Theorem xrge0f 25133

Description: A real function is a nonnegative extended real function if all its values are greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0f	⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))

Proof of Theorem xrge0f

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6673	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℝ)
2	1	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐹 Fn ℝ)
3		ax-resscn 11117	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → ℝ ⊆ ℂ)
5	4, 1	0pledm 25074	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → (0𝑝 ∘r ≤ 𝐹 ↔ (ℝ × {0}) ∘r ≤ 𝐹))
6		0re 11166	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
7		fnconstg 6735	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → (ℝ × {0}) Fn ℝ)
8	6, 7	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → (ℝ × {0}) Fn ℝ)
9		reex 11151	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → ℝ ∈ V)
11		inidm 4183	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
12		c0ex 11158	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
13	12	fvconst2 7158	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((ℝ × {0})‘𝑥) = 0)
14	13	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ × {0})‘𝑥) = 0)
15		eqidd 2732	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
16	8, 1, 10, 10, 11, 14, 15	ofrfval 7632	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → ((ℝ × {0}) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
17		ffvelcdm 7037	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
18	17	rexrd 11214	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
19	18	biantrurd 533	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥))))
20		elxrge0 13384	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
21	19, 20	bitr4di 288	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)))
22	21	ralbidva 3168	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)))
23	5, 16, 22	3bitrd 304	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → (0𝑝 ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)))
24	23	biimpa 477	. 2 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
25		ffnfv 7071	. 2 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ↔ (𝐹 Fn ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)))
26	2, 24, 25	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3060  Vcvv 3446   ⊆ wss 3913  {csn 4591   class class class wbr 5110   × cxp 5636   Fn wfn 6496  ⟶wf 6497  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362   ∘_r cofr 7621  ℂcc 11058  ℝcr 11059  0cc0 11060  +∞cpnf 11195  ℝ^*cxr 11197   ≤ cle 11199  [,]cicc 13277  0_𝑝c0p 25070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-i2m1 11128  ax-rnegex 11131  ax-cnre 11133

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-ofr 7623  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-icc 13281  df-0p 25071

This theorem is referenced by:  itg2itg1  25138