Theorem ex-exp 16001

Description: Example for df-exp 10728. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 9140	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 5984	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 9156	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 10841	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 9354	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 9356	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 9215	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 10826	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 9164	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 9149	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 9660	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 8121	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2230	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 9237	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 8121	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 5986	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 9353	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 9358	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 9360	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2209	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 9195	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 9160	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 9629	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 8259	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 9606	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2230	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 9576	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2230	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2230	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 9153	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 8382	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		3ap0 9174	. . . . 5 ⊢ 3 # 0
34		negap0 8745	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (3 # 0 ↔ -3 # 0))
35	31, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 # 0 ↔ -3 # 0)
36	33, 35	mpbi 145	. . . 4 ⊢ -3 # 0
37		expnegap0 10736	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ -3 # 0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
38	32, 36, 6, 37	mp3an 1352	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
39		sqneg 10787	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
40	31, 39	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
41		sq3 10825	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
42	40, 41	eqtri 2230	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
43	42	oveq2i 5985	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
44	38, 43	eqtri 2230	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
45	30, 44	pm3.2i 272	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1375   ∈ wcel 2180   class class class wbr 4062  (class class class)co 5974  ℂcc 7965  0cc0 7967  1c1 7968   + caddc 7970   · cmul 7972  -cneg 8286   # cap 8696   / cdiv 8787  2c2 9129  3c3 9130  4c4 9131  5c5 9132  6c6 9133  8c8 9135  9c9 9136  ℕ₀cn0 9337  ;cdc 9546  ↑cexp 10727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-frec 6507  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-9 9144  df-n0 9338  df-z 9415  df-dec 9547  df-uz 9691  df-seqfrec 10637  df-exp 10728

This theorem is referenced by: (None)