Theorem ex-exp 13568

Description: Example for df-exp 10451. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 8915	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 5851	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 8931	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 10563	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 9127	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 9129	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 8989	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 10548	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 8939	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 8924	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 9432	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 7902	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2186	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 9011	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 7902	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 5853	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 9126	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 9131	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 9133	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2165	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 8970	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 8935	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 9401	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 8039	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 9378	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2186	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 9348	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2186	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2186	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 8928	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 8162	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		3ap0 8949	. . . . 5 ⊢ 3 # 0
34		negap0 8524	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (3 # 0 ↔ -3 # 0))
35	31, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 # 0 ↔ -3 # 0)
36	33, 35	mpbi 144	. . . 4 ⊢ -3 # 0
37		expnegap0 10459	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ -3 # 0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
38	32, 36, 6, 37	mp3an 1327	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
39		sqneg 10510	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
40	31, 39	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
41		sq3 10547	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
42	40, 41	eqtri 2186	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
43	42	oveq2i 5852	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
44	38, 43	eqtri 2186	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
45	30, 44	pm3.2i 270	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3981  (class class class)co 5841  ℂcc 7747  0cc0 7749  1c1 7750   + caddc 7752   · cmul 7754  -cneg 8066   # cap 8475   / cdiv 8564  2c2 8904  3c3 8905  4c4 8906  5c5 8907  6c6 8908  8c8 8910  9c9 8911  ℕ₀cn0 9110  ;cdc 9318  ↑cexp 10450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4096  ax-sep 4099  ax-nul 4107  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-iinf 4564  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-mulrcl 7848  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-1rid 7856  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-precex 7859  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865  ax-pre-mulgt0 7866  ax-pre-mulext 7867

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-nul 3409  df-if 3520  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-tr 4080  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-iord 4343  df-on 4345  df-ilim 4346  df-suc 4348  df-iom 4567  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-recs 6269  df-frec 6355  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-reap 8469  df-ap 8476  df-div 8565  df-inn 8854  df-2 8912  df-3 8913  df-4 8914  df-5 8915  df-6 8916  df-7 8917  df-8 8918  df-9 8919  df-n0 9111  df-z 9188  df-dec 9319  df-uz 9463  df-seqfrec 10377  df-exp 10451

This theorem is referenced by: (None)