Theorem xmulcand 31847

Description: Cancellation law for extended multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
xmulcand.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xmulcand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xmulcand.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
xmulcand.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
xmulcand	⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·e 𝐴) = (𝐶 ·e 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem xmulcand

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmulcand.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		xmulcand.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
3		xrecex 31846	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)
5		oveq2 7370	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ·e 𝐴) = (𝐶 ·e 𝐵) → (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐴)) = (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐵)))
6		simprl 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
7	6	rexrd 11214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
8	1	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → 𝐶 ∈ ℝ)
9	8	rexrd 11214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
10		xmulcom 13195	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝑥))
11	7, 9, 10	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝑥))
12		simprr 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → (𝐶 ·e 𝑥) = 1)
13	11, 12	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → (𝑥 ·e 𝐶) = 1)
14	13	oveq1d 7377	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → ((𝑥 ·e 𝐶) ·e 𝐴) = (1 ·e 𝐴))
15		xmulcand.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
16	15	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
17		xmulass 13216	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ·e 𝐶) ·e 𝐴) = (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐴)))
18	7, 9, 16, 17	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → ((𝑥 ·e 𝐶) ·e 𝐴) = (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐴)))
19		xmullid 13209	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (1 ·e 𝐴) = 𝐴)
20	16, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → (1 ·e 𝐴) = 𝐴)
21	14, 18, 20	3eqtr3d 2779	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐴)) = 𝐴)
22	13	oveq1d 7377	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → ((𝑥 ·e 𝐶) ·e 𝐵) = (1 ·e 𝐵))
23		xmulcand.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
24	23	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
25		xmulass 13216	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ·e 𝐶) ·e 𝐵) = (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐵)))
26	7, 9, 24, 25	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → ((𝑥 ·e 𝐶) ·e 𝐵) = (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐵)))
27		xmullid 13209	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (1 ·e 𝐵) = 𝐵)
28	24, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → (1 ·e 𝐵) = 𝐵)
29	22, 26, 28	3eqtr3d 2779	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐵)) = 𝐵)
30	21, 29	eqeq12d 2747	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → ((𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐴)) = (𝑥 ·e (𝐶 ·e 𝐵)) ↔ 𝐴 = 𝐵))
31	5, 30	imbitrid 243	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ·e 𝑥) = 1)) → ((𝐶 ·e 𝐴) = (𝐶 ·e 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
32	4, 31	rexlimddv 3154	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·e 𝐴) = (𝐶 ·e 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
33		oveq2 7370	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ·e 𝐴) = (𝐶 ·e 𝐵))
34	32, 33	impbid1 224	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·e 𝐴) = (𝐶 ·e 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  ∃wrex 3069  (class class class)co 7362  ℝcr 11059  0cc0 11060  1c1 11061  ℝ^*cxr 11197   ·_e cxmu 13041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-xneg 13042  df-xmul 13044

This theorem is referenced by:  xreceu  31848