Theorem isprm4 12086

Description: The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 whose only divisor greater than or equal to 2 is itself. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
isprm4	⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)))

Distinct variable group:   𝑧,𝑃

Proof of Theorem isprm4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm2 12084	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
2		eluz2nn 9539	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑧 ∈ ℕ)
3	2	pm4.71ri 392	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)))
4	3	imbi1i 238	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)) ↔ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)))
5		impexp 263	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃))))
6	4, 5	bitri 184	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃))))
7		eluz2b3 9577	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ≠ 1))
8	7	imbi1i 238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)) ↔ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)))
9		impexp 263	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ≠ 1 → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃))))
10		bi2.04 248	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ≠ 1 → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 ≠ 1 → 𝑧 = 𝑃)))
11		df-ne 2346	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ≠ 1 ↔ ¬ 𝑧 = 1)
12	11	imbi1i 238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ≠ 1 → 𝑧 = 𝑃) ↔ (¬ 𝑧 = 1 → 𝑧 = 𝑃))
13		nnz 9245	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℤ)
14		1zzd 9253	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
15		zdceq 9301	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID 𝑧 = 1)
16	13, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → DECID 𝑧 = 1)
17		dfordc 892	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (DECID 𝑧 = 1 → ((𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ (¬ 𝑧 = 1 → 𝑧 = 𝑃)))
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ (¬ 𝑧 = 1 → 𝑧 = 𝑃)))
19	12, 18	bitr4id 199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 ≠ 1 → 𝑧 = 𝑃) ↔ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
20	19	imbi2d 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 ≠ 1 → 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
21	10, 20	bitrid 192	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 ≠ 1 → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
22	21	imbi2d 230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ≠ 1 → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃))) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))))
23	9, 22	bitrid 192	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))))
24	8, 23	bitrid 192	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))))
25	24	pm5.74i 180	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃))) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))))
26		pm5.4 249	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
27	6, 25, 26	3bitri 206	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
28	27	ralbii2 2485	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
29	28	anbi2i 457	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
30	1, 29	bitr4i 187	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2345  ∀wral 2453   class class class wbr 3998  ‘cfv 5208  1c1 7787  ℕcn 8892  2c2 8943  ℤcz 9226  ℤ_≥cuz 9501   ∥ cdvds 11762  ℙcprime 12074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-1o 6407  df-2o 6408  df-er 6525  df-en 6731  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-q 9593  df-rp 9625  df-seqfrec 10416  df-exp 10490  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821  df-rsqrt 10975  df-abs 10976  df-dvds 11763  df-prm 12075

This theorem is referenced by:  nprm  12090  prmuz2  12098  dvdsprm  12104