Theorem mul02d 11318

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul02d	⊢ (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem mul02d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mul02 11298	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  0cc0 11013   · cmul 11018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7355  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-ltxr 11158

This theorem is referenced by:  mulneg1  11560  mulge0  11642  mul0or  11764  prodgt0  11975  un0mulcl  12422  mul2lt0rgt0  12997  mul2lt0bi  13000  lincmb01cmp  13397  iccf1o  13398  discr1  14148  discr  14149  hashxplem  14342  cshweqrep  14730  remul2  15039  immul2  15046  binomlem  15738  geomulcvg  15785  ntrivcvgfvn0  15808  fprodeq0  15884  fprodeq0g  15903  0fallfac  15946  binomfallfaclem2  15949  efne0d  16006  efne0OLD  16008  dvds0  16184  pwp1fsum  16304  smumullem  16405  mulgcd  16461  bezoutr1  16482  lcmgcd  16520  qnumgt0  16663  pcexp  16773  vdwapun  16888  vdwlem1  16895  mulgnn0ass  19025  odmulg  19470  torsubg  19768  isabvd  20729  nn0srg  21376  rge0srg  21377  prmirredlem  21411  pzriprnglem8  21427  nmo0  24651  nmoeq0  24652  blcvx  24714  reparphti  24924  reparphtiOLD  24925  pcorevlem  24954  ipcau2  25162  rrxcph  25320  itg1addlem4  25628  itg1addlem5  25629  itg1mulc  25633  itg2mulc  25676  dvcmul  25875  dvmptcmul  25896  dvexp3  25910  dvef  25912  dveq0  25933  dv11cn  25934  ply1termlem  26136  plyeq0lem  26143  plypf1  26145  plyaddlem1  26146  plymullem1  26147  coeeulem  26157  coeidlem  26170  coeid3  26173  coemullem  26183  coemulhi  26187  coemulc  26188  dgrco  26209  vieta1lem2  26247  elqaalem2  26256  aalioulem3  26270  taylthlem2  26310  taylthlem2OLD  26311  abelthlem6  26374  pilem2  26390  sinhalfpip  26429  sinhalfpim  26430  coshalfpip  26431  coshalfpim  26432  logtayl  26597  mulcxp  26622  cxpmul2  26626  cxpeq  26695  chordthmlem5  26774  cubic  26787  atans2  26869  atantayl2  26876  leibpi  26880  efrlim  26907  efrlimOLD  26908  scvxcvx  26924  amgm  26929  ftalem5  27015  basellem2  27020  mumul  27119  muinv  27131  dchrn0  27189  dchrinvcl  27192  lgsdirnn0  27283  lgsdinn0  27284  lgsquad2lem2  27324  rpvmasumlem  27426  dchrisum0flblem1  27447  rpvmasum2  27451  ostth2lem2  27573  brbtwn2  28885  axsegconlem1  28897  axpaschlem  28920  axcontlem7  28950  axcontlem8  28951  elntg2  28965  nvz0  30650  ipasslem1  30813  hi01  31078  fprodeq02  32811  sgnmul  32823  indsum  32849  indsumin  32850  constrrtcc  33769  constrsslem  33775  constrremulcl  33801  2sqr3minply  33814  cos9thpiminplylem2  33817  xrge0iifhom  33971  eulerpartlemsv2  34392  eulerpartlems  34394  eulerpartlemsv3  34395  eulerpartlemgc  34396  eulerpartlemv  34398  eulerpartlemgs2  34414  plymul02  34580  plymulx0  34581  itgexpif  34640  breprexplemc  34666  breprexp  34667  logdivsqrle  34684  subfacp1lem6  35250  cvxpconn  35307  cvxsconn  35308  fwddifnp1  36230  lcmineqlem10  42151  deg1pow  42254  pell1234qrne0  42970  jm2.19lem3  43108  jm2.25  43116  flcidc  43287  relexpmulg  43827  radcnvrat  44431  dvconstbi  44451  binomcxplemnn0  44466  sineq0ALT  45053  fperiodmullem  45428  fprod0  45720  dvsinax  46035  dvasinbx  46042  ioodvbdlimc1lem2  46054  ioodvbdlimc2lem  46056  dvnxpaek  46064  dvnmul  46065  itgsinexplem1  46076  dirkertrigeqlem2  46221  fourierdlem42  46271  fourierdlem83  46311  sqwvfoura  46350  fouriersw  46353  elaa2lem  46355  etransclem15  46371  etransclem24  46380  etransclem35  46391  etransclem46  46402  sigarcol  46986  sharhght  46987  modlt0b  47487  fmtnofac2  47693  rrx2linest  48867  line2x  48879  line2y  48880  itschlc0yqe  48885  itschlc0xyqsol1  48891  itschlc0xyqsol  48892  2itscp  48906  aacllem  49926