ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ex-exp GIF version

Theorem ex-exp 14667
Description: Example for df-exp 10523. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-exp ((5↑2) = 25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp
StepHypRef Expression
1 df-5 8984 . . . 4 5 = (4 + 1)
21oveq1i 5888 . . 3 (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3 4cn 9000 . . . . 5 4 ∈ ℂ
4 binom21 10636 . . . . 5 (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
53, 4ax-mp 5 . . . 4 ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6 2nn0 9196 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
7 4nn0 9198 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
8 4p1e5 9058 . . . . 5 (4 + 1) = 5
9 sq4e2t8 10621 . . . . . . . 8 (4↑2) = (2 · 8)
10 8cn 9008 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
11 2cn 8993 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
12 8t2e16 9501 . . . . . . . . 9 (8 · 2) = 16
1310, 11, 12mulcomli 7967 . . . . . . . 8 (2 · 8) = 16
149, 13eqtri 2198 . . . . . . 7 (4↑2) = 16
15 4t2e8 9080 . . . . . . . 8 (4 · 2) = 8
163, 11, 15mulcomli 7967 . . . . . . 7 (2 · 4) = 8
1714, 16oveq12i 5890 . . . . . 6 ((4↑2) + (2 · 4)) = (16 + 8)
18 1nn0 9195 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
19 6nn0 9200 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
20 8nn0 9202 . . . . . . 7 8 ∈ ℕ0
21 eqid 2177 . . . . . . 7 16 = 16
22 1p1e2 9039 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
23 6cn 9004 . . . . . . . 8 6 ∈ ℂ
24 8p6e14 9470 . . . . . . . 8 (8 + 6) = 14
2510, 23, 24addcomli 8105 . . . . . . 7 (6 + 8) = 14
2618, 19, 20, 21, 22, 7, 25decaddci 9447 . . . . . 6 (16 + 8) = 24
2717, 26eqtri 2198 . . . . 5 ((4↑2) + (2 · 4)) = 24
286, 7, 8, 27decsuc 9417 . . . 4 (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = 25
295, 28eqtri 2198 . . 3 ((4 + 1)↑2) = 25
302, 29eqtri 2198 . 2 (5↑2) = 25
31 3cn 8997 . . . . 5 3 ∈ ℂ
3231negcli 8228 . . . 4 -3 ∈ ℂ
33 3ap0 9018 . . . . 5 3 # 0
34 negap0 8590 . . . . . 6 (3 ∈ ℂ → (3 # 0 ↔ -3 # 0))
3531, 34ax-mp 5 . . . . 5 (3 # 0 ↔ -3 # 0)
3633, 35mpbi 145 . . . 4 -3 # 0
37 expnegap0 10531 . . . 4 ((-3 ∈ ℂ ∧ -3 # 0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
3832, 36, 6, 37mp3an 1337 . . 3 (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
39 sqneg 10582 . . . . . 6 (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
4031, 39ax-mp 5 . . . . 5 (-3↑2) = (3↑2)
41 sq3 10620 . . . . 5 (3↑2) = 9
4240, 41eqtri 2198 . . . 4 (-3↑2) = 9
4342oveq2i 5889 . . 3 (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
4438, 43eqtri 2198 . 2 (-3↑-2) = (1 / 9)
4530, 44pm3.2i 272 1 ((5↑2) = 25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5878  cc 7812  0cc0 7814  1c1 7815   + caddc 7817   · cmul 7819  -cneg 8132   # cap 8541   / cdiv 8632  2c2 8973  3c3 8974  4c4 8975  5c5 8976  6c6 8977  8c8 8979  9c9 8980  0cn0 9179  cdc 9387  cexp 10522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-5 8984  df-6 8985  df-7 8986  df-8 8987  df-9 8988  df-n0 9180  df-z 9257  df-dec 9388  df-uz 9532  df-seqfrec 10449  df-exp 10523
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator