Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xmulcand Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmulcand 32087
Description: Cancellation law for extended multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
xmulcand.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
xmulcand.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
xmulcand.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
xmulcand.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  0)
Assertion
Ref Expression
xmulcand (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยทe ๐ด) = (๐ถ ยทe ๐ต) โ†” ๐ด = ๐ต))

Proof of Theorem xmulcand
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmulcand.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
2 xmulcand.4 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  0)
3 xrecex 32086 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = 1)
41, 2, 3syl2anc 585 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = 1)
5 oveq2 7417 . . . 4 ((๐ถ ยทe ๐ด) = (๐ถ ยทe ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยทe (๐ถ ยทe ๐ด)) = (๐‘ฅ ยทe (๐ถ ยทe ๐ต)))
6 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
76rexrd 11264 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„*)
81adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
98rexrd 11264 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„*)
10 xmulcom 13245 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐‘ฅ ยทe ๐ถ) = (๐ถ ยทe ๐‘ฅ))
117, 9, 10syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (๐‘ฅ ยทe ๐ถ) = (๐ถ ยทe ๐‘ฅ))
12 simprr 772 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = 1)
1311, 12eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (๐‘ฅ ยทe ๐ถ) = 1)
1413oveq1d 7424 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทe ๐ถ) ยทe ๐ด) = (1 ยทe ๐ด))
15 xmulcand.1 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
1615adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
17 xmulass 13266 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐‘ฅ ยทe ๐ถ) ยทe ๐ด) = (๐‘ฅ ยทe (๐ถ ยทe ๐ด)))
187, 9, 16, 17syl3anc 1372 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทe ๐ถ) ยทe ๐ด) = (๐‘ฅ ยทe (๐ถ ยทe ๐ด)))
19 xmullid 13259 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (1 ยทe ๐ด) = ๐ด)
2016, 19syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (1 ยทe ๐ด) = ๐ด)
2114, 18, 203eqtr3d 2781 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (๐‘ฅ ยทe (๐ถ ยทe ๐ด)) = ๐ด)
2213oveq1d 7424 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทe ๐ถ) ยทe ๐ต) = (1 ยทe ๐ต))
23 xmulcand.2 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
2423adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
25 xmulass 13266 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐‘ฅ ยทe ๐ถ) ยทe ๐ต) = (๐‘ฅ ยทe (๐ถ ยทe ๐ต)))
267, 9, 24, 25syl3anc 1372 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทe ๐ถ) ยทe ๐ต) = (๐‘ฅ ยทe (๐ถ ยทe ๐ต)))
27 xmullid 13259 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„* โ†’ (1 ยทe ๐ต) = ๐ต)
2824, 27syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (1 ยทe ๐ต) = ๐ต)
2922, 26, 283eqtr3d 2781 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (๐‘ฅ ยทe (๐ถ ยทe ๐ต)) = ๐ต)
3021, 29eqeq12d 2749 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทe (๐ถ ยทe ๐ด)) = (๐‘ฅ ยทe (๐ถ ยทe ๐ต)) โ†” ๐ด = ๐ต))
315, 30imbitrid 243 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ((๐ถ ยทe ๐ด) = (๐ถ ยทe ๐ต) โ†’ ๐ด = ๐ต))
324, 31rexlimddv 3162 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยทe ๐ด) = (๐ถ ยทe ๐ต) โ†’ ๐ด = ๐ต))
33 oveq2 7417 . 2 (๐ด = ๐ต โ†’ (๐ถ ยทe ๐ด) = (๐ถ ยทe ๐ต))
3432, 33impbid1 224 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยทe ๐ด) = (๐ถ ยทe ๐ต) โ†” ๐ด = ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆƒwrex 3071  (class class class)co 7409  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111  โ„*cxr 11247   ยทe cxmu 13091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-xneg 13092  df-xmul 13094
This theorem is referenced by:  xreceu  32088
  Copyright terms: Public domain W3C validator