Theorem ex-exp 12939

Description: Example for df-exp 10293. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 8782	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 5784	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 8798	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 10404	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 8994	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 8996	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 8856	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 10390	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 8806	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 8791	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 9296	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 7773	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2160	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 8878	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 7773	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 5786	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 8993	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 8998	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 9000	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2139	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 8837	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 8802	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 9265	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 7907	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 9242	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2160	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 9212	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2160	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2160	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 8795	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 8030	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		3ap0 8816	. . . . 5 ⊢ 3 # 0
34		negap0 8392	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (3 # 0 ↔ -3 # 0))
35	31, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 # 0 ↔ -3 # 0)
36	33, 35	mpbi 144	. . . 4 ⊢ -3 # 0
37		expnegap0 10301	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ -3 # 0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
38	32, 36, 6, 37	mp3an 1315	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
39		sqneg 10352	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
40	31, 39	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
41		sq3 10389	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
42	40, 41	eqtri 2160	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
43	42	oveq2i 5785	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
44	38, 43	eqtri 2160	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
45	30, 44	pm3.2i 270	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  ℂcc 7618  0cc0 7620  1c1 7621   + caddc 7623   · cmul 7625  -cneg 7934   # cap 8343   / cdiv 8432  2c2 8771  3c3 8772  4c4 8773  5c5 8774  6c6 8775  8c8 8777  9c9 8778  ℕ₀cn0 8977  ;cdc 9182  ↑cexp 10292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-5 8782  df-6 8783  df-7 8784  df-8 8785  df-9 8786  df-n0 8978  df-z 9055  df-dec 9183  df-uz 9327  df-seqfrec 10219  df-exp 10293

This theorem is referenced by: (None)