MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zorn2lem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zorn2lem6 10539
Description: Lemma for zorn2 10544. (Contributed by NM, 4-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zorn2lem.3 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
zorn2lem.4 𝐶 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.5 𝐷 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.7 𝐻 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧}
Assertion
Ref Expression
zorn2lem6 (𝑅 Po 𝐴 → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → 𝑅 Or (𝐹𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝐷,𝑓,𝑢,𝑣,𝑦   𝑓,𝐹,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝐶   𝑥,𝐻,𝑢,𝑣,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑢,𝑓,𝑔)   𝐷(𝑥,𝑧,𝑤,𝑔)   𝐹(𝑤)   𝐻(𝑦,𝑧,𝑤,𝑔)

Proof of Theorem zorn2lem6
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 poss 5599 . . . 4 ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴 → (𝑅 Po 𝐴𝑅 Po (𝐹𝑥)))
2 zorn2lem.3 . . . . 5 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
3 zorn2lem.4 . . . . 5 𝐶 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
4 zorn2lem.5 . . . . 5 𝐷 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧}
5 zorn2lem.7 . . . . 5 𝐻 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧}
62, 3, 4, 5zorn2lem5 10538 . . . 4 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)
71, 6syl11 33 . . 3 (𝑅 Po 𝐴 → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → 𝑅 Po (𝐹𝑥)))
82tfr1 8436 . . . . . . 7 𝐹 Fn On
9 fnfun 6669 . . . . . . 7 (𝐹 Fn On → Fun 𝐹)
10 fvelima 6974 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝐹𝑠 ∈ (𝐹𝑥)) → ∃𝑏𝑥 (𝐹𝑏) = 𝑠)
11 df-rex 3069 . . . . . . . . . 10 (∃𝑏𝑥 (𝐹𝑏) = 𝑠 ↔ ∃𝑏(𝑏𝑥 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑠))
1210, 11sylib 218 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹𝑠 ∈ (𝐹𝑥)) → ∃𝑏(𝑏𝑥 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑠))
1312ex 412 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹 → (𝑠 ∈ (𝐹𝑥) → ∃𝑏(𝑏𝑥 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑠)))
14 fvelima 6974 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝐹𝑟 ∈ (𝐹𝑥)) → ∃𝑎𝑥 (𝐹𝑎) = 𝑟)
15 df-rex 3069 . . . . . . . . . 10 (∃𝑎𝑥 (𝐹𝑎) = 𝑟 ↔ ∃𝑎(𝑎𝑥 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟))
1614, 15sylib 218 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹𝑟 ∈ (𝐹𝑥)) → ∃𝑎(𝑎𝑥 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟))
1716ex 412 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹 → (𝑟 ∈ (𝐹𝑥) → ∃𝑎(𝑎𝑥 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)))
1813, 17anim12d 609 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 → ((𝑠 ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑟 ∈ (𝐹𝑥)) → (∃𝑏(𝑏𝑥 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑠) ∧ ∃𝑎(𝑎𝑥 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟))))
198, 9, 18mp2b 10 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑟 ∈ (𝐹𝑥)) → (∃𝑏(𝑏𝑥 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑠) ∧ ∃𝑎(𝑎𝑥 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)))
20 an4 656 . . . . . . . 8 (((𝑏𝑥𝑎𝑥) ∧ ((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)) ↔ ((𝑏𝑥 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑠) ∧ (𝑎𝑥 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)))
21202exbii 1846 . . . . . . 7 (∃𝑏𝑎((𝑏𝑥𝑎𝑥) ∧ ((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)) ↔ ∃𝑏𝑎((𝑏𝑥 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑠) ∧ (𝑎𝑥 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)))
22 exdistrv 1953 . . . . . . 7 (∃𝑏𝑎((𝑏𝑥 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑠) ∧ (𝑎𝑥 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)) ↔ (∃𝑏(𝑏𝑥 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑠) ∧ ∃𝑎(𝑎𝑥 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)))
2321, 22bitri 275 . . . . . 6 (∃𝑏𝑎((𝑏𝑥𝑎𝑥) ∧ ((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)) ↔ (∃𝑏(𝑏𝑥 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑠) ∧ ∃𝑎(𝑎𝑥 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)))
2419, 23sylibr 234 . . . . 5 ((𝑠 ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑟 ∈ (𝐹𝑥)) → ∃𝑏𝑎((𝑏𝑥𝑎𝑥) ∧ ((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)))
255neeq1i 3003 . . . . . . . . . 10 (𝐻 ≠ ∅ ↔ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)
2625ralbii 3091 . . . . . . . . 9 (∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅ ↔ ∀𝑦𝑥 {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)
27 imaeq2 6076 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑏 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑏))
2827raleqdv 3324 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑏 → (∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧 ↔ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧))
2928rabbidv 3441 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑏 → {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧} = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧})
3029neeq1d 2998 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑏 → ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ↔ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅))
3130rspccv 3619 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦𝑥 {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ → (𝑏𝑥 → {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅))
32 imaeq2 6076 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑎 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑎))
3332raleqdv 3324 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑎 → (∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧 ↔ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧))
3433rabbidv 3441 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑎 → {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧} = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧})
3534neeq1d 2998 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑎 → ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ↔ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅))
3635rspccv 3619 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦𝑥 {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ → (𝑎𝑥 → {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅))
3731, 36anim12d 609 . . . . . . . . 9 (∀𝑦𝑥 {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ → ((𝑏𝑥𝑎𝑥) → ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)))
3826, 37sylbi 217 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅ → ((𝑏𝑥𝑎𝑥) → ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)))
39 onelon 6411 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑏𝑥) → 𝑏 ∈ On)
