MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zorn2lem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zorn2lem6 10436
Description: Lemma for zorn2 10441. (Contributed by NM, 4-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zorn2lem.3 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
zorn2lem.4 𝐶 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.5 𝐷 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.7 𝐻 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧}
Assertion
Ref Expression
zorn2lem6 (𝑅 Po 𝐴 → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → 𝑅 Or (𝐹𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝐷,𝑓,𝑢,𝑣,𝑦   𝑓,𝐹,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝐶   𝑥,𝐻,𝑢,𝑣,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑢,𝑓,𝑔)   𝐷(𝑥,𝑧,𝑤,𝑔)   𝐹(𝑤)   𝐻(𝑦,𝑧,𝑤,𝑔)

Proof of Theorem zorn2lem6
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 poss 5547 . . . 4 ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴 → (𝑅 Po 𝐴𝑅 Po (𝐹𝑥)))
2 zorn2lem.3 . . . . 5 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
3 zorn2lem.4 . . . . 5 𝐶 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
4 zorn2lem.5 . . . . 5 𝐷 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧}
5 zorn2lem.7 . . . . 5 𝐻 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧}
62, 3, 4, 5zorn2lem5 10435 . . . 4 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)
71, 6syl11 33 . . 3 (𝑅 Po 𝐴 → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → 𝑅 Po (𝐹𝑥)))
82tfr1 8342 . . . . . . 7 𝐹 Fn On
9 fnfun 6602 . . . . . . 7 (𝐹 Fn On → Fun 𝐹)
10 fvelima 6908 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝐹𝑠 ∈ (𝐹𝑥)) → ∃𝑏𝑥 (𝐹𝑏) = 𝑠)
11 df-rex 3074 . . . . . . . . . 10 (∃𝑏𝑥 (𝐹𝑏) = 𝑠 ↔ ∃𝑏(𝑏𝑥 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑠))
1210, 11sylib 217 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹𝑠 ∈ (𝐹𝑥)) → ∃𝑏(𝑏𝑥 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑠))
1312ex 413 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹 → (𝑠 ∈ (𝐹𝑥) → ∃𝑏(𝑏𝑥 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑠)))
14 fvelima 6908 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝐹𝑟 ∈ (𝐹𝑥)) → ∃𝑎𝑥 (𝐹𝑎) = 𝑟)
15 df-rex 3074 . . . . . . . . . 10 (∃𝑎𝑥 (𝐹𝑎) = 𝑟 ↔ ∃𝑎(𝑎𝑥 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟))
1614, 15sylib 217 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹𝑟 ∈ (𝐹𝑥)) → ∃𝑎(𝑎𝑥 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟))
1716ex 413 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹 → (𝑟 ∈ (𝐹𝑥) → ∃𝑎(𝑎𝑥 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)))
1813, 17anim12d 609 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 → ((𝑠 ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑟 ∈ (𝐹𝑥)) → (∃𝑏(𝑏𝑥 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑠) ∧ ∃𝑎(𝑎𝑥 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟))))
198, 9, 18mp2b 10 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑟 ∈ (𝐹𝑥)) → (∃𝑏(𝑏𝑥 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑠) ∧ ∃𝑎(𝑎𝑥 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)))
20 an4 654 . . . . . . . 8 (((𝑏𝑥𝑎𝑥) ∧ ((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)) ↔ ((𝑏𝑥 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑠) ∧ (𝑎𝑥 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)))
21202exbii 1851 . . . . . . 7 (∃𝑏𝑎((𝑏𝑥𝑎𝑥) ∧ ((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)) ↔ ∃𝑏𝑎((𝑏𝑥 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑠) ∧ (𝑎𝑥 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)))
22 exdistrv 1959 . . . . . . 7 (∃𝑏𝑎((𝑏𝑥 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑠) ∧ (𝑎𝑥 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)) ↔ (∃𝑏(𝑏𝑥 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑠) ∧ ∃𝑎(𝑎𝑥 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)))
2321, 22bitri 274 . . . . . 6 (∃𝑏𝑎((𝑏𝑥𝑎𝑥) ∧ ((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)) ↔ (∃𝑏(𝑏𝑥 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑠) ∧ ∃𝑎(𝑎𝑥 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)))
2419, 23sylibr 233 . . . . 5 ((𝑠 ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑟 ∈ (𝐹𝑥)) → ∃𝑏𝑎((𝑏𝑥𝑎𝑥) ∧ ((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)))
255neeq1i 3008 . . . . . . . . . 10 (𝐻 ≠ ∅ ↔ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)
2625ralbii 3096 . . . . . . . . 9 (∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅ ↔ ∀𝑦𝑥 {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)
27 imaeq2 6009 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑏 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑏))
2827raleqdv 3313 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑏 → (∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧 ↔ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧))
2928rabbidv 3415 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑏 → {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧} = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧})
3029neeq1d 3003 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑏 → ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ↔ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅))
3130rspccv 3578 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦𝑥 {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ → (𝑏𝑥 → {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅))
32 imaeq2 6009 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑎 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑎))
3332raleqdv 3313 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑎 → (∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧 ↔ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧))
3433rabbidv 3415 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑎 → {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧} = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧})
3534neeq1d 3003 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑎 → ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ↔ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅))
3635rspccv 3578 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦𝑥 {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ → (𝑎𝑥 → {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅))
3731, 36anim12d 609 . . . . . . . . 9 (∀𝑦𝑥 {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ → ((𝑏𝑥𝑎𝑥) → ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)))
3826, 37sylbi 216 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅ → ((𝑏𝑥𝑎𝑥) → ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)))
39 onelon 6342 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑏𝑥) → 𝑏 ∈ On)
