Theorem imcl 11535

Description: The imaginary part of a complex number is real. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
imcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem imcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imre 11532	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(-i · 𝐴)))
2		negicn 8473	. . . 4 ⊢ -i ∈ ℂ
3		mulcl 8253	. . . 4 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
5		recl 11534	. . 3 ⊢ ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (ℜ‘(-i · 𝐴)) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(-i · 𝐴)) ∈ ℝ)
7	1, 6	eqeltrd 2309	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  ℂcc 8124  ℝcr 8125  ici 8128   · cmul 8131  -cneg 8444  ℜcre 11521  ℑcim 11522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-2 9295  df-cj 11523  df-re 11524  df-im 11525

This theorem is referenced by:  imf  11537  remim  11541  mulreap  11545  cjreb  11547  recj  11548  reneg  11549  readd  11550  remullem  11552  remul2  11554  imcj  11556  imneg  11557  imadd  11558  imsub  11559  immul2  11561  imdivap  11562  cjcj  11564  cjadd  11565  ipcnval  11567  cjmulval  11569  cjmulge0  11570  cjneg  11571  imval2  11575  cnrecnv  11591  imcli  11593  imcld  11620  cnreim  11659  abs00ap  11743  absrele  11764  efeul  12416  absef  12452  absefib  12453  efieq1re  12454