Theorem ex-exp 16380

Description: Example for df-exp 10807. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 9210	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 6033	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 9226	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 10920	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 9424	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 9426	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 9285	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 10905	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 9234	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 9219	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 9730	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 8191	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2251	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 9307	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 8191	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 6035	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 9423	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 9428	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 9430	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2230	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 9265	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 9230	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 9699	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 8329	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 9676	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2251	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 9646	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2251	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2251	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 9223	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 8452	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		3ap0 9244	. . . . 5 ⊢ 3 # 0
34		negap0 8815	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (3 # 0 ↔ -3 # 0))
35	31, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 # 0 ↔ -3 # 0)
36	33, 35	mpbi 145	. . . 4 ⊢ -3 # 0
37		expnegap0 10815	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ -3 # 0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
38	32, 36, 6, 37	mp3an 1373	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
39		sqneg 10866	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
40	31, 39	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
41		sq3 10904	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
42	40, 41	eqtri 2251	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
43	42	oveq2i 6034	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
44	38, 43	eqtri 2251	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
45	30, 44	pm3.2i 272	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2201   class class class wbr 4089  (class class class)co 6023  ℂcc 8035  0cc0 8037  1c1 8038   + caddc 8040   · cmul 8042  -cneg 8356   # cap 8766   / cdiv 8857  2c2 9199  3c3 9200  4c4 9201  5c5 9202  6c6 9203  8c8 9205  9c9 9206  ℕ₀cn0 9407  ;cdc 9616  ↑cexp 10806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-frec 6562  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-9 9214  df-n0 9408  df-z 9485  df-dec 9617  df-uz 9761  df-seqfrec 10716  df-exp 10807

This theorem is referenced by: (None)