Theorem ex-exp 16115

Description: Example for df-exp 10769. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 9180	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 6017	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 9196	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 10882	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 9394	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 9396	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 9255	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 10867	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 9204	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 9189	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 9700	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 8161	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2250	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 9277	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 8161	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 6019	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 9393	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 9398	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 9400	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2229	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 9235	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 9200	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 9669	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 8299	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 9646	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2250	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 9616	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2250	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2250	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 9193	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 8422	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		3ap0 9214	. . . . 5 ⊢ 3 # 0
34		negap0 8785	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (3 # 0 ↔ -3 # 0))
35	31, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 # 0 ↔ -3 # 0)
36	33, 35	mpbi 145	. . . 4 ⊢ -3 # 0
37		expnegap0 10777	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ -3 # 0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
38	32, 36, 6, 37	mp3an 1371	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
39		sqneg 10828	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
40	31, 39	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
41		sq3 10866	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
42	40, 41	eqtri 2250	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
43	42	oveq2i 6018	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
44	38, 43	eqtri 2250	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
45	30, 44	pm3.2i 272	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007  ℂcc 8005  0cc0 8007  1c1 8008   + caddc 8010   · cmul 8012  -cneg 8326   # cap 8736   / cdiv 8827  2c2 9169  3c3 9170  4c4 9171  5c5 9172  6c6 9173  8c8 9175  9c9 9176  ℕ₀cn0 9377  ;cdc 9586  ↑cexp 10768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-7 9182  df-8 9183  df-9 9184  df-n0 9378  df-z 9455  df-dec 9587  df-uz 9731  df-seqfrec 10678  df-exp 10769

This theorem is referenced by: (None)