Theorem isprm4 12662

Description: The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 whose only divisor greater than or equal to 2 is itself. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
isprm4	⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)))

Distinct variable group:   𝑧,𝑃

Proof of Theorem isprm4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm2 12660	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
2		eluz2nn 9778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑧 ∈ ℕ)
3	2	pm4.71ri 392	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)))
4	3	imbi1i 238	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)) ↔ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)))
5		impexp 263	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃))))
6	4, 5	bitri 184	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃))))
7		eluz2b3 9816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ≠ 1))
8	7	imbi1i 238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)) ↔ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)))
9		impexp 263	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ≠ 1 → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃))))
10		bi2.04 248	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ≠ 1 → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 ≠ 1 → 𝑧 = 𝑃)))
11		df-ne 2401	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ≠ 1 ↔ ¬ 𝑧 = 1)
12	11	imbi1i 238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ≠ 1 → 𝑧 = 𝑃) ↔ (¬ 𝑧 = 1 → 𝑧 = 𝑃))
13		nnz 9481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℤ)
14		1zzd 9489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
15		zdceq 9538	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID 𝑧 = 1)
16	13, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → DECID 𝑧 = 1)
17		dfordc 897	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (DECID 𝑧 = 1 → ((𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ (¬ 𝑧 = 1 → 𝑧 = 𝑃)))
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ (¬ 𝑧 = 1 → 𝑧 = 𝑃)))
19	12, 18	bitr4id 199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 ≠ 1 → 𝑧 = 𝑃) ↔ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
20	19	imbi2d 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 ≠ 1 → 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
21	10, 20	bitrid 192	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 ≠ 1 → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
22	21	imbi2d 230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ≠ 1 → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃))) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))))
23	9, 22	bitrid 192	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ≠ 1) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))))
24	8, 23	bitrid 192	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))))
25	24	pm5.74i 180	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃))) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))))
26		pm5.4 249	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
27	6, 25, 26	3bitri 206	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
28	27	ralbii2 2540	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
29	28	anbi2i 457	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
30	1, 29	bitr4i 187	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 = 𝑃)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ∀wral 2508   class class class wbr 4083  ‘cfv 5321  1c1 8016  ℕcn 9126  2c2 9177  ℤcz 9462  ℤ_≥cuz 9738   ∥ cdvds 12319  ℙcprime 12650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134  ax-caucvg 8135

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-1o 6573  df-2o 6574  df-er 6693  df-en 6901  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-q 9832  df-rp 9867  df-seqfrec 10687  df-exp 10778  df-cj 11374  df-re 11375  df-im 11376  df-rsqrt 11530  df-abs 11531  df-dvds 12320  df-prm 12651

This theorem is referenced by:  nprm  12666  prmuz2  12674  dvdsprm  12680