Theorem ex-exp 16544

Description: Example for df-exp 10908. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 9304	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 6062	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 9320	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 11021	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 9518	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 9520	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 9379	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 11006	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 9328	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 9313	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 9829	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 8286	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2255	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 9401	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 8286	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 6064	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 9517	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 9522	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 9524	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2234	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 9359	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 9324	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 9798	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 8423	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 9775	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2255	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 9745	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2255	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2255	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 9317	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 8546	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		3ap0 9338	. . . . 5 ⊢ 3 # 0
34		negap0 8909	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (3 # 0 ↔ -3 # 0))
35	31, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 # 0 ↔ -3 # 0)
36	33, 35	mpbi 145	. . . 4 ⊢ -3 # 0
37		expnegap0 10916	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ -3 # 0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
38	32, 36, 6, 37	mp3an 1374	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
39		sqneg 10967	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
40	31, 39	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
41		sq3 11005	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
42	40, 41	eqtri 2255	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
43	42	oveq2i 6063	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
44	38, 43	eqtri 2255	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
45	30, 44	pm3.2i 272	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052  ℂcc 8130  0cc0 8132  1c1 8133   + caddc 8135   · cmul 8137  -cneg 8450   # cap 8860   / cdiv 8951  2c2 9293  3c3 9294  4c4 9295  5c5 9296  6c6 9297  8c8 9299  9c9 9300  ℕ₀cn0 9501  ;cdc 9715  ↑cexp 10907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-pre-mulext 8250

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-div 8952  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-5 9304  df-6 9305  df-7 9306  df-8 9307  df-9 9308  df-n0 9502  df-z 9583  df-dec 9716  df-uz 9860  df-seqfrec 10817  df-exp 10908

This theorem is referenced by: (None)