Theorem ex-exp 14449

Description: Example for df-exp 10519. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 8980	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 5884	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 8996	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 10632	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 9192	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 9194	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 9054	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 10617	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 9004	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 8989	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 9497	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 7963	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2198	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 9076	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 7963	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 5886	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 9191	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 9196	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 9198	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2177	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 9035	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 9000	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 9466	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 8101	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 9443	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2198	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 9413	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2198	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2198	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 8993	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 8224	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		3ap0 9014	. . . . 5 ⊢ 3 # 0
34		negap0 8586	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (3 # 0 ↔ -3 # 0))
35	31, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 # 0 ↔ -3 # 0)
36	33, 35	mpbi 145	. . . 4 ⊢ -3 # 0
37		expnegap0 10527	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ -3 # 0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
38	32, 36, 6, 37	mp3an 1337	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
39		sqneg 10578	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
40	31, 39	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
41		sq3 10616	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
42	40, 41	eqtri 2198	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
43	42	oveq2i 5885	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
44	38, 43	eqtri 2198	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
45	30, 44	pm3.2i 272	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874  ℂcc 7808  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   · cmul 7815  -cneg 8128   # cap 8537   / cdiv 8628  2c2 8969  3c3 8970  4c4 8971  5c5 8972  6c6 8973  8c8 8975  9c9 8976  ℕ₀cn0 9175  ;cdc 9383  ↑cexp 10518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-5 8980  df-6 8981  df-7 8982  df-8 8983  df-9 8984  df-n0 9176  df-z 9253  df-dec 9384  df-uz 9528  df-seqfrec 10445  df-exp 10519

This theorem is referenced by: (None)