Theorem mul02d 11456

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul02d	⊢ (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem mul02d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mul02 11436	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  0cc0 11152   · cmul 11157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-ltxr 11297

This theorem is referenced by:  mulneg1  11696  mulge0  11778  mul0or  11900  prodgt0  12111  un0mulcl  12557  mul2lt0rgt0  13135  mul2lt0bi  13138  lincmb01cmp  13531  iccf1o  13532  discr1  14274  discr  14275  hashxplem  14468  cshweqrep  14855  remul2  15165  immul2  15172  binomlem  15861  geomulcvg  15908  ntrivcvgfvn0  15931  fprodeq0  16007  fprodeq0g  16026  0fallfac  16069  binomfallfaclem2  16072  efne0  16129  dvds0  16305  pwp1fsum  16424  smumullem  16525  mulgcd  16581  bezoutr1  16602  lcmgcd  16640  qnumgt0  16783  pcexp  16892  vdwapun  17007  vdwlem1  17014  mulgnn0ass  19140  odmulg  19588  torsubg  19886  isabvd  20829  nn0srg  21472  rge0srg  21473  prmirredlem  21500  pzriprnglem8  21516  nmo0  24771  nmoeq0  24772  blcvx  24833  reparphti  25042  reparphtiOLD  25043  pcorevlem  25072  ipcau2  25281  rrxcph  25439  itg1addlem4  25747  itg1addlem4OLD  25748  itg1addlem5  25749  itg1mulc  25753  itg2mulc  25796  dvcmul  25995  dvmptcmul  26016  dvexp3  26030  dvef  26032  dveq0  26053  dv11cn  26054  ply1termlem  26256  plyeq0lem  26263  plypf1  26265  plyaddlem1  26266  plymullem1  26267  coeeulem  26277  coeidlem  26290  coeid3  26293  coemullem  26303  coemulhi  26307  coemulc  26308  dgrco  26329  vieta1lem2  26367  elqaalem2  26376  aalioulem3  26390  taylthlem2  26430  taylthlem2OLD  26431  abelthlem6  26494  pilem2  26510  sinhalfpip  26548  sinhalfpim  26549  coshalfpip  26550  coshalfpim  26551  logtayl  26716  mulcxp  26741  cxpmul2  26745  cxpeq  26814  chordthmlem5  26893  cubic  26906  atans2  26988  atantayl2  26995  leibpi  26999  efrlim  27026  efrlimOLD  27027  scvxcvx  27043  amgm  27048  ftalem5  27134  basellem2  27139  mumul  27238  muinv  27250  dchrn0  27308  dchrinvcl  27311  lgsdirnn0  27402  lgsdinn0  27403  lgsquad2lem2  27443  rpvmasumlem  27545  dchrisum0flblem1  27566  rpvmasum2  27570  ostth2lem2  27692  brbtwn2  28934  axsegconlem1  28946  axpaschlem  28969  axcontlem7  28999  axcontlem8  29000  elntg2  29014  nvz0  30696  ipasslem1  30859  hi01  31124  fprodeq02  32829  constrrtcc  33740  constrsslem  33745  2sqr3minply  33752  xrge0iifhom  33897  indsum  34001  indsumin  34002  eulerpartlemsv2  34339  eulerpartlems  34341  eulerpartlemsv3  34342  eulerpartlemgc  34343  eulerpartlemv  34345  eulerpartlemgs2  34361  sgnmul  34523  plymul02  34539  plymulx0  34540  itgexpif  34599  breprexplemc  34625  breprexp  34626  logdivsqrle  34643  subfacp1lem6  35169  cvxpconn  35226  cvxsconn  35227  fwddifnp1  36146  lcmineqlem10  42019  deg1pow  42122  efne0d  42351  pell1234qrne0  42840  jm2.19lem3  42979  jm2.25  42987  flcidc  43158  relexpmulg  43699  radcnvrat  44309  dvconstbi  44329  binomcxplemnn0  44344  sineq0ALT  44934  fperiodmullem  45253  fprod0  45551  dvsinax  45868  dvasinbx  45875  ioodvbdlimc1lem2  45887  ioodvbdlimc2lem  45889  dvnxpaek  45897  dvnmul  45898  itgsinexplem1  45909  dirkertrigeqlem2  46054  fourierdlem42  46104  fourierdlem83  46144  sqwvfoura  46183  fouriersw  46186  elaa2lem  46188  etransclem15  46204  etransclem24  46213  etransclem35  46224  etransclem46  46235  sigarcol  46819  sharhght  46820  fmtnofac2  47493  rrx2linest  48591  line2x  48603  line2y  48604  itschlc0yqe  48609  itschlc0xyqsol1  48615  itschlc0xyqsol  48616  2itscp  48630  aacllem  49031