Theorem ex-exp 14775

Description: Example for df-exp 10534. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 8995	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 5898	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 9011	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 10647	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 9207	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 9209	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 9069	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 10632	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 9019	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 9004	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 9512	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 7978	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2208	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 9091	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 7978	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 5900	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 9206	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 9211	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 9213	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2187	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 9050	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 9015	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 9481	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 8116	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 9458	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2208	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 9428	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2208	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2208	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 9008	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 8239	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		3ap0 9029	. . . . 5 ⊢ 3 # 0
34		negap0 8601	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (3 # 0 ↔ -3 # 0))
35	31, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 # 0 ↔ -3 # 0)
36	33, 35	mpbi 145	. . . 4 ⊢ -3 # 0
37		expnegap0 10542	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ -3 # 0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
38	32, 36, 6, 37	mp3an 1347	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
39		sqneg 10593	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
40	31, 39	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
41		sq3 10631	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
42	40, 41	eqtri 2208	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
43	42	oveq2i 5899	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
44	38, 43	eqtri 2208	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
45	30, 44	pm3.2i 272	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1363   ∈ wcel 2158   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  ℂcc 7823  0cc0 7825  1c1 7826   + caddc 7828   · cmul 7830  -cneg 8143   # cap 8552   / cdiv 8643  2c2 8984  3c3 8985  4c4 8986  5c5 8987  6c6 8988  8c8 8990  9c9 8991  ℕ₀cn0 9190  ;cdc 9398  ↑cexp 10533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-frec 6406  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-5 8995  df-6 8996  df-7 8997  df-8 8998  df-9 8999  df-n0 9191  df-z 9268  df-dec 9399  df-uz 9543  df-seqfrec 10460  df-exp 10534

This theorem is referenced by: (None)