Theorem addridd 11459

Description: 0 is an additive identity. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addridd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)

Proof of Theorem addridd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addrid 11439	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  0cc0 11153   + caddc 11156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298

This theorem is referenced by:  ltaddneg  11475  subsub2  11535  negsub  11555  ltaddpos  11751  addge01  11771  add20  11773  nnge1  12292  nnnn0addcl  12554  un0addcl  12557  uzaddcl  12944  xaddrid  13280  fzosubel3  13762  expadd  14142  faclbnd4lem4  14332  faclbnd6  14335  hashgadd  14413  ccatrid  14622  pfxmpt  14713  pfxfv  14717  pfxswrd  14741  pfxccatin12lem1  14763  pfxccatin12lem2  14766  swrdccat3blem  14774  cshweqrep  14856  relexpaddg  15089  reim0b  15155  rereb  15156  immul2  15173  max0add  15346  iseraltlem2  15716  fsumsplit  15774  sumsplit  15801  binomfallfaclem2  16073  pwp1fsum  16425  bitsinv1lem  16475  sadadd2lem2  16484  sadcaddlem  16491  bezoutlem1  16573  pcadd  16923  pcadd2  16924  pcmpt  16926  vdwapun  17008  vdwlem1  17015  mulgnn0dir  19135  psgnunilem2  19528  sylow1lem1  19631  efginvrel2  19760  efgredleme  19776  efgcpbllemb  19788  frgpnabllem1  19906  regsumfsum  21471  pzriprnglem10  21519  regsumsupp  21658  mplcoe5  22076  psdmul  22188  xrsxmet  24845  reparphti  25043  reparphtiOLD  25044  cphpyth  25264  minveclem6  25482  ovolunnul  25549  voliunlem3  25601  ovolioo  25617  itg2splitlem  25798  itg2split  25799  itgrevallem1  25845  itgsplitioo  25888  ditgsplit  25911  dvnadd  25980  dvlipcn  26048  ply1divex  26191  dvntaylp  26428  ulmshft  26448  abelthlem6  26495  cosmpi  26545  sinppi  26546  sinhalfpip  26549  logrnaddcl  26631  affineequiv  26881  chordthmlem3  26892  atanlogaddlem  26971  atanlogsublem  26973  leibpi  27000  scvxcvx  27044  dmgmn0  27084  lgamgulmlem2  27088  lgambdd  27095  logexprlim  27284  2sqblem  27490  2sq2  27492  2sqnn  27498  dchrvmasum2if  27556  dchrvmasumlem  27582  axcontlem8  29001  elntg2  29015  crctcshlem4  29850  eupth2lem3lem6  30262  ipidsq  30739  minvecolem6  30911  normpyc  31175  pjspansn  31606  lnfnmuli  32073  hstoh  32261  archirngz  33179  constrrtlc2  33739  constrsslem  33746  2sqr3minply  33753  indsumin  34003  esumpfinvallem  34055  signsvtp  34577  signlem0  34581  fsum2dsub  34601  cvxpconn  35227  cvxsconn  35228  elmrsubrn  35505  faclim2  35728  fwddifn0  36146  fwddifnp1  36147  dnizeq0  36458  knoppndvlem6  36500  bj-bary1lem  37293  poimirlem1  37608  poimirlem5  37612  poimirlem6  37613  poimirlem7  37614  poimirlem11  37618  poimirlem12  37619  poimirlem17  37624  poimirlem20  37627  poimirlem22  37629  poimirlem24  37631  poimirlem25  37632  poimirlem29  37636  poimirlem31  37638  mblfinlem2  37645  mbfposadd  37654  itg2addnc  37661  itgaddnclem2  37666  ftc1anclem5  37684  ftc1anclem8  37687  areacirc  37700  lcmineqlem4  42014  lcmineqlem18  42028  aks4d1p1p7  42056  aks4d1p3  42060  posbezout  42082  primrootspoweq0  42088  sticksstones10  42137  sticksstones12a  42139  unitscyglem5  42181  metakunt29  42215  metakunt30  42216  3cubeslem2  42673  3cubeslem3r  42675  pell1qrgaplem  42861  jm2.19lem3  42980  jm2.25  42988  relexpaddss  43708  int-add01d  44174  binomcxplemnn0  44345  fperiodmullem  45254  xralrple3  45324  sumnnodd  45586  fprodaddrecnncnvlem  45865  ioodvbdlimc1lem2  45888  volioc  45928  volico  45939  stoweidlem11  45967  stoweidlem26  45982  stirlinglem12  46041  fourierdlem4  46067  fourierdlem42  46105  fourierdlem60  46122  fourierdlem61  46123  fourierdlem92  46154  fourierdlem107  46169  fouriersw  46187  etransclem24  46214  etransclem35  46225  hoidmvlelem2  46552  hspmbllem1  46582  sharhght  46821  deccarry  47261  nn0mnd  48023  altgsumbcALT  48198  itcovalpclem1  48520  eenglngeehlnmlem2  48588  line2y  48605  itschlc0xyqsol1  48616  itschlc0xyqsol  48617  2itscp  48631