MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrge0f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0f 25018
Description: A real function is a nonnegative extended real function if all its values are greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
xrge0f ((𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))

Proof of Theorem xrge0f
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffn 6663 . . 3 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ 𝐹 Fn ℝ)
21adantr 481 . 2 ((𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝐹 Fn ℝ)
3 ax-resscn 11041 . . . . . 6 ℝ βŠ† β„‚
43a1i 11 . . . . 5 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
54, 10pledm 24959 . . . 4 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ (0𝑝 ∘r ≀ 𝐹 ↔ (ℝ Γ— {0}) ∘r ≀ 𝐹))
6 0re 11090 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
7 fnconstg 6725 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ β†’ (ℝ Γ— {0}) Fn ℝ)
86, 7mp1i 13 . . . . 5 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ (ℝ Γ— {0}) Fn ℝ)
9 reex 11075 . . . . . 6 ℝ ∈ V
109a1i 11 . . . . 5 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ ℝ ∈ V)
11 inidm 4176 . . . . 5 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
12 c0ex 11082 . . . . . . 7 0 ∈ V
1312fvconst2 7147 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ((ℝ Γ— {0})β€˜π‘₯) = 0)
1413adantl 482 . . . . 5 ((𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((ℝ Γ— {0})β€˜π‘₯) = 0)
15 eqidd 2738 . . . . 5 ((𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
168, 1, 10, 10, 11, 14, 15ofrfval 7617 . . . 4 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ ((ℝ Γ— {0}) ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
17 ffvelcdm 7027 . . . . . . . 8 ((𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1817rexrd 11138 . . . . . . 7 ((𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
1918biantrurd 533 . . . . . 6 ((𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯))))
20 elxrge0 13302 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
2119, 20bitr4di 288 . . . . 5 ((𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞)))
2221ralbidva 3170 . . . 4 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞)))
235, 16, 223bitrd 304 . . 3 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ (0𝑝 ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞)))
2423biimpa 477 . 2 ((𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞))
25 ffnfv 7060 . 2 (𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ↔ (𝐹 Fn ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞)))
262, 24, 25sylanbrc 583 1 ((𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3062  Vcvv 3443   βŠ† wss 3908  {csn 4584   class class class wbr 5103   Γ— cxp 5628   Fn wfn 6486  βŸΆwf 6487  β€˜cfv 6491  (class class class)co 7349   ∘r cofr 7606  β„‚cc 10982  β„cr 10983  0cc0 10984  +∞cpnf 11119  β„*cxr 11121   ≀ cle 11123  [,]cicc 13195  0𝑝c0p 24955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-i2m1 11052  ax-rnegex 11055  ax-cnre 11057
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5528  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-ofr 7608  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-icc 13199  df-0p 24956
This theorem is referenced by:  itg2itg1  25023
  Copyright terms: Public domain W3C validator