Theorem sincosq1eq 16032

Description: Complementarity of the sine and cosine functions in the first quadrant. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sincosq1eq	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( A + B ) = 1 ) -> ( sin ` ( A x. ( pi / 2 ) ) ) = ( cos ` ( B x. ( pi / