Theorem xrge0f 25723

Description: A real function is a nonnegative extended real function if all its values are greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0f	⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))

Proof of Theorem xrge0f

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6662	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℝ)
2	1	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐹 Fn ℝ)
3		ax-resscn 11093	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → ℝ ⊆ ℂ)
5	4, 1	0pledm 25665	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → (0𝑝 ∘r ≤ 𝐹 ↔ (ℝ × {0}) ∘r ≤ 𝐹))
6		0re 11144	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
7		fnconstg 6722	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → (ℝ × {0}) Fn ℝ)
8	6, 7	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → (ℝ × {0}) Fn ℝ)
9		reex 11127	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → ℝ ∈ V)
11		inidm 4162	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
12		c0ex 11136	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
13	12	fvconst2 7155	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((ℝ × {0})‘𝑥) = 0)
14	13	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ × {0})‘𝑥) = 0)
15		eqidd 2741	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
16	8, 1, 10, 10, 11, 14, 15	ofrfval 7637	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → ((ℝ × {0}) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
17		ffvelcdm 7029	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
18	17	rexrd 11193	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
19	18	biantrurd 537	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥))))
20		elxrge0 13408	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
21	19, 20	bitr4di 290	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)))
22	21	ralbidva 3161	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)))
23	5, 16, 22	3bitrd 306	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → (0𝑝 ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)))
24	23	biimpa 477	. 2 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
25		ffnfv 7067	. 2 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ↔ (𝐹 Fn ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)))
26	2, 24, 25	sylanbrc 589	1 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  Vcvv 3432   ⊆ wss 3890  {csn 4562   class class class wbr 5079   × cxp 5623   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ∘_r cofr 7626  ℂcc 11034  ℝcr 11035  0cc0 11036  +∞cpnf 11174  ℝ^*cxr 11176   ≤ cle 11178  [,]cicc 13299  0_𝑝c0p 25661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-i2m1 11104  ax-rnegex 11107  ax-cnre 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-ofr 7628  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-icc 13303  df-0p 25662

This theorem is referenced by:  itg2itg1  25728