Theorem ex-exp 16482

Description: Example for df-exp 10897. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 9295	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 6059	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 9311	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 11010	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 9509	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 9511	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 9370	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 10995	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 9319	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 9304	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 9819	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 8277	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2253	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 9392	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 8277	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 6061	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 9508	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 9513	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 9515	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2232	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 9350	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 9315	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 9788	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 8414	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 9765	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2253	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 9735	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2253	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2253	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 9308	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 8537	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		3ap0 9329	. . . . 5 ⊢ 3 # 0
34		negap0 8900	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (3 # 0 ↔ -3 # 0))
35	31, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 # 0 ↔ -3 # 0)
36	33, 35	mpbi 145	. . . 4 ⊢ -3 # 0
37		expnegap0 10905	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ -3 # 0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
38	32, 36, 6, 37	mp3an 1374	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
39		sqneg 10956	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
40	31, 39	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
41		sq3 10994	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
42	40, 41	eqtri 2253	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
43	42	oveq2i 6060	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
44	38, 43	eqtri 2253	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
45	30, 44	pm3.2i 272	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4108  (class class class)co 6049  ℂcc 8121  0cc0 8123  1c1 8124   + caddc 8126   · cmul 8128  -cneg 8441   # cap 8851   / cdiv 8942  2c2 9284  3c3 9285  4c4 9286  5c5 9287  6c6 9288  8c8 9290  9c9 9291  ℕ₀cn0 9492  ;cdc 9705  ↑cexp 10896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240  ax-pre-mulext 8241

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-ap 8852  df-div 8943  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-9 9299  df-n0 9493  df-z 9574  df-dec 9706  df-uz 9850  df-seqfrec 10806  df-exp 10897

This theorem is referenced by: (None)