ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ex-exp GIF version

Theorem ex-exp 11537
Description: Example for df-exp 9943. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-exp ((5↑2) = 25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp
StepHypRef Expression
1 df-5 8474 . . . 4 5 = (4 + 1)
21oveq1i 5654 . . 3 (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3 4cn 8490 . . . . 5 4 ∈ ℂ
4 binom21 10054 . . . . 5 (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
53, 4ax-mp 7 . . . 4 ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6 2nn0 8680 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
7 4nn0 8682 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
8 4p1e5 8542 . . . . 5 (4 + 1) = 5
9 sq4e2t8 10040 . . . . . . . 8 (4↑2) = (2 · 8)
10 8cn 8498 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
11 2cn 8483 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
12 8t2e16 8981 . . . . . . . . 9 (8 · 2) = 16
1310, 11, 12mulcomli 7485 . . . . . . . 8 (2 · 8) = 16
149, 13eqtri 2108 . . . . . . 7 (4↑2) = 16
15 4t2e8 8564 . . . . . . . 8 (4 · 2) = 8
163, 11, 15mulcomli 7485 . . . . . . 7 (2 · 4) = 8
1714, 16oveq12i 5656 . . . . . 6 ((4↑2) + (2 · 4)) = (16 + 8)
18 1nn0 8679 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
19 6nn0 8684 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
20 8nn0 8686 . . . . . . 7 8 ∈ ℕ0
21 eqid 2088 . . . . . . 7 16 = 16
22 1p1e2 8529 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
23 6cn 8494 . . . . . . . 8 6 ∈ ℂ
24 8p6e14 8950 . . . . . . . 8 (8 + 6) = 14
2510, 23, 24addcomli 7617 . . . . . . 7 (6 + 8) = 14
2618, 19, 20, 21, 22, 7, 25decaddci 8927 . . . . . 6 (16 + 8) = 24
2717, 26eqtri 2108 . . . . 5 ((4↑2) + (2 · 4)) = 24
286, 7, 8, 27decsuc 8897 . . . 4 (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = 25
295, 28eqtri 2108 . . 3 ((4 + 1)↑2) = 25
302, 29eqtri 2108 . 2 (5↑2) = 25
31 3cn 8487 . . . . 5 3 ∈ ℂ
3231negcli 7740 . . . 4 -3 ∈ ℂ
33 3ap0 8508 . . . . 5 3 # 0
34 negap0 8096 . . . . . 6 (3 ∈ ℂ → (3 # 0 ↔ -3 # 0))
3531, 34ax-mp 7 . . . . 5 (3 # 0 ↔ -3 # 0)
3633, 35mpbi 143 . . . 4 -3 # 0
37 expnegap0 9951 . . . 4 ((-3 ∈ ℂ ∧ -3 # 0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
3832, 36, 6, 37mp3an 1273 . . 3 (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
39 sqneg 10002 . . . . . 6 (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
4031, 39ax-mp 7 . . . . 5 (-3↑2) = (3↑2)
41 sq3 10039 . . . . 5 (3↑2) = 9
4240, 41eqtri 2108 . . . 4 (-3↑2) = 9
4342oveq2i 5655 . . 3 (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
4438, 43eqtri 2108 . 2 (-3↑-2) = (1 / 9)
4530, 44pm3.2i 266 1 ((5↑2) = 25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 102  wb 103   = wceq 1289  wcel 1438   class class class wbr 3843  (class class class)co 5644  cc 7338  0cc0 7340  1c1 7341   + caddc 7343   · cmul 7345  -cneg 7644   # cap 8048   / cdiv 8129  2c2 8463  3c3 8464  4c4 8465  5c5 8466  6c6 8467  8c8 8469  9c9 8470  0cn0 8663  cdc 8867  cexp 9942
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3952  ax-sep 3955  ax-nul 3963  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-iinf 4401  ax-cnex 7426  ax-resscn 7427  ax-1cn 7428  ax-1re 7429  ax-icn 7430  ax-addcl 7431  ax-addrcl 7432  ax-mulcl 7433  ax-mulrcl 7434  ax-addcom 7435  ax-mulcom 7436  ax-addass 7437  ax-mulass 7438  ax-distr 7439  ax-i2m1 7440  ax-0lt1 7441  ax-1rid 7442  ax-0id 7443  ax-rnegex 7444  ax-precex 7445  ax-cnre 7446  ax-pre-ltirr 7447  ax-pre-ltwlin 7448  ax-pre-lttrn 7449  ax-pre-apti 7450  ax-pre-ltadd 7451  ax-pre-mulgt0 7452  ax-pre-mulext 7453
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3392  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-int 3687  df-iun 3730  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-tr 3935  df-id 4118  df-po 4121  df-iso 4122  df-iord 4191  df-on 4193  df-ilim 4194  df-suc 4196  df-iom 4404  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-f1 5015  df-fo 5016  df-f1o 5017  df-fv 5018  df-riota 5600  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-1st 5903  df-2nd 5904  df-recs 6062  df-frec 6148  df-pnf 7514  df-mnf 7515  df-xr 7516  df-ltxr 7517  df-le 7518  df-sub 7645  df-neg 7646  df-reap 8042  df-ap 8049  df-div 8130  df-inn 8413  df-2 8471  df-3 8472  df-4 8473  df-5 8474  df-6 8475  df-7 8476  df-8 8477  df-9 8478  df-n0 8664  df-z 8741  df-dec 8868  df-uz 9010  df-iseq 9841  df-seq3 9842  df-exp 9943
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator