ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isprm4 GIF version

Theorem isprm4 11640
Description: The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 whose only divisor greater than or equal to 2 is itself. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)
Assertion
Ref Expression
isprm4 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ‘2)(𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)))
Distinct variable group:   𝑧,𝑃

Proof of Theorem isprm4
StepHypRef Expression
1 isprm2 11638 . 2 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
2 eluz2nn 9260 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → 𝑧 ∈ ℕ)
32pm4.71ri 387 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)))
43imbi1i 237 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)) ↔ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)))
5 impexp 261 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃))))
64, 5bitri 183 . . . . 5 ((𝑧 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃))))
7 eluz2b3 9294 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ≠ 1))
87imbi1i 237 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)) ↔ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)))
9 impexp 261 . . . . . . . 8 (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ≠ 1 → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃))))
10 bi2.04 247 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ≠ 1 → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧𝑃 → (𝑧 ≠ 1 → 𝑧 = 𝑃)))
11 nnz 8971 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℤ)
12 1zzd 8979 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
13 zdceq 9024 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID 𝑧 = 1)
1411, 12, 13syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℕ → DECID 𝑧 = 1)
15 dfordc 858 . . . . . . . . . . . . 13 (DECID 𝑧 = 1 → ((𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ (¬ 𝑧 = 1 → 𝑧 = 𝑃)))
1614, 15syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ (¬ 𝑧 = 1 → 𝑧 = 𝑃)))
17 df-ne 2281 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ≠ 1 ↔ ¬ 𝑧 = 1)
1817imbi1i 237 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ≠ 1 → 𝑧 = 𝑃) ↔ (¬ 𝑧 = 1 → 𝑧 = 𝑃))
1916, 18syl6rbbr 198 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 ≠ 1 → 𝑧 = 𝑃) ↔ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
2019imbi2d 229 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧𝑃 → (𝑧 ≠ 1 → 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
2110, 20syl5bb 191 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 ≠ 1 → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
2221imbi2d 229 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ≠ 1 → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃))) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))))
239, 22syl5bb 191 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℕ → (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))))
248, 23syl5bb 191 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))))
2524pm5.74i 179 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃))) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))))
26 pm5.4 248 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
276, 25, 263bitri 205 . . . 4 ((𝑧 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
2827ralbii2 2417 . . 3 (∀𝑧 ∈ (ℤ‘2)(𝑧𝑃𝑧 = 𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
2928anbi2i 450 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ‘2)(𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
301, 29bitr4i 186 1 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ‘2)(𝑧𝑃𝑧 = 𝑃)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 680  DECID wdc 802   = wceq 1312  wcel 1461  wne 2280  wral 2388   class class class wbr 3893  cfv 5079  1c1 7542  cn 8624  2c2 8675  cz 8952  cuz 9222  cdvds 11335  cprime 11628
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-mulrcl 7638  ax-addcom 7639  ax-mulcom 7640  ax-addass 7641  ax-mulass 7642  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-1rid 7646  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-precex 7649  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-apti 7654  ax-pre-ltadd 7655  ax-pre-mulgt0 7656  ax-pre-mulext 7657  ax-arch 7658  ax-caucvg 7659
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rmo 2396  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-if 3439  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-iord 4246  df-on 4248  df-ilim 4249  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5990  df-2nd 5991  df-recs 6154  df-frec 6240  df-1o 6265  df-2o 6266  df-er 6381  df-en 6587  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-reap 8249  df-ap 8256  df-div 8340  df-inn 8625  df-2 8683  df-3 8684  df-4 8685  df-n0 8876  df-z 8953  df-uz 9223  df-q 9308  df-rp 9338  df-seqfrec 10106  df-exp 10180  df-cj 10501  df-re 10502  df-im 10503  df-rsqrt 10656  df-abs 10657  df-dvds 11336  df-prm 11629
This theorem is referenced by:  nprm  11644  prmuz2  11651  dvdsprm  11657
  Copyright terms: Public domain W3C validator