MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zorn2lem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zorn2lem6 10541
Description: Lemma for zorn2 10546. (Contributed by NM, 4-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zorn2lem.3 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
zorn2lem.4 𝐶 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.5 𝐷 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.7 𝐻 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧}
Assertion
Ref Expression
zorn2lem6 (𝑅 Po 𝐴 → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → 𝑅 Or (𝐹𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝐷,𝑓,𝑢,𝑣,𝑦   𝑓,𝐹,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝐶   𝑥,𝐻,𝑢,𝑣,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑢,𝑓,𝑔)   𝐷(𝑥,𝑧,𝑤,𝑔)   𝐹(𝑤)   𝐻(𝑦,𝑧,𝑤,𝑔)

Proof of Theorem zorn2lem6
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 poss 5594 . . . 4 ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴 → (𝑅 Po 𝐴𝑅 Po (𝐹𝑥)))
2 zorn2lem.3 . . . . 5 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
3 zorn2lem.4 . . . . 5 𝐶 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
4 zorn2lem.5 . . . . 5 𝐷 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧}
5 zorn2lem.7 . . . . 5 𝐻 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧}
62, 3, 4, 5zorn2lem5 10540 . . . 4 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)
71, 6syl11 33 . . 3 (𝑅 Po 𝐴 → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → 𝑅 Po (𝐹𝑥)))
82tfr1 8437 . . . . . . 7 𝐹 Fn On
9 fnfun 6668 . . . . . . 7 (𝐹 Fn On → Fun 𝐹)
10 fvelima 6974 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝐹𝑠 ∈ (𝐹𝑥)) → ∃𝑏𝑥 (𝐹𝑏) = 𝑠)
11 df-rex 3071 . . . . . . . . . 10 (∃𝑏𝑥 (𝐹𝑏) = 𝑠 ↔ ∃𝑏(𝑏𝑥 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑠))
1210, 11sylib 218 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹𝑠 ∈ (𝐹𝑥)) → ∃𝑏(𝑏𝑥 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑠))
1312ex 412 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹 → (𝑠 ∈ (𝐹𝑥) → ∃𝑏(𝑏𝑥 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑠)))
14 fvelima 6974 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝐹𝑟 ∈ (𝐹𝑥)) → ∃𝑎𝑥 (𝐹𝑎) = 𝑟)
15 df-rex 3071 . . . . . . . . . 10 (∃𝑎𝑥 (𝐹𝑎) = 𝑟 ↔ ∃𝑎(𝑎𝑥 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟))
1614, 15sylib 218 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹𝑟 ∈ (𝐹𝑥)) → ∃𝑎(𝑎𝑥 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟))
1716ex 412 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹 → (𝑟 ∈ (𝐹𝑥) → ∃𝑎(𝑎𝑥 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)))
1813, 17anim12d 609 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 → ((𝑠 ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑟 ∈ (𝐹𝑥)) → (∃𝑏(𝑏𝑥 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑠) ∧ ∃𝑎(𝑎𝑥 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟))))
198, 9, 18mp2b 10 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑟 ∈ (𝐹𝑥)) → (∃𝑏(𝑏𝑥 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑠) ∧ ∃𝑎(𝑎𝑥 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)))
20 an4 656 . . . . . . . 8 (((𝑏𝑥𝑎𝑥) ∧ ((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)) ↔ ((𝑏𝑥 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑠) ∧ (𝑎𝑥 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)))
21202exbii 1849 . . . . . . 7 (∃𝑏𝑎((𝑏𝑥𝑎𝑥) ∧ ((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)) ↔ ∃𝑏𝑎((𝑏𝑥 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑠) ∧ (𝑎𝑥 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)))
22 exdistrv 1955 . . . . . . 7 (∃𝑏𝑎((𝑏𝑥 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑠) ∧ (𝑎𝑥 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)) ↔ (∃𝑏(𝑏𝑥 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑠) ∧ ∃𝑎(𝑎𝑥 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)))
2321, 22bitri 275 . . . . . 6 (∃𝑏𝑎((𝑏𝑥𝑎𝑥) ∧ ((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)) ↔ (∃𝑏(𝑏𝑥 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑠) ∧ ∃𝑎(𝑎𝑥 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)))
2419, 23sylibr 234 . . . . 5 ((𝑠 ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑟 ∈ (𝐹𝑥)) → ∃𝑏𝑎((𝑏𝑥𝑎𝑥) ∧ ((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)))
255neeq1i 3005 . . . . . . . . . 10 (𝐻 ≠ ∅ ↔ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)
2625ralbii 3093 . . . . . . . . 9 (∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅ ↔ ∀𝑦𝑥 {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)
27 imaeq2 6074 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑏 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑏))
2827raleqdv 3326 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑏 → (∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧 ↔ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧))
2928rabbidv 3444 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑏 → {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧} = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧})
3029neeq1d 3000 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑏 → ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ↔ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅))
3130rspccv 3619 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦𝑥 {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ → (𝑏𝑥 → {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅))
32 imaeq2 6074 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑎 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑎))
3332raleqdv 3326 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑎 → (∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧 ↔ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧))
3433rabbidv 3444 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑎 → {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧} = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧})
3534neeq1d 3000 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑎 → ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ↔ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅))
3635rspccv 3619 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦𝑥 {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ → (𝑎𝑥 → {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅))
3731, 36anim12d 609 . . . . . . . . 9 (∀𝑦𝑥 {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ → ((𝑏𝑥𝑎𝑥) → ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)))
3826, 37sylbi 217 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅ → ((𝑏𝑥𝑎𝑥) → ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)))
