ด) โˆˆ โ„*)
9 oveq1 7418 . . . . . . . 8 ((๐ต ยทe ๐‘ฆ) = 1 โ†’ ((๐ต ยทe ๐‘ฆ) ยทe ๐ด) = (1 ยทe ๐ด))
109ad2antll 725 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„* โˆง (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ((๐ต ยทe ๐‘ฆ) ยทe ๐ด) = (1 ยทe ๐ด))
11 simplr 765 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„* โˆง (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1211rexrd 11268 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„* โˆง (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
13 xmulass 13270 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐ต ยทe ๐‘ฆ) ยทe ๐ด) = (๐ต ยทe (๐‘ฆ ยทe ๐ด)))
1412, 6, 7, 13syl3anc 1369 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„* โˆง (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ((๐ต ยทe ๐‘ฆ) ยทe ๐ด) = (๐ต ยทe (๐‘ฆ ยทe ๐ด)))
15 xmullid 13263 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (1 ยทe ๐ด) = ๐ด)
167, 15syl 17 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„* โˆง (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (1 ยทe ๐ด) = ๐ด)
1710, 14, 163eqtr3d 2778 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„* โˆง (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (๐ต ยทe (๐‘ฆ ยทe ๐ด)) = ๐ด)
18 oveq2 7419 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทe ๐ด) โ†’ (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = (๐ต ยทe (๐‘ฆ ยทe ๐ด)))
1918eqeq1d 2732 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทe ๐ด) โ†’ ((๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด โ†” (๐ต ยทe (๐‘ฆ ยทe ๐ด)) = ๐ด))
2019rspcev 3611 . . . . . 6 (((๐‘ฆ ยทe ๐ด) โˆˆ โ„* โˆง (๐ต ยทe (๐‘ฆ ยทe ๐ด)) = ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด)
218, 17, 20syl2anc 582 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„* โˆง (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด)
2221rexlimdvaa 3154 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด))
23223adant3 1130 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด))
245, 23mpd 15 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด)
25 eqtr3 2756 . . . . . . 7 (((๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด โˆง (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = ๐ด) โ†’ (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = (๐ต ยทe ๐‘ฆ))
26 simp1 1134 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„* โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„*)
27 simp2 1135 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„* โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„*)
28 simp3l 1199 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„* โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
29 simp3r 1200 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„* โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ต โ‰  0)
3026, 27, 28, 29xmulcand 32354 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„* โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ต ยทe ๐‘ฅ) = (๐ต ยทe ๐‘ฆ) โ†” ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
3125, 30imbitrid 243 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„* โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (((๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด โˆง (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = ๐ด) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
32313expa 1116 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„* โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„*) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (((๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด โˆง (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = ๐ด) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
3332expcom 412 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„* โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„*) โ†’ (((๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด โˆง (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = ๐ด) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)))
34333adant1 1128 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„* โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„*) โ†’ (((๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด โˆง (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = ๐ด) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)))
3534ralrimivv 3196 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„* โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„* (((๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด โˆง (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = ๐ด) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
36 oveq2 7419 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = (๐ต ยทe ๐‘ฆ))
3736eqeq1d 2732 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด โ†” (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = ๐ด))
3837reu4 3726 . 2 (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„* โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„* (((๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด โˆง (๐ต ยทe ๐‘ฆ) = ๐ด) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)))
3924, 35, 38sylanbrc 581 1 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  โˆ€wral 3059  โˆƒwrex 3068  โˆƒ!wreu 3372   โŠ† wss 3947  (class class class)co 7411  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  โ„*cxr 11251   ยทe cxmu 13095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-xneg 13096  df-xmul 13098
This theorem is referenced by:  xdivcld  32356  xdivmul  32358  rexdiv  32359  xrmulc1cn  33208
  Copyright terms: Public domain W3C validator