Theorem ex-exp 16273

Description: Example for df-exp 10794. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 9198	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 6023	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 9214	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 10907	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 9412	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 9414	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 9273	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 10892	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 9222	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 9207	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 9718	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 8179	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2250	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 9295	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 8179	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 6025	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 9411	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 9416	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 9418	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2229	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 9253	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 9218	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 9687	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 8317	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 9664	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2250	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 9634	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2250	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2250	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 9211	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 8440	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		3ap0 9232	. . . . 5 ⊢ 3 # 0
34		negap0 8803	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (3 # 0 ↔ -3 # 0))
35	31, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 # 0 ↔ -3 # 0)
36	33, 35	mpbi 145	. . . 4 ⊢ -3 # 0
37		expnegap0 10802	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ -3 # 0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
38	32, 36, 6, 37	mp3an 1371	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
39		sqneg 10853	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
40	31, 39	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
41		sq3 10891	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
42	40, 41	eqtri 2250	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
43	42	oveq2i 6024	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
44	38, 43	eqtri 2250	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
45	30, 44	pm3.2i 272	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013  ℂcc 8023  0cc0 8025  1c1 8026   + caddc 8028   · cmul 8030  -cneg 8344   # cap 8754   / cdiv 8845  2c2 9187  3c3 9188  4c4 9189  5c5 9190  6c6 9191  8c8 9193  9c9 9194  ℕ₀cn0 9395  ;cdc 9604  ↑cexp 10793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-7 9200  df-8 9201  df-9 9202  df-n0 9396  df-z 9473  df-dec 9605  df-uz 9749  df-seqfrec 10703  df-exp 10794

This theorem is referenced by: (None)