Theorem mul02d 11501

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul02d	⊢ (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem mul02d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mul02 11481	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  0cc0 11193   · cmul 11198

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-ltxr 11341

This theorem is used by:  mulneg1  11745  mulge0  11827  mul0or  11949  prodgt0  12157  un0mulcl  12633  mul2lt0rgt0  13218  mul2lt0bi  13221  lincmb01cmp  13619  iccf1o  13620  discr1  14376  discr  14377  hashxplem  14571  cshweqrep  14965  sgnmul  15253  remul2  15290  immul2  15297  indsum  15988  binomlem  15991  geomulcvg  16038  ntrivcvgfvn0  16061  fprodeq0  16135  fprodeq0g  16154  0fallfac  16196  binomfallfaclem2  16199  efne0d  16256  efne0OLD  16258  dvds0  16434  pwp1fsum  16554  smumullem  16655  mulgcd  16714  bezoutr1  16737  lcmgcd  16775  qnumgt0  16919  pcexp  17030  vdwapun  17145  vdwlem1  17152  mulgnn0ass  19313  odmulg  19763  torsubg  20061  isabvd  21062  nn0srg  21736  rge0srg  21737  prmirredlem  21771  pzriprnglem8  21787  nmo0  25047  nmoeq0  25048  blcvx  25110  reparphti  25311  pcorevlem  25340  ipcau2  25548  rrxcph  25706  itg1addlem4  26013  itg1addlem5  26014  itg1mulc  26018  itg2mulc  26061  dvcmul  26257  dvmptcmul  26277  dvexp3  26291  dvef  26293  dveq0  26313  dv11cn  26314  ply1termlem  26514  plyeq0lem  26522  plypf1  26524  plyaddlem1  26525  plymullem1  26526  coeeulem  26536  coeidlem  26549  coeid3  26552  coemullem  26562  coemulhi  26566  coemulc  26567  dgrco  26587  plymul02  26594  plyn0mulidp  26595  vieta1lem2  26627  elqaalem2  26636  aalioulem3  26654  taylthlem2  26694  abelthlem6  26756  pilem2  26772  sinhalfpip  26814  sinhalfpim  26815  coshalfpip  26816  coshalfpim  26817  logtayl  26981  mulcxp  27006  cxpmul2  27010  cxpeq  27078  chordthmlem5  27157  cubic  27170  atans2  27252  atantayl2  27259  leibpi  27263  efrlim  27290  scvxcvx  27306  amgm  27311  ftalem5  27397  basellem2  27402  mumul  27501  muinv  27513  dchrn0  27570  dchrinvcl  27573  lgsdirnn0  27664  lgsdinn0  27665  lgsquad2lem2  27705  rpvmasumlem  27807  dchrisum0flblem1  27828  rpvmasum2  27832  ostth2lem2  27954  brbtwn2  29476  axsegconlem1  29488  axpaschlem  29511  axcontlem7  29541  axcontlem8  29542  elntg2  29556  nvz0  31263  ipasslem1  31426  hi01  31691  fprodeq02  33408  indsumin  33421  constrrtcc  34360  constrsslem  34366  constrremulcl  34392  2sqr3minply  34405  cos9thpiminplylem2  34408  xrge0iifhom  34562  eulerpartlemsv2  34983  eulerpartlems  34985  eulerpartlemsv3  34986  eulerpartlemgc  34987  eulerpartlemv  34989  eulerpartlemgs2  35005  itgexpif  35228  breprexplemc  35254  breprexp  35255  logdivsqrle  35272  subfacp1lem6  35929  cvxpconn  35986  cvxsconn  35987  fwddifnp1  36910  lcmineqlem10  43068  deg1pow  43171  pell1234qrne0  43839  jm2.19lem3  43977  jm2.25  43985  flcidc  44156  relexpmulg  44695  radcnvrat  45283  dvconstbi  45303  binomcxplemnn0  45318  sineq0ALT  45904  fperiodmullem  46288  fprod0  46577  dvsinax  46892  dvasinbx  46899  ioodvbdlimc1lem2  46911  ioodvbdlimc2lem  46913  dvnxpaek  46921  dvnmul  46922  itgsinexplem1  46933  dirkertrigeqlem2  47078  fourierdlem42  47128  fourierdlem83  47168  sqwvfoura  47207  fouriersw  47210  elaa2lem  47212  etransclem15  47228  etransclem24  47237  etransclem35  47248  etransclem46  47259  sigarcol  47843  sharhght  47844  modlt0b  48408  fmtnofac2  48623  rrx2linest  49823  line2x  49835  line2y  49836  itschlc0yqe  49841  itschlc0xyqsol1  49847  itschlc0xyqsol  49848  2itscp  49862  aacllem  50908