ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  imcl GIF version

Theorem imcl 10566
Description: The imaginary part of a complex number is real. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
imcl (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem imcl
StepHypRef Expression
1 imre 10563 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(-i · 𝐴)))
2 negicn 7927 . . . 4 -i ∈ ℂ
3 mulcl 7711 . . . 4 ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
42, 3mpan 418 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
5 recl 10565 . . 3 ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (ℜ‘(-i · 𝐴)) ∈ ℝ)
64, 5syl 14 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(-i · 𝐴)) ∈ ℝ)
71, 6eqeltrd 2192 1 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1463  cfv 5091  (class class class)co 5740  cc 7582  cr 7583  ici 7586   · cmul 7589  -cneg 7898  cre 10552  cim 10553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-2 8736  df-cj 10554  df-re 10555  df-im 10556
This theorem is referenced by:  imf  10568  remim  10572  mulreap  10576  cjreb  10578  recj  10579  reneg  10580  readd  10581  remullem  10583  remul2  10585  imcj  10587  imneg  10588  imadd  10589  imsub  10590  immul2  10592  imdivap  10593  cjcj  10595  cjadd  10596  ipcnval  10598  cjmulval  10600  cjmulge0  10601  cjneg  10602  imval2  10606  cnrecnv  10622  imcli  10624  imcld  10651  cnreim  10690  abs00ap  10774  absrele  10795  efeul  11340  absef  11374  absefib  11375  efieq1re  11376
  Copyright terms: Public domain W3C validator