MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrge0f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0f 25766
Description: A real function is a nonnegative extended real function if all its values are greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
xrge0f ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝r𝐹) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))

Proof of Theorem xrge0f
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffn 6736 . . 3 (𝐹:ℝ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℝ)
21adantr 480 . 2 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝r𝐹) → 𝐹 Fn ℝ)
3 ax-resscn 11212 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
43a1i 11 . . . . 5 (𝐹:ℝ⟶ℝ → ℝ ⊆ ℂ)
54, 10pledm 25708 . . . 4 (𝐹:ℝ⟶ℝ → (0𝑝r𝐹 ↔ (ℝ × {0}) ∘r𝐹))
6 0re 11263 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
7 fnconstg 6796 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → (ℝ × {0}) Fn ℝ)
86, 7mp1i 13 . . . . 5 (𝐹:ℝ⟶ℝ → (ℝ × {0}) Fn ℝ)
9 reex 11246 . . . . . 6 ℝ ∈ V
109a1i 11 . . . . 5 (𝐹:ℝ⟶ℝ → ℝ ∈ V)
11 inidm 4227 . . . . 5 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
12 c0ex 11255 . . . . . . 7 0 ∈ V
1312fvconst2 7224 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → ((ℝ × {0})‘𝑥) = 0)
1413adantl 481 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ × {0})‘𝑥) = 0)
15 eqidd 2738 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
168, 1, 10, 10, 11, 14, 15ofrfval 7707 . . . 4 (𝐹:ℝ⟶ℝ → ((ℝ × {0}) ∘r𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
17 ffvelcdm 7101 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1817rexrd 11311 . . . . . . 7 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
1918biantrurd 532 . . . . . 6 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥))))
20 elxrge0 13497 . . . . . 6 ((𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
2119, 20bitr4di 289 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞)))
2221ralbidva 3176 . . . 4 (𝐹:ℝ⟶ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞)))
235, 16, 223bitrd 305 . . 3 (𝐹:ℝ⟶ℝ → (0𝑝r𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞)))
2423biimpa 476 . 2 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝r𝐹) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞))
25 ffnfv 7139 . 2 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ↔ (𝐹 Fn ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞)))
262, 24, 25sylanbrc 583 1 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝r𝐹) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  wss 3951  {csn 4626   class class class wbr 5143   × cxp 5683   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  r cofr 7696  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  *cxr 11294  cle 11296  [,]cicc 13390  0𝑝c0p 25704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-i2m1 11223  ax-rnegex 11226  ax-cnre 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-ofr 7698  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-icc 13394  df-0p 25705
This theorem is referenced by:  itg2itg1  25771
  Copyright terms: Public domain W3C validator