ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cospi Unicode version

Theorem cospi 12915
Description: The cosine of  pi is  -u 1. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cospi  |-  ( cos `  pi )  =  -u
1

Proof of Theorem cospi
StepHypRef Expression
1 picn 12902 . . . 4  |-  pi  e.  CC
2 2cn 8810 . . . 4  |-  2  e.  CC
3 2ap0 8832 . . . 4  |-  2 #  0
41, 2, 3divclapi 8533 . . 3  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
5 cos2t 11480 . . 3  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  CC  ->  ( cos `  ( 2  x.  ( pi  /  2
) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( cos `  (
pi  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 ) )
64, 5ax-mp 5 . 2  |-  ( cos `  ( 2  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  (
( cos `  (
pi  /  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 )
71, 2, 3divcanap2i 8534 . . 3  |-  ( 2  x.  ( pi  / 
2 ) )  =  pi
87fveq2i 5427 . 2  |-  ( cos `  ( 2  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( cos `  pi )
9 coshalfpi 12912 . . . . . . . 8  |-  ( cos `  ( pi  /  2
) )  =  0
109oveq1i 5787 . . . . . . 7  |-  ( ( cos `  ( pi 
/  2 ) ) ^ 2 )  =  ( 0 ^ 2 )
11 sq0 10407 . . . . . . 7  |-  ( 0 ^ 2 )  =  0
1210, 11eqtri 2160 . . . . . 6  |-  ( ( cos `  ( pi 
/  2 ) ) ^ 2 )  =  0
1312oveq2i 5788 . . . . 5  |-  ( 2  x.  ( ( cos `  ( pi  /  2
) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  0 )
14 2t0e0 8898 . . . . 5  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
1513, 14eqtri 2160 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( ( cos `  ( pi  /  2
) ) ^ 2 ) )  =  0
1615oveq1i 5787 . . 3  |-  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( pi 
/  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 )  =  ( 0  -  1 )
17 df-neg 7955 . . 3  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
1816, 17eqtr4i 2163 . 2  |-  ( ( 2  x.  ( ( cos `  ( pi 
/  2 ) ) ^ 2 ) )  -  1 )  = 
-u 1
196, 8, 183eqtr3i 2168 1  |-  ( cos `  pi )  =  -u
1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1331    e. wcel 1480   ` cfv 5126  (class class class)co 5777   CCcc 7637   0cc0 7639   1c1 7640    x. cmul 7644    - cmin 7952   -ucneg 7953    / cdiv 8451   2c2 8790   ^cexp 10316   cosccos 11375   picpi 11377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4046  ax-sep 4049  ax-nul 4057  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455  ax-iinf 4505  ax-cnex 7730  ax-resscn 7731  ax-1cn 7732  ax-1re 7733  ax-icn 7734  ax-addcl 7735  ax-addrcl 7736  ax-mulcl 7737  ax-mulrcl 7738  ax-addcom 7739  ax-mulcom 7740  ax-addass 7741  ax-mulass 7742  ax-distr 7743  ax-i2m1 7744  ax-0lt1 7745  ax-1rid 7746  ax-0id 7747  ax-rnegex 7748  ax-precex 7749  ax-cnre 7750  ax-pre-ltirr 7751  ax-pre-ltwlin 7752  ax-pre-lttrn 7753  ax-pre-apti 7754  ax-pre-ltadd 7755  ax-pre-mulgt0 7756  ax-pre-mulext 7757  ax-arch 7758  ax-caucvg 7759  ax-pre-suploc 7760  ax-addf 7761  ax-mulf 7762
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-int 3775  df-iun 3818  df-disj 3910  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-tr 4030  df-id 4218  df-po 4221  df-iso 4222  df-iord 4291  df-on 4293  df-ilim 4294  df-suc 4296  df-iom 4508  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-rn 4553  df-res 4554  df-ima 4555  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-f 5130  df-f1 5131  df-fo 5132  df-f1o 5133  df-fv 5134  df-isom 5135  df-riota 5733  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-of 5985  df-1st 6041  df-2nd 6042  df-recs 6205  df-irdg 6270  df-frec 6291  df-1o 6316  df-oadd 6320  df-er 6432  df-map 6547  df-pm 6548  df-en 6638  df-dom 6639  df-fin 6640  df-sup 6874  df-inf 6875  df-pnf 7821  df-mnf 7822  df-xr 7823  df-ltxr 7824  df-le 7825  df-sub 7954  df-neg 7955  df-reap 8356  df-ap 8363  df-div 8452  df-inn 8740  df-2 8798  df-3 8799  df-4 8800  df-5 8801  df-6 8802  df-7 8803  df-8 8804  df-9 8805  df-n0 8997  df-z 9074  df-uz 9346  df-q 9434  df-rp 9464  df-xneg 9582  df-xadd 9583  df-ioo 9698  df-ioc 9699  df-ico 9700  df-icc 9701  df-fz 9815  df-fzo 9944  df-seqfrec 10243  df-exp 10317  df-fac 10496  df-bc 10518  df-ihash 10546  df-shft 10611  df-cj 10638  df-re 10639  df-im 10640  df-rsqrt 10794  df-abs 10795  df-clim 11072  df-sumdc 11147  df-ef 11378  df-sin 11380  df-cos 11381  df-pi 11383  df-rest 12148  df-topgen 12167  df-psmet 12182  df-xmet 12183  df-met 12184  df-bl 12185  df-mopn 12186  df-top 12191  df-topon 12204  df-bases 12236  df-ntr 12291  df-cn 12383  df-cnp 12384  df-tx 12448  df-cncf 12753  df-limced 12820  df-dvap 12821
This theorem is referenced by:  efipi  12916  sin2pi  12918  cos2pi  12919  sinmpi  12930  cosmpi  12931  sinppi  12932  cosppi  12933  cos0pilt1  12967  ioocosf1o  12969
  Copyright terms: Public domain W3C validator