Theorem ex-exp 15373

Description: Example for df-exp 10631. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 9052	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 5932	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 9068	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 10744	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 9266	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 9268	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 9127	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 10729	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 9076	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 9061	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 9571	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 8033	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2217	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 9149	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 8033	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 5934	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 9265	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 9270	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 9272	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2196	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 9107	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 9072	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 9540	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 8171	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 9517	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2217	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 9487	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2217	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2217	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 9065	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 8294	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		3ap0 9086	. . . . 5 ⊢ 3 # 0
34		negap0 8657	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (3 # 0 ↔ -3 # 0))
35	31, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 # 0 ↔ -3 # 0)
36	33, 35	mpbi 145	. . . 4 ⊢ -3 # 0
37		expnegap0 10639	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ -3 # 0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
38	32, 36, 6, 37	mp3an 1348	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
39		sqneg 10690	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
40	31, 39	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
41		sq3 10728	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
42	40, 41	eqtri 2217	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
43	42	oveq2i 5933	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
44	38, 43	eqtri 2217	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
45	30, 44	pm3.2i 272	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922  ℂcc 7877  0cc0 7879  1c1 7880   + caddc 7882   · cmul 7884  -cneg 8198   # cap 8608   / cdiv 8699  2c2 9041  3c3 9042  4c4 9043  5c5 9044  6c6 9045  8c8 9047  9c9 9048  ℕ₀cn0 9249  ;cdc 9457  ↑cexp 10630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-9 9056  df-n0 9250  df-z 9327  df-dec 9458  df-uz 9602  df-seqfrec 10540  df-exp 10631

This theorem is referenced by: (None)