Theorem lazmulcl 49734

Description: The extended integers are closed under multiplication if the square of the adjoined complex number is an extended integer. (Contributed by AV, 25-Oct-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
laznegcl.r	⊢ 𝑅 = (Z[]l‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lazmulcl	⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑆↑2) ∈ 𝑅) → ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑅))

Proof of Theorem lazmulcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		laznegcl.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (Z[]l‘𝑆)
2	1	eleq2i 2856	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑅 ↔ 𝐴 ∈ (Z[]l‘𝑆))
3	1	eleq2i 2856	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑅 ↔ 𝐵 ∈ (Z[]l‘𝑆))
4	2, 3	anbi12i 640	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅) ↔ (𝐴 ∈ (Z[]l‘𝑆) ∧ 𝐵 ∈ (Z[]l‘𝑆)))
5		ellazim 49721	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ (Z[]l‘𝑆)) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)))
6	5	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ (Z[]l‘𝑆) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆))))
7		ellazim 49721	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ (Z[]l‘𝑆)) → ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ 𝐵 = (𝑐 + (𝑑 · 𝑆)))
8	7	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ (Z[]l‘𝑆) → ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ 𝐵 = (𝑐 + (𝑑 · 𝑆))))
9	6, 8	anim12d 621	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ ℂ → ((𝐴 ∈ (Z[]l‘𝑆) ∧ 𝐵 ∈ (Z[]l‘𝑆)) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ 𝐵 = (𝑐 + (𝑑 · 𝑆)))))
10	4, 9	biimtrid 245	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ ℂ → ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ 𝐵 = (𝑐 + (𝑑 · 𝑆)))))
11	10	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑆↑2) ∈ 𝑅) → ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ 𝐵 = (𝑐 + (𝑑 · 𝑆)))))
12		oveq12 7458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) ∧ 𝐵 = (𝑐 + (𝑑 · 𝑆))) → (𝐴 · 𝐵) = ((𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) · (𝑐 + (𝑑 · 𝑆))))
13	12	ancoms 464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 = (𝑐 + (𝑑 · 𝑆)) ∧ 𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆))) → (𝐴 · 𝐵) = ((𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) · (𝑐 + (𝑑 · 𝑆))))
14	13	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑆↑2) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + (𝑑 · 𝑆)) ∧ 𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)))) → (𝐴 · 𝐵) = ((𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) · (𝑐 + (𝑑 · 𝑆))))
15		zcn 12736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
16	15	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑆↑2) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
17	16	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑆↑2) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
18		zcn 12736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
19	18	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑆↑2) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
20	19	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑆↑2) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
21		simplll 787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑆↑2) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → 𝑆 ∈ ℂ)
22		zcn 12736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 ∈ ℤ → 𝑐 ∈ ℂ)
23	22	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑆↑2) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → 𝑐 ∈ ℂ)
24		zcn 12736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 ∈ ℤ → 𝑑 ∈ ℂ)
25	24	ad2antll 742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑆↑2) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → 𝑑 ∈ ℂ)
26	17, 20, 21, 23, 25	addmuldir2d 14394	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑆↑2) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → ((𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) · (𝑐 + (𝑑 · 𝑆))) = (((𝑎 · 𝑐) + (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) · 𝑆)) + ((𝑏 · 𝑑) · (𝑆↑2))))
27		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
28	27	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑆↑2) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℤ)
29		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → 𝑐 ∈ ℤ)
30		zmulcl 12783	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑐) ∈ ℤ)
31	28, 29, 30	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑆↑2) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → (𝑎 · 𝑐) ∈ ℤ)
32		zellaz 49723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 · 𝑐) ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑐) ∈ (Z[]l‘𝑆))
33	21, 31, 32	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑆↑2) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → (𝑎 · 𝑐) ∈ (Z[]l‘𝑆))
34	33, 1	eleqtrrdi 2875	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑆↑2) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → (𝑎 · 𝑐) ∈ 𝑅)
35		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → 𝑑 ∈ ℤ)
36		zmulcl 12783	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑑) ∈ ℤ)
37	28, 35, 36	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑆↑2) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → (𝑎 · 𝑑) ∈ ℤ)
38		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℤ)
39	38	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑆↑2) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℤ)
