Theorem mul02d 11412

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul02d	⊢ (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem mul02d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mul02 11392	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  0cc0 11110   · cmul 11115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253

This theorem is referenced by:  mulneg1  11650  mulge0  11732  mul0or  11854  prodgt0  12061  un0mulcl  12506  mul2lt0rgt0  13077  mul2lt0bi  13080  lincmb01cmp  13472  iccf1o  13473  discr1  14202  discr  14203  hashxplem  14393  cshweqrep  14771  remul2  15077  immul2  15084  binomlem  15775  geomulcvg  15822  ntrivcvgfvn0  15845  fprodeq0  15919  fprodeq0g  15938  0fallfac  15981  binomfallfaclem2  15984  efne0  16040  dvds0  16215  pwp1fsum  16334  smumullem  16433  mulgcd  16490  bezoutr1  16506  lcmgcd  16544  qnumgt0  16686  pcexp  16792  vdwapun  16907  vdwlem1  16914  mulgnn0ass  18990  odmulg  19424  torsubg  19722  isabvd  20428  nn0srg  21015  rge0srg  21016  prmirredlem  21042  nmo0  24252  nmoeq0  24253  blcvx  24314  reparphti  24513  pcorevlem  24542  ipcau2  24751  rrxcph  24909  itg1addlem4  25216  itg1addlem4OLD  25217  itg1addlem5  25218  itg1mulc  25222  itg2mulc  25265  dvcmul  25461  dvmptcmul  25481  dvexp3  25495  dvef  25497  dveq0  25517  dv11cn  25518  ply1termlem  25717  plyeq0lem  25724  plypf1  25726  plyaddlem1  25727  plymullem1  25728  coeeulem  25738  coeidlem  25751  coeid3  25754  coemullem  25764  coemulhi  25768  coemulc  25769  dgrco  25789  vieta1lem2  25824  elqaalem2  25833  aalioulem3  25847  taylthlem2  25886  abelthlem6  25948  pilem2  25964  sinhalfpip  26002  sinhalfpim  26003  coshalfpip  26004  coshalfpim  26005  logtayl  26168  mulcxp  26193  cxpmul2  26197  cxpeq  26265  chordthmlem5  26341  cubic  26354  atans2  26436  atantayl2  26443  leibpi  26447  efrlim  26474  scvxcvx  26490  amgm  26495  ftalem5  26581  basellem2  26586  mumul  26685  muinv  26697  dchrn0  26753  dchrinvcl  26756  lgsdirnn0  26847  lgsdinn0  26848  lgsquad2lem2  26888  rpvmasumlem  26990  dchrisum0flblem1  27011  rpvmasum2  27015  ostth2lem2  27137  brbtwn2  28163  axsegconlem1  28175  axpaschlem  28198  axcontlem7  28228  axcontlem8  28229  elntg2  28243  nvz0  29921  ipasslem1  30084  hi01  30349  fprodeq02  32029  xrge0iifhom  32917  indsum  33019  indsumin  33020  eulerpartlemsv2  33357  eulerpartlems  33359  eulerpartlemsv3  33360  eulerpartlemgc  33361  eulerpartlemv  33363  eulerpartlemgs2  33379  sgnmul  33541  plymul02  33557  plymulx0  33558  itgexpif  33618  breprexplemc  33644  breprexp  33645  logdivsqrle  33662  subfacp1lem6  34176  cvxpconn  34233  cvxsconn  34234  fwddifnp1  35137  gg-reparphti  35172  lcmineqlem10  40903  pell1234qrne0  41591  jm2.19lem3  41730  jm2.25  41738  flcidc  41916  relexpmulg  42461  radcnvrat  43073  dvconstbi  43093  binomcxplemnn0  43108  sineq0ALT  43698  fperiodmullem  44013  fprod0  44312  dvsinax  44629  dvasinbx  44636  ioodvbdlimc1lem2  44648  ioodvbdlimc2lem  44650  dvnxpaek  44658  dvnmul  44659  itgsinexplem1  44670  dirkertrigeqlem2  44815  fourierdlem42  44865  fourierdlem83  44905  sqwvfoura  44944  fouriersw  44947  elaa2lem  44949  etransclem15  44965  etransclem24  44974  etransclem35  44985  etransclem46  44996  sigarcol  45580  sharhght  45581  fmtnofac2  46237  pzriprnglem8  46812  rrx2linest  47428  line2x  47440  line2y  47441  itschlc0yqe  47446  itschlc0xyqsol1  47452  itschlc0xyqsol  47453  2itscp  47467  aacllem  47848