Theorem ex-exp 16963

Description: Example for df-exp 10996. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ ( -3↑ -2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 9375	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 6098	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 9391	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 11109	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 9591	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 9593	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 9450	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 11094	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 9399	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 9384	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 9906	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 8339	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2259	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 9473	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 8339	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 6100	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 9590	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 9595	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 9597	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 9430	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 9395	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 9875	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 8478	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 9852	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2259	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 9822	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2259	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2259	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 9388	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 8601	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		3ap0 9409	. . . . 5 ⊢ 3 # 0
34		negap0 8966	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (3 # 0 ↔ -3 # 0))
35	31, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 # 0 ↔ -3 # 0)
36	33, 35	mpbi 145	. . . 4 ⊢ -3 # 0
37		expnegap0 11004	. . . 4 ⊢ (( -3 ∈ ℂ ∧ -3 # 0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → ( -3↑ -2) = (1 / ( -3↑2)))
38	32, 36, 6, 37	mp3an 1378	. . 3 ⊢ ( -3↑ -2) = (1 / ( -3↑2))
39		sqneg 11055	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → ( -3↑2) = (3↑2))
40	31, 39	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ( -3↑2) = (3↑2)
41		sq3 11093	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
42	40, 41	eqtri 2259	. . . 4 ⊢ ( -3↑2) = 9
43	42	oveq2i 6099	. . 3 ⊢ (1 / ( -3↑2)) = (1 / 9)
44	38, 43	eqtri 2259	. 2 ⊢ ( -3↑ -2) = (1 / 9)
45	30, 44	pm3.2i 272	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ ( -3↑ -2) = (1 / 9))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088  ℂcc 8183  0cc0 8185  1c1 8186   + caddc 8188   · cmul 8190   -cneg 8505   # cap 8917   / cdiv 9010  2c2 9364  3c3 9365  4c4 9366  5c5 9367  6c6 9368  8c8 9370  9c9 9371  ℕ₀cn0 9574  ;cdc 9787  ↑cexp 10995

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6581  df-frec 6667  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9654  df-dec 9788  df-uz 9937  df-seqfrec 10905  df-exp 10996

This theorem is used by: (None)