Theorem ex-exp 15219

Description: Example for df-exp 10610. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 9044	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 5928	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 9060	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 10723	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 9257	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 9259	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 9118	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 10708	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 9068	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 9053	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 9562	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 8026	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2214	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 9140	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 8026	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 5930	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 9256	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 9261	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 9263	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2193	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 9099	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 9064	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 9531	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 8164	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 9508	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2214	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 9478	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2214	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2214	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 9057	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 8287	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		3ap0 9078	. . . . 5 ⊢ 3 # 0
34		negap0 8649	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (3 # 0 ↔ -3 # 0))
35	31, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 # 0 ↔ -3 # 0)
36	33, 35	mpbi 145	. . . 4 ⊢ -3 # 0
37		expnegap0 10618	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ -3 # 0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
38	32, 36, 6, 37	mp3an 1348	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
39		sqneg 10669	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
40	31, 39	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
41		sq3 10707	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
42	40, 41	eqtri 2214	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
43	42	oveq2i 5929	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
44	38, 43	eqtri 2214	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
45	30, 44	pm3.2i 272	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  0cc0 7872  1c1 7873   + caddc 7875   · cmul 7877  -cneg 8191   # cap 8600   / cdiv 8691  2c2 9033  3c3 9034  4c4 9035  5c5 9036  6c6 9037  8c8 9039  9c9 9040  ℕ₀cn0 9240  ;cdc 9448  ↑cexp 10609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-9 9048  df-n0 9241  df-z 9318  df-dec 9449  df-uz 9593  df-seqfrec 10519  df-exp 10610

This theorem is referenced by: (None)