Theorem 0idsr 8141

Description: The signed real number 0 is an identity element for addition of signed reals. (Contributed by NM, 10-Apr-1996.)

Assertion

Ref	Expression
0idsr	⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R 0R) = 𝐴)

Proof of Theorem 0idsr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 8101	. 2 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
2		oveq1 6095	. . 3 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R 0R) = (𝐴 +R 0R))
3		id 19	. . 3 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝐴 → [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝐴)
4	2, 3	eqeq12d 2253	. 2 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R 0R) = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ↔ (𝐴 +R 0R) = 𝐴))
5		df-0r 8105	. . . 4 ⊢ 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
6	5	oveq2i 6099	. . 3 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R 0R) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨1P, 1P⟩] ~R )
7		1pr 7928	. . . . 5 ⊢ 1P ∈ P
8		addsrpr 8119	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (1P ∈ P ∧ 1P ∈ P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨1P, 1P⟩] ~R ) = [⟨(𝑥 +P 1P), (𝑦 +P 1P)⟩] ~R )
9	7, 7, 8	mpanr12 443	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨1P, 1P⟩] ~R ) = [⟨(𝑥 +P 1P), (𝑦 +P 1P)⟩] ~R )
10		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → 𝑥 ∈ P)
11		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → 𝑦 ∈ P)
12	7	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → 1P ∈ P)
13		addcomprg 7952	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) → (𝑧 +P 𝑤) = (𝑤 +P 𝑧))
14	13	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → (𝑧 +P 𝑤) = (𝑤 +P 𝑧))
15		addassprg 7953	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P) → ((𝑧 +P 𝑤) +P 𝑣) = (𝑧 +P (𝑤 +P 𝑣)))
16	15	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) → ((𝑧 +P 𝑤) +P 𝑣) = (𝑧 +P (𝑤 +P 𝑣)))
17	10, 11, 12, 14, 16	caov12d 6274	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → (𝑥 +P (𝑦 +P 1P)) = (𝑦 +P (𝑥 +P 1P)))
18		addclpr 7911	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (𝑥 +P 1P) ∈ P)
19	7, 18	mpan2 429	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ P → (𝑥 +P 1P) ∈ P)
20		addclpr 7911	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (𝑦 +P 1P) ∈ P)
21	7, 20	mpan2 429	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ P → (𝑦 +P 1P) ∈ P)
22	19, 21	anim12i 338	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ((𝑥 +P 1P) ∈ P ∧ (𝑦 +P 1P) ∈ P))
23		enreceq 8110	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ ((𝑥 +P 1P) ∈ P ∧ (𝑦 +P 1P) ∈ P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = [⟨(𝑥 +P 1P), (𝑦 +P 1P)⟩] ~R ↔ (𝑥 +P (𝑦 +P 1P)) = (𝑦 +P (𝑥 +P 1P))))
24	22, 23	mpdan 425	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = [⟨(𝑥 +P 1P), (𝑦 +P 1P)⟩] ~R ↔ (𝑥 +P (𝑦 +P 1P)) = (𝑦 +P (𝑥 +P 1P))))
25	17, 24	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = [⟨(𝑥 +P 1P), (𝑦 +P 1P)⟩] ~R )
26	9, 25	eqtr4d 2274	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨1P, 1P⟩] ~R ) = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R )
27	6, 26	eqtrid 2283	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R 0R) = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R )
28	1, 4, 27	ecoptocl 6900	1 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R 0R) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ⟨cop 3712  (class class class)co 6088  [cec 6809  Pcnp 7665  1_Pc1p 7666   +_P cpp 7667   ~_R cer 7670  Rcnr 7671  0_Rc0r 7672   +_R cplr 7675

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-er 6811  df-ec 6813  df-qs 6817  df-ni 7678  df-pli 7679  df-mi 7680  df-lti 7681  df-plpq 7718  df-mpq 7719  df-enq 7721  df-nqqs 7722  df-plqqs 7723  df-mqqs 7724  df-1nqqs 7725  df-rq 7726  df-ltnqqs 7727  df-enq0 7798  df-nq0 7799  df-0nq0 7800  df-plq0 7801  df-mq0 7802  df-inp 7840  df-i1p 7841  df-iplp 7842  df-enr 8100  df-nr 8101  df-plr 8102  df-0r 8105

This theorem is used by:  addgt0sr  8149  ltadd1sr  8150  ltm1sr  8151  caucvgsrlemoffval  8170  caucvgsrlemoffres  8174  caucvgsr  8176  map2psrprg  8179  suplocsrlempr  8181  addresr  8211  mulresr  8212  axi2m1  8249  ax0id  8252  axcnre  8255