Theorem ex-exp 16340

Description: Example for df-exp 10802. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 9205	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 6028	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 9221	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 10915	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 9419	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 9421	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 9280	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 10900	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 9229	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 9214	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 9725	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 8186	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2252	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 9302	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 8186	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 6030	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 9418	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 9423	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 9425	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2231	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 9260	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 9225	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 9694	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 8324	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 9671	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2252	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 9641	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2252	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2252	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 9218	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 8447	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		3ap0 9239	. . . . 5 ⊢ 3 # 0
34		negap0 8810	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (3 # 0 ↔ -3 # 0))
35	31, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 # 0 ↔ -3 # 0)
36	33, 35	mpbi 145	. . . 4 ⊢ -3 # 0
37		expnegap0 10810	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ -3 # 0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
38	32, 36, 6, 37	mp3an 1373	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
39		sqneg 10861	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
40	31, 39	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
41		sq3 10899	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
42	40, 41	eqtri 2252	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
43	42	oveq2i 6029	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
44	38, 43	eqtri 2252	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
45	30, 44	pm3.2i 272	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6018  ℂcc 8030  0cc0 8032  1c1 8033   + caddc 8035   · cmul 8037  -cneg 8351   # cap 8761   / cdiv 8852  2c2 9194  3c3 9195  4c4 9196  5c5 9197  6c6 9198  8c8 9200  9c9 9201  ℕ₀cn0 9402  ;cdc 9611  ↑cexp 10801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-dec 9612  df-uz 9756  df-seqfrec 10711  df-exp 10802

This theorem is referenced by: (None)