Theorem addridd 11334

Description: 0 is an additive identity. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addridd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)

Proof of Theorem addridd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addrid 11314	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7358  ℂcc 11025  0cc0 11027   + caddc 11030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7361  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-ltxr 11172

This theorem is referenced by:  ltaddneg  11350  subsub2  11410  negsub  11430  ltaddpos  11628  addge01  11648  add20  11650  nnge1  12174  nnnn0addcl  12432  un0addcl  12435  uzaddcl  12818  xaddrid  13157  fzosubel3  13643  expadd  14028  faclbnd4lem4  14220  faclbnd6  14223  hashgadd  14301  ccatrid  14512  pfxmpt  14603  pfxfv  14607  pfxswrd  14630  pfxccatin12lem1  14652  pfxccatin12lem2  14655  swrdccat3blem  14663  cshweqrep  14745  relexpaddg  14977  reim0b  15043  rereb  15044  immul2  15061  max0add  15234  iseraltlem2  15607  fsumsplit  15665  sumsplit  15692  binomfallfaclem2  15964  pwp1fsum  16319  bitsinv1lem  16369  sadadd2lem2  16378  sadcaddlem  16385  bezoutlem1  16467  pcadd  16818  pcadd2  16819  pcmpt  16821  vdwapun  16903  vdwlem1  16910  chnccat  18550  mulgnn0dir  19038  psgnunilem2  19428  sylow1lem1  19531  efginvrel2  19660  efgredleme  19676  efgcpbllemb  19688  frgpnabllem1  19806  regsumfsum  21392  pzriprnglem10  21447  regsumsupp  21579  mplcoe5  21996  psdmul  22110  xrsxmet  24753  reparphti  24942  cphpyth  25161  minveclem6  25379  ovolunnul  25445  voliunlem3  25497  ovolioo  25513  itg2splitlem  25693  itg2split  25694  itgrevallem1  25740  itgsplitioo  25783  ditgsplit  25806  dvnadd  25874  dvlipcn  25940  ply1divex  26083  dvntaylp  26319  ulmshft  26339  abelthlem6  26386  cosmpi  26437  sinppi  26438  sinhalfpip  26441  logrnaddcl  26523  affineequiv  26773  chordthmlem3  26784  atanlogaddlem  26863  atanlogsublem  26865  leibpi  26892  scvxcvx  26936  dmgmn0  26976  lgamgulmlem2  26980  lgambdd  26987  logexprlim  27176  2sqblem  27382  2sq2  27384  2sqnn  27390  dchrvmasum2if  27448  dchrvmasumlem  27474  axcontlem8  29028  elntg2  29042  crctcshlem4  29877  eupth2lem3lem6  30292  ipidsq  30770  minvecolem6  30942  normpyc  31206  pjspansn  31637  lnfnmuli  32104  hstoh  32292  indsumin  32926  archirngz  33255  constrrtlc2  33883  constrsslem  33891  2sqr3minply  33930  cos9thpiminply  33938  esumpfinvallem  34224  signsvtp  34733  signlem0  34737  fsum2dsub  34757  cvxpconn  35430  cvxsconn  35431  elmrsubrn  35708  faclim2  35936  fwddifn0  36352  fwddifnp1  36353  dnizeq0  36733  knoppndvlem6  36775  bj-bary1lem  37622  poimirlem1  37933  poimirlem5  37937  poimirlem6  37938  poimirlem7  37939  poimirlem11  37943  poimirlem12  37944  poimirlem17  37949  poimirlem20  37952  poimirlem22  37954  poimirlem24  37956  poimirlem25  37957  poimirlem29  37961  poimirlem31  37963  mblfinlem2  37970  mbfposadd  37979  itg2addnc  37986  itgaddnclem2  37991  ftc1anclem5  38009  ftc1anclem8  38012  areacirc  38025  lcmineqlem4  42463  lcmineqlem18  42477  aks4d1p1p7  42505  aks4d1p3  42509  posbezout  42531  primrootspoweq0  42537  sticksstones10  42586  sticksstones12a  42588  unitscyglem5  42630  3cubeslem2  43116  3cubeslem3r  43118  pell1qrgaplem  43304  jm2.19lem3  43422  jm2.25  43430  relexpaddss  44148  int-add01d  44614  binomcxplemnn0  44779  fperiodmullem  45739  xralrple3  45806  sumnnodd  46064  fprodaddrecnncnvlem  46341  ioodvbdlimc1lem2  46364  volioc  46404  volico  46415  stoweidlem11  46443  stoweidlem26  46458  stirlinglem12  46517  fourierdlem4  46543  fourierdlem42  46581  fourierdlem60  46598  fourierdlem61  46599  fourierdlem92  46630  fourierdlem107  46645  fouriersw  46663  etransclem24  46690  etransclem35  46701  hoidmvlelem2  47028  hspmbllem1  47058  sharhght  47297  deccarry  47745  nn0mnd  48613  altgsumbcALT  48787  itcovalpclem1  49104  eenglngeehlnmlem2  49172  line2y  49189  itschlc0xyqsol1  49200  itschlc0xyqsol  49201  2itscp  49215