Theorem 0idsr 7763

Description: The signed real number 0 is an identity element for addition of signed reals. (Contributed by NM, 10-Apr-1996.)

Assertion

Ref	Expression
0idsr	⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R 0R) = 𝐴)

Proof of Theorem 0idsr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 7723	. 2 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
2		oveq1 5879	. . 3 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R 0R) = (𝐴 +R 0R))
3		id 19	. . 3 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝐴 → [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝐴)
4	2, 3	eqeq12d 2192	. 2 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R 0R) = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ↔ (𝐴 +R 0R) = 𝐴))
5		df-0r 7727	. . . 4 ⊢ 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
6	5	oveq2i 5883	. . 3 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R 0R) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨1P, 1P⟩] ~R )
7		1pr 7550	. . . . 5 ⊢ 1P ∈ P
8		addsrpr 7741	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (1P ∈ P ∧ 1P ∈ P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨1P, 1P⟩] ~R ) = [⟨(𝑥 +P 1P), (𝑦 +P 1P)⟩] ~R )
9	7, 7, 8	mpanr12 439	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨1P, 1P⟩] ~R ) = [⟨(𝑥 +P 1P), (𝑦 +P 1P)⟩] ~R )
10		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → 𝑥 ∈ P)
11		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → 𝑦 ∈ P)
12	7	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → 1P ∈ P)
13		addcomprg 7574	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) → (𝑧 +P 𝑤) = (𝑤 +P 𝑧))
14	13	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → (𝑧 +P 𝑤) = (𝑤 +P 𝑧))
15		addassprg 7575	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P) → ((𝑧 +P 𝑤) +P 𝑣) = (𝑧 +P (𝑤 +P 𝑣)))
16	15	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) → ((𝑧 +P 𝑤) +P 𝑣) = (𝑧 +P (𝑤 +P 𝑣)))
17	10, 11, 12, 14, 16	caov12d 6053	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → (𝑥 +P (𝑦 +P 1P)) = (𝑦 +P (𝑥 +P 1P)))
18		addclpr 7533	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (𝑥 +P 1P) ∈ P)
19	7, 18	mpan2 425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ P → (𝑥 +P 1P) ∈ P)
20		addclpr 7533	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (𝑦 +P 1P) ∈ P)
21	7, 20	mpan2 425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ P → (𝑦 +P 1P) ∈ P)
22	19, 21	anim12i 338	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ((𝑥 +P 1P) ∈ P ∧ (𝑦 +P 1P) ∈ P))
23		enreceq 7732	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ ((𝑥 +P 1P) ∈ P ∧ (𝑦 +P 1P) ∈ P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = [⟨(𝑥 +P 1P), (𝑦 +P 1P)⟩] ~R ↔ (𝑥 +P (𝑦 +P 1P)) = (𝑦 +P (𝑥 +P 1P))))
24	22, 23	mpdan 421	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = [⟨(𝑥 +P 1P), (𝑦 +P 1P)⟩] ~R ↔ (𝑥 +P (𝑦 +P 1P)) = (𝑦 +P (𝑥 +P 1P))))
25	17, 24	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = [⟨(𝑥 +P 1P), (𝑦 +P 1P)⟩] ~R )
26	9, 25	eqtr4d 2213	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨1P, 1P⟩] ~R ) = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R )
27	6, 26	eqtrid 2222	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R 0R) = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R )
28	1, 4, 27	ecoptocl 6619	1 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R 0R) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ⟨cop 3595  (class class class)co 5872  [cec 6530  Pcnp 7287  1_Pc1p 7288   +_P cpp 7289   ~_R cer 7292  Rcnr 7293  0_Rc0r 7294   +_R cplr 7297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-eprel 4288  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-iord 4365  df-on 4367  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6303  df-irdg 6368  df-1o 6414  df-2o 6415  df-oadd 6418  df-omul 6419  df-er 6532  df-ec 6534  df-qs 6538  df-ni 7300  df-pli 7301  df-mi 7302  df-lti 7303  df-plpq 7340  df-mpq 7341  df-enq 7343  df-nqqs 7344  df-plqqs 7345  df-mqqs 7346  df-1nqqs 7347  df-rq 7348  df-ltnqqs 7349  df-enq0 7420  df-nq0 7421  df-0nq0 7422  df-plq0 7423  df-mq0 7424  df-inp 7462  df-i1p 7463  df-iplp 7464  df-enr 7722  df-nr 7723  df-plr 7724  df-0r 7727

This theorem is referenced by:  addgt0sr  7771  ltadd1sr  7772  ltm1sr  7773  caucvgsrlemoffval  7792  caucvgsrlemoffres  7796  caucvgsr  7798  map2psrprg  7801  suplocsrlempr  7803  addresr  7833  mulresr  7834  axi2m1  7871  ax0id  7874  axcnre  7877