Theorem ex-exp 16724

Description: Example for df-exp 10959. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 9349	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 6089	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 9365	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 11072	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 9563	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 9565	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 9424	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 11057	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 9373	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 9358	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 9874	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 8327	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2259	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 9446	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 8327	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 6091	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 9562	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 9567	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 9569	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 9404	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 9369	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 9843	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 8465	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 9820	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2259	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 9790	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2259	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2259	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 9362	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 8588	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		3ap0 9383	. . . . 5 ⊢ 3 # 0
34		negap0 8952	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (3 # 0 ↔ -3 # 0))
35	31, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 # 0 ↔ -3 # 0)
36	33, 35	mpbi 145	. . . 4 ⊢ -3 # 0
37		expnegap0 10967	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ -3 # 0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
38	32, 36, 6, 37	mp3an 1378	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
39		sqneg 11018	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
40	31, 39	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
41		sq3 11056	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
42	40, 41	eqtri 2259	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
43	42	oveq2i 6090	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
44	38, 43	eqtri 2259	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
45	30, 44	pm3.2i 272	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128  (class class class)co 6079  ℂcc 8171  0cc0 8173  1c1 8174   + caddc 8176   · cmul 8178  -cneg 8492   # cap 8903   / cdiv 8996  2c2 9338  3c3 9339  4c4 9340  5c5 9341  6c6 9342  8c8 9344  9c9 9345  ℕ₀cn0 9546  ;cdc 9760  ↑cexp 10958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-z 9628  df-dec 9761  df-uz 9905  df-seqfrec 10868  df-exp 10959

This theorem is referenced by: (None)