Theorem zellaz 49723

Description: An integer is an extended integer. (Contributed by AV, 24-Oct-2026.)

Assertion

Ref	Expression
zellaz	⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (Z[]l‘𝑆))

Proof of Theorem zellaz

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12736	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		oveq1 7456	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) = (𝐴 + (𝑏 · 𝑆)))
4	3	eqeq2d 2774	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) ↔ 𝐴 = (𝐴 + (𝑏 · 𝑆))))
5		oveq1 7456	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 0 → (𝑏 · 𝑆) = (0 · 𝑆))
6	5	oveq2d 7465	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 0 → (𝐴 + (𝑏 · 𝑆)) = (𝐴 + (0 · 𝑆)))
7	6	eqeq2d 2774	. . 3 ⊢ (𝑏 = 0 → (𝐴 = (𝐴 + (𝑏 · 𝑆)) ↔ 𝐴 = (𝐴 + (0 · 𝑆))))
8		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
9		0zd 12743	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
10		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑆 ∈ ℂ)
11	10	mul02d 11545	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (0 · 𝑆) = 0)
12	11	oveq2d 7465	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 + (0 · 𝑆)) = (𝐴 + 0))
13	2	addridd 11547	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
14	12, 13	eqtr2d 2799	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 = (𝐴 + (0 · 𝑆)))
15	4, 7, 8, 9, 14	2rspcedvdw 3593	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)))
16		ellaz 49720	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ (Z[]l‘𝑆) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)))))
17	16	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (Z[]l‘𝑆) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)))))
18	2, 15, 17	mpbir2and 726	1 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (Z[]l‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  ℂcc 11235  0cc0 11237   + caddc 11240   · cmul 11242  ℤcz 12731  Z[]lclaz 49717

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-po 5564  df-so 5565  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-ov 7452  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-ltxr 11385  df-neg 11581  df-z 12732  df-laz 49718

This theorem is used by:  adcnlaz  49728  lazmulcl  49734  lazcjcl  49735  bru3sqez  49752  ezsubrg  49753