Theorem addridd 11435

Description: 0 is an additive identity. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addridd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)

Proof of Theorem addridd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addrid 11415	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  0cc0 11129   + caddc 11132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274

This theorem is referenced by:  ltaddneg  11451  subsub2  11511  negsub  11531  ltaddpos  11727  addge01  11747  add20  11749  nnge1  12268  nnnn0addcl  12531  un0addcl  12534  uzaddcl  12920  xaddrid  13257  fzosubel3  13742  expadd  14122  faclbnd4lem4  14314  faclbnd6  14317  hashgadd  14395  ccatrid  14605  pfxmpt  14696  pfxfv  14700  pfxswrd  14724  pfxccatin12lem1  14746  pfxccatin12lem2  14749  swrdccat3blem  14757  cshweqrep  14839  relexpaddg  15072  reim0b  15138  rereb  15139  immul2  15156  max0add  15329  iseraltlem2  15699  fsumsplit  15757  sumsplit  15784  binomfallfaclem2  16056  pwp1fsum  16410  bitsinv1lem  16460  sadadd2lem2  16469  sadcaddlem  16476  bezoutlem1  16558  pcadd  16909  pcadd2  16910  pcmpt  16912  vdwapun  16994  vdwlem1  17001  mulgnn0dir  19087  psgnunilem2  19476  sylow1lem1  19579  efginvrel2  19708  efgredleme  19724  efgcpbllemb  19736  frgpnabllem1  19854  regsumfsum  21403  pzriprnglem10  21451  regsumsupp  21582  mplcoe5  21998  psdmul  22104  xrsxmet  24749  reparphti  24947  reparphtiOLD  24948  cphpyth  25168  minveclem6  25386  ovolunnul  25453  voliunlem3  25505  ovolioo  25521  itg2splitlem  25701  itg2split  25702  itgrevallem1  25748  itgsplitioo  25791  ditgsplit  25814  dvnadd  25883  dvlipcn  25951  ply1divex  26094  dvntaylp  26331  ulmshft  26351  abelthlem6  26398  cosmpi  26449  sinppi  26450  sinhalfpip  26453  logrnaddcl  26535  affineequiv  26785  chordthmlem3  26796  atanlogaddlem  26875  atanlogsublem  26877  leibpi  26904  scvxcvx  26948  dmgmn0  26988  lgamgulmlem2  26992  lgambdd  26999  logexprlim  27188  2sqblem  27394  2sq2  27396  2sqnn  27402  dchrvmasum2if  27460  dchrvmasumlem  27486  axcontlem8  28950  elntg2  28964  crctcshlem4  29802  eupth2lem3lem6  30214  ipidsq  30691  minvecolem6  30863  normpyc  31127  pjspansn  31558  lnfnmuli  32025  hstoh  32213  indsumin  32839  archirngz  33187  constrrtlc2  33767  constrsslem  33775  2sqr3minply  33814  cos9thpiminply  33822  esumpfinvallem  34105  signsvtp  34615  signlem0  34619  fsum2dsub  34639  cvxpconn  35264  cvxsconn  35265  elmrsubrn  35542  faclim2  35765  fwddifn0  36182  fwddifnp1  36183  dnizeq0  36493  knoppndvlem6  36535  bj-bary1lem  37328  poimirlem1  37645  poimirlem5  37649  poimirlem6  37650  poimirlem7  37651  poimirlem11  37655  poimirlem12  37656  poimirlem17  37661  poimirlem20  37664  poimirlem22  37666  poimirlem24  37668  poimirlem25  37669  poimirlem29  37673  poimirlem31  37675  mblfinlem2  37682  mbfposadd  37691  itg2addnc  37698  itgaddnclem2  37703  ftc1anclem5  37721  ftc1anclem8  37724  areacirc  37737  lcmineqlem4  42045  lcmineqlem18  42059  aks4d1p1p7  42087  aks4d1p3  42091  posbezout  42113  primrootspoweq0  42119  sticksstones10  42168  sticksstones12a  42170  unitscyglem5  42212  metakunt29  42246  metakunt30  42247  3cubeslem2  42708  3cubeslem3r  42710  pell1qrgaplem  42896  jm2.19lem3  43015  jm2.25  43023  relexpaddss  43742  int-add01d  44208  binomcxplemnn0  44373  fperiodmullem  45332  xralrple3  45401  sumnnodd  45659  fprodaddrecnncnvlem  45938  ioodvbdlimc1lem2  45961  volioc  46001  volico  46012  stoweidlem11  46040  stoweidlem26  46055  stirlinglem12  46114  fourierdlem4  46140  fourierdlem42  46178  fourierdlem60  46195  fourierdlem61  46196  fourierdlem92  46227  fourierdlem107  46242  fouriersw  46260  etransclem24  46287  etransclem35  46298  hoidmvlelem2  46625  hspmbllem1  46655  sharhght  46894  deccarry  47340  nn0mnd  48154  altgsumbcALT  48328  itcovalpclem1  48650  eenglngeehlnmlem2  48718  line2y  48735  itschlc0xyqsol1  48746  itschlc0xyqsol  48747  2itscp  48761