Theorem addridd 11490

Description: 0 is an additive identity. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addridd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)

Proof of Theorem addridd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addrid 11470	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184   + caddc 11187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329

This theorem is referenced by:  ltaddneg  11505  subsub2  11564  negsub  11584  ltaddpos  11780  addge01  11800  add20  11802  nnge1  12321  nnnn0addcl  12583  un0addcl  12586  uzaddcl  12969  xaddrid  13303  fzosubel3  13777  expadd  14155  faclbnd4lem4  14345  faclbnd6  14348  hashgadd  14426  ccatrid  14635  pfxmpt  14726  pfxfv  14730  pfxswrd  14754  pfxccatin12lem1  14776  pfxccatin12lem2  14779  swrdccat3blem  14787  cshweqrep  14869  relexpaddg  15102  reim0b  15168  rereb  15169  immul2  15186  max0add  15359  iseraltlem2  15731  fsumsplit  15789  sumsplit  15816  binomfallfaclem2  16088  pwp1fsum  16439  bitsinv1lem  16487  sadadd2lem2  16496  sadcaddlem  16503  bezoutlem1  16586  pcadd  16936  pcadd2  16937  pcmpt  16939  vdwapun  17021  vdwlem1  17028  mulgnn0dir  19144  psgnunilem2  19537  sylow1lem1  19640  efginvrel2  19769  efgredleme  19785  efgcpbllemb  19797  frgpnabllem1  19915  regsumfsum  21476  pzriprnglem10  21524  regsumsupp  21663  mplcoe5  22081  psdmul  22193  xrsxmet  24850  reparphti  25048  reparphtiOLD  25049  cphpyth  25269  minveclem6  25487  ovolunnul  25554  voliunlem3  25606  ovolioo  25622  itg2splitlem  25803  itg2split  25804  itgrevallem1  25850  itgsplitioo  25893  ditgsplit  25916  dvnadd  25985  dvlipcn  26053  ply1divex  26196  dvntaylp  26431  ulmshft  26451  abelthlem6  26498  cosmpi  26548  sinppi  26549  sinhalfpip  26552  logrnaddcl  26634  affineequiv  26884  chordthmlem3  26895  atanlogaddlem  26974  atanlogsublem  26976  leibpi  27003  scvxcvx  27047  dmgmn0  27087  lgamgulmlem2  27091  lgambdd  27098  logexprlim  27287  2sqblem  27493  2sq2  27495  2sqnn  27501  dchrvmasum2if  27559  dchrvmasumlem  27585  axcontlem8  29004  elntg2  29018  crctcshlem4  29853  eupth2lem3lem6  30265  ipidsq  30742  minvecolem6  30914  normpyc  31178  pjspansn  31609  lnfnmuli  32076  hstoh  32264  archirngz  33169  constrrtlc2  33724  constrsslem  33731  2sqr3minply  33738  indsumin  33986  esumpfinvallem  34038  signsvtp  34560  signlem0  34564  fsum2dsub  34584  cvxpconn  35210  cvxsconn  35211  elmrsubrn  35488  faclim2  35710  fwddifn0  36128  fwddifnp1  36129  dnizeq0  36441  knoppndvlem6  36483  bj-bary1lem  37276  poimirlem1  37581  poimirlem5  37585  poimirlem6  37586  poimirlem7  37587  poimirlem11  37591  poimirlem12  37592  poimirlem17  37597  poimirlem20  37600  poimirlem22  37602  poimirlem24  37604  poimirlem25  37605  poimirlem29  37609  poimirlem31  37611  mblfinlem2  37618  mbfposadd  37627  itg2addnc  37634  itgaddnclem2  37639  ftc1anclem5  37657  ftc1anclem8  37660  areacirc  37673  lcmineqlem4  41989  lcmineqlem18  42003  aks4d1p1p7  42031  aks4d1p3  42035  posbezout  42057  primrootspoweq0  42063  sticksstones10  42112  sticksstones12a  42114  unitscyglem5  42156  metakunt29  42190  metakunt30  42191  3cubeslem2  42641  3cubeslem3r  42643  pell1qrgaplem  42829  jm2.19lem3  42948  jm2.25  42956  relexpaddss  43680  int-add01d  44146  binomcxplemnn0  44318  fperiodmullem  45218  xralrple3  45289  sumnnodd  45551  fprodaddrecnncnvlem  45830  ioodvbdlimc1lem2  45853  volioc  45893  volico  45904  stoweidlem11  45932  stoweidlem26  45947  stirlinglem12  46006  fourierdlem4  46032  fourierdlem42  46070  fourierdlem60  46087  fourierdlem61  46088  fourierdlem92  46119  fourierdlem107  46134  fouriersw  46152  etransclem24  46179  etransclem35  46190  hoidmvlelem2  46517  hspmbllem1  46547  sharhght  46786  deccarry  47226  nn0mnd  47902  altgsumbcALT  48078  itcovalpclem1  48404  eenglngeehlnmlem2  48472  line2y  48489  itschlc0xyqsol1  48500  itschlc0xyqsol  48501  2itscp  48515