Theorem mul02d 11488

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul02d	⊢ (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem mul02d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mul02 11468	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184   · cmul 11189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329

This theorem is referenced by:  mulneg1  11726  mulge0  11808  mul0or  11930  prodgt0  12141  un0mulcl  12587  mul2lt0rgt0  13160  mul2lt0bi  13163  lincmb01cmp  13555  iccf1o  13556  discr1  14288  discr  14289  hashxplem  14482  cshweqrep  14869  remul2  15179  immul2  15186  binomlem  15877  geomulcvg  15924  ntrivcvgfvn0  15947  fprodeq0  16023  fprodeq0g  16042  0fallfac  16085  binomfallfaclem2  16088  efne0  16145  dvds0  16320  pwp1fsum  16439  smumullem  16538  mulgcd  16595  bezoutr1  16616  lcmgcd  16654  qnumgt0  16797  pcexp  16906  vdwapun  17021  vdwlem1  17028  mulgnn0ass  19150  odmulg  19598  torsubg  19896  isabvd  20835  nn0srg  21478  rge0srg  21479  prmirredlem  21506  pzriprnglem8  21522  nmo0  24777  nmoeq0  24778  blcvx  24839  reparphti  25048  reparphtiOLD  25049  pcorevlem  25078  ipcau2  25287  rrxcph  25445  itg1addlem4  25753  itg1addlem4OLD  25754  itg1addlem5  25755  itg1mulc  25759  itg2mulc  25802  dvcmul  26001  dvmptcmul  26022  dvexp3  26036  dvef  26038  dveq0  26059  dv11cn  26060  ply1termlem  26262  plyeq0lem  26269  plypf1  26271  plyaddlem1  26272  plymullem1  26273  coeeulem  26283  coeidlem  26296  coeid3  26299  coemullem  26309  coemulhi  26313  coemulc  26314  dgrco  26335  vieta1lem2  26371  elqaalem2  26380  aalioulem3  26394  taylthlem2  26434  taylthlem2OLD  26435  abelthlem6  26498  pilem2  26514  sinhalfpip  26552  sinhalfpim  26553  coshalfpip  26554  coshalfpim  26555  logtayl  26720  mulcxp  26745  cxpmul2  26749  cxpeq  26818  chordthmlem5  26897  cubic  26910  atans2  26992  atantayl2  26999  leibpi  27003  efrlim  27030  efrlimOLD  27031  scvxcvx  27047  amgm  27052  ftalem5  27138  basellem2  27143  mumul  27242  muinv  27254  dchrn0  27312  dchrinvcl  27315  lgsdirnn0  27406  lgsdinn0  27407  lgsquad2lem2  27447  rpvmasumlem  27549  dchrisum0flblem1  27570  rpvmasum2  27574  ostth2lem2  27696  brbtwn2  28938  axsegconlem1  28950  axpaschlem  28973  axcontlem7  29003  axcontlem8  29004  elntg2  29018  nvz0  30700  ipasslem1  30863  hi01  31128  fprodeq02  32827  constrrtcc  33726  constrsslem  33731  2sqr3minply  33738  xrge0iifhom  33883  indsum  33985  indsumin  33986  eulerpartlemsv2  34323  eulerpartlems  34325  eulerpartlemsv3  34326  eulerpartlemgc  34327  eulerpartlemv  34329  eulerpartlemgs2  34345  sgnmul  34507  plymul02  34523  plymulx0  34524  itgexpif  34583  breprexplemc  34609  breprexp  34610  logdivsqrle  34627  subfacp1lem6  35153  cvxpconn  35210  cvxsconn  35211  fwddifnp1  36129  lcmineqlem10  41995  deg1pow  42098  efne0d  42325  pell1234qrne0  42809  jm2.19lem3  42948  jm2.25  42956  flcidc  43131  relexpmulg  43672  radcnvrat  44283  dvconstbi  44303  binomcxplemnn0  44318  sineq0ALT  44908  fperiodmullem  45218  fprod0  45517  dvsinax  45834  dvasinbx  45841  ioodvbdlimc1lem2  45853  ioodvbdlimc2lem  45855  dvnxpaek  45863  dvnmul  45864  itgsinexplem1  45875  dirkertrigeqlem2  46020  fourierdlem42  46070  fourierdlem83  46110  sqwvfoura  46149  fouriersw  46152  elaa2lem  46154  etransclem15  46170  etransclem24  46179  etransclem35  46190  etransclem46  46201  sigarcol  46785  sharhght  46786  fmtnofac2  47443  rrx2linest  48476  line2x  48488  line2y  48489  itschlc0yqe  48494  itschlc0xyqsol1  48500  itschlc0xyqsol  48501  2itscp  48515  aacllem  48895