Theorem mul02d 11339

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul02d	⊢ (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem mul02d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mul02 11319	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  (class class class)co 7360  ℂcc 11031  0cc0 11033   · cmul 11038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7363  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-ltxr 11179

This theorem is referenced by:  mulneg1  11581  mulge0  11663  mul0or  11785  prodgt0  11997  un0mulcl  12466  mul2lt0rgt0  13042  mul2lt0bi  13045  lincmb01cmp  13443  iccf1o  13444  discr1  14196  discr  14197  hashxplem  14390  cshweqrep  14778  remul2  15087  immul2  15094  indsum  15786  binomlem  15789  geomulcvg  15836  ntrivcvgfvn0  15859  fprodeq0  15935  fprodeq0g  15954  0fallfac  15997  binomfallfaclem2  16000  efne0d  16057  efne0OLD  16059  dvds0  16235  pwp1fsum  16355  smumullem  16456  mulgcd  16512  bezoutr1  16533  lcmgcd  16571  qnumgt0  16715  pcexp  16825  vdwapun  16940  vdwlem1  16947  mulgnn0ass  19081  odmulg  19526  torsubg  19824  isabvd  20788  nn0srg  21416  rge0srg  21417  prmirredlem  21451  pzriprnglem8  21467  nmo0  24722  nmoeq0  24723  blcvx  24785  reparphti  24986  pcorevlem  25015  ipcau2  25223  rrxcph  25381  itg1addlem4  25688  itg1addlem5  25689  itg1mulc  25693  itg2mulc  25736  dvcmul  25933  dvmptcmul  25953  dvexp3  25967  dvef  25969  dveq0  25989  dv11cn  25990  ply1termlem  26190  plyeq0lem  26197  plypf1  26199  plyaddlem1  26200  plymullem1  26201  coeeulem  26211  coeidlem  26224  coeid3  26227  coemullem  26237  coemulhi  26241  coemulc  26242  dgrco  26262  vieta1lem2  26299  elqaalem2  26308  aalioulem3  26322  taylthlem2  26361  abelthlem6  26423  pilem2  26439  sinhalfpip  26478  sinhalfpim  26479  coshalfpip  26480  coshalfpim  26481  logtayl  26646  mulcxp  26671  cxpmul2  26675  cxpeq  26743  chordthmlem5  26822  cubic  26835  atans2  26917  atantayl2  26924  leibpi  26928  efrlim  26955  scvxcvx  26971  amgm  26976  ftalem5  27062  basellem2  27067  mumul  27166  muinv  27178  dchrn0  27235  dchrinvcl  27238  lgsdirnn0  27329  lgsdinn0  27330  lgsquad2lem2  27370  rpvmasumlem  27472  dchrisum0flblem1  27493  rpvmasum2  27497  ostth2lem2  27619  brbtwn2  28996  axsegconlem1  29008  axpaschlem  29031  axcontlem7  29061  axcontlem8  29062  elntg2  29076  nvz0  30761  ipasslem1  30924  hi01  31189  fprodeq02  32920  sgnmul  32931  indsumin  32944  constrrtcc  33931  constrsslem  33937  constrremulcl  33963  2sqr3minply  33976  cos9thpiminplylem2  33979  xrge0iifhom  34133  eulerpartlemsv2  34554  eulerpartlems  34556  eulerpartlemsv3  34557  eulerpartlemgc  34558  eulerpartlemv  34560  eulerpartlemgs2  34576  plymul02  34742  plymulx0  34743  itgexpif  34802  breprexplemc  34828  breprexp  34829  logdivsqrle  34846  subfacp1lem6  35428  cvxpconn  35485  cvxsconn  35486  fwddifnp1  36408  lcmineqlem10  42538  deg1pow  42641  pell1234qrne0  43313  jm2.19lem3  43451  jm2.25  43459  flcidc  43630  relexpmulg  44169  radcnvrat  44773  dvconstbi  44793  binomcxplemnn0  44808  sineq0ALT  45395  fperiodmullem  45765  fprod0  46055  dvsinax  46370  dvasinbx  46377  ioodvbdlimc1lem2  46389  ioodvbdlimc2lem  46391  dvnxpaek  46399  dvnmul  46400  itgsinexplem1  46411  dirkertrigeqlem2  46556  fourierdlem42  46606  fourierdlem83  46646  sqwvfoura  46685  fouriersw  46688  elaa2lem  46690  etransclem15  46706  etransclem24  46715  etransclem35  46726  etransclem46  46737  sigarcol  47321  sharhght  47322  modlt0b  47846  fmtnofac2  48061  rrx2linest  49247  line2x  49259  line2y  49260  itschlc0yqe  49265  itschlc0xyqsol1  49271  itschlc0xyqsol  49272  2itscp  49286  aacllem  50305