40 onelon 6411 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑎𝑥) → 𝑎 ∈ On)
4139, 40anim12dan 619 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑏𝑥𝑎𝑥)) → (𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On))
4241ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ On → ((𝑏𝑥𝑎𝑥) → (𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On)))
43 eloni 6396 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ On → Ord 𝑏)
44 eloni 6396 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ On → Ord 𝑎)
45 ordtri3or 6418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Ord 𝑏 ∧ Ord 𝑎) → (𝑏𝑎𝑏 = 𝑎𝑎𝑏))
4643, 44, 45syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) → (𝑏𝑎𝑏 = 𝑎𝑎𝑏))
47 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧}
482, 3, 47zorn2lem2 10535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → (𝑏𝑎 → (𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑎)))
4948adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → (𝑏𝑎 → (𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑎)))
50 breq12 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑎) ↔ 𝑠𝑅𝑟))
5150biimpcd 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹𝑏)𝑅(𝐹𝑎) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → 𝑠𝑅𝑟))
5249, 51syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → (𝑏𝑎 → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → 𝑠𝑅𝑟)))
5352com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑏𝑎𝑠𝑅𝑟)))
5453adantrrl 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅))) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑏𝑎𝑠𝑅𝑟)))
5554imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅))) ∧ ((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)) → (𝑏𝑎𝑠𝑅𝑟))
56 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 𝑎 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎))
57 eqeq12 2752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑎) ↔ 𝑠 = 𝑟))
5856, 57imbitrid 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑏 = 𝑎𝑠 = 𝑟))
5958adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅))) ∧ ((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)) → (𝑏 = 𝑎𝑠 = 𝑟))
60 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧}
612, 3, 60zorn2lem2 10535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑏 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → (𝑎𝑏 → (𝐹𝑎)𝑅(𝐹𝑏)))
6261adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → (𝑎𝑏 → (𝐹𝑎)𝑅(𝐹𝑏)))
63 breq12 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹𝑎) = 𝑟 ∧ (𝐹𝑏) = 𝑠) → ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹𝑏) ↔ 𝑟𝑅𝑠))
6463ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹𝑏) ↔ 𝑟𝑅𝑠))
6564biimpcd 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹𝑎)𝑅(𝐹𝑏) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → 𝑟𝑅𝑠))
6662, 65syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → (𝑎𝑏 → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → 𝑟𝑅𝑠)))
6766com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑎𝑏𝑟𝑅𝑠)))
6867adantrrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅))) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑎𝑏𝑟𝑅𝑠)))
6968imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅))) ∧ ((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)) → (𝑎𝑏𝑟𝑅𝑠))
7055, 59, 693orim123d 1443 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅))) ∧ ((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)) → ((𝑏𝑎𝑏 = 𝑎𝑎𝑏) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))
7146, 70syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅))) ∧ ((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)) → ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))
7271exp31 419 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) → ((𝑤 We 𝐴 ∧ ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))))
7372com4r 94 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) → ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) → ((𝑤 We 𝐴 ∧ ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))))
7442, 42, 73syl6c 70 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ On → ((𝑏𝑥𝑎𝑥) → ((𝑤 We 𝐴 ∧ ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))))
7574exp4a 431 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ On → ((𝑏𝑥𝑎𝑥) → (𝑤 We 𝐴 → (({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠))))))
7675com3r 87 . . . . . . . . . 10 (𝑤 We 𝐴 → (𝑥 ∈ On → ((𝑏𝑥𝑎𝑥) → (({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠))))))
7776imp 406 . . . . . . . . 9 ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) → ((𝑏𝑥𝑎𝑥) → (({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))))
7877a2d 29 . . . . . . . 8 ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) → (((𝑏𝑥𝑎𝑥) → ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑏)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅ ∧ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑎)𝑔𝑅𝑧} ≠ ∅)) → ((𝑏𝑥𝑎𝑥) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))))
7938, 78syl5 34 . . . . . . 7 ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) → (∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅ → ((𝑏𝑥𝑎𝑥) → (((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))))
8079imp4b 421 . . . . . 6 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (((𝑏𝑥𝑎𝑥) ∧ ((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))
8180exlimdvv 1932 . . . . 5 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (∃𝑏𝑎((𝑏𝑥𝑎𝑥) ∧ ((𝐹𝑏) = 𝑠 ∧ (𝐹𝑎) = 𝑟)) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))
8224, 81syl5 34 . . . 4 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → ((𝑠 ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑟 ∈ (𝐹𝑥)) → (𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))
8382ralrimivv 3198 . . 3 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → ∀𝑠 ∈ (𝐹𝑥)∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠))
847, 83jca2 513 . 2 (𝑅 Po 𝐴 → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝑅 Po (𝐹𝑥) ∧ ∀𝑠 ∈ (𝐹𝑥)∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠))))
85 df-so 5598 . 2 (𝑅 Or (𝐹𝑥) ↔ (𝑅 Po (𝐹𝑥) ∧ ∀𝑠 ∈ (𝐹𝑥)∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑠𝑅𝑟𝑠 = 𝑟𝑟𝑅𝑠)))
8684, 85imbitrrdi 252 1 (𝑅 Po 𝐴 → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → 𝑅 Or (𝐹𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3o 1085   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  {crab 3433  Vcvv 3478  wss 3963  c0 4339   class class class wbr 5148  cmpt 5231   Po wpo 5595   Or wor 5596   We wwe 5640  ran crn 5690  cima 5692  Ord word 6385  Oncon0 6386  Fun wfun 6557   Fn wfn 6558  cfv 6563  crio 7387  recscrecs 8409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410
This theorem is referenced by:  zorn2lem7  10540
  Copyright terms: Public domain W3C validator