Theorem xmulcand 31097

Description: Cancellation law for extended multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
xmulcand.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xmulcand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xmulcand.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
xmulcand.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
xmulcand	⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·e 𝐴) = (𝐶 ·e 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem xmulcand

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmulcand.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		xmulcand.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
3		xrecex 31096	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)
5		oveq2 7263	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ·e 𝐴) = (𝐶 ·e 𝐵) → (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐴)) = (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐵)))
6		simprl 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
7	6	rexrd 10956	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
8	1	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → 𝐶 ∈ ℝ)
9	8	rexrd 10956	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
10		xmulcom 12929	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝑥))
11	7, 9, 10	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝑥))
12		simprr 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → (𝐶 ·e 𝑥) = 1)
13	11, 12	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → (𝑥 ·e 𝐶) = 1)
14	13	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → ((𝑥 ·e 𝐶) ·e 𝐴) = (1 ·e 𝐴))
15		xmulcand.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
16	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
17		xmulass 12950	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ·e 𝐶) ·e 𝐴) = (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐴)))
18	7, 9, 16, 17	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → ((𝑥 ·e 𝐶) ·e 𝐴) = (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐴)))
19		xmulid2 12943	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (1 ·e 𝐴) = 𝐴)
20	16, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → (1 ·e 𝐴) = 𝐴)
21	14, 18, 20	3eqtr3d 2786	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐴)) = 𝐴)
22	13	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → ((𝑥 ·e 𝐶) ·e 𝐵) = (1 ·e 𝐵))
23		xmulcand.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
24	23	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
25		xmulass 12950	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ·e 𝐶) ·e 𝐵) = (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐵)))
26	7, 9, 24, 25	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → ((𝑥 ·e 𝐶) ·e 𝐵) = (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐵)))
27		xmulid2 12943	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (1 ·e 𝐵) = 𝐵)
28	24, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → (1 ·e 𝐵) = 𝐵)
29	22, 26, 28	3eqtr3d 2786	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐵)) = 𝐵)
30	21, 29	eqeq12d 2754	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → ((𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐴)) = (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐵)) ↔ 𝐴 = 𝐵))
31	5, 30	syl5ib 243	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → ((𝐶 ·e 𝐴) = (𝐶 ·e 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
32	4, 31	rexlimddv 3219	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·e 𝐴) = (𝐶 ·e 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
33		oveq2 7263	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ·e 𝐴) = (𝐶 ·e 𝐵))
34	32, 33	impbid1 224	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·e 𝐴) = (𝐶 ·e 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803  ℝ^*cxr 10939   ·_e cxmu 12776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-xneg 12777  df-xmul 12779

This theorem is referenced by:  xreceu  31098