Theorem psrbasg 14227

Description: The base set of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 8-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbas.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrbas.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrbas.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrbas.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrbasg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
psrbasg	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐾 ↑𝑚 𝐷))

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem psrbasg

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑘 𝑝 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbas.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrbas.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
6		psrbas.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
7		eqidd 2197	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑𝑚 𝐷) = (𝐾 ↑𝑚 𝐷))
8		eqid 2196	. . . 4 ⊢ ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑𝑚 𝐷) × (𝐾 ↑𝑚 𝐷))) = ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑𝑚 𝐷) × (𝐾 ↑𝑚 𝐷)))
9		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))))))) = (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))
10		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑔)) = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑔))
11		eqidd 2197	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})) = (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})))
12		psrbas.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
13		psrbasg.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	psrval 14220	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑𝑚 𝐷) × (𝐾 ↑𝑚 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
15	14	fveq2d 5562	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑𝑚 𝐷) × (𝐾 ↑𝑚 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
16		psrbas.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
17	16	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑆))
18		basfn 12736	. . . . . . . 8 ⊢ Base Fn V
19	13	elexd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
20		funfvex 5575	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
21	20	funfni 5358	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
22	18, 19, 21	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
23	2, 22	eqeltrid 2283	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ V)
24		nn0ex 9255	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 ∈ V
25		mapvalg 6717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) = {𝑝 ∣ 𝑝:𝐼⟶ℕ0})
26	24, 12, 25	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) = {𝑝 ∣ 𝑝:𝐼⟶ℕ0})
27	24	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
28		mapex 6713	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ ℕ0 ∈ V) → {𝑝 ∣ 𝑝:𝐼⟶ℕ0} ∈ V)
29	12, 27, 28	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑝 ∣ 𝑝:𝐼⟶ℕ0} ∈ V)
30	26, 29	eqeltrd 2273	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
31	6, 30	rabexd 4178	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
32		mapvalg 6717	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V) → (𝐾 ↑𝑚 𝐷) = {𝑝 ∣ 𝑝:𝐷⟶𝐾})
33	23, 31, 32	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑𝑚 𝐷) = {𝑝 ∣ 𝑝:𝐷⟶𝐾})
34		mapex 6713	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) → {𝑝 ∣ 𝑝:𝐷⟶𝐾} ∈ V)
35	31, 23, 34	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑝 ∣ 𝑝:𝐷⟶𝐾} ∈ V)
36	33, 35	eqeltrd 2273	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ∈ V)
37	36, 36	ofmresex 6194	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑𝑚 𝐷) × (𝐾 ↑𝑚 𝐷))) ∈ V)
38		mpoexga 6270	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ↑𝑚 𝐷) ∈ V ∧ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ∈ V) → (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))))))) ∈ V)
39	36, 36, 38	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))))))) ∈ V)
40		mpoexga 6270	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑔)) ∈ V)
41	23, 36, 40	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑔)) ∈ V)
42		topnfn 12915	. . . . . . . 8 ⊢ TopOpen Fn V
43		funfvex 5575	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun TopOpen ∧ 𝑅 ∈ dom TopOpen) → (TopOpen‘𝑅) ∈ V)
44	43	funfni 5358	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (TopOpen‘𝑅) ∈ V)
45	42, 19, 44	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝑅) ∈ V)
46		snexg 4217	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen‘𝑅) ∈ V → {(TopOpen‘𝑅)} ∈ V)
47	45, 46	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {(TopOpen‘𝑅)} ∈ V)
48		xpexg 4777	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ {(TopOpen‘𝑅)} ∈ V) → (𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}) ∈ V)
49	31, 47, 48	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}) ∈ V)
50		ptex 12935	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}) ∈ V → (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})) ∈ V)
51	49, 50	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})) ∈ V)
52	36, 37, 39, 13, 41, 51	psrvalstrd 14222	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑𝑚 𝐷) × (𝐾 ↑𝑚 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}) Struct ⟨1, 9⟩)
53		basendxnn 12734	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℕ
54		opexg 4261	. . . . 5 ⊢ (((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ∈ V) → ⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩ ∈ V)
55	53, 36, 54	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩ ∈ V)
56		tpid1g 3734	. . . 4 ⊢ (⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩ ∈ V → ⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑𝑚 𝐷) × (𝐾 ↑𝑚 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩})
57		elun1 3330	. . . 4 ⊢ (⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑𝑚 𝐷) × (𝐾 ↑𝑚 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} → ⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑𝑚 𝐷) × (𝐾 ↑𝑚 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
58	55, 56, 57	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑𝑚 𝐷) × (𝐾 ↑𝑚 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
59	52, 36, 58	opelstrbas 12793	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑𝑚 𝐷) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑𝑚 𝐷) × (𝐾 ↑𝑚 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
60	15, 17, 59	3eqtr4d 2239	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐾 ↑𝑚 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {cab 2182  {crab 2479  Vcvv 2763   ∪ cun 3155  {csn 3622  {ctp 3624  ⟨cop 3625   class class class wbr 4033   ↦ cmpt 4094   × cxp 4661  ^◡ccnv 4662   ↾ cres 4665   “ cima 4666   Fn wfn 5253  ⟶wf 5254  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922   ∈ cmpo 5924   ∘_𝑓 cof 6133   ∘_𝑟 cofr 6134   ↑_𝑚 cmap 6707  Fincfn 6799  1c1 7880   ≤ cle 8062   − cmin 8197  ℕcn 8990  9c9 9048  ℕ₀cn0 9249  ndxcnx 12675  Basecbs 12678  +_gcplusg 12755  ._rcmulr 12756  Scalarcsca 12758   ·_𝑠 cvsca 12759  TopSetcts 12761  TopOpenctopn 12911  ∏_tcpt 12926   Σ_g cgsu 12928   mPwSer cmps 14217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-tp 3630  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-of 6135  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-map 6709  df-ixp 6758  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-9 9056  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084  df-struct 12680  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-sca 12771  df-vsca 12772  df-tset 12774  df-rest 12912  df-topn 12913  df-topgen 12931  df-pt 12932  df-psr 14218

This theorem is referenced by:  psrelbas  14228  psrplusgg  14230  psraddcl  14232