Theorem addridd 11374

Description: 0 is an additive identity. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addridd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)

Proof of Theorem addridd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addrid 11354	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068   + caddc 11071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213

This theorem is referenced by:  ltaddneg  11390  subsub2  11450  negsub  11470  ltaddpos  11668  addge01  11688  add20  11690  nnge1  12214  nnnn0addcl  12472  un0addcl  12475  uzaddcl  12863  xaddrid  13201  fzosubel3  13687  expadd  14069  faclbnd4lem4  14261  faclbnd6  14264  hashgadd  14342  ccatrid  14552  pfxmpt  14643  pfxfv  14647  pfxswrd  14671  pfxccatin12lem1  14693  pfxccatin12lem2  14696  swrdccat3blem  14704  cshweqrep  14786  relexpaddg  15019  reim0b  15085  rereb  15086  immul2  15103  max0add  15276  iseraltlem2  15649  fsumsplit  15707  sumsplit  15734  binomfallfaclem2  16006  pwp1fsum  16361  bitsinv1lem  16411  sadadd2lem2  16420  sadcaddlem  16427  bezoutlem1  16509  pcadd  16860  pcadd2  16861  pcmpt  16863  vdwapun  16945  vdwlem1  16952  mulgnn0dir  19036  psgnunilem2  19425  sylow1lem1  19528  efginvrel2  19657  efgredleme  19673  efgcpbllemb  19685  frgpnabllem1  19803  regsumfsum  21352  pzriprnglem10  21400  regsumsupp  21531  mplcoe5  21947  psdmul  22053  xrsxmet  24698  reparphti  24896  reparphtiOLD  24897  cphpyth  25116  minveclem6  25334  ovolunnul  25401  voliunlem3  25453  ovolioo  25469  itg2splitlem  25649  itg2split  25650  itgrevallem1  25696  itgsplitioo  25739  ditgsplit  25762  dvnadd  25831  dvlipcn  25899  ply1divex  26042  dvntaylp  26279  ulmshft  26299  abelthlem6  26346  cosmpi  26397  sinppi  26398  sinhalfpip  26401  logrnaddcl  26483  affineequiv  26733  chordthmlem3  26744  atanlogaddlem  26823  atanlogsublem  26825  leibpi  26852  scvxcvx  26896  dmgmn0  26936  lgamgulmlem2  26940  lgambdd  26947  logexprlim  27136  2sqblem  27342  2sq2  27344  2sqnn  27350  dchrvmasum2if  27408  dchrvmasumlem  27434  axcontlem8  28898  elntg2  28912  crctcshlem4  29750  eupth2lem3lem6  30162  ipidsq  30639  minvecolem6  30811  normpyc  31075  pjspansn  31506  lnfnmuli  31973  hstoh  32161  indsumin  32785  archirngz  33143  constrrtlc2  33723  constrsslem  33731  2sqr3minply  33770  cos9thpiminply  33778  esumpfinvallem  34064  signsvtp  34574  signlem0  34578  fsum2dsub  34598  cvxpconn  35229  cvxsconn  35230  elmrsubrn  35507  faclim2  35735  fwddifn0  36152  fwddifnp1  36153  dnizeq0  36463  knoppndvlem6  36505  bj-bary1lem  37298  poimirlem1  37615  poimirlem5  37619  poimirlem6  37620  poimirlem7  37621  poimirlem11  37625  poimirlem12  37626  poimirlem17  37631  poimirlem20  37634  poimirlem22  37636  poimirlem24  37638  poimirlem25  37639  poimirlem29  37643  poimirlem31  37645  mblfinlem2  37652  mbfposadd  37661  itg2addnc  37668  itgaddnclem2  37673  ftc1anclem5  37691  ftc1anclem8  37694  areacirc  37707  lcmineqlem4  42020  lcmineqlem18  42034  aks4d1p1p7  42062  aks4d1p3  42066  posbezout  42088  primrootspoweq0  42094  sticksstones10  42143  sticksstones12a  42145  unitscyglem5  42187  3cubeslem2  42673  3cubeslem3r  42675  pell1qrgaplem  42861  jm2.19lem3  42980  jm2.25  42988  relexpaddss  43707  int-add01d  44173  binomcxplemnn0  44338  fperiodmullem  45301  xralrple3  45370  sumnnodd  45628  fprodaddrecnncnvlem  45907  ioodvbdlimc1lem2  45930  volioc  45970  volico  45981  stoweidlem11  46009  stoweidlem26  46024  stirlinglem12  46083  fourierdlem4  46109  fourierdlem42  46147  fourierdlem60  46164  fourierdlem61  46165  fourierdlem92  46196  fourierdlem107  46211  fouriersw  46229  etransclem24  46256  etransclem35  46267  hoidmvlelem2  46594  hspmbllem1  46624  sharhght  46863  deccarry  47312  nn0mnd  48167  altgsumbcALT  48341  itcovalpclem1  48659  eenglngeehlnmlem2  48727  line2y  48744  itschlc0xyqsol1  48755  itschlc0xyqsol  48756  2itscp  48770