Theorem psrbasg 15067

Description: The base set of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 8-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbas.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrbas.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrbas.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrbas.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrbasg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
psrbasg	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐾 ↑𝑚 𝐷))

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem psrbasg

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑘 𝑝 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbas.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrbas.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
6		psrbas.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
7		eqidd 2239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑𝑚 𝐷) = (𝐾 ↑𝑚 𝐷))
8		eqid 2238	. . . 4 ⊢ ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑𝑚 𝐷) × (𝐾 ↑𝑚 𝐷))) = ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑𝑚 𝐷) × (𝐾 ↑𝑚 𝐷)))
9		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))))))) = (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))
10		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑔)) = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑔))
11		eqidd 2239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})) = (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})))
12		psrbas.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
13		psrbasg.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	psrval 15052	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑𝑚 𝐷) × (𝐾 ↑𝑚 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
15	14	fveq2d 5699	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑𝑚 𝐷) × (𝐾 ↑𝑚 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
16		psrbas.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
17	16	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑆))
18		basfn 13413	. . . . . . . 8 ⊢ Base Fn V
19	13	elexd 2835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
20		funfvex 5712	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
21	20	funfni 5483	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
22	18, 19, 21	sylancr 418	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
23	2, 22	eqeltrid 2325	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ V)
24		nn0ex 9571	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 ∈ V
25		mapvalg 6932	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) = {𝑝 ∣ 𝑝:𝐼⟶ℕ0})
26	24, 12, 25	sylancr 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) = {𝑝 ∣ 𝑝:𝐼⟶ℕ0})
27	24	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
28		mapex 6928	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ ℕ0 ∈ V) → {𝑝 ∣ 𝑝:𝐼⟶ℕ0} ∈ V)
29	12, 27, 28	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑝 ∣ 𝑝:𝐼⟶ℕ0} ∈ V)
30	26, 29	eqeltrd 2315	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
31	6, 30	rabexd 4281	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
32		mapvalg 6932	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V) → (𝐾 ↑𝑚 𝐷) = {𝑝 ∣ 𝑝:𝐷⟶𝐾})
33	23, 31, 32	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑𝑚 𝐷) = {𝑝 ∣ 𝑝:𝐷⟶𝐾})
34		mapex 6928	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) → {𝑝 ∣ 𝑝:𝐷⟶𝐾} ∈ V)
35	31, 23, 34	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑝 ∣ 𝑝:𝐷⟶𝐾} ∈ V)
36	33, 35	eqeltrd 2315	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ∈ V)
37	36, 36	ofmresex 6370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑𝑚 𝐷) × (𝐾 ↑𝑚 𝐷))) ∈ V)
38		mpoexga 6448	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ↑𝑚 𝐷) ∈ V ∧ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ∈ V) → (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))))))) ∈ V)
39	36, 36, 38	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))))))) ∈ V)
40		mpoexga 6448	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑔)) ∈ V)
41	23, 36, 40	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑔)) ∈ V)
42		topnfn 13600	. . . . . . . 8 ⊢ TopOpen Fn V
43		funfvex 5712	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun TopOpen ∧ 𝑅 ∈ dom TopOpen) → (TopOpen‘𝑅) ∈ V)
44	43	funfni 5483	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (TopOpen‘𝑅) ∈ V)
45	42, 19, 44	sylancr 418	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝑅) ∈ V)
46		snexg 4321	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen‘𝑅) ∈ V → {(TopOpen‘𝑅)} ∈ V)
47	45, 46	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {(TopOpen‘𝑅)} ∈ V)
48		xpexg 4889	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ {(TopOpen‘𝑅)} ∈ V) → (𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}) ∈ V)
49	31, 47, 48	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}) ∈ V)
50		ptex 13620	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}) ∈ V → (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})) ∈ V)
51	49, 50	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})) ∈ V)
52	36, 37, 39, 13, 41, 51	psrvalstrd 15054	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑𝑚 𝐷) × (𝐾 ↑𝑚 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}) Struct ⟨1, 9⟩)
53		basendxnn 13410	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℕ
54		opexg 4368	. . . . 5 ⊢ (((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ∈ V) → ⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩ ∈ V)
55	53, 36, 54	sylancr 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩ ∈ V)
56		tpid1g 3825	. . . 4 ⊢ (⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩ ∈ V → ⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑𝑚 𝐷) × (𝐾 ↑𝑚 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩})
57		elun1 3396	. . . 4 ⊢ (⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑𝑚 𝐷) × (𝐾 ↑𝑚 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} → ⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑𝑚 𝐷) × (𝐾 ↑𝑚 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
58	55, 56, 57	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑𝑚 𝐷) × (𝐾 ↑𝑚 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
59	52, 36, 58	opelstrbas 13471	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑𝑚 𝐷) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑𝑚 𝐷) × (𝐾 ↑𝑚 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
60	15, 17, 59	3eqtr4d 2281	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐾 ↑𝑚 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {cab 2224  {crab 2532  Vcvv 2821   ∪ cun 3218  {csn 3709  {ctp 3711  ⟨cop 3712   class class class wbr 4130   ↦ cmpt 4192   × cxp 4772  ^◡ccnv 4773   ↾ cres 4776   “ cima 4777   Fn wfn 5372  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085   ∈ cmpo 6087   ∘_𝑓 cof 6300   ∘_𝑟 cofr 6301   ↑_𝑚 cmap 6922  Fincfn 7022  1c1 8180   ≤ cle 8361   − cmin 8497  ℕcn 9305  9c9 9363  ℕ₀cn0 9565  ndxcnx 13351  Basecbs 13354  +_gcplusg 13433  ._rcmulr 13434  Scalarcsca 13436   ·_𝑠 cvsca 13437  TopSetcts 13439  TopOpenctopn 13596  ∏_tcpt 13611   Σ_g cgsu 14152   mPwSer cmps 15047

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-of 6302  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-map 6924  df-ixp 6981  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370  df-9 9371  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-fz 10414  df-struct 13356  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-plusg 13446  df-mulr 13447  df-sca 13449  df-vsca 13450  df-tset 13452  df-rest 13597  df-topn 13598  df-topgen 13616  df-pt 13617  df-psr 15049

This theorem is used by:  psrelbas  15068  psrplusgg  15071  psraddcl  15073  psr0cl  15074  psrnegcl  15076  psrgrp  15078  psr1clfi  15081