Theorem mul02d 11419

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul02d	⊢ (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem mul02d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mul02 11399	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  0cc0 11111   · cmul 11116

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-ltxr 11259

This theorem is used by:  mulneg1  11661  mulge0  11743  mul0or  11865  prodgt0  12073  un0mulcl  12549  mul2lt0rgt0  13132  mul2lt0bi  13135  lincmb01cmp  13533  iccf1o  13534  discr1  14288  discr  14289  hashxplem  14483  cshweqrep  14877  sgnmul  15163  remul2  15200  immul2  15207  indsum  15898  binomlem  15901  geomulcvg  15948  ntrivcvgfvn0  15971  fprodeq0  16047  fprodeq0g  16066  0fallfac  16108  binomfallfaclem2  16111  efne0d  16168  efne0OLD  16170  dvds0  16346  pwp1fsum  16466  smumullem  16567  mulgcd  16623  bezoutr1  16644  lcmgcd  16682  qnumgt0  16826  pcexp  16936  vdwapun  17051  vdwlem1  17058  mulgnn0ass  19199  odmulg  19649  torsubg  19947  isabvd  20944  nn0srg  21616  rge0srg  21617  prmirredlem  21651  pzriprnglem8  21667  nmo0  24921  nmoeq0  24922  blcvx  24984  reparphti  25185  pcorevlem  25214  ipcau2  25422  rrxcph  25580  itg1addlem4  25887  itg1addlem5  25888  itg1mulc  25892  itg2mulc  25935  dvcmul  26132  dvmptcmul  26152  dvexp3  26166  dvef  26168  dveq0  26188  dv11cn  26189  ply1termlem  26389  plyeq0lem  26396  plypf1  26398  plyaddlem1  26399  plymullem1  26400  coeeulem  26410  coeidlem  26423  coeid3  26426  coemullem  26436  coemulhi  26440  coemulc  26441  dgrco  26461  plymul02  26470  plyn0mulidp  26471  vieta1lem2  26501  elqaalem2  26510  aalioulem3  26526  taylthlem2  26566  abelthlem6  26628  pilem2  26644  sinhalfpip  26686  sinhalfpim  26687  coshalfpip  26688  coshalfpim  26689  logtayl  26854  mulcxp  26879  cxpmul2  26883  cxpeq  26951  chordthmlem5  27030  cubic  27043  atans2  27125  atantayl2  27132  leibpi  27136  efrlim  27163  scvxcvx  27179  amgm  27184  ftalem5  27270  basellem2  27275  mumul  27374  muinv  27386  dchrn0  27443  dchrinvcl  27446  lgsdirnn0  27537  lgsdinn0  27538  lgsquad2lem2  27578  rpvmasumlem  27680  dchrisum0flblem1  27701  rpvmasum2  27705  ostth2lem2  27827  brbtwn2  29284  axsegconlem1  29296  axpaschlem  29319  axcontlem7  29349  axcontlem8  29350  elntg2  29364  nvz0  31049  ipasslem1  31212  hi01  31477  fprodeq02  33197  indsumin  33210  constrrtcc  34148  constrsslem  34154  constrremulcl  34180  2sqr3minply  34193  cos9thpiminplylem2  34196  xrge0iifhom  34350  eulerpartlemsv2  34772  eulerpartlems  34774  eulerpartlemsv3  34775  eulerpartlemgc  34776  eulerpartlemv  34778  eulerpartlemgs2  34794  itgexpif  35017  breprexplemc  35043  breprexp  35044  logdivsqrle  35061  subfacp1lem6  35690  cvxpconn  35747  cvxsconn  35748  fwddifnp1  36670  lcmineqlem10  42838  deg1pow  42941  pell1234qrne0  43613  jm2.19lem3  43751  jm2.25  43759  flcidc  43930  relexpmulg  44469  radcnvrat  45057  dvconstbi  45077  binomcxplemnn0  45092  sineq0ALT  45678  fperiodmullem  46055  fprod0  46345  dvsinax  46660  dvasinbx  46667  ioodvbdlimc1lem2  46679  ioodvbdlimc2lem  46681  dvnxpaek  46689  dvnmul  46690  itgsinexplem1  46701  dirkertrigeqlem2  46846  fourierdlem42  46896  fourierdlem83  46936  sqwvfoura  46975  fouriersw  46978  elaa2lem  46980  etransclem15  46996  etransclem24  47005  etransclem35  47016  etransclem46  47027  sigarcol  47611  sharhght  47612  modlt0b  48139  fmtnofac2  48354  rrx2linest  49555  line2x  49567  line2y  49568  itschlc0yqe  49573  itschlc0xyqsol1  49579  itschlc0xyqsol  49580  2itscp  49594  aacllem  50654