ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0idsr GIF version

Theorem 0idsr 7763
Description: The signed real number 0 is an identity element for addition of signed reals. (Contributed by NM, 10-Apr-1996.)
Assertion
Ref Expression
0idsr (𝐴R → (𝐴 +R 0R) = 𝐴)

Proof of Theorem 0idsr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 7723 . 2 R = ((P × P) / ~R )
2 oveq1 5879 . . 3 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R 0R) = (𝐴 +R 0R))
3 id 19 . . 3 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝐴 → [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝐴)
42, 3eqeq12d 2192 . 2 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R 0R) = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ↔ (𝐴 +R 0R) = 𝐴))
5 df-0r 7727 . . . 4 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
65oveq2i 5883 . . 3 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R 0R) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨1P, 1P⟩] ~R )
7 1pr 7550 . . . . 5 1PP
8 addsrpr 7741 . . . . 5 (((𝑥P𝑦P) ∧ (1PP ∧ 1PP)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨1P, 1P⟩] ~R ) = [⟨(𝑥 +P 1P), (𝑦 +P 1P)⟩] ~R )
97, 7, 8mpanr12 439 . . . 4 ((𝑥P𝑦P) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨1P, 1P⟩] ~R ) = [⟨(𝑥 +P 1P), (𝑦 +P 1P)⟩] ~R )
10 simpl 109 . . . . . 6 ((𝑥P𝑦P) → 𝑥P)
11 simpr 110 . . . . . 6 ((𝑥P𝑦P) → 𝑦P)
127a1i 9 . . . . . 6 ((𝑥P𝑦P) → 1PP)
13 addcomprg 7574 . . . . . . 7 ((𝑧P𝑤P) → (𝑧 +P 𝑤) = (𝑤 +P 𝑧))
1413adantl 277 . . . . . 6 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → (𝑧 +P 𝑤) = (𝑤 +P 𝑧))
15 addassprg 7575 . . . . . . 7 ((𝑧P𝑤P𝑣P) → ((𝑧 +P 𝑤) +P 𝑣) = (𝑧 +P (𝑤 +P 𝑣)))
1615adantl 277 . . . . . 6 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P𝑣P)) → ((𝑧 +P 𝑤) +P 𝑣) = (𝑧 +P (𝑤 +P 𝑣)))
1710, 11, 12, 14, 16caov12d 6053 . . . . 5 ((𝑥P𝑦P) → (𝑥 +P (𝑦 +P 1P)) = (𝑦 +P (𝑥 +P 1P)))
18 addclpr 7533 . . . . . . . 8 ((𝑥P ∧ 1PP) → (𝑥 +P 1P) ∈ P)
197, 18mpan2 425 . . . . . . 7 (𝑥P → (𝑥 +P 1P) ∈ P)
20 addclpr 7533 . . . . . . . 8 ((𝑦P ∧ 1PP) → (𝑦 +P 1P) ∈ P)
217, 20mpan2 425 . . . . . . 7 (𝑦P → (𝑦 +P 1P) ∈ P)
2219, 21anim12i 338 . . . . . 6 ((𝑥P𝑦P) → ((𝑥 +P 1P) ∈ P ∧ (𝑦 +P 1P) ∈ P))
23 enreceq 7732 . . . . . 6 (((𝑥P𝑦P) ∧ ((𝑥 +P 1P) ∈ P ∧ (𝑦 +P 1P) ∈ P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = [⟨(𝑥 +P 1P), (𝑦 +P 1P)⟩] ~R ↔ (𝑥 +P (𝑦 +P 1P)) = (𝑦 +P (𝑥 +P 1P))))
2422, 23mpdan 421 . . . . 5 ((𝑥P𝑦P) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = [⟨(𝑥 +P 1P), (𝑦 +P 1P)⟩] ~R ↔ (𝑥 +P (𝑦 +P 1P)) = (𝑦 +P (𝑥 +P 1P))))
2517, 24mpbird 167 . . . 4 ((𝑥P𝑦P) → [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = [⟨(𝑥 +P 1P), (𝑦 +P 1P)⟩] ~R )
269, 25eqtr4d 2213 . . 3 ((𝑥P𝑦P) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨1P, 1P⟩] ~R ) = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R )
276, 26eqtrid 2222 . 2 ((𝑥P𝑦P) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R 0R) = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R )
281, 4, 27ecoptocl 6619 1 (𝐴R → (𝐴 +R 0R) = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  cop 3595  (class class class)co 5872  [cec 6530  Pcnp 7287  1Pc1p 7288   +P cpp 7289   ~R cer 7292  Rcnr 7293  0Rc0r 7294   +R cplr 7297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-eprel 4288  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-iord 4365  df-on 4367  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6303  df-irdg 6368  df-1o 6414  df-2o 6415  df-oadd 6418  df-omul 6419  df-er 6532  df-ec 6534  df-qs 6538  df-ni 7300  df-pli 7301  df-mi 7302  df-lti 7303  df-plpq 7340  df-mpq 7341  df-enq 7343  df-nqqs 7344  df-plqqs 7345  df-mqqs 7346  df-1nqqs 7347  df-rq 7348  df-ltnqqs 7349  df-enq0 7420  df-nq0 7421  df-0nq0 7422  df-plq0 7423  df-mq0 7424  df-inp 7462  df-i1p 7463  df-iplp 7464  df-enr 7722  df-nr 7723  df-plr 7724  df-0r 7727
This theorem is referenced by:  addgt0sr  7771  ltadd1sr  7772  ltm1sr  7773  caucvgsrlemoffval  7792  caucvgsrlemoffres  7796  caucvgsr  7798  map2psrprg  7801  suplocsrlempr  7803  addresr  7833  mulresr  7834  axi2m1  7871  ax0id  7874  axcnre  7877
  Copyright terms: Public domain W3C validator