Theorem xmulcand 33487

Description: Cancellation law for extended multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
xmulcand.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xmulcand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xmulcand.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
xmulcand.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
xmulcand	⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·e 𝐴) = (𝐶 ·e 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem xmulcand

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmulcand.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		xmulcand.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
3		xrecex 33486	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)
5		oveq2 7428	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ·e 𝐴) = (𝐶 ·e 𝐵) → (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐴)) = (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐵)))
6		simprl 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
7	6	rexrd 11359	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
8	1	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → 𝐶 ∈ ℝ)
9	8	rexrd 11359	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
10		xmulcom 13396	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝑥))
11	7, 9, 10	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝑥))
12		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → (𝐶 ·e 𝑥) = 1)
13	11, 12	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → (𝑥 ·e 𝐶) = 1)
14	13	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → ((𝑥 ·e 𝐶) ·e 𝐴) = (1 ·e 𝐴))
15		xmulcand.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
16	15	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
17		xmulass 13417	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ·e 𝐶) ·e 𝐴) = (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐴)))
18	7, 9, 16, 17	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → ((𝑥 ·e 𝐶) ·e 𝐴) = (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐴)))
19		xmullid 13410	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (1 ·e 𝐴) = 𝐴)
20	16, 19	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → (1 ·e 𝐴) = 𝐴)
21	14, 18, 20	3eqtr3d 2804	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐴)) = 𝐴)
22	13	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → ((𝑥 ·e 𝐶) ·e 𝐵) = (1 ·e 𝐵))
23		xmulcand.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
24	23	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
25		xmulass 13417	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ·e 𝐶) ·e 𝐵) = (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐵)))
26	7, 9, 24, 25	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → ((𝑥 ·e 𝐶) ·e 𝐵) = (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐵)))
27		xmullid 13410	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (1 ·e 𝐵) = 𝐵)
28	24, 27	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → (1 ·e 𝐵) = 𝐵)
29	22, 26, 28	3eqtr3d 2804	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐵)) = 𝐵)
30	21, 29	eqeq12d 2777	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → ((𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐴)) = (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐵)) ↔ 𝐴 = 𝐵))
31	5, 30	imbitrid 247	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → ((𝐶 ·e 𝐴) = (𝐶 ·e 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
32	4, 31	rexlimddv 3170	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·e 𝐴) = (𝐶 ·e 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
33		oveq2 7428	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ·e 𝐴) = (𝐶 ·e 𝐵))
34	32, 33	impbid1 228	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·e 𝐴) = (𝐶 ·e 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201  ℝ^*cxr 11342   ·_e cxmu 13240

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-xneg 13241  df-xmul 13243

This theorem is used by:  xreceu  33488