Theorem xrge0f 25781

Description: A real function is a nonnegative extended real function if all its values are greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0f	⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))

Proof of Theorem xrge0f

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6737	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℝ)
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐹 Fn ℝ)
3		ax-resscn 11210	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → ℝ ⊆ ℂ)
5	4, 1	0pledm 25722	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → (0𝑝 ∘r ≤ 𝐹 ↔ (ℝ × {0}) ∘r ≤ 𝐹))
6		0re 11261	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
7		fnconstg 6797	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → (ℝ × {0}) Fn ℝ)
8	6, 7	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → (ℝ × {0}) Fn ℝ)
9		reex 11244	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → ℝ ∈ V)
11		inidm 4235	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
12		c0ex 11253	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
13	12	fvconst2 7224	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((ℝ × {0})‘𝑥) = 0)
14	13	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ × {0})‘𝑥) = 0)
15		eqidd 2736	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
16	8, 1, 10, 10, 11, 14, 15	ofrfval 7707	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → ((ℝ × {0}) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
17		ffvelcdm 7101	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
18	17	rexrd 11309	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
19	18	biantrurd 532	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥))))
20		elxrge0 13494	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
21	19, 20	bitr4di 289	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)))
22	21	ralbidva 3174	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)))
23	5, 16, 22	3bitrd 305	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → (0𝑝 ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)))
24	23	biimpa 476	. 2 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
25		ffnfv 7139	. 2 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ↔ (𝐹 Fn ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)))
26	2, 24, 25	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963  {csn 4631   class class class wbr 5148   × cxp 5687   Fn wfn 6558  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∘_r cofr 7696  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153  +∞cpnf 11290  ℝ^*cxr 11292   ≤ cle 11294  [,]cicc 13387  0_𝑝c0p 25718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-i2m1 11221  ax-rnegex 11224  ax-cnre 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-ofr 7698  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-icc 13391  df-0p 25719

This theorem is referenced by:  itg2itg1  25786