Theorem ex-exp 15481

Description: Example for df-exp 10650. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 9071	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 5935	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 9087	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 10763	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 9285	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 9287	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 9146	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 10748	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 9095	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 9080	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 9590	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 8052	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2217	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 9168	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 8052	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 5937	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 9284	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 9289	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 9291	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2196	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 9126	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 9091	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 9559	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 8190	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 9536	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2217	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 9506	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2217	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2217	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 9084	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 8313	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		3ap0 9105	. . . . 5 ⊢ 3 # 0
34		negap0 8676	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (3 # 0 ↔ -3 # 0))
35	31, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 # 0 ↔ -3 # 0)
36	33, 35	mpbi 145	. . . 4 ⊢ -3 # 0
37		expnegap0 10658	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ -3 # 0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
38	32, 36, 6, 37	mp3an 1348	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
39		sqneg 10709	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
40	31, 39	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
41		sq3 10747	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
42	40, 41	eqtri 2217	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
43	42	oveq2i 5936	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
44	38, 43	eqtri 2217	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
45	30, 44	pm3.2i 272	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925  ℂcc 7896  0cc0 7898  1c1 7899   + caddc 7901   · cmul 7903  -cneg 8217   # cap 8627   / cdiv 8718  2c2 9060  3c3 9061  4c4 9062  5c5 9063  6c6 9064  8c8 9066  9c9 9067  ℕ₀cn0 9268  ;cdc 9476  ↑cexp 10649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015  ax-pre-mulext 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-reap 8621  df-ap 8628  df-div 8719  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-4 9070  df-5 9071  df-6 9072  df-7 9073  df-8 9074  df-9 9075  df-n0 9269  df-z 9346  df-dec 9477  df-uz 9621  df-seqfrec 10559  df-exp 10650

This theorem is referenced by: (None)