Theorem mul02d 11416

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul02d	⊢ (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem mul02d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mul02 11396	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  0cc0 11112   · cmul 11117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257

This theorem is referenced by:  mulneg1  11654  mulge0  11736  mul0or  11858  prodgt0  12065  un0mulcl  12510  mul2lt0rgt0  13081  mul2lt0bi  13084  lincmb01cmp  13476  iccf1o  13477  discr1  14206  discr  14207  hashxplem  14397  cshweqrep  14775  remul2  15081  immul2  15088  binomlem  15779  geomulcvg  15826  ntrivcvgfvn0  15849  fprodeq0  15923  fprodeq0g  15942  0fallfac  15985  binomfallfaclem2  15988  efne0  16044  dvds0  16219  pwp1fsum  16338  smumullem  16437  mulgcd  16494  bezoutr1  16510  lcmgcd  16548  qnumgt0  16690  pcexp  16796  vdwapun  16911  vdwlem1  16918  mulgnn0ass  19026  odmulg  19465  torsubg  19763  isabvd  20571  nn0srg  21215  rge0srg  21216  prmirredlem  21243  pzriprnglem8  21257  nmo0  24472  nmoeq0  24473  blcvx  24534  reparphti  24743  reparphtiOLD  24744  pcorevlem  24773  ipcau2  24982  rrxcph  25140  itg1addlem4  25448  itg1addlem4OLD  25449  itg1addlem5  25450  itg1mulc  25454  itg2mulc  25497  dvcmul  25695  dvmptcmul  25716  dvexp3  25730  dvef  25732  dveq0  25752  dv11cn  25753  ply1termlem  25952  plyeq0lem  25959  plypf1  25961  plyaddlem1  25962  plymullem1  25963  coeeulem  25973  coeidlem  25986  coeid3  25989  coemullem  25999  coemulhi  26003  coemulc  26004  dgrco  26025  vieta1lem2  26060  elqaalem2  26069  aalioulem3  26083  taylthlem2  26122  abelthlem6  26184  pilem2  26200  sinhalfpip  26238  sinhalfpim  26239  coshalfpip  26240  coshalfpim  26241  logtayl  26404  mulcxp  26429  cxpmul2  26433  cxpeq  26501  chordthmlem5  26577  cubic  26590  atans2  26672  atantayl2  26679  leibpi  26683  efrlim  26710  scvxcvx  26726  amgm  26731  ftalem5  26817  basellem2  26822  mumul  26921  muinv  26933  dchrn0  26989  dchrinvcl  26992  lgsdirnn0  27083  lgsdinn0  27084  lgsquad2lem2  27124  rpvmasumlem  27226  dchrisum0flblem1  27247  rpvmasum2  27251  ostth2lem2  27373  brbtwn2  28430  axsegconlem1  28442  axpaschlem  28465  axcontlem7  28495  axcontlem8  28496  elntg2  28510  nvz0  30188  ipasslem1  30351  hi01  30616  fprodeq02  32296  xrge0iifhom  33215  indsum  33317  indsumin  33318  eulerpartlemsv2  33655  eulerpartlems  33657  eulerpartlemsv3  33658  eulerpartlemgc  33659  eulerpartlemv  33661  eulerpartlemgs2  33677  sgnmul  33839  plymul02  33855  plymulx0  33856  itgexpif  33916  breprexplemc  33942  breprexp  33943  logdivsqrle  33960  subfacp1lem6  34474  cvxpconn  34531  cvxsconn  34532  fwddifnp1  35441  lcmineqlem10  41209  pell1234qrne0  41893  jm2.19lem3  42032  jm2.25  42040  flcidc  42218  relexpmulg  42763  radcnvrat  43375  dvconstbi  43395  binomcxplemnn0  43410  sineq0ALT  44000  fperiodmullem  44311  fprod0  44610  dvsinax  44927  dvasinbx  44934  ioodvbdlimc1lem2  44946  ioodvbdlimc2lem  44948  dvnxpaek  44956  dvnmul  44957  itgsinexplem1  44968  dirkertrigeqlem2  45113  fourierdlem42  45163  fourierdlem83  45203  sqwvfoura  45242  fouriersw  45245  elaa2lem  45247  etransclem15  45263  etransclem24  45272  etransclem35  45283  etransclem46  45294  sigarcol  45878  sharhght  45879  fmtnofac2  46535  rrx2linest  47515  line2x  47527  line2y  47528  itschlc0yqe  47533  itschlc0xyqsol1  47539  itschlc0xyqsol  47540  2itscp  47554  aacllem  47935