Theorem mul02d 10552

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul02d	⊢ (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem mul02d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mul02 10532	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  (class class class)co 6904  ℂcc 10249  0cc0 10251   · cmul 10256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-op 4403  df-uni 4658  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-id 5249  df-po 5262  df-so 5263  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-ov 6907  df-er 8008  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-ltxr 10395

This theorem is referenced by:  mulneg1  10789  mulge0  10869  mul0or  10991  prodgt0  11197  un0mulcl  11653  mul2lt0rgt0  12216  mul2lt0bi  12219  lincmb01cmp  12607  iccf1o  12608  discr1  13293  discr  13294  hashxplem  13508  cshweqrep  13941  remul2  14246  immul2  14253  binomlem  14934  pwm1geoser  14973  geomulcvg  14980  ntrivcvgfvn0  15003  fprodeq0  15077  fprodeq0g  15096  0fallfac  15139  binomfallfaclem2  15142  efne0  15198  dvds0  15373  pwp1fsum  15487  smumullem  15586  mulgcd  15637  bezoutr1  15654  lcmgcd  15692  qnumgt0  15828  pcexp  15934  vdwapun  16048  vdwlem1  16055  mulgnn0ass  17928  odmulg  18323  torsubg  18609  isabvd  19175  nn0srg  20175  rge0srg  20176  prmirredlem  20200  nmo0  22908  nmoeq0  22909  blcvx  22970  reparphti  23165  pcorevlem  23194  ipcau2  23401  rrxcph  23559  itg1addlem4  23864  itg1addlem5  23865  itg1mulc  23869  itg2mulc  23912  dvcmul  24105  dvmptcmul  24125  dvexp3  24139  dvef  24141  dveq0  24161  dv11cn  24162  ply1termlem  24357  plyeq0lem  24364  plypf1  24366  plyaddlem1  24367  plymullem1  24368  coeeulem  24378  coeidlem  24391  coeid3  24394  coemullem  24404  coemulhi  24408  coemulc  24409  dgrco  24429  vieta1lem2  24464  elqaalem2  24473  aalioulem3  24487  taylthlem2  24526  abelthlem6  24588  pilem2  24604  sinhalfpip  24643  sinhalfpim  24644  coshalfpip  24645  coshalfpim  24646  logtayl  24804  mulcxp  24829  cxpmul2  24833  cxpeq  24899  chordthmlem5  24975  cubic  24988  atans2  25070  atantayl2  25077  leibpi  25081  efrlim  25108  scvxcvx  25124  amgm  25129  ftalem5  25215  basellem2  25220  mumul  25319  muinv  25331  dchrn0  25387  dchrinvcl  25390  lgsdirnn0  25481  lgsdinn0  25482  lgsquad2lem2  25522  rpvmasumlem  25588  dchrisum0flblem1  25609  rpvmasum2  25613  ostth2lem2  25735  brbtwn2  26203  axsegconlem1  26215  axpaschlem  26238  axcontlem7  26268  axcontlem8  26269  elntg2  26283  nvz0  28077  ipasslem1  28240  hi01  28507  fprodeq02  30115  xrge0iifhom  30527  indsum  30627  indsumin  30628  eulerpartlemsv2  30964  eulerpartlems  30966  eulerpartlemsv3  30967  eulerpartlemgc  30968  eulerpartlemv  30970  eulerpartlemgs2  30986  sgnmul  31149  plymul02  31169  plymulx0  31170  itgexpif  31232  breprexplemc  31258  breprexp  31259  logdivsqrle  31276  subfacp1lem6  31712  cvxpconn  31769  cvxsconn  31770  fwddifnp1  32810  pell1234qrne0  38260  jm2.19lem3  38400  jm2.25  38408  flcidc  38586  relexpmulg  38842  radcnvrat  39352  dvconstbi  39372  binomcxplemnn0  39387  sineq0ALT  39990  fperiodmullem  40314  fprod0  40622  dvsinax  40921  dvasinbx  40929  ioodvbdlimc1lem2  40941  ioodvbdlimc2lem  40943  dvnxpaek  40951  dvnmul  40952  itgsinexplem1  40963  dirkertrigeqlem2  41109  fourierdlem42  41159  fourierdlem83  41199  sqwvfoura  41238  fouriersw  41241  elaa2lem  41243  etransclem15  41259  etransclem24  41268  etransclem35  41279  etransclem46  41290  sigarcol  41846  sharhght  41847  fmtnofac2  42310  rrx2linest  43295  line2x  43305  line2y  43306  aacllem  43442