Theorem ex-exp 13847

Description: Example for df-exp 10480. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 8944	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 5867	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 8960	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 10592	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 9156	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 9158	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 9018	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 10577	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 8968	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 8953	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 9461	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 7931	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2192	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 9040	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 7931	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 5869	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 9155	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 9160	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 9162	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2171	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 8999	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 8964	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 9430	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 8068	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 9407	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2192	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 9377	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2192	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2192	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 8957	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 8191	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		3ap0 8978	. . . . 5 ⊢ 3 # 0
34		negap0 8553	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (3 # 0 ↔ -3 # 0))
35	31, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 # 0 ↔ -3 # 0)
36	33, 35	mpbi 144	. . . 4 ⊢ -3 # 0
37		expnegap0 10488	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ -3 # 0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
38	32, 36, 6, 37	mp3an 1333	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
39		sqneg 10539	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
40	31, 39	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
41		sq3 10576	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
42	40, 41	eqtri 2192	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
43	42	oveq2i 5868	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
44	38, 43	eqtri 2192	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
45	30, 44	pm3.2i 270	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1349   ∈ wcel 2142   class class class wbr 3990  (class class class)co 5857  ℂcc 7776  0cc0 7778  1c1 7779   + caddc 7781   · cmul 7783  -cneg 8095   # cap 8504   / cdiv 8593  2c2 8933  3c3 8934  4c4 8935  5c5 8936  6c6 8937  8c8 8939  9c9 8940  ℕ₀cn0 9139  ;cdc 9347  ↑cexp 10479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-coll 4105  ax-sep 4108  ax-nul 4116  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419  ax-setind 4522  ax-iinf 4573  ax-cnex 7869  ax-resscn 7870  ax-1cn 7871  ax-1re 7872  ax-icn 7873  ax-addcl 7874  ax-addrcl 7875  ax-mulcl 7876  ax-mulrcl 7877  ax-addcom 7878  ax-mulcom 7879  ax-addass 7880  ax-mulass 7881  ax-distr 7882  ax-i2m1 7883  ax-0lt1 7884  ax-1rid 7885  ax-0id 7886  ax-rnegex 7887  ax-precex 7888  ax-cnre 7889  ax-pre-ltirr 7890  ax-pre-ltwlin 7891  ax-pre-lttrn 7892  ax-pre-apti 7893  ax-pre-ltadd 7894  ax-pre-mulgt0 7895  ax-pre-mulext 7896

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 831  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1352  df-fal 1355  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-nel 2437  df-ral 2454  df-rex 2455  df-reu 2456  df-rmo 2457  df-rab 2458  df-v 2733  df-sbc 2957  df-csb 3051  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-nul 3416  df-if 3528  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-int 3833  df-iun 3876  df-br 3991  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4089  df-id 4279  df-po 4282  df-iso 4283  df-iord 4352  df-on 4354  df-ilim 4355  df-suc 4357  df-iom 4576  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-rn 4623  df-res 4624  df-ima 4625  df-iota 5162  df-fun 5202  df-fn 5203  df-f 5204  df-f1 5205  df-fo 5206  df-f1o 5207  df-fv 5208  df-riota 5813  df-ov 5860  df-oprab 5861  df-mpo 5862  df-1st 6123  df-2nd 6124  df-recs 6288  df-frec 6374  df-pnf 7960  df-mnf 7961  df-xr 7962  df-ltxr 7963  df-le 7964  df-sub 8096  df-neg 8097  df-reap 8498  df-ap 8505  df-div 8594  df-inn 8883  df-2 8941  df-3 8942  df-4 8943  df-5 8944  df-6 8945  df-7 8946  df-8 8947  df-9 8948  df-n0 9140  df-z 9217  df-dec 9348  df-uz 9492  df-seqfrec 10406  df-exp 10480

This theorem is referenced by: (None)