Theorem xmulcand 32951

Description: Cancellation law for extended multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
xmulcand.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xmulcand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xmulcand.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
xmulcand.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
xmulcand	⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·e 𝐴) = (𝐶 ·e 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem xmulcand

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmulcand.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		xmulcand.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
3		xrecex 32950	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)
5		oveq2 7364	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ·e 𝐴) = (𝐶 ·e 𝐵) → (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐴)) = (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐵)))
6		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
7	6	rexrd 11180	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
8	1	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → 𝐶 ∈ ℝ)
9	8	rexrd 11180	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
10		xmulcom 13179	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝑥))
11	7, 9, 10	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝑥))
12		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → (𝐶 ·e 𝑥) = 1)
13	11, 12	eqtrd 2769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → (𝑥 ·e 𝐶) = 1)
14	13	oveq1d 7371	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → ((𝑥 ·e 𝐶) ·e 𝐴) = (1 ·e 𝐴))
15		xmulcand.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
16	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
17		xmulass 13200	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ·e 𝐶) ·e 𝐴) = (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐴)))
18	7, 9, 16, 17	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → ((𝑥 ·e 𝐶) ·e 𝐴) = (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐴)))
19		xmullid 13193	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (1 ·e 𝐴) = 𝐴)
20	16, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → (1 ·e 𝐴) = 𝐴)
21	14, 18, 20	3eqtr3d 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐴)) = 𝐴)
22	13	oveq1d 7371	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → ((𝑥 ·e 𝐶) ·e 𝐵) = (1 ·e 𝐵))
23		xmulcand.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
24	23	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
25		xmulass 13200	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ·e 𝐶) ·e 𝐵) = (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐵)))
26	7, 9, 24, 25	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → ((𝑥 ·e 𝐶) ·e 𝐵) = (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐵)))
27		xmullid 13193	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (1 ·e 𝐵) = 𝐵)
28	24, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → (1 ·e 𝐵) = 𝐵)
29	22, 26, 28	3eqtr3d 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐵)) = 𝐵)
30	21, 29	eqeq12d 2750	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → ((𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐴)) = (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐵)) ↔ 𝐴 = 𝐵))
31	5, 30	imbitrid 244	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → ((𝐶 ·e 𝐴) = (𝐶 ·e 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
32	4, 31	rexlimddv 3141	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·e 𝐴) = (𝐶 ·e 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
33		oveq2 7364	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ·e 𝐴) = (𝐶 ·e 𝐵))
34	32, 33	impbid1 225	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·e 𝐴) = (𝐶 ·e 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∃wrex 3058  (class class class)co 7356  ℝcr 11023  0cc0 11024  1c1 11025  ℝ^*cxr 11163   ·_e cxmu 13023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-xneg 13024  df-xmul 13026

This theorem is referenced by:  xreceu  32952