Theorem psrbasg 14170

Description: The base set of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 8-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbas.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrbas.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrbas.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrbas.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrbasg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
psrbasg	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐾 ↑𝑚 𝐷))

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem psrbasg

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑘 𝑝 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbas.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrbas.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
6		psrbas.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
7		eqidd 2194	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑𝑚 𝐷) = (𝐾 ↑𝑚 𝐷))
8		eqid 2193	. . . 4 ⊢ ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑𝑚 𝐷) × (𝐾 ↑𝑚 𝐷))) = ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑𝑚 𝐷) × (𝐾 ↑𝑚 𝐷)))
9		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))))))) = (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))
10		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑔)) = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑔))
11		eqidd 2194	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})) = (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})))
12		psrbas.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
13		psrbasg.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	psrval 14163	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑𝑚 𝐷) × (𝐾 ↑𝑚 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
15	14	fveq2d 5559	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑𝑚 𝐷) × (𝐾 ↑𝑚 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
16		psrbas.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
17	16	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑆))
18		basfn 12679	. . . . . . . 8 ⊢ Base Fn V
19	13	elexd 2773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
20		funfvex 5572	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
21	20	funfni 5355	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
22	18, 19, 21	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
23	2, 22	eqeltrid 2280	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ V)
24		nn0ex 9249	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 ∈ V
25		mapvalg 6714	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) = {𝑝 ∣ 𝑝:𝐼⟶ℕ0})
26	24, 12, 25	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) = {𝑝 ∣ 𝑝:𝐼⟶ℕ0})
27	24	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
28		mapex 6710	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ ℕ0 ∈ V) → {𝑝 ∣ 𝑝:𝐼⟶ℕ0} ∈ V)
29	12, 27, 28	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑝 ∣ 𝑝:𝐼⟶ℕ0} ∈ V)
30	26, 29	eqeltrd 2270	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
31	6, 30	rabexd 4175	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
32		mapvalg 6714	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V) → (𝐾 ↑𝑚 𝐷) = {𝑝 ∣ 𝑝:𝐷⟶𝐾})
33	23, 31, 32	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑𝑚 𝐷) = {𝑝 ∣ 𝑝:𝐷⟶𝐾})
34		mapex 6710	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) → {𝑝 ∣ 𝑝:𝐷⟶𝐾} ∈ V)
35	31, 23, 34	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑝 ∣ 𝑝:𝐷⟶𝐾} ∈ V)
36	33, 35	eqeltrd 2270	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ∈ V)
37	36, 36	ofmresex 6191	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑𝑚 𝐷) × (𝐾 ↑𝑚 𝐷))) ∈ V)
38		mpoexga 6267	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ↑𝑚 𝐷) ∈ V ∧ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ∈ V) → (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))))))) ∈ V)
39	36, 36, 38	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))))))) ∈ V)
40		mpoexga 6267	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑔)) ∈ V)
41	23, 36, 40	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑔)) ∈ V)
42		topnfn 12858	. . . . . . . 8 ⊢ TopOpen Fn V
43		funfvex 5572	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun TopOpen ∧ 𝑅 ∈ dom TopOpen) → (TopOpen‘𝑅) ∈ V)
44	43	funfni 5355	. . . . . . . 8 ⊢ ((TopOpen Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (TopOpen‘𝑅) ∈ V)
45	42, 19, 44	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝑅) ∈ V)
46		snexg 4214	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen‘𝑅) ∈ V → {(TopOpen‘𝑅)} ∈ V)
47	45, 46	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {(TopOpen‘𝑅)} ∈ V)
48		xpexg 4774	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ {(TopOpen‘𝑅)} ∈ V) → (𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}) ∈ V)
49	31, 47, 48	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}) ∈ V)
50		ptex 12878	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}) ∈ V → (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})) ∈ V)
51	49, 50	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})) ∈ V)
52	36, 37, 39, 13, 41, 51	psrvalstrd 14165	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑𝑚 𝐷) × (𝐾 ↑𝑚 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}) Struct ⟨1, 9⟩)
53		basendxnn 12677	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℕ
54		opexg 4258	. . . . 5 ⊢ (((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ∈ V) → ⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩ ∈ V)
55	53, 36, 54	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩ ∈ V)
56		tpid1g 3731	. . . 4 ⊢ (⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩ ∈ V → ⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑𝑚 𝐷) × (𝐾 ↑𝑚 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩})
57		elun1 3327	. . . 4 ⊢ (⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑𝑚 𝐷) × (𝐾 ↑𝑚 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} → ⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑𝑚 𝐷) × (𝐾 ↑𝑚 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
58	55, 56, 57	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑𝑚 𝐷) × (𝐾 ↑𝑚 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
59	52, 36, 58	opelstrbas 12736	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑𝑚 𝐷) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑𝑚 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑𝑚 𝐷) × (𝐾 ↑𝑚 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
60	15, 17, 59	3eqtr4d 2236	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐾 ↑𝑚 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  {cab 2179  {crab 2476  Vcvv 2760   ∪ cun 3152  {csn 3619  {ctp 3621  ⟨cop 3622   class class class wbr 4030   ↦ cmpt 4091   × cxp 4658  ^◡ccnv 4659   ↾ cres 4662   “ cima 4663   Fn wfn 5250  ⟶wf 5251  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919   ∈ cmpo 5921   ∘_𝑓 cof 6130   ∘_𝑟 cofr 6131   ↑_𝑚 cmap 6704  Fincfn 6796  1c1 7875   ≤ cle 8057   − cmin 8192  ℕcn 8984  9c9 9042  ℕ₀cn0 9243  ndxcnx 12618  Basecbs 12621  +_gcplusg 12698  ._rcmulr 12699  Scalarcsca 12701   ·_𝑠 cvsca 12702  TopSetcts 12704  TopOpenctopn 12854  ∏_tcpt 12869   Σ_g cgsu 12871   mPwSer cmps 14160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-tp 3627  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-of 6132  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-map 6706  df-ixp 6755  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-7 9048  df-8 9049  df-9 9050  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078  df-struct 12623  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-sca 12714  df-vsca 12715  df-tset 12717  df-rest 12855  df-topn 12856  df-topgen 12874  df-pt 12875  df-psr 14161

This theorem is referenced by:  psrelbas  14171  psrplusgg  14173  psraddcl  14175