40		zmulcl 12783	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑐 · 𝑏) ∈ ℤ)
41	29, 39, 40	syl2anr 609	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑆↑2) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → (𝑐 · 𝑏) ∈ ℤ)
42	37, 41	zaddcld 12845	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑆↑2) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) ∈ ℤ)
43		adcnmulzlaz 49725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) ∈ ℤ) → (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) · 𝑆) ∈ (Z[]l‘𝑆))
44	21, 42, 43	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑆↑2) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) · 𝑆) ∈ (Z[]l‘𝑆))
45	44, 1	eleqtrrdi 2875	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑆↑2) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) · 𝑆) ∈ 𝑅)
46	34, 45	jca 521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑆↑2) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → ((𝑎 · 𝑐) ∈ 𝑅 ∧ (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) · 𝑆) ∈ 𝑅))
47	1	lazaddcl 49732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ ℂ → (((𝑎 · 𝑐) ∈ 𝑅 ∧ (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) · 𝑆) ∈ 𝑅) → ((𝑎 · 𝑐) + (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) · 𝑆)) ∈ 𝑅))
48	21, 46, 47	sylc 66	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑆↑2) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → ((𝑎 · 𝑐) + (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) · 𝑆)) ∈ 𝑅)
49		zmulcl 12783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (𝑏 · 𝑑) ∈ ℤ)
50	39, 35, 49	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑆↑2) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → (𝑏 · 𝑑) ∈ ℤ)
51		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑆↑2) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → (𝑆↑2) ∈ 𝑅)
52	50, 51	jca 521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑆↑2) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → ((𝑏 · 𝑑) ∈ ℤ ∧ (𝑆↑2) ∈ 𝑅))
53	1	lazmulzcl 49731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ ℂ → (((𝑏 · 𝑑) ∈ ℤ ∧ (𝑆↑2) ∈ 𝑅) → ((𝑏 · 𝑑) · (𝑆↑2)) ∈ 𝑅))
54	21, 52, 53	sylc 66	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑆↑2) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → ((𝑏 · 𝑑) · (𝑆↑2)) ∈ 𝑅)
55	48, 54	jca 521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑆↑2) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → (((𝑎 · 𝑐) + (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) · 𝑆)) ∈ 𝑅 ∧ ((𝑏 · 𝑑) · (𝑆↑2)) ∈ 𝑅))
56	1	lazaddcl 49732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ ℂ → ((((𝑎 · 𝑐) + (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) · 𝑆)) ∈ 𝑅 ∧ ((𝑏 · 𝑑) · (𝑆↑2)) ∈ 𝑅) → (((𝑎 · 𝑐) + (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) · 𝑆)) + ((𝑏 · 𝑑) · (𝑆↑2))) ∈ 𝑅))
57	21, 55, 56	sylc 66	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑆↑2) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → (((𝑎 · 𝑐) + (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) · 𝑆)) + ((𝑏 · 𝑑) · (𝑆↑2))) ∈ 𝑅)
58	26, 57	eqeltrd 2864	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑆↑2) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → ((𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) · (𝑐 + (𝑑 · 𝑆))) ∈ 𝑅)
59	58	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑆↑2) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + (𝑑 · 𝑆)) ∧ 𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)))) → ((𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) · (𝑐 + (𝑑 · 𝑆))) ∈ 𝑅)
60	14, 59	eqeltrd 2864	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑆↑2) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + (𝑑 · 𝑆)) ∧ 𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)))) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑅)
61	60	exp32 426	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑆↑2) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → (𝐵 = (𝑐 + (𝑑 · 𝑆)) → (𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑅)))
62	61	rexlimdvva 3223	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑆↑2) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ 𝐵 = (𝑐 + (𝑑 · 𝑆)) → (𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑅)))
63	62	com23 87	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑆↑2) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) → (∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ 𝐵 = (𝑐 + (𝑑 · 𝑆)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑅)))
64	63	rexlimdvva 3223	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑆↑2) ∈ 𝑅) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) → (∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ 𝐵 = (𝑐 + (𝑑 · 𝑆)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑅)))
65	64	impd 416	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑆↑2) ∈ 𝑅) → ((∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ 𝐵 = (𝑐 + (𝑑 · 𝑆))) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑅))
66	11, 65	syld 48	1 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑆↑2) ∈ 𝑅) → ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  ℂcc 11235   + caddc 11240   · cmul 11242  2c2 12435  ℤcz 12731  ↑cexp 14242  Z[]lclaz 49717

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-nn 12374  df-2 12443  df-n0 12645  df-z 12732  df-uz 13004  df-seq 14183  df-exp 14243  df-laz 49718

This theorem is used by:  gzmulclALT  49736  ezsubrg  49753