Theorem xrge0f 25780

Description: A real function is a nonnegative extended real function if all its values are greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0f	⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))

Proof of Theorem xrge0f

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6685	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℝ)
2	1	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐹 Fn ℝ)
3		ax-resscn 11123	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → ℝ ⊆ ℂ)
5	4, 1	0pledm 25722	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → (0𝑝 ∘r ≤ 𝐹 ↔ (ℝ × {0}) ∘r ≤ 𝐹))
6		0re 11176	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
7		fnconstg 6746	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → (ℝ × {0}) Fn ℝ)
8	6, 7	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → (ℝ × {0}) Fn ℝ)
9		reex 11157	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → ℝ ∈ V)
11		inidm 4176	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
12		c0ex 11166	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
13	12	fvconst2 7182	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((ℝ × {0})‘𝑥) = 0)
14	13	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ × {0})‘𝑥) = 0)
15		eqidd 2762	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
16	8, 1, 10, 10, 11, 14, 15	ofrfval 7664	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → ((ℝ × {0}) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
17		ffvelcdm 7056	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
18	17	rexrd 11225	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
19	18	biantrurd 540	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥))))
20		elxrge0 13454	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
21	19, 20	bitr4di 291	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)))
22	21	ralbidva 3182	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)))
23	5, 16, 22	3bitrd 307	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → (0𝑝 ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)))
24	23	biimpa 480	. 2 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
25		ffnfv 7094	. 2 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ↔ (𝐹 Fn ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)))
26	2, 24, 25	sylanbrc 592	1 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  {csn 4579   class class class wbr 5097   × cxp 5641   Fn wfn 6510  ⟶wf 6511  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390   ∘_r cofr 7653  ℂcc 11064  ℝcr 11065  0cc0 11066  +∞cpnf 11206  ℝ^*cxr 11208   ≤ cle 11210  [,]cicc 13345  0_𝑝c0p 25718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-i2m1 11134  ax-rnegex 11137  ax-cnre 11139

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-ofr 7655  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-icc 13349  df-0p 25719

This theorem is referenced by:  itg2itg1  25785