MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrge0f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0f 25018
Description: A real function is a nonnegative extended real function if all its values are greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
xrge0f ((𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))

Proof of Theorem xrge0f
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffn 6664 . . 3 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ 𝐹 Fn ℝ)
21adantr 482 . 2 ((𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝐹 Fn ℝ)
3 ax-resscn 11042 . . . . . 6 ℝ βŠ† β„‚
43a1i 11 . . . . 5 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
54, 10pledm 24959 . . . 4 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ (0𝑝 ∘r ≀ 𝐹 ↔ (ℝ Γ— {0}) ∘r ≀ 𝐹))
6 0re 11091 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
7 fnconstg 6726 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ β†’ (ℝ Γ— {0}) Fn ℝ)
86, 7mp1i 13 . . . . 5 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ (ℝ Γ— {0}) Fn ℝ)
9 reex 11076 . . . . . 6 ℝ ∈ V
109a1i 11 . . . . 5 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ ℝ ∈ V)
11 inidm 4177 . . . . 5 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
12 c0ex 11083 . . . . . . 7 0 ∈ V
1312fvconst2 7148 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ((ℝ Γ— {0})β€˜π‘₯) = 0)
1413adantl 483 . . . . 5 ((𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((ℝ Γ— {0})β€˜π‘₯) = 0)
15 eqidd 2739 . . . . 5 ((𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
168, 1, 10, 10, 11, 14, 15ofrfval 7618 . . . 4 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ ((ℝ Γ— {0}) ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
17 ffvelcdm 7028 . . . . . . . 8 ((𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1817rexrd 11139 . . . . . . 7 ((𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
1918biantrurd 534 . . . . . 6 ((𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯))))
20 elxrge0 13303 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
2119, 20bitr4di 289 . . . . 5 ((𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞)))
2221ralbidva 3171 . . . 4 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞)))
235, 16, 223bitrd 305 . . 3 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ (0𝑝 ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞)))
2423biimpa 478 . 2 ((𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞))
25 ffnfv 7061 . 2 (𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ↔ (𝐹 Fn ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞)))
262, 24, 25sylanbrc 584 1 ((𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3063  Vcvv 3444   βŠ† wss 3909  {csn 4585   class class class wbr 5104   Γ— cxp 5629   Fn wfn 6487  βŸΆwf 6488  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350   ∘r cofr 7607  β„‚cc 10983  β„cr 10984  0cc0 10985  +∞cpnf 11120  β„*cxr 11122   ≀ cle 11124  [,]cicc 13196  0𝑝c0p 24955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-i2m1 11053  ax-rnegex 11056  ax-cnre 11058
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-ofr 7609  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-icc 13200  df-0p 24956
This theorem is referenced by:  itg2itg1  25023
  Copyright terms: Public domain W3C validator