Theorem mul02d 11335

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul02d	⊢ (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem mul02d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mul02 11315	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  0cc0 11029   · cmul 11034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175

This theorem is referenced by:  mulneg1  11577  mulge0  11659  mul0or  11781  prodgt0  11993  un0mulcl  12462  mul2lt0rgt0  13038  mul2lt0bi  13041  lincmb01cmp  13439  iccf1o  13440  discr1  14192  discr  14193  hashxplem  14386  cshweqrep  14774  remul2  15083  immul2  15090  indsum  15782  binomlem  15785  geomulcvg  15832  ntrivcvgfvn0  15855  fprodeq0  15931  fprodeq0g  15950  0fallfac  15993  binomfallfaclem2  15996  efne0d  16053  efne0OLD  16055  dvds0  16231  pwp1fsum  16351  smumullem  16452  mulgcd  16508  bezoutr1  16529  lcmgcd  16567  qnumgt0  16711  pcexp  16821  vdwapun  16936  vdwlem1  16943  mulgnn0ass  19077  odmulg  19522  torsubg  19820  isabvd  20780  nn0srg  21427  rge0srg  21428  prmirredlem  21462  pzriprnglem8  21478  nmo0  24710  nmoeq0  24711  blcvx  24773  reparphti  24974  pcorevlem  25003  ipcau2  25211  rrxcph  25369  itg1addlem4  25676  itg1addlem5  25677  itg1mulc  25681  itg2mulc  25724  dvcmul  25921  dvmptcmul  25941  dvexp3  25955  dvef  25957  dveq0  25977  dv11cn  25978  ply1termlem  26178  plyeq0lem  26185  plypf1  26187  plyaddlem1  26188  plymullem1  26189  coeeulem  26199  coeidlem  26212  coeid3  26215  coemullem  26225  coemulhi  26229  coemulc  26230  dgrco  26250  vieta1lem2  26288  elqaalem2  26297  aalioulem3  26311  taylthlem2  26351  taylthlem2OLD  26352  abelthlem6  26414  pilem2  26430  sinhalfpip  26469  sinhalfpim  26470  coshalfpip  26471  coshalfpim  26472  logtayl  26637  mulcxp  26662  cxpmul2  26666  cxpeq  26734  chordthmlem5  26813  cubic  26826  atans2  26908  atantayl2  26915  leibpi  26919  efrlim  26946  efrlimOLD  26947  scvxcvx  26963  amgm  26968  ftalem5  27054  basellem2  27059  mumul  27158  muinv  27170  dchrn0  27227  dchrinvcl  27230  lgsdirnn0  27321  lgsdinn0  27322  lgsquad2lem2  27362  rpvmasumlem  27464  dchrisum0flblem1  27485  rpvmasum2  27489  ostth2lem2  27611  brbtwn2  28988  axsegconlem1  29000  axpaschlem  29023  axcontlem7  29053  axcontlem8  29054  elntg2  29068  nvz0  30754  ipasslem1  30917  hi01  31182  fprodeq02  32912  sgnmul  32923  indsumin  32936  constrrtcc  33895  constrsslem  33901  constrremulcl  33927  2sqr3minply  33940  cos9thpiminplylem2  33943  xrge0iifhom  34097  eulerpartlemsv2  34518  eulerpartlems  34520  eulerpartlemsv3  34521  eulerpartlemgc  34522  eulerpartlemv  34524  eulerpartlemgs2  34540  plymul02  34706  plymulx0  34707  itgexpif  34766  breprexplemc  34792  breprexp  34793  logdivsqrle  34810  subfacp1lem6  35383  cvxpconn  35440  cvxsconn  35441  fwddifnp1  36363  lcmineqlem10  42491  deg1pow  42594  pell1234qrne0  43299  jm2.19lem3  43437  jm2.25  43445  flcidc  43616  relexpmulg  44155  radcnvrat  44759  dvconstbi  44779  binomcxplemnn0  44794  sineq0ALT  45381  fperiodmullem  45754  fprod0  46044  dvsinax  46359  dvasinbx  46366  ioodvbdlimc1lem2  46378  ioodvbdlimc2lem  46380  dvnxpaek  46388  dvnmul  46389  itgsinexplem1  46400  dirkertrigeqlem2  46545  fourierdlem42  46595  fourierdlem83  46635  sqwvfoura  46674  fouriersw  46677  elaa2lem  46679  etransclem15  46695  etransclem24  46704  etransclem35  46715  etransclem46  46726  sigarcol  47310  sharhght  47311  modlt0b  47829  fmtnofac2  48044  rrx2linest  49230  line2x  49242  line2y  49243  itschlc0yqe  49248  itschlc0xyqsol1  49254  itschlc0xyqsol  49255  2itscp  49269  aacllem  50288