Theorem mul02d 11379

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul02d	⊢ (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem mul02d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mul02 11359	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075   · cmul 11080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220

This theorem is referenced by:  mulneg1  11621  mulge0  11703  mul0or  11825  prodgt0  12036  un0mulcl  12483  mul2lt0rgt0  13063  mul2lt0bi  13066  lincmb01cmp  13463  iccf1o  13464  discr1  14211  discr  14212  hashxplem  14405  cshweqrep  14793  remul2  15103  immul2  15110  binomlem  15802  geomulcvg  15849  ntrivcvgfvn0  15872  fprodeq0  15948  fprodeq0g  15967  0fallfac  16010  binomfallfaclem2  16013  efne0d  16070  efne0OLD  16072  dvds0  16248  pwp1fsum  16368  smumullem  16469  mulgcd  16525  bezoutr1  16546  lcmgcd  16584  qnumgt0  16727  pcexp  16837  vdwapun  16952  vdwlem1  16959  mulgnn0ass  19049  odmulg  19493  torsubg  19791  isabvd  20728  nn0srg  21361  rge0srg  21362  prmirredlem  21389  pzriprnglem8  21405  nmo0  24630  nmoeq0  24631  blcvx  24693  reparphti  24903  reparphtiOLD  24904  pcorevlem  24933  ipcau2  25141  rrxcph  25299  itg1addlem4  25607  itg1addlem5  25608  itg1mulc  25612  itg2mulc  25655  dvcmul  25854  dvmptcmul  25875  dvexp3  25889  dvef  25891  dveq0  25912  dv11cn  25913  ply1termlem  26115  plyeq0lem  26122  plypf1  26124  plyaddlem1  26125  plymullem1  26126  coeeulem  26136  coeidlem  26149  coeid3  26152  coemullem  26162  coemulhi  26166  coemulc  26167  dgrco  26188  vieta1lem2  26226  elqaalem2  26235  aalioulem3  26249  taylthlem2  26289  taylthlem2OLD  26290  abelthlem6  26353  pilem2  26369  sinhalfpip  26408  sinhalfpim  26409  coshalfpip  26410  coshalfpim  26411  logtayl  26576  mulcxp  26601  cxpmul2  26605  cxpeq  26674  chordthmlem5  26753  cubic  26766  atans2  26848  atantayl2  26855  leibpi  26859  efrlim  26886  efrlimOLD  26887  scvxcvx  26903  amgm  26908  ftalem5  26994  basellem2  26999  mumul  27098  muinv  27110  dchrn0  27168  dchrinvcl  27171  lgsdirnn0  27262  lgsdinn0  27263  lgsquad2lem2  27303  rpvmasumlem  27405  dchrisum0flblem1  27426  rpvmasum2  27430  ostth2lem2  27552  brbtwn2  28839  axsegconlem1  28851  axpaschlem  28874  axcontlem7  28904  axcontlem8  28905  elntg2  28919  nvz0  30604  ipasslem1  30767  hi01  31032  fprodeq02  32755  sgnmul  32767  indsum  32791  indsumin  32792  constrrtcc  33732  constrsslem  33738  constrremulcl  33764  2sqr3minply  33777  cos9thpiminplylem2  33780  xrge0iifhom  33934  eulerpartlemsv2  34356  eulerpartlems  34358  eulerpartlemsv3  34359  eulerpartlemgc  34360  eulerpartlemv  34362  eulerpartlemgs2  34378  plymul02  34544  plymulx0  34545  itgexpif  34604  breprexplemc  34630  breprexp  34631  logdivsqrle  34648  subfacp1lem6  35179  cvxpconn  35236  cvxsconn  35237  fwddifnp1  36160  lcmineqlem10  42033  deg1pow  42136  pell1234qrne0  42848  jm2.19lem3  42987  jm2.25  42995  flcidc  43166  relexpmulg  43706  radcnvrat  44310  dvconstbi  44330  binomcxplemnn0  44345  sineq0ALT  44933  fperiodmullem  45308  fprod0  45601  dvsinax  45918  dvasinbx  45925  ioodvbdlimc1lem2  45937  ioodvbdlimc2lem  45939  dvnxpaek  45947  dvnmul  45948  itgsinexplem1  45959  dirkertrigeqlem2  46104  fourierdlem42  46154  fourierdlem83  46194  sqwvfoura  46233  fouriersw  46236  elaa2lem  46238  etransclem15  46254  etransclem24  46263  etransclem35  46274  etransclem46  46285  sigarcol  46869  sharhght  46870  modlt0b  47368  fmtnofac2  47574  rrx2linest  48735  line2x  48747  line2y  48748  itschlc0yqe  48753  itschlc0xyqsol1  48759  itschlc0xyqsol  48760  2itscp  48774  aacllem  49794