Theorem mul02d 10827

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul02d	⊢ (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem mul02d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mul02 10807	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  0cc0 10526   · cmul 10531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669

This theorem is referenced by:  mulneg1  11065  mulge0  11147  mul0or  11269  prodgt0  11476  un0mulcl  11919  mul2lt0rgt0  12480  mul2lt0bi  12483  lincmb01cmp  12873  iccf1o  12874  discr1  13596  discr  13597  hashxplem  13790  cshweqrep  14174  remul2  14481  immul2  14488  binomlem  15176  pwm1geoserOLD  15217  geomulcvg  15224  ntrivcvgfvn0  15247  fprodeq0  15321  fprodeq0g  15340  0fallfac  15383  binomfallfaclem2  15386  efne0  15442  dvds0  15617  pwp1fsum  15732  smumullem  15831  mulgcd  15886  bezoutr1  15903  lcmgcd  15941  qnumgt0  16080  pcexp  16186  vdwapun  16300  vdwlem1  16307  mulgnn0ass  18255  odmulg  18675  torsubg  18967  isabvd  19584  nn0srg  20161  rge0srg  20162  prmirredlem  20186  nmo0  23341  nmoeq0  23342  blcvx  23403  reparphti  23602  pcorevlem  23631  ipcau2  23838  rrxcph  23996  itg1addlem4  24303  itg1addlem5  24304  itg1mulc  24308  itg2mulc  24351  dvcmul  24547  dvmptcmul  24567  dvexp3  24581  dvef  24583  dveq0  24603  dv11cn  24604  ply1termlem  24800  plyeq0lem  24807  plypf1  24809  plyaddlem1  24810  plymullem1  24811  coeeulem  24821  coeidlem  24834  coeid3  24837  coemullem  24847  coemulhi  24851  coemulc  24852  dgrco  24872  vieta1lem2  24907  elqaalem2  24916  aalioulem3  24930  taylthlem2  24969  abelthlem6  25031  pilem2  25047  sinhalfpip  25085  sinhalfpim  25086  coshalfpip  25087  coshalfpim  25088  logtayl  25251  mulcxp  25276  cxpmul2  25280  cxpeq  25346  chordthmlem5  25422  cubic  25435  atans2  25517  atantayl2  25524  leibpi  25528  efrlim  25555  scvxcvx  25571  amgm  25576  ftalem5  25662  basellem2  25667  mumul  25766  muinv  25778  dchrn0  25834  dchrinvcl  25837  lgsdirnn0  25928  lgsdinn0  25929  lgsquad2lem2  25969  rpvmasumlem  26071  dchrisum0flblem1  26092  rpvmasum2  26096  ostth2lem2  26218  brbtwn2  26699  axsegconlem1  26711  axpaschlem  26734  axcontlem7  26764  axcontlem8  26765  elntg2  26779  nvz0  28451  ipasslem1  28614  hi01  28879  fprodeq02  30565  xrge0iifhom  31290  indsum  31390  indsumin  31391  eulerpartlemsv2  31726  eulerpartlems  31728  eulerpartlemsv3  31729  eulerpartlemgc  31730  eulerpartlemv  31732  eulerpartlemgs2  31748  sgnmul  31910  plymul02  31926  plymulx0  31927  itgexpif  31987  breprexplemc  32013  breprexp  32014  logdivsqrle  32031  subfacp1lem6  32545  cvxpconn  32602  cvxsconn  32603  fwddifnp1  33739  lcmineqlem10  39326  pell1234qrne0  39794  jm2.19lem3  39932  jm2.25  39940  flcidc  40118  relexpmulg  40411  radcnvrat  41018  dvconstbi  41038  binomcxplemnn0  41053  sineq0ALT  41643  fperiodmullem  41935  fprod0  42238  dvsinax  42555  dvasinbx  42562  ioodvbdlimc1lem2  42574  ioodvbdlimc2lem  42576  dvnxpaek  42584  dvnmul  42585  itgsinexplem1  42596  dirkertrigeqlem2  42741  fourierdlem42  42791  fourierdlem83  42831  sqwvfoura  42870  fouriersw  42873  elaa2lem  42875  etransclem15  42891  etransclem24  42900  etransclem35  42911  etransclem46  42922  sigarcol  43478  sharhght  43479  fmtnofac2  44086  rrx2linest  45156  line2x  45168  line2y  45169  itschlc0yqe  45174  itschlc0xyqsol1  45180  itschlc0xyqsol  45181  2itscp  45195  aacllem  45329