Theorem ex-exp 15863

Description: Example for df-exp 10721. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 9133	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 5977	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 9149	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 10834	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 9347	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 9349	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 9208	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 10819	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 9157	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 9142	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 9653	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 8114	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2228	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 9230	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 8114	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 5979	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 9346	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 9351	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 9353	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2207	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 9188	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 9153	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 9622	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 8252	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 9599	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2228	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 9569	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2228	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2228	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 9146	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 8375	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		3ap0 9167	. . . . 5 ⊢ 3 # 0
34		negap0 8738	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (3 # 0 ↔ -3 # 0))
35	31, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 # 0 ↔ -3 # 0)
36	33, 35	mpbi 145	. . . 4 ⊢ -3 # 0
37		expnegap0 10729	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ -3 # 0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
38	32, 36, 6, 37	mp3an 1350	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
39		sqneg 10780	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
40	31, 39	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
41		sq3 10818	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
42	40, 41	eqtri 2228	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
43	42	oveq2i 5978	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
44	38, 43	eqtri 2228	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
45	30, 44	pm3.2i 272	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2178   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967  ℂcc 7958  0cc0 7960  1c1 7961   + caddc 7963   · cmul 7965  -cneg 8279   # cap 8689   / cdiv 8780  2c2 9122  3c3 9123  4c4 9124  5c5 9125  6c6 9126  8c8 9128  9c9 9129  ℕ₀cn0 9330  ;cdc 9539  ↑cexp 10720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-5 9133  df-6 9134  df-7 9135  df-8 9136  df-9 9137  df-n0 9331  df-z 9408  df-dec 9540  df-uz 9684  df-seqfrec 10630  df-exp 10721

This theorem is referenced by: (None)