Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isprm4 GIF version

Theorem isprm4 11856
 Description: The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 whose only divisor greater than or equal to 2 is itself. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)
Assertion
Ref Expression
isprm4 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ‘2)(𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)))
Distinct variable group:   𝑧,𝑃

Proof of Theorem isprm4
StepHypRef Expression
1 isprm2 11854 . 2 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
2 eluz2nn 9408 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → 𝑧 ∈ ℕ)
32pm4.71ri 390 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)))
43imbi1i 237 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)) ↔ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)))
5 impexp 261 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃))))
64, 5bitri 183 . . . . 5 ((𝑧 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃))))
7 eluz2b3 9445 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ≠ 1))
87imbi1i 237 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)) ↔ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)))
9 impexp 261 . . . . . . . 8 (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ≠ 1 → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃))))
10 bi2.04 247 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ≠ 1 → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧𝑃 → (𝑧 ≠ 1 → 𝑧 = 𝑃)))
11 df-ne 2310 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ≠ 1 ↔ ¬ 𝑧 = 1)
1211imbi1i 237 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ≠ 1 → 𝑧 = 𝑃) ↔ (¬ 𝑧 = 1 → 𝑧 = 𝑃))
13 nnz 9117 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℤ)
14 1zzd 9125 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
15 zdceq 9170 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID 𝑧 = 1)
1613, 14, 15syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℕ → DECID 𝑧 = 1)
17 dfordc 878 . . . . . . . . . . . . 13 (DECID 𝑧 = 1 → ((𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ (¬ 𝑧 = 1 → 𝑧 = 𝑃)))
1816, 17syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ (¬ 𝑧 = 1 → 𝑧 = 𝑃)))
1912, 18bitr4id 198 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 ≠ 1 → 𝑧 = 𝑃) ↔ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
2019imbi2d 229 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧𝑃 → (𝑧 ≠ 1 → 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
2110, 20syl5bb 191 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 ≠ 1 → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
2221imbi2d 229 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ≠ 1 → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃))) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))))
239, 22syl5bb 191 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℕ → (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))))
248, 23syl5bb 191 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))))
2524pm5.74i 179 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃))) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))))
26 pm5.4 248 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
276, 25, 263bitri 205 . . . 4 ((𝑧 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
2827ralbii2 2449 . . 3 (∀𝑧 ∈ (ℤ‘2)(𝑧𝑃𝑧 = 𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
2928anbi2i 453 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ‘2)(𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
301, 29bitr4i 186 1 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ‘2)(𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698  DECID wdc 820   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   ≠ wne 2309  ∀wral 2417   class class class wbr 3938  ‘cfv 5132  1c1 7665  ℕcn 8764  2c2 8815  ℤcz 9098  ℤ≥cuz 9370   ∥ cdvds 11549  ℙcprime 11844 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-iinf 4511  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-1re 7758  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-mulrcl 7763  ax-addcom 7764  ax-mulcom 7765  ax-addass 7766  ax-mulass 7767  ax-distr 7768  ax-i2m1 7769  ax-0lt1 7770  ax-1rid 7771  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-precex 7774  ax-cnre 7775  ax-pre-ltirr 7776  ax-pre-ltwlin 7777  ax-pre-lttrn 7778  ax-pre-apti 7779  ax-pre-ltadd 7780  ax-pre-mulgt0 7781  ax-pre-mulext 7782  ax-arch 7783  ax-caucvg 7784 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-if 3481  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-tr 4036  df-id 4224  df-po 4227  df-iso 4228  df-iord 4297  df-on 4299  df-ilim 4300  df-suc 4302  df-iom 4514  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-f1 5137  df-fo 5138  df-f1o 5139  df-fv 5140  df-riota 5739  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-1st 6047  df-2nd 6048  df-recs 6211  df-frec 6297  df-1o 6322  df-2o 6323  df-er 6438  df-en 6644  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-ltxr 7849  df-le 7850  df-sub 7979  df-neg 7980  df-reap 8381  df-ap 8388  df-div 8477  df-inn 8765  df-2 8823  df-3 8824  df-4 8825  df-n0 9022  df-z 9099  df-uz 9371  df-q 9459  df-rp 9491  df-seqfrec 10270  df-exp 10344  df-cj 10666  df-re 10667  df-im 10668  df-rsqrt 10822  df-abs 10823  df-dvds 11550  df-prm 11845 This theorem is referenced by:  nprm  11860  prmuz2  11867  dvdsprm  11873
 Copyright terms: Public domain W3C validator