Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrge0f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0f 24424
 Description: A real function is a nonnegative extended real function if all its values are greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
xrge0f ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝r𝐹) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))

Proof of Theorem xrge0f
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffn 6499 . . 3 (𝐹:ℝ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℝ)
21adantr 485 . 2 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝r𝐹) → 𝐹 Fn ℝ)
3 ax-resscn 10625 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
43a1i 11 . . . . 5 (𝐹:ℝ⟶ℝ → ℝ ⊆ ℂ)
54, 10pledm 24366 . . . 4 (𝐹:ℝ⟶ℝ → (0𝑝r𝐹 ↔ (ℝ × {0}) ∘r𝐹))
6 0re 10674 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
7 fnconstg 6553 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → (ℝ × {0}) Fn ℝ)
86, 7mp1i 13 . . . . 5 (𝐹:ℝ⟶ℝ → (ℝ × {0}) Fn ℝ)
9 reex 10659 . . . . . 6 ℝ ∈ V
109a1i 11 . . . . 5 (𝐹:ℝ⟶ℝ → ℝ ∈ V)
11 inidm 4124 . . . . 5 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
12 c0ex 10666 . . . . . . 7 0 ∈ V
1312fvconst2 6958 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → ((ℝ × {0})‘𝑥) = 0)
1413adantl 486 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ × {0})‘𝑥) = 0)
15 eqidd 2760 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
168, 1, 10, 10, 11, 14, 15ofrfval 7415 . . . 4 (𝐹:ℝ⟶ℝ → ((ℝ × {0}) ∘r𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
17 ffvelrn 6841 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1817rexrd 10722 . . . . . . 7 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
1918biantrurd 537 . . . . . 6 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥))))
20 elxrge0 12882 . . . . . 6 ((𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
2119, 20bitr4di 293 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞)))
2221ralbidva 3126 . . . 4 (𝐹:ℝ⟶ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞)))
235, 16, 223bitrd 309 . . 3 (𝐹:ℝ⟶ℝ → (0𝑝r𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞)))
2423biimpa 481 . 2 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝r𝐹) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞))
25 ffnfv 6874 . 2 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ↔ (𝐹 Fn ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞)))
262, 24, 25sylanbrc 587 1 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝r𝐹) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∀wral 3071  Vcvv 3410   ⊆ wss 3859  {csn 4523   class class class wbr 5033   × cxp 5523   Fn wfn 6331  ⟶wf 6332  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151   ∘r cofr 7405  ℂcc 10566  ℝcr 10567  0cc0 10568  +∞cpnf 10703  ℝ*cxr 10705   ≤ cle 10707  [,]cicc 12775  0𝑝c0p 24362 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-i2m1 10636  ax-rnegex 10639  ax-cnre 10641 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5431  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-ofr 7407  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-icc 12779  df-0p 24363 This theorem is referenced by:  itg2itg1  24429
 Copyright terms: Public domain W3C validator