Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xmulcand Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmulcand 32125
Description: Cancellation law for extended multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
xmulcand.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
xmulcand.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
xmulcand.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
xmulcand.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  0)
Assertion
Ref Expression
xmulcand (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยทe ๐ด) = (๐ถ ยทe ๐ต) โ†” ๐ด = ๐ต))

Proof of Theorem xmulcand
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmulcand.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
2 xmulcand.4 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  0)
3 xrecex 32124 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = 1)
41, 2, 3syl2anc 584 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = 1)
5 oveq2 7419 . . . 4 ((๐ถ ยทe ๐ด) = (๐ถ ยทe ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยทe (๐ถ ยทe ๐ด)) = (๐‘ฅ ยทe (๐ถ ยทe ๐ต)))
6 simprl 769 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
76rexrd 11266 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„*)
81adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
98rexrd 11266 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„*)
10 xmulcom 13247 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐‘ฅ ยทe ๐ถ) = (๐ถ ยทe ๐‘ฅ))
117, 9, 10syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (๐‘ฅ ยทe ๐ถ) = (๐ถ ยทe ๐‘ฅ))
12 simprr 771 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = 1)
1311, 12eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (๐‘ฅ ยทe ๐ถ) = 1)
1413oveq1d 7426 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทe ๐ถ) ยทe ๐ด) = (1 ยทe ๐ด))
15 xmulcand.1 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
1615adantr 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
17 xmulass 13268 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐‘ฅ ยทe ๐ถ) ยทe ๐ด) = (๐‘ฅ ยทe (๐ถ ยทe ๐ด)))
187, 9, 16, 17syl3anc 1371 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทe ๐ถ) ยทe ๐ด) = (๐‘ฅ ยทe (๐ถ ยทe ๐ด)))
19 xmullid 13261 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (1 ยทe ๐ด) = ๐ด)
2016, 19syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (1 ยทe ๐ด) = ๐ด)
2114, 18, 203eqtr3d 2780 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (๐‘ฅ ยทe (๐ถ ยทe ๐ด)) = ๐ด)
2213oveq1d 7426 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทe ๐ถ) ยทe ๐ต) = (1 ยทe ๐ต))
23 xmulcand.2 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
2423adantr 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
25 xmulass 13268 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐‘ฅ ยทe ๐ถ) ยทe ๐ต) = (๐‘ฅ ยทe (๐ถ ยทe ๐ต)))
267, 9, 24, 25syl3anc 1371 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทe ๐ถ) ยทe ๐ต) = (๐‘ฅ ยทe (๐ถ ยทe ๐ต)))
27 xmullid 13261 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„* โ†’ (1 ยทe ๐ต) = ๐ต)
2824, 27syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (1 ยทe ๐ต) = ๐ต)
2922, 26, 283eqtr3d 2780 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (๐‘ฅ ยทe (๐ถ ยทe ๐ต)) = ๐ต)
3021, 29eqeq12d 2748 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทe (๐ถ ยทe ๐ด)) = (๐‘ฅ ยทe (๐ถ ยทe ๐ต)) โ†” ๐ด = ๐ต))
315, 30imbitrid 243 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ((๐ถ ยทe ๐ด) = (๐ถ ยทe ๐ต) โ†’ ๐ด = ๐ต))
324, 31rexlimddv 3161 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยทe ๐ด) = (๐ถ ยทe ๐ต) โ†’ ๐ด = ๐ต))
33 oveq2 7419 . 2 (๐ด = ๐ต โ†’ (๐ถ ยทe ๐ด) = (๐ถ ยทe ๐ต))
3432, 33impbid1 224 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยทe ๐ด) = (๐ถ ยทe ๐ต) โ†” ๐ด = ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆƒwrex 3070  (class class class)co 7411  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  โ„*cxr 11249   ยทe cxmu 13093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-xneg 13094  df-xmul 13096
This theorem is referenced by:  xreceu  32126
  Copyright terms: Public domain W3C validator