ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ex-exp GIF version

Theorem ex-exp 12750
Description: Example for df-exp 10233. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-exp ((5↑2) = 25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp
StepHypRef Expression
1 df-5 8739 . . . 4 5 = (4 + 1)
21oveq1i 5750 . . 3 (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3 4cn 8755 . . . . 5 4 ∈ ℂ
4 binom21 10344 . . . . 5 (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
53, 4ax-mp 5 . . . 4 ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6 2nn0 8945 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
7 4nn0 8947 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
8 4p1e5 8807 . . . . 5 (4 + 1) = 5
9 sq4e2t8 10330 . . . . . . . 8 (4↑2) = (2 · 8)
10 8cn 8763 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
11 2cn 8748 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
12 8t2e16 9247 . . . . . . . . 9 (8 · 2) = 16
1310, 11, 12mulcomli 7737 . . . . . . . 8 (2 · 8) = 16
149, 13eqtri 2136 . . . . . . 7 (4↑2) = 16
15 4t2e8 8829 . . . . . . . 8 (4 · 2) = 8
163, 11, 15mulcomli 7737 . . . . . . 7 (2 · 4) = 8
1714, 16oveq12i 5752 . . . . . 6 ((4↑2) + (2 · 4)) = (16 + 8)
18 1nn0 8944 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
19 6nn0 8949 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
20 8nn0 8951 . . . . . . 7 8 ∈ ℕ0
21 eqid 2115 . . . . . . 7 16 = 16
22 1p1e2 8794 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
23 6cn 8759 . . . . . . . 8 6 ∈ ℂ
24 8p6e14 9216 . . . . . . . 8 (8 + 6) = 14
2510, 23, 24addcomli 7871 . . . . . . 7 (6 + 8) = 14
2618, 19, 20, 21, 22, 7, 25decaddci 9193 . . . . . 6 (16 + 8) = 24
2717, 26eqtri 2136 . . . . 5 ((4↑2) + (2 · 4)) = 24
286, 7, 8, 27decsuc 9163 . . . 4 (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = 25
295, 28eqtri 2136 . . 3 ((4 + 1)↑2) = 25
302, 29eqtri 2136 . 2 (5↑2) = 25
31 3cn 8752 . . . . 5 3 ∈ ℂ
3231negcli 7994 . . . 4 -3 ∈ ℂ
33 3ap0 8773 . . . . 5 3 # 0
34 negap0 8355 . . . . . 6 (3 ∈ ℂ → (3 # 0 ↔ -3 # 0))
3531, 34ax-mp 5 . . . . 5 (3 # 0 ↔ -3 # 0)
3633, 35mpbi 144 . . . 4 -3 # 0
37 expnegap0 10241 . . . 4 ((-3 ∈ ℂ ∧ -3 # 0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
3832, 36, 6, 37mp3an 1298 . . 3 (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
39 sqneg 10292 . . . . . 6 (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
4031, 39ax-mp 5 . . . . 5 (-3↑2) = (3↑2)
41 sq3 10329 . . . . 5 (3↑2) = 9
4240, 41eqtri 2136 . . . 4 (-3↑2) = 9
4342oveq2i 5751 . . 3 (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
4438, 43eqtri 2136 . 2 (-3↑-2) = (1 / 9)
4530, 44pm3.2i 268 1 ((5↑2) = 25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103  wb 104   = wceq 1314  wcel 1463   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740  cc 7582  0cc0 7584  1c1 7585   + caddc 7587   · cmul 7589  -cneg 7898   # cap 8306   / cdiv 8392  2c2 8728  3c3 8729  4c4 8730  5c5 8731  6c6 8732  8c8 8734  9c9 8735  0cn0 8928  cdc 9133  cexp 10232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-3 8737  df-4 8738  df-5 8739  df-6 8740  df-7 8741  df-8 8742  df-9 8743  df-n0 8929  df-z 9006  df-dec 9134  df-uz 9276  df-seqfrec 10159  df-exp 10233
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator