Theorem ex-exp 15737

Description: Example for df-exp 10691. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 9105	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 5961	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 9121	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 10804	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 9319	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 9321	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 9180	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 10789	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 9129	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 9114	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 9625	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 8086	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2227	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 9202	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 8086	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 5963	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 9318	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 9323	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 9325	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2206	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 9160	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 9125	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 9594	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 8224	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 9571	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2227	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 9541	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2227	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2227	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 9118	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 8347	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		3ap0 9139	. . . . 5 ⊢ 3 # 0
34		negap0 8710	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (3 # 0 ↔ -3 # 0))
35	31, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 # 0 ↔ -3 # 0)
36	33, 35	mpbi 145	. . . 4 ⊢ -3 # 0
37		expnegap0 10699	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ -3 # 0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
38	32, 36, 6, 37	mp3an 1350	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
39		sqneg 10750	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
40	31, 39	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
41		sq3 10788	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
42	40, 41	eqtri 2227	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
43	42	oveq2i 5962	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
44	38, 43	eqtri 2227	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
45	30, 44	pm3.2i 272	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4047  (class class class)co 5951  ℂcc 7930  0cc0 7932  1c1 7933   + caddc 7935   · cmul 7937  -cneg 8251   # cap 8661   / cdiv 8752  2c2 9094  3c3 9095  4c4 9096  5c5 9097  6c6 9098  8c8 9100  9c9 9101  ℕ₀cn0 9302  ;cdc 9511  ↑cexp 10690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-frec 6484  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-5 9105  df-6 9106  df-7 9107  df-8 9108  df-9 9109  df-n0 9303  df-z 9380  df-dec 9512  df-uz 9656  df-seqfrec 10600  df-exp 10691

This theorem is referenced by: (None)