Theorem addridd 11416

Description: 0 is an additive identity. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addridd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)

Proof of Theorem addridd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addrid 11396	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7412  ℂcc 11104  0cc0 11106   + caddc 11109

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254

This theorem is used by:  ltaddneg  11432  subsub2  11492  negsub  11512  ltaddpos  11710  addge01  11730  add20  11732  nnge1  12270  nnnn0addcl  12540  un0addcl  12543  uzaddcl  12934  xaddrid  13273  fzosubel3  13762  expadd  14147  faclbnd4lem4  14339  faclbnd6  14342  hashgadd  14420  ccatrid  14632  pfxmpt  14723  pfxfv  14727  pfxswrd  14750  pfxccatin12lem1  14772  pfxccatin12lem2  14775  swrdccat3blem  14783  cshweqrep  14865  relexpaddg  15097  reim0b  15177  rereb  15178  immul2  15195  max0add  15368  iseraltlem2  15741  fsumsplit  15799  sumsplit  15826  binomfallfaclem2  16100  pwp1fsum  16455  bitsinv1lem  16505  sadadd2lem2  16514  sadcaddlem  16521  bezoutlem1  16603  pcadd  16955  pcadd2  16956  pcmpt  16958  vdwapun  17040  vdwlem1  17047  chnccat  18688  mulgnn0dir  19176  psgnunilem2  19571  sylow1lem1  19674  efginvrel2  19803  efgredleme  19819  efgcpbllemb  19831  frgpnabllem1  19949  regsumfsum  21596  pzriprnglem10  21651  regsumsupp  21783  mplcoe5  22202  psdmul  22340  xrsxmet  24978  reparphti  25167  cphpyth  25386  minveclem6  25604  ovolunnul  25670  voliunlem3  25722  ovolioo  25738  itg2splitlem  25918  itg2split  25919  itgrevallem1  25965  itgsplitioo  26008  ditgsplit  26031  dvnadd  26099  dvlipcn  26164  ply1divex  26305  dvntaylp  26545  ulmshft  26564  abelthlem6  26610  cosmpi  26664  sinppi  26665  sinhalfpip  26668  logrnaddcl  26750  affineequiv  26999  chordthmlem3  27010  atanlogaddlem  27089  atanlogsublem  27091  leibpi  27118  scvxcvx  27161  dmgmn0  27201  lgamgulmlem2  27205  lgambdd  27212  logexprlim  27400  2sqblem  27606  2sq2  27608  2sqnn  27614  dchrvmasum2if  27672  dchrvmasumlem  27698  axcontlem8  29332  elntg2  29346  crctcshlem4  30180  eupth2lem3lem6  30595  ipidsq  31073  minvecolem6  31245  normpyc  31509  pjspansn  31940  lnfnmuli  32407  hstoh  32595  indsumin  33192  archirngz  33518  constrrtlc2  34132  constrsslem  34140  2sqr3minply  34179  cos9thpiminply  34187  esumpfinvallem  34473  signsvtp  34979  signlem0  34983  fsum2dsub  35003  cvxpconn  35742  cvxsconn  35743  elmrsubrn  36020  faclim2  36248  fwddifn0  36664  fwddifnp1  36665  dnizeq0  37092  knoppndvlem6  37134  bj-bary1lem  37982  poimirlem1  38300  poimirlem5  38304  poimirlem6  38305  poimirlem7  38306  poimirlem11  38310  poimirlem12  38311  poimirlem17  38316  poimirlem20  38319  poimirlem22  38321  poimirlem24  38323  poimirlem25  38324  poimirlem29  38328  poimirlem31  38330  mblfinlem2  38337  mbfposadd  38346  itg2addnc  38353  itgaddnclem2  38358  ftc1anclem5  38376  ftc1anclem8  38379  areacirc  38392  lcmineqlem4  42827  lcmineqlem18  42841  aks4d1p1p7  42869  aks4d1p3  42873  posbezout  42895  primrootspoweq0  42901  sticksstones10  42950  sticksstones12a  42952  unitscyglem5  42994  3cubeslem2  43444  3cubeslem3r  43446  pell1qrgaplem  43628  jm2.19lem3  43746  jm2.25  43754  relexpaddss  44472  int-add01d  44938  binomcxplemnn0  45087  fperiodmullem  46050  xralrple3  46117  sumnnodd  46374  fprodaddrecnncnvlem  46651  ioodvbdlimc1lem2  46674  volioc  46714  volico  46725  stoweidlem11  46753  stoweidlem26  46768  stirlinglem12  46827  fourierdlem4  46853  fourierdlem42  46891  fourierdlem60  46908  fourierdlem61  46909  fourierdlem92  46940  fourierdlem107  46955  fouriersw  46973  etransclem24  47000  etransclem35  47011  hoidmvlelem2  47338  hspmbllem1  47368  sharhght  47607  deccarry  48076  flmrecm1  48108  nn0mnd  48972  altgsumbcALT  49161  itcovalpclem1  49478  eenglngeehlnmlem2  49546  line2y  49563  itschlc0xyqsol1  49574  itschlc0xyqsol  49575  2itscp  49589