Theorem xmulcand 33249

Description: Cancellation law for extended multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
xmulcand.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xmulcand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xmulcand.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
xmulcand.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
xmulcand	⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·e 𝐴) = (𝐶 ·e 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem xmulcand

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmulcand.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		xmulcand.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
3		xrecex 33248	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)
5		oveq2 7418	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ·e 𝐴) = (𝐶 ·e 𝐵) → (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐴)) = (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐵)))
6		simprl 782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
7	6	rexrd 11263	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
8	1	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → 𝐶 ∈ ℝ)
9	8	rexrd 11263	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
10		xmulcom 13296	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝑥))
11	7, 9, 10	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝑥))
12		simprr 784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → (𝐶 ·e 𝑥) = 1)
13	11, 12	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → (𝑥 ·e 𝐶) = 1)
14	13	oveq1d 7425	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → ((𝑥 ·e 𝐶) ·e 𝐴) = (1 ·e 𝐴))
15		xmulcand.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
16	15	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
17		xmulass 13317	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ·e 𝐶) ·e 𝐴) = (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐴)))
18	7, 9, 16, 17	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → ((𝑥 ·e 𝐶) ·e 𝐴) = (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐴)))
19		xmullid 13310	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (1 ·e 𝐴) = 𝐴)
20	16, 19	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → (1 ·e 𝐴) = 𝐴)
21	14, 18, 20	3eqtr3d 2806	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐴)) = 𝐴)
22	13	oveq1d 7425	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → ((𝑥 ·e 𝐶) ·e 𝐵) = (1 ·e 𝐵))
23		xmulcand.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
24	23	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
25		xmulass 13317	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ·e 𝐶) ·e 𝐵) = (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐵)))
26	7, 9, 24, 25	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → ((𝑥 ·e 𝐶) ·e 𝐵) = (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐵)))
27		xmullid 13310	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (1 ·e 𝐵) = 𝐵)
28	24, 27	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → (1 ·e 𝐵) = 𝐵)
29	22, 26, 28	3eqtr3d 2806	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐵)) = 𝐵)
30	21, 29	eqeq12d 2779	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → ((𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐴)) = (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐵)) ↔ 𝐴 = 𝐵))
31	5, 30	imbitrid 247	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → ((𝐶 ·e 𝐴) = (𝐶 ·e 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
32	4, 31	rexlimddv 3172	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·e 𝐴) = (𝐶 ·e 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
33		oveq2 7418	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ·e 𝐴) = (𝐶 ·e 𝐵))
34	32, 33	impbid1 228	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·e 𝐴) = (𝐶 ·e 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089  (class class class)co 7410  ℝcr 11103  0cc0 11104  1c1 11105  ℝ^*cxr 11246   ·_e cxmu 13140

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-xneg 13141  df-xmul 13143

This theorem is used by:  xreceu  33250