40 onelon 6342 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑎𝑥) → 𝑎 ∈ On)
4139, 40anim12dan 619 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑏𝑥𝑎𝑥)) → (𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On))
4241ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ On → ((𝑏𝑥𝑎𝑥) → (𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On)))
43 eloni 6327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ On → Ord 𝑏)
44 eloni 6327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ On → Ord 𝑎)
45 ordtri3or 6349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Ord 𝑏 ∧ Ord 𝑎) → (𝑏𝑎𝑏 = 𝑎𝑎𝑏))
4643, 44, 45syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) → (𝑏𝑎𝑏 = 𝑎𝑎𝑏))
47 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧}
482, 3, 47zorn2lem2 10432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → (𝑏𝑎 → (𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑎)))
4948adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → (𝑏𝑎 → (𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑎)))
50 breq12 5110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑎) ↔ 𝑠𝑅𝑟))
5150biimpcd 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑎) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → 𝑠𝑅𝑟))
5249, 51syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → (𝑏𝑎 → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → 𝑠𝑅𝑟)))
5352com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑏𝑎𝑠𝑅𝑟)))
5453adantrrl 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅))) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑏𝑎𝑠𝑅𝑟)))
5554imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅))) ∧ ((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)) → (𝑏𝑎𝑠𝑅𝑟))
56 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 𝑎 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎))
57 eqeq12 2753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑎) ↔ 𝑠 = 𝑟))
5856, 57imbitrid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑏 = 𝑎𝑠 = 𝑟))
5958adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅))) ∧ ((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)) → (𝑏 = 𝑎𝑠 = 𝑟))
60 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧}
612, 3, 60zorn2lem2 10432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑏 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → (𝑎𝑏 → (𝐹𝑎)𝑅(𝐹𝑏)))
6261adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → (𝑎𝑏 → (𝐹𝑎)𝑅(𝐹𝑏)))
63 breq12 5110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹𝑎) = 𝑟 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑠) → ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹𝑏) ↔ 𝑟𝑅𝑠))
6463ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹𝑏) ↔ 𝑟𝑅𝑠))
6564biimpcd 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹𝑏) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → 𝑟𝑅𝑠))
6662, 65syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → (𝑎𝑏 → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → 𝑟𝑅𝑠)))
6766com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑎𝑏𝑟𝑅𝑠)))
6867adantrrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅))) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑎𝑏𝑟𝑅𝑠)))
6968imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅))) ∧ ((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)) → (𝑎𝑏𝑟𝑅𝑠))
7055, 59, 693orim123d 1444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅))) ∧ ((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)) → ((𝑏𝑎𝑏 = 𝑎𝑎𝑏) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))
7146, 70syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅))) ∧ ((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)) → ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))
7271exp31 420 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) → ((𝑤 We 𝐴 ∧ ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))))
7372com4r 94 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) → ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) → ((𝑤 We 𝐴 ∧ ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))))
7442, 42, 73syl6c 70 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ On → ((𝑏𝑥𝑎𝑥) → ((𝑤 We 𝐴 ∧ ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))))
7574exp4a 432 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ On → ((𝑏𝑥𝑎𝑥) → (𝑤 We 𝐴 → (({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠))))))
7675com3r 87 . . . . . . . . . 10 (𝑤 We 𝐴 → (𝑥 ∈ On → ((𝑏𝑥𝑎𝑥) → (({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠))))))
7776imp 407 . . . . . . . . 9 ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) → ((𝑏𝑥𝑎𝑥) → (({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))))
7877a2d 29 . . . . . . . 8 ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) → (((𝑏𝑥𝑎𝑥) → ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → ((𝑏𝑥𝑎𝑥) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))))
7938, 78syl5 34 . . . . . . 7 ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) → (∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅ → ((𝑏𝑥𝑎𝑥) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))))
8079imp4b 422 . . . . . 6 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (((𝑏𝑥𝑎𝑥) ∧ ((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))
8180exlimdvv 1937 . . . . 5 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (∃𝑏𝑎((𝑏𝑥𝑎𝑥) ∧ ((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))
8224, 81syl5 34 . . . 4 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → ((𝑠 ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑟 ∈ (𝐹𝑥)) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))
8382ralrimivv 3195 . . 3 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → ∀𝑠 ∈ (𝐹𝑥)∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠))
847, 83jca2 514 . 2 (𝑅 Po 𝐴 → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝑅 Po (𝐹𝑥) ∧ ∀𝑠 ∈ (𝐹𝑥)∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠))))
85 df-so 5546 . 2 (𝑅 Or (𝐹𝑥) ↔ (𝑅 Po (𝐹𝑥) ∧ ∀𝑠 ∈ (𝐹𝑥)∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))
8684, 85syl6ibr 251 1 (𝑅 Po 𝐴 → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → 𝑅 Or (𝐹𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3o 1086   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  Vcvv 3445  wss 3910  c0 4282   class class class wbr 5105  cmpt 5188   Po wpo 5543   Or wor 5544   We wwe 5587  ran crn 5634  cima 5636  Ord word 6316  Oncon0 6317  Fun wfun 6490   Fn wfn 6491  cfv 6496  crio 7311  recscrecs 8315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pr 5384  ax-un 7671
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316
This theorem is referenced by:  zorn2lem7  10437
  Copyright terms: Public domain W3C validator