Theorem ex-exp 11537

Description: Example for df-exp 9943. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 8474	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 5654	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 8490	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 10054	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 8680	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 8682	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 8542	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 10040	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 8498	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 8483	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 8981	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 7485	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2108	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 8564	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 7485	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 5656	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 8679	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 8684	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 8686	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2088	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 8529	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 8494	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 8950	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 7617	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 8927	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2108	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 8897	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2108	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2108	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 8487	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 7740	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		3ap0 8508	. . . . 5 ⊢ 3 # 0
34		negap0 8096	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (3 # 0 ↔ -3 # 0))
35	31, 34	ax-mp 7	. . . . 5 ⊢ (3 # 0 ↔ -3 # 0)
36	33, 35	mpbi 143	. . . 4 ⊢ -3 # 0
37		expnegap0 9951	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ -3 # 0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
38	32, 36, 6, 37	mp3an 1273	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
39		sqneg 10002	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
40	31, 39	ax-mp 7	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
41		sq3 10039	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
42	40, 41	eqtri 2108	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
43	42	oveq2i 5655	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
44	38, 43	eqtri 2108	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
45	30, 44	pm3.2i 266	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1289   ∈ wcel 1438   class class class wbr 3843  (class class class)co 5644  ℂcc 7338  0cc0 7340  1c1 7341   + caddc 7343   · cmul 7345  -cneg 7644   # cap 8048   / cdiv 8129  2c2 8463  3c3 8464  4c4 8465  5c5 8466  6c6 8467  8c8 8469  9c9 8470  ℕ₀cn0 8663  ;cdc 8867  ↑cexp 9942

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3952  ax-sep 3955  ax-nul 3963  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-iinf 4401  ax-cnex 7426  ax-resscn 7427  ax-1cn 7428  ax-1re 7429  ax-icn 7430  ax-addcl 7431  ax-addrcl 7432  ax-mulcl 7433  ax-mulrcl 7434  ax-addcom 7435  ax-mulcom 7436  ax-addass 7437  ax-mulass 7438  ax-distr 7439  ax-i2m1 7440  ax-0lt1 7441  ax-1rid 7442  ax-0id 7443  ax-rnegex 7444  ax-precex 7445  ax-cnre 7446  ax-pre-ltirr 7447  ax-pre-ltwlin 7448  ax-pre-lttrn 7449  ax-pre-apti 7450  ax-pre-ltadd 7451  ax-pre-mulgt0 7452  ax-pre-mulext 7453

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3392  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-int 3687  df-iun 3730  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-tr 3935  df-id 4118  df-po 4121  df-iso 4122  df-iord 4191  df-on 4193  df-ilim 4194  df-suc 4196  df-iom 4404  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-f1 5015  df-fo 5016  df-f1o 5017  df-fv 5018  df-riota 5600  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-1st 5903  df-2nd 5904  df-recs 6062  df-frec 6148  df-pnf 7514  df-mnf 7515  df-xr 7516  df-ltxr 7517  df-le 7518  df-sub 7645  df-neg 7646  df-reap 8042  df-ap 8049  df-div 8130  df-inn 8413  df-2 8471  df-3 8472  df-4 8473  df-5 8474  df-6 8475  df-7 8476  df-8 8477  df-9 8478  df-n0 8664  df-z 8741  df-dec 8868  df-uz 9010  df-iseq 9841  df-seq3 9842  df-exp 9943

This theorem is referenced by: (None)