39 onelon 6409 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑏𝑥) → 𝑏 ∈ On)
40 onelon 6409 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑎𝑥) → 𝑎 ∈ On)
4139, 40anim12dan 619 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑏𝑥𝑎𝑥)) → (𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On))
4241ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ On → ((𝑏𝑥𝑎𝑥) → (𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On)))
43 eloni 6394 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ On → Ord 𝑏)
44 eloni 6394 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ On → Ord 𝑎)
45 ordtri3or 6416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Ord 𝑏 ∧ Ord 𝑎) → (𝑏𝑎𝑏 = 𝑎𝑎𝑏))
4643, 44, 45syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) → (𝑏𝑎𝑏 = 𝑎𝑎𝑏))
47 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧}
482, 3, 47zorn2lem2 10537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → (𝑏𝑎 → (𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑎)))
4948adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → (𝑏𝑎 → (𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑎)))
50 breq12 5148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑎) ↔ 𝑠𝑅𝑟))
5150biimpcd 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑎) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → 𝑠𝑅𝑟))
5249, 51syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → (𝑏𝑎 → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → 𝑠𝑅𝑟)))
5352com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑏𝑎𝑠𝑅𝑟)))
5453adantrrl 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅))) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑏𝑎𝑠𝑅𝑟)))
5554imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅))) ∧ ((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)) → (𝑏𝑎𝑠𝑅𝑟))
56 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 𝑎 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎))
57 eqeq12 2754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑎) ↔ 𝑠 = 𝑟))
5856, 57imbitrid 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑏 = 𝑎𝑠 = 𝑟))
5958adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅))) ∧ ((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)) → (𝑏 = 𝑎𝑠 = 𝑟))
60 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧}
612, 3, 60zorn2lem2 10537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑏 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → (𝑎𝑏 → (𝐹𝑎)𝑅(𝐹𝑏)))
6261adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → (𝑎𝑏 → (𝐹𝑎)𝑅(𝐹𝑏)))
63 breq12 5148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹𝑎) = 𝑟 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑠) → ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹𝑏) ↔ 𝑟𝑅𝑠))
6463ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹𝑏) ↔ 𝑟𝑅𝑠))
6564biimpcd 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹𝑏) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → 𝑟𝑅𝑠))
6662, 65syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → (𝑎𝑏 → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → 𝑟𝑅𝑠)))
6766com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑎𝑏𝑟𝑅𝑠)))
6867adantrrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅))) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑎𝑏𝑟𝑅𝑠)))
6968imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅))) ∧ ((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)) → (𝑎𝑏𝑟𝑅𝑠))
7055, 59, 693orim123d 1446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅))) ∧ ((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)) → ((𝑏𝑎𝑏 = 𝑎𝑎𝑏) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))
7146, 70syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅))) ∧ ((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)) → ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))
7271exp31 419 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) → ((𝑤 We 𝐴 ∧ ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))))
7372com4r 94 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) → ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) → ((𝑤 We 𝐴 ∧ ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))))
7442, 42, 73syl6c 70 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ On → ((𝑏𝑥𝑎𝑥) → ((𝑤 We 𝐴 ∧ ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))))
7574exp4a 431 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ On → ((𝑏𝑥𝑎𝑥) → (𝑤 We 𝐴 → (({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠))))))
7675com3r 87 . . . . . . . . . 10 (𝑤 We 𝐴 → (𝑥 ∈ On → ((𝑏𝑥𝑎𝑥) → (({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠))))))
7776imp 406 . . . . . . . . 9 ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) → ((𝑏𝑥𝑎𝑥) → (({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))))
7877a2d 29 . . . . . . . 8 ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) → (((𝑏𝑥𝑎𝑥) → ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → ((𝑏𝑥𝑎𝑥) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))))
7938, 78syl5 34 . . . . . . 7 ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) → (∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅ → ((𝑏𝑥𝑎𝑥) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))))
8079imp4b 421 . . . . . 6 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (((𝑏𝑥𝑎𝑥) ∧ ((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))
8180exlimdvv 1934 . . . . 5 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (∃𝑏𝑎((𝑏𝑥𝑎𝑥) ∧ ((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))
8224, 81syl5 34 . . . 4 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → ((𝑠 ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑟 ∈ (𝐹𝑥)) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))
8382ralrimivv 3200 . . 3 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → ∀𝑠 ∈ (𝐹𝑥)∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠))
847, 83jca2 513 . 2 (𝑅 Po 𝐴 → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝑅 Po (𝐹𝑥) ∧ ∀𝑠 ∈ (𝐹𝑥)∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠))))
85 df-so 5593 . 2 (𝑅 Or (𝐹𝑥) ↔ (𝑅 Po (𝐹𝑥) ∧ ∀𝑠 ∈ (𝐹𝑥)∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))
8684, 85imbitrrdi 252 1 (𝑅 Po 𝐴 → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → 𝑅 Or (𝐹𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3o 1086   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  wss 3951  c0 4333   class class class wbr 5143  cmpt 5225   Po wpo 5590   Or wor 5591   We wwe 5636  ran crn 5686  cima 5688  Ord word 6383  Oncon0 6384  Fun wfun 6555   Fn wfn 6556  cfv 6561  crio 7387  recscrecs 8410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411
This theorem is referenced by:  zorn2lem7  10542
  Copyright terms: Public domain W3C validator