Theorem ex-exp 13110

Description: Example for df-exp 10324. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 8806	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 5792	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 8822	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 10435	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 9018	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 9020	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 8880	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 10421	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 8830	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 8815	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 9320	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 7797	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2161	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 8902	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 7797	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 5794	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 9017	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 9022	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 9024	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2140	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 8861	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 8826	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 9289	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 7931	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 9266	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2161	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 9236	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2161	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2161	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 8819	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 8054	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		3ap0 8840	. . . . 5 ⊢ 3 # 0
34		negap0 8416	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (3 # 0 ↔ -3 # 0))
35	31, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 # 0 ↔ -3 # 0)
36	33, 35	mpbi 144	. . . 4 ⊢ -3 # 0
37		expnegap0 10332	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ -3 # 0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
38	32, 36, 6, 37	mp3an 1316	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
39		sqneg 10383	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
40	31, 39	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
41		sq3 10420	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
42	40, 41	eqtri 2161	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
43	42	oveq2i 5793	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
44	38, 43	eqtri 2161	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
45	30, 44	pm3.2i 270	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782  ℂcc 7642  0cc0 7644  1c1 7645   + caddc 7647   · cmul 7649  -cneg 7958   # cap 8367   / cdiv 8456  2c2 8795  3c3 8796  4c4 8797  5c5 8798  6c6 8799  8c8 8801  9c9 8802  ℕ₀cn0 9001  ;cdc 9206  ↑cexp 10323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-5 8806  df-6 8807  df-7 8808  df-8 8809  df-9 8810  df-n0 9002  df-z 9079  df-dec 9207  df-uz 9351  df-seqfrec 10250  df-exp 10324

This theorem is referenced by: (None)