Theorem mul02d 11332

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul02d	⊢ (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem mul02d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mul02 11312	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  0cc0 11028   · cmul 11033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173

This theorem is referenced by:  mulneg1  11574  mulge0  11656  mul0or  11778  prodgt0  11989  un0mulcl  12436  mul2lt0rgt0  13016  mul2lt0bi  13019  lincmb01cmp  13416  iccf1o  13417  discr1  14164  discr  14165  hashxplem  14358  cshweqrep  14745  remul2  15055  immul2  15062  binomlem  15754  geomulcvg  15801  ntrivcvgfvn0  15824  fprodeq0  15900  fprodeq0g  15919  0fallfac  15962  binomfallfaclem2  15965  efne0d  16022  efne0OLD  16024  dvds0  16200  pwp1fsum  16320  smumullem  16421  mulgcd  16477  bezoutr1  16498  lcmgcd  16536  qnumgt0  16679  pcexp  16789  vdwapun  16904  vdwlem1  16911  mulgnn0ass  19007  odmulg  19453  torsubg  19751  isabvd  20715  nn0srg  21362  rge0srg  21363  prmirredlem  21397  pzriprnglem8  21413  nmo0  24639  nmoeq0  24640  blcvx  24702  reparphti  24912  reparphtiOLD  24913  pcorevlem  24942  ipcau2  25150  rrxcph  25308  itg1addlem4  25616  itg1addlem5  25617  itg1mulc  25621  itg2mulc  25664  dvcmul  25863  dvmptcmul  25884  dvexp3  25898  dvef  25900  dveq0  25921  dv11cn  25922  ply1termlem  26124  plyeq0lem  26131  plypf1  26133  plyaddlem1  26134  plymullem1  26135  coeeulem  26145  coeidlem  26158  coeid3  26161  coemullem  26171  coemulhi  26175  coemulc  26176  dgrco  26197  vieta1lem2  26235  elqaalem2  26244  aalioulem3  26258  taylthlem2  26298  taylthlem2OLD  26299  abelthlem6  26362  pilem2  26378  sinhalfpip  26417  sinhalfpim  26418  coshalfpip  26419  coshalfpim  26420  logtayl  26585  mulcxp  26610  cxpmul2  26614  cxpeq  26683  chordthmlem5  26762  cubic  26775  atans2  26857  atantayl2  26864  leibpi  26868  efrlim  26895  efrlimOLD  26896  scvxcvx  26912  amgm  26917  ftalem5  27003  basellem2  27008  mumul  27107  muinv  27119  dchrn0  27177  dchrinvcl  27180  lgsdirnn0  27271  lgsdinn0  27272  lgsquad2lem2  27312  rpvmasumlem  27414  dchrisum0flblem1  27435  rpvmasum2  27439  ostth2lem2  27561  brbtwn2  28868  axsegconlem1  28880  axpaschlem  28903  axcontlem7  28933  axcontlem8  28934  elntg2  28948  nvz0  30630  ipasslem1  30793  hi01  31058  fprodeq02  32781  sgnmul  32793  indsum  32817  indsumin  32818  constrrtcc  33701  constrsslem  33707  constrremulcl  33733  2sqr3minply  33746  cos9thpiminplylem2  33749  xrge0iifhom  33903  eulerpartlemsv2  34325  eulerpartlems  34327  eulerpartlemsv3  34328  eulerpartlemgc  34329  eulerpartlemv  34331  eulerpartlemgs2  34347  plymul02  34513  plymulx0  34514  itgexpif  34573  breprexplemc  34599  breprexp  34600  logdivsqrle  34617  subfacp1lem6  35157  cvxpconn  35214  cvxsconn  35215  fwddifnp1  36138  lcmineqlem10  42011  deg1pow  42114  pell1234qrne0  42826  jm2.19lem3  42964  jm2.25  42972  flcidc  43143  relexpmulg  43683  radcnvrat  44287  dvconstbi  44307  binomcxplemnn0  44322  sineq0ALT  44910  fperiodmullem  45285  fprod0  45578  dvsinax  45895  dvasinbx  45902  ioodvbdlimc1lem2  45914  ioodvbdlimc2lem  45916  dvnxpaek  45924  dvnmul  45925  itgsinexplem1  45936  dirkertrigeqlem2  46081  fourierdlem42  46131  fourierdlem83  46171  sqwvfoura  46210  fouriersw  46213  elaa2lem  46215  etransclem15  46231  etransclem24  46240  etransclem35  46251  etransclem46  46262  sigarcol  46846  sharhght  46847  modlt0b  47348  fmtnofac2  47554  rrx2linest  48728  line2x  48740  line2y  48741  itschlc0yqe  48746  itschlc0xyqsol1  48752  itschlc0xyqsol  48753  2itscp  48767  aacllem  49787