Theorem ex-exp 13241

Description: Example for df-exp 10397. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 8874	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 5824	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 8890	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 10508	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 9086	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 9088	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 8948	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 10494	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 8898	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 8883	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 9388	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 7864	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2175	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 8970	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 7864	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 5826	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 9085	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 9090	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 9092	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2154	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 8929	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 8894	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 9357	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 7999	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 9334	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2175	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 9304	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2175	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2175	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 8887	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 8122	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		3ap0 8908	. . . . 5 ⊢ 3 # 0
34		negap0 8484	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (3 # 0 ↔ -3 # 0))
35	31, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 # 0 ↔ -3 # 0)
36	33, 35	mpbi 144	. . . 4 ⊢ -3 # 0
37		expnegap0 10405	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ -3 # 0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
38	32, 36, 6, 37	mp3an 1316	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
39		sqneg 10456	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
40	31, 39	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
41		sq3 10493	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
42	40, 41	eqtri 2175	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
43	42	oveq2i 5825	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
44	38, 43	eqtri 2175	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
45	30, 44	pm3.2i 270	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 2125   class class class wbr 3961  (class class class)co 5814  ℂcc 7709  0cc0 7711  1c1 7712   + caddc 7714   · cmul 7716  -cneg 8026   # cap 8435   / cdiv 8524  2c2 8863  3c3 8864  4c4 8865  5c5 8866  6c6 8867  8c8 8869  9c9 8870  ℕ₀cn0 9069  ;cdc 9274  ↑cexp 10396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828  ax-pre-mulext 7829

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rmo 2440  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-frec 6328  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436  df-div 8525  df-inn 8813  df-2 8871  df-3 8872  df-4 8873  df-5 8874  df-6 8875  df-7 8876  df-8 8877  df-9 8878  df-n0 9070  df-z 9147  df-dec 9275  df-uz 9419  df-seqfrec 10323  df-exp 10397

This theorem is referenced by: (None)