Theorem lazcjcl 49735

Description: The extended integers are closed under conjugation if the conjugation of the adjoined complex number is an extended integer. (Contributed by AV, 26-Oct-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
laznegcl.r	⊢ 𝑅 = (Z[]l‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lazcjcl	⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝑆) ∈ 𝑅) → (𝐴 ∈ 𝑅 → (∗‘𝐴) ∈ 𝑅))

Proof of Theorem lazcjcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		laznegcl.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Z[]l‘𝑆)
2	1	eleq2i 2856	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑅 ↔ 𝐴 ∈ (Z[]l‘𝑆))
3		ellazim 49721	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ (Z[]l‘𝑆)) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)))
4	3	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ (Z[]l‘𝑆) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆))))
5	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝑆) ∈ 𝑅) → (𝐴 ∈ (Z[]l‘𝑆) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆))))
6	2, 5	biimtrid 245	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝑆) ∈ 𝑅) → (𝐴 ∈ 𝑅 → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆))))
7		fveq2 6914	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) → (∗‘𝐴) = (∗‘(𝑎 + (𝑏 · 𝑆))))
8		zcn 12736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
9	8	ad2antrl 741	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝑆) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
10		zcn 12736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
11	10	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℂ)
12		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝑆) ∈ 𝑅) → 𝑆 ∈ ℂ)
13		mulcl 11321	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → (𝑏 · 𝑆) ∈ ℂ)
14	11, 12, 13	syl2anr 609	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝑆) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑏 · 𝑆) ∈ ℂ)
15	9, 14	cjaddd 15428	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝑆) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (∗‘(𝑎 + (𝑏 · 𝑆))) = ((∗‘𝑎) + (∗‘(𝑏 · 𝑆))))
16		zre 12735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℝ)
17	16	ad2antrl 741	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝑆) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℝ)
18	17	cjred 15434	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝑆) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (∗‘𝑎) = 𝑎)
19	11	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝑆) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
20	12	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝑆) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑆 ∈ ℂ)
21	19, 20	cjmuld 15429	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝑆) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (∗‘(𝑏 · 𝑆)) = ((∗‘𝑏) · (∗‘𝑆)))
22		zre 12735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℝ)
23	22	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℝ)
24	23	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝑆) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℝ)
25	24	cjred 15434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝑆) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (∗‘𝑏) = 𝑏)
26	25	oveq1d 7464	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝑆) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((∗‘𝑏) · (∗‘𝑆)) = (𝑏 · (∗‘𝑆)))
27	21, 26	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝑆) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (∗‘(𝑏 · 𝑆)) = (𝑏 · (∗‘𝑆)))
28	18, 27	oveq12d 7467	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝑆) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((∗‘𝑎) + (∗‘(𝑏 · 𝑆))) = (𝑎 + (𝑏 · (∗‘𝑆))))
29	15, 28	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝑆) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (∗‘(𝑎 + (𝑏 · 𝑆))) = (𝑎 + (𝑏 · (∗‘𝑆))))
30	7, 29	sylan9eqr 2820	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝑆) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆))) → (∗‘𝐴) = (𝑎 + (𝑏 · (∗‘𝑆))))
31		zellaz 49723	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ (Z[]l‘𝑆))
32	31	ad2ant2r 760	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝑆) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ (Z[]l‘𝑆))
33	32, 1	eleqtrrdi 2875	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝑆) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ 𝑅)
34		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝑆) ∈ 𝑅) → (∗‘𝑆) ∈ 𝑅)
35		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℤ)
36	34, 35	anim12ci 626	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝑆) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑏 ∈ ℤ ∧ (∗‘𝑆) ∈ 𝑅))
37	1	lazmulzcl 49731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ ℂ → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ (∗‘𝑆) ∈ 𝑅) → (𝑏 · (∗‘𝑆)) ∈ 𝑅))
38	20, 36, 37	sylc 66	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝑆) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑏 · (∗‘𝑆)) ∈ 𝑅)
39	33, 38	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝑆) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 ∈ 𝑅 ∧ (𝑏 · (∗‘𝑆)) ∈ 𝑅))
40	1	lazaddcl 49732	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ ℂ → ((𝑎 ∈ 𝑅 ∧ (𝑏 · (∗‘𝑆)) ∈ 𝑅) → (𝑎 + (𝑏 · (∗‘𝑆))) ∈ 𝑅))
41	20, 39, 40	sylc 66	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝑆) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 + (𝑏 · (∗‘𝑆))) ∈ 𝑅)
42	41	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝑆) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆))) → (𝑎 + (𝑏 · (∗‘𝑆))) ∈ 𝑅)
43	30, 42	eqeltrd 2864	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝑆) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ 𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆))) → (∗‘𝐴) ∈ 𝑅)
44	43	ex 418	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝑆) ∈ 𝑅) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) → (∗‘𝐴) ∈ 𝑅))
45	44	rexlimdvva 3223	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝑆) ∈ 𝑅) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) → (∗‘𝐴) ∈ 𝑅))
46	6, 45	syld 48	1 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝑆) ∈ 𝑅) → (𝐴 ∈ 𝑅 → (∗‘𝐴) ∈ 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  ℂcc 11235  ℝcr 11236   + caddc 11240   · cmul 11242  ℤcz 12731  ∗ccj 15304  Z[]lclaz 49717

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-n0 12645  df-z 12732  df-cj 15307  df-re 15308  df-im 15309  df-laz 49718

This theorem is used by: (None)