Theorem psrbasg 14816

Description: The base set of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 8-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbas.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrbas.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrbas.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrbas.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrbasg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
psrbasg	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐾 ↑𝑚 𝐷))

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem psrbasg

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑘 𝑝 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbas.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrbas.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
6		psrbas.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
7		eqidd 2233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑𝑚 𝐷) = (𝐾 ↑𝑚 𝐷))
8		eqid 2232	. . . 4 ⊢ ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑𝑚 𝐷) × (𝐾 ↑𝑚 𝐷))) = ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑𝑚 𝐷) × (𝐾 ↑𝑚 𝐷)))
9		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))))))) = (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))
10		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑔)) = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑔))
11		eqidd 2233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})) = (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})))
12		psrbas.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
13		psrbasg.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	psrval 14801	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑𝑚 𝐷) × (𝐾 ↑𝑚 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
15	14	fveq2d 5673	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑𝑚 𝐷) × (𝐾 ↑𝑚 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
16		psrbas.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
17	16	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑆))
18		basfn 13260	. . . . . . . 8 ⊢ Base Fn V
19	13	elexd 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
20		funfvex 5686	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
21	20	funfni 5457	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
22	18, 19, 21	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
23	2, 22	eqeltrid 2319	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ V)
24		nn0ex 9498	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 ∈ V
25		mapvalg 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) = {𝑝 ∣ 𝑝:𝐼⟶ℕ0})
26	24, 12, 25	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) = {𝑝 ∣ 𝑝:𝐼⟶ℕ0})
27	24	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
28		mapex 6887	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ ℕ0 ∈ V) → {𝑝 ∣ 𝑝:𝐼⟶ℕ0} ∈ V)
29	12, 27, 28	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑝 ∣ 𝑝:𝐼⟶ℕ0} ∈ V)
30	26, 29	eqeltrd 2309	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
31	6, 30	rabexd 4256	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
32		mapvalg 6891	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V) → (𝐾 ↑𝑚 𝐷) = {𝑝 ∣ 𝑝:𝐷⟶𝐾})
33	23, 31, 32	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑𝑚 𝐷) = {𝑝 ∣ 𝑝:𝐷⟶𝐾})
34		mapex 6887	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) → {𝑝 ∣ 𝑝:𝐷⟶𝐾} ∈ V)
35	31, 23, 34	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑝 ∣ 𝑝:𝐷⟶𝐾} ∈ V)
36	33, 35	eqeltrd 2309	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ∈ V)
37	36, 36	ofmresex 6329	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑𝑚 𝐷) × (𝐾 ↑𝑚 𝐷))) ∈ V)
38		mpoexga 6407	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ↑𝑚 𝐷) ∈ V ∧ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ∈ V) → (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))))))) ∈ V)
39	36, 36, 38	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))))))) ∈ V)
40		mpoexga 6407	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑔)) ∈ V)
41	23, 36, 40	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑔)) ∈ V)
42		topnfn 13446	. . . . . . . 8 ⊢ TopOpen Fn V
43		funfvex 5686	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun TopOpen ∧ 𝑅 ∈ dom TopOpen) → (TopOpen‘𝑅) ∈ V)
44	43	funfni 5457	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (TopOpen‘𝑅) ∈ V)
45	42, 19, 44	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝑅) ∈ V)
46		snexg 4296	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen‘𝑅) ∈ V → {(TopOpen‘𝑅)} ∈ V)
47	45, 46	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {(TopOpen‘𝑅)} ∈ V)
48		xpexg 4863	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ {(TopOpen‘𝑅)} ∈ V) → (𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}) ∈ V)
49	31, 47, 48	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}) ∈ V)
50		ptex 13466	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}) ∈ V → (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})) ∈ V)
51	49, 50	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})) ∈ V)
52	36, 37, 39, 13, 41, 51	psrvalstrd 14803	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑𝑚 𝐷) × (𝐾 ↑𝑚 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}) Struct ⟨1, 9⟩)
53		basendxnn 13257	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℕ
54		opexg 4343	. . . . 5 ⊢ (((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ∈ V) → ⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩ ∈ V)
55	53, 36, 54	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩ ∈ V)
56		tpid1g 3803	. . . 4 ⊢ (⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩ ∈ V → ⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑𝑚 𝐷) × (𝐾 ↑𝑚 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩})
57		elun1 3385	. . . 4 ⊢ (⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑𝑚 𝐷) × (𝐾 ↑𝑚 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} → ⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑𝑚 𝐷) × (𝐾 ↑𝑚 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
58	55, 56, 57	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑𝑚 𝐷) × (𝐾 ↑𝑚 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
59	52, 36, 58	opelstrbas 13317	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑𝑚 𝐷) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑𝑚 𝐷) × (𝐾 ↑𝑚 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
60	15, 17, 59	3eqtr4d 2275	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐾 ↑𝑚 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  {cab 2218  {crab 2524  Vcvv 2812   ∪ cun 3208  {csn 3688  {ctp 3690  ⟨cop 3691   class class class wbr 4108   ↦ cmpt 4170   × cxp 4746  ^◡ccnv 4747   ↾ cres 4750   “ cima 4751   Fn wfn 5346  ⟶wf 5347  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049   ∈ cmpo 6051   ∘_𝑓 cof 6263   ∘_𝑟 cofr 6264   ↑_𝑚 cmap 6881  Fincfn 6974  1c1 8124   ≤ cle 8305   − cmin 8440  ℕcn 9233  9c9 9291  ℕ₀cn0 9492  ndxcnx 13198  Basecbs 13201  +_gcplusg 13279  ._rcmulr 13280  Scalarcsca 13282   ·_𝑠 cvsca 13283  TopSetcts 13285  TopOpenctopn 13442  ∏_tcpt 13457   Σ_g cgsu 13459   mPwSer cmps 14796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-addass 8225  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-tp 3696  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-of 6265  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-map 6883  df-ixp 6933  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-9 9299  df-n0 9493  df-z 9574  df-uz 9850  df-fz 10339  df-struct 13203  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-plusg 13292  df-mulr 13293  df-sca 13295  df-vsca 13296  df-tset 13298  df-rest 13443  df-topn 13444  df-topgen 13462  df-pt 13463  df-psr 14798

This theorem is referenced by:  psrelbas  14817  psrplusgg  14820  psraddcl  14822  psr0cl  14823  psrnegcl  14825  psrgrp  14827  psr1clfi  14830