Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  absef GIF version

Theorem absef 11483
 Description: The absolute value of the exponential is the exponential of the real part. (Contributed by Paul Chapman, 13-Sep-2007.)
Assertion
Ref Expression
absef (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘𝐴)) = (exp‘(ℜ‘𝐴)))

Proof of Theorem absef
StepHypRef Expression
1 replim 10638 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
21fveq2d 5425 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = (exp‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))))
3 recl 10632 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
43recnd 7801 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
5 ax-icn 7722 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
6 imcl 10633 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
76recnd 7801 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
8 mulcl 7754 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
95, 7, 8sylancr 410 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
10 efadd 11388 . . . . . 6 (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ) → (exp‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((exp‘(ℜ‘𝐴)) · (exp‘(i · (ℑ‘𝐴)))))
114, 9, 10syl2anc 408 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((exp‘(ℜ‘𝐴)) · (exp‘(i · (ℑ‘𝐴)))))
122, 11eqtrd 2172 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = ((exp‘(ℜ‘𝐴)) · (exp‘(i · (ℑ‘𝐴)))))
1312fveq2d 5425 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘𝐴)) = (abs‘((exp‘(ℜ‘𝐴)) · (exp‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
143reefcld 11382 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
1514recnd 7801 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
16 efcl 11377 . . . . 5 ((i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘(i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
179, 16syl 14 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
1815, 17absmuld 10973 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘((exp‘(ℜ‘𝐴)) · (exp‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = ((abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))) · (abs‘(exp‘(i · (ℑ‘𝐴))))))
19 absefi 11482 . . . . 5 ((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · (ℑ‘𝐴)))) = 1)
206, 19syl 14 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(i · (ℑ‘𝐴)))) = 1)
2120oveq2d 5790 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))) · (abs‘(exp‘(i · (ℑ‘𝐴))))) = ((abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))) · 1))
2213, 18, 213eqtrd 2176 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘𝐴)) = ((abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))) · 1))
2315abscld 10960 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))) ∈ ℝ)
2423recnd 7801 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))) ∈ ℂ)
2524mulid1d 7790 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))) · 1) = (abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))))
26 efgt0 11397 . . . . 5 ((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ → 0 < (exp‘(ℜ‘𝐴)))
273, 26syl 14 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → 0 < (exp‘(ℜ‘𝐴)))
28 0re 7773 . . . . 5 0 ∈ ℝ
29 ltle 7858 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ (exp‘(ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ) → (0 < (exp‘(ℜ‘𝐴)) → 0 ≤ (exp‘(ℜ‘𝐴))))
3028, 14, 29sylancr 410 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (0 < (exp‘(ℜ‘𝐴)) → 0 ≤ (exp‘(ℜ‘𝐴))))
3127, 30mpd 13 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (exp‘(ℜ‘𝐴)))
3214, 31absidd 10946 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(ℜ‘𝐴))) = (exp‘(ℜ‘𝐴)))
3322, 25, 323eqtrd 2176 1 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘𝐴)) = (exp‘(ℜ‘𝐴)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7625  ℝcr 7626  0cc0 7627  1c1 7628  ici 7629   + caddc 7630   · cmul 7632   < clt 7807   ≤ cle 7808  ℜcre 10619  ℑcim 10620  abscabs 10776  expce 11355 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-disj 3907  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-sup 6871  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-ico 9684  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-fac 10479  df-bc 10501  df-ihash 10529  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055  df-sumdc 11130  df-ef 11361  df-sin 11363  df-cos 11364 This theorem is referenced by:  absefib  11484
 Copyright terms: Public domain W3C validator