Theorem addridd 11415

Description: 0 is an additive identity. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addridd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)

Proof of Theorem addridd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addrid 11395	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7404  ℂcc 11107  0cc0 11109   + caddc 11112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254

This theorem is referenced by:  ltaddneg  11430  subsub2  11489  negsub  11509  ltaddpos  11705  addge01  11725  add20  11727  nnge1  12241  nnnn0addcl  12503  un0addcl  12506  uzaddcl  12889  xaddrid  13223  fzosubel3  13696  expadd  14073  faclbnd4lem4  14259  faclbnd6  14262  hashgadd  14340  ccatrid  14541  pfxmpt  14632  pfxfv  14636  pfxswrd  14660  pfxccatin12lem1  14682  pfxccatin12lem2  14685  swrdccat3blem  14693  cshweqrep  14775  relexpaddg  15004  reim0b  15070  rereb  15071  immul2  15088  max0add  15261  iseraltlem2  15633  fsumsplit  15691  sumsplit  15718  binomfallfaclem2  15988  pwp1fsum  16339  bitsinv1lem  16387  sadadd2lem2  16396  sadcaddlem  16403  bezoutlem1  16486  pcadd  16829  pcadd2  16830  pcmpt  16832  vdwapun  16914  vdwlem1  16921  mulgnn0dir  19029  psgnunilem2  19413  sylow1lem1  19516  efginvrel2  19645  efgredleme  19661  efgcpbllemb  19673  frgpnabllem1  19791  regsumfsum  21325  pzriprnglem10  21373  regsumsupp  21511  mplcoe5  21933  xrsxmet  24676  reparphti  24874  reparphtiOLD  24875  cphpyth  25095  minveclem6  25313  ovolunnul  25380  voliunlem3  25432  ovolioo  25448  itg2splitlem  25629  itg2split  25630  itgrevallem1  25675  itgsplitioo  25718  ditgsplit  25741  dvnadd  25810  dvlipcn  25878  ply1divex  26023  dvntaylp  26257  ulmshft  26277  abelthlem6  26324  cosmpi  26374  sinppi  26375  sinhalfpip  26378  logrnaddcl  26459  affineequiv  26706  chordthmlem3  26717  atanlogaddlem  26796  atanlogsublem  26798  leibpi  26825  scvxcvx  26869  dmgmn0  26909  lgamgulmlem2  26913  lgambdd  26920  logexprlim  27109  2sqblem  27315  2sq2  27317  2sqnn  27323  dchrvmasum2if  27381  dchrvmasumlem  27407  axcontlem8  28733  elntg2  28747  crctcshlem4  29579  eupth2lem3lem6  29991  ipidsq  30468  minvecolem6  30640  normpyc  30904  pjspansn  31335  lnfnmuli  31802  hstoh  31990  archirngz  32839  indsumin  33550  esumpfinvallem  33602  signsvtp  34124  signlem0  34128  fsum2dsub  34148  cvxpconn  34761  cvxsconn  34762  elmrsubrn  35039  faclim2  35251  fwddifn0  35669  fwddifnp1  35670  dnizeq0  35859  knoppndvlem6  35901  bj-bary1lem  36698  poimirlem1  37000  poimirlem5  37004  poimirlem6  37005  poimirlem7  37006  poimirlem11  37010  poimirlem12  37011  poimirlem17  37016  poimirlem20  37019  poimirlem22  37021  poimirlem24  37023  poimirlem25  37024  poimirlem29  37028  poimirlem31  37030  mblfinlem2  37037  mbfposadd  37046  itg2addnc  37053  itgaddnclem2  37058  ftc1anclem5  37076  ftc1anclem8  37079  areacirc  37092  lcmineqlem4  41411  lcmineqlem18  41425  aks4d1p1p7  41453  aks4d1p3  41457  posbezout  41478  sticksstones10  41513  sticksstones12a  41515  metakunt29  41555  metakunt30  41556  3cubeslem2  41982  3cubeslem3r  41984  pell1qrgaplem  42170  jm2.19lem3  42289  jm2.25  42297  relexpaddss  43026  int-add01d  43493  binomcxplemnn0  43665  fperiodmullem  44566  xralrple3  44637  sumnnodd  44899  fprodaddrecnncnvlem  45178  ioodvbdlimc1lem2  45201  volioc  45241  volico  45252  stoweidlem11  45280  stoweidlem26  45295  stirlinglem12  45354  fourierdlem4  45380  fourierdlem42  45418  fourierdlem60  45435  fourierdlem61  45436  fourierdlem92  45467  fourierdlem107  45482  fouriersw  45500  etransclem24  45527  etransclem35  45538  hoidmvlelem2  45865  hspmbllem1  45895  sharhght  46134  deccarry  46572  nn0mnd  47110  altgsumbcALT  47286  itcovalpclem1  47612  eenglngeehlnmlem2  47680  line2y  47697  itschlc0xyqsol1  47708  itschlc0xyqsol  47709  2itscp  47723