Theorem mul02d 11103

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul02d	⊢ (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem mul02d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mul02 11083	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802   · cmul 10807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945

This theorem is referenced by:  mulneg1  11341  mulge0  11423  mul0or  11545  prodgt0  11752  un0mulcl  12197  mul2lt0rgt0  12762  mul2lt0bi  12765  lincmb01cmp  13156  iccf1o  13157  discr1  13882  discr  13883  hashxplem  14076  cshweqrep  14462  remul2  14769  immul2  14776  binomlem  15469  geomulcvg  15516  ntrivcvgfvn0  15539  fprodeq0  15613  fprodeq0g  15632  0fallfac  15675  binomfallfaclem2  15678  efne0  15734  dvds0  15909  pwp1fsum  16028  smumullem  16127  mulgcd  16184  bezoutr1  16202  lcmgcd  16240  qnumgt0  16382  pcexp  16488  vdwapun  16603  vdwlem1  16610  mulgnn0ass  18654  odmulg  19078  torsubg  19370  isabvd  19995  nn0srg  20580  rge0srg  20581  prmirredlem  20606  nmo0  23805  nmoeq0  23806  blcvx  23867  reparphti  24066  pcorevlem  24095  ipcau2  24303  rrxcph  24461  itg1addlem4  24768  itg1addlem4OLD  24769  itg1addlem5  24770  itg1mulc  24774  itg2mulc  24817  dvcmul  25013  dvmptcmul  25033  dvexp3  25047  dvef  25049  dveq0  25069  dv11cn  25070  ply1termlem  25269  plyeq0lem  25276  plypf1  25278  plyaddlem1  25279  plymullem1  25280  coeeulem  25290  coeidlem  25303  coeid3  25306  coemullem  25316  coemulhi  25320  coemulc  25321  dgrco  25341  vieta1lem2  25376  elqaalem2  25385  aalioulem3  25399  taylthlem2  25438  abelthlem6  25500  pilem2  25516  sinhalfpip  25554  sinhalfpim  25555  coshalfpip  25556  coshalfpim  25557  logtayl  25720  mulcxp  25745  cxpmul2  25749  cxpeq  25815  chordthmlem5  25891  cubic  25904  atans2  25986  atantayl2  25993  leibpi  25997  efrlim  26024  scvxcvx  26040  amgm  26045  ftalem5  26131  basellem2  26136  mumul  26235  muinv  26247  dchrn0  26303  dchrinvcl  26306  lgsdirnn0  26397  lgsdinn0  26398  lgsquad2lem2  26438  rpvmasumlem  26540  dchrisum0flblem1  26561  rpvmasum2  26565  ostth2lem2  26687  brbtwn2  27176  axsegconlem1  27188  axpaschlem  27211  axcontlem7  27241  axcontlem8  27242  elntg2  27256  nvz0  28931  ipasslem1  29094  hi01  29359  fprodeq02  31039  xrge0iifhom  31789  indsum  31889  indsumin  31890  eulerpartlemsv2  32225  eulerpartlems  32227  eulerpartlemsv3  32228  eulerpartlemgc  32229  eulerpartlemv  32231  eulerpartlemgs2  32247  sgnmul  32409  plymul02  32425  plymulx0  32426  itgexpif  32486  breprexplemc  32512  breprexp  32513  logdivsqrle  32530  subfacp1lem6  33047  cvxpconn  33104  cvxsconn  33105  fwddifnp1  34394  lcmineqlem10  39974  pell1234qrne0  40591  jm2.19lem3  40729  jm2.25  40737  flcidc  40915  relexpmulg  41207  radcnvrat  41821  dvconstbi  41841  binomcxplemnn0  41856  sineq0ALT  42446  fperiodmullem  42732  fprod0  43027  dvsinax  43344  dvasinbx  43351  ioodvbdlimc1lem2  43363  ioodvbdlimc2lem  43365  dvnxpaek  43373  dvnmul  43374  itgsinexplem1  43385  dirkertrigeqlem2  43530  fourierdlem42  43580  fourierdlem83  43620  sqwvfoura  43659  fouriersw  43662  elaa2lem  43664  etransclem15  43680  etransclem24  43689  etransclem35  43700  etransclem46  43711  sigarcol  44267  sharhght  44268  fmtnofac2  44909  rrx2linest  45976  line2x  45988  line2y  45989  itschlc0yqe  45994  itschlc0xyqsol1  46000  itschlc0xyqsol  46001  2itscp  46015  aacllem  46391