Theorem lgsval4 16053

Description: Restate lgsval 16037 for nonzero N, where the function F has been abbreviated into a self-referential expression taking the value of /L on the primes as given. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lgsval4.1	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
lgsval4	|- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( A /L N ) = ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, n   n, N

Allowed substitution hint:   F( n)

Proof of Theorem lgsval4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . 4 |- ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
2	1	lgsval 16037	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A /L N ) = if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) ) ) )
3	2	3adant3 1048	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( A /L N ) = if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) ) ) )
4		simp3 1030	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> N =/= 0 )
5	4	neneqd 2441	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> -. N = 0 )
6	5	iffalsed 3647	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> if ( N = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) ) ) = ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) ) )
7	1	lgsval4lem 16044	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) )
8		lgsval4.1	. . . . . 6 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
9	7, 8	eqtr4di 2289	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) = F )
10	9	seqeq3d 10870	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) = seq 1 ( x. , F ) )
11	10	fveq1d 5692	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) )
12	11	oveq2d 6091	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) ) = ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) )
13	3, 6, 12	3eqtrd 2275	1 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( A /L N ) = ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , F ) ` ( abs ` N ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   ifcif 3635   {cpr 3706   class class class wbr 4125   |-> cmpt 4187   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   x. cmul 8174   < clt 8350   - cmin 8487   -ucneg 8488   / cdiv 8992   NNcn 9283   2c2 9334   7c7 9339   8c8 9340   ZZcz 9623   mod cmo 10737   seqcseq 10862   ^cexp 10953   abscabs 11741   || cdvds 12532   Primecprime 12863   pCnt cpc 13041   /Lclgs 16030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-2o 6678  df-oadd 6681  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-sup 7314  df-inf 7315  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-fl 10683  df-mod 10738  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-ihash 11193  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023  df-proddc 12296  df-dvds 12533  df-gcd 12709  df-prm 12864  df-phi 12967  df-pc 13042  df-lgs 16031

This theorem is referenced by:  lgsval4a  16055  lgsneg  16057  lgsdir  16068  lgsdi  16070  lgsne0  16071