Theorem ex-exp 15018

Description: Example for df-exp 10566. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 9022	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 5914	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 9038	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 10679	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 9234	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 9236	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 9096	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 10664	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 9046	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 9031	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 9539	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 8005	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2210	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 9118	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 8005	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 5916	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 9233	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 9238	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 9240	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2189	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 9077	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 9042	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 9508	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 8143	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 9485	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2210	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 9455	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2210	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2210	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 9035	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 8266	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		3ap0 9056	. . . . 5 ⊢ 3 # 0
34		negap0 8628	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (3 # 0 ↔ -3 # 0))
35	31, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 # 0 ↔ -3 # 0)
36	33, 35	mpbi 145	. . . 4 ⊢ -3 # 0
37		expnegap0 10574	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ -3 # 0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
38	32, 36, 6, 37	mp3an 1348	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
39		sqneg 10625	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
40	31, 39	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
41		sq3 10663	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
42	40, 41	eqtri 2210	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
43	42	oveq2i 5915	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
44	38, 43	eqtri 2210	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
45	30, 44	pm3.2i 272	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4025  (class class class)co 5904  ℂcc 7849  0cc0 7851  1c1 7852   + caddc 7854   · cmul 7856  -cneg 8170   # cap 8579   / cdiv 8670  2c2 9011  3c3 9012  4c4 9013  5c5 9014  6c6 9015  8c8 9017  9c9 9018  ℕ₀cn0 9217  ;cdc 9425  ↑cexp 10565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4140  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-un 4458  ax-setind 4561  ax-iinf 4612  ax-cnex 7942  ax-resscn 7943  ax-1cn 7944  ax-1re 7945  ax-icn 7946  ax-addcl 7947  ax-addrcl 7948  ax-mulcl 7949  ax-mulrcl 7950  ax-addcom 7951  ax-mulcom 7952  ax-addass 7953  ax-mulass 7954  ax-distr 7955  ax-i2m1 7956  ax-0lt1 7957  ax-1rid 7958  ax-0id 7959  ax-rnegex 7960  ax-precex 7961  ax-cnre 7962  ax-pre-ltirr 7963  ax-pre-ltwlin 7964  ax-pre-lttrn 7965  ax-pre-apti 7966  ax-pre-ltadd 7967  ax-pre-mulgt0 7968  ax-pre-mulext 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2758  df-sbc 2982  df-csb 3077  df-dif 3150  df-un 3152  df-in 3154  df-ss 3161  df-nul 3442  df-if 3554  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3832  df-int 3867  df-iun 3910  df-br 4026  df-opab 4087  df-mpt 4088  df-tr 4124  df-id 4318  df-po 4321  df-iso 4322  df-iord 4391  df-on 4393  df-ilim 4394  df-suc 4396  df-iom 4615  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-rn 4662  df-res 4663  df-ima 4664  df-iota 5203  df-fun 5244  df-fn 5245  df-f 5246  df-f1 5247  df-fo 5248  df-f1o 5249  df-fv 5250  df-riota 5859  df-ov 5907  df-oprab 5908  df-mpo 5909  df-1st 6173  df-2nd 6174  df-recs 6338  df-frec 6424  df-pnf 8035  df-mnf 8036  df-xr 8037  df-ltxr 8038  df-le 8039  df-sub 8171  df-neg 8172  df-reap 8573  df-ap 8580  df-div 8671  df-inn 8961  df-2 9019  df-3 9020  df-4 9021  df-5 9022  df-6 9023  df-7 9024  df-8 9025  df-9 9026  df-n0 9218  df-z 9295  df-dec 9426  df-uz 9570  df-seqfrec 10491  df-exp 10566

This theorem is referenced by: (None)