MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul02d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul02d 11360
Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
muld.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
mul02d (๐œ‘ โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0)

Proof of Theorem mul02d
StepHypRef Expression
1 muld.1 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 mul02 11340 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0)
31, 2syl 17 1 (๐œ‘ โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  0cc0 11058   ยท cmul 11063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-ltxr 11201
This theorem is referenced by:  mulneg1  11598  mulge0  11680  mul0or  11802  prodgt0  12009  un0mulcl  12454  mul2lt0rgt0  13025  mul2lt0bi  13028  lincmb01cmp  13419  iccf1o  13420  discr1  14149  discr  14150  hashxplem  14340  cshweqrep  14716  remul2  15022  immul2  15029  binomlem  15721  geomulcvg  15768  ntrivcvgfvn0  15791  fprodeq0  15865  fprodeq0g  15884  0fallfac  15927  binomfallfaclem2  15930  efne0  15986  dvds0  16161  pwp1fsum  16280  smumullem  16379  mulgcd  16436  bezoutr1  16452  lcmgcd  16490  qnumgt0  16632  pcexp  16738  vdwapun  16853  vdwlem1  16860  mulgnn0ass  18919  odmulg  19345  torsubg  19639  isabvd  20295  nn0srg  20883  rge0srg  20884  prmirredlem  20909  nmo0  24115  nmoeq0  24116  blcvx  24177  reparphti  24376  pcorevlem  24405  ipcau2  24614  rrxcph  24772  itg1addlem4  25079  itg1addlem4OLD  25080  itg1addlem5  25081  itg1mulc  25085  itg2mulc  25128  dvcmul  25324  dvmptcmul  25344  dvexp3  25358  dvef  25360  dveq0  25380  dv11cn  25381  ply1termlem  25580  plyeq0lem  25587  plypf1  25589  plyaddlem1  25590  plymullem1  25591  coeeulem  25601  coeidlem  25614  coeid3  25617  coemullem  25627  coemulhi  25631  coemulc  25632  dgrco  25652  vieta1lem2  25687  elqaalem2  25696  aalioulem3  25710  taylthlem2  25749  abelthlem6  25811  pilem2  25827  sinhalfpip  25865  sinhalfpim  25866  coshalfpip  25867  coshalfpim  25868  logtayl  26031  mulcxp  26056  cxpmul2  26060  cxpeq  26126  chordthmlem5  26202  cubic  26215  atans2  26297  atantayl2  26304  leibpi  26308  efrlim  26335  scvxcvx  26351  amgm  26356  ftalem5  26442  basellem2  26447  mumul  26546  muinv  26558  dchrn0  26614  dchrinvcl  26617  lgsdirnn0  26708  lgsdinn0  26709  lgsquad2lem2  26749  rpvmasumlem  26851  dchrisum0flblem1  26872  rpvmasum2  26876  ostth2lem2  26998  brbtwn2  27896  axsegconlem1  27908  axpaschlem  27931  axcontlem7  27961  axcontlem8  27962  elntg2  27976  nvz0  29652  ipasslem1  29815  hi01  30080  fprodeq02  31761  xrge0iifhom  32558  indsum  32660  indsumin  32661  eulerpartlemsv2  32998  eulerpartlems  33000  eulerpartlemsv3  33001  eulerpartlemgc  33002  eulerpartlemv  33004  eulerpartlemgs2  33020  sgnmul  33182  plymul02  33198  plymulx0  33199  itgexpif  33259  breprexplemc  33285  breprexp  33286  logdivsqrle  33303  subfacp1lem6  33819  cvxpconn  33876  cvxsconn  33877  fwddifnp1  34779  lcmineqlem10  40524  pell1234qrne0  41205  jm2.19lem3  41344  jm2.25  41352  flcidc  41530  relexpmulg  42056  radcnvrat  42668  dvconstbi  42688  binomcxplemnn0  42703  sineq0ALT  43293  fperiodmullem  43611  fprod0  43911  dvsinax  44228  dvasinbx  44235  ioodvbdlimc1lem2  44247  ioodvbdlimc2lem  44249  dvnxpaek  44257  dvnmul  44258  itgsinexplem1  44269  dirkertrigeqlem2  44414  fourierdlem42  44464  fourierdlem83  44504  sqwvfoura  44543  fouriersw  44546  elaa2lem  44548  etransclem15  44564  etransclem24  44573  etransclem35  44584  etransclem46  44595  sigarcol  45179  sharhght  45180  fmtnofac2  45835  rrx2linest  46902  line2x  46914  line2y  46915  itschlc0yqe  46920  itschlc0xyqsol1  46926  itschlc0xyqsol  46927  2itscp  46941  aacllem  47322
  Copyright terms: Public domain W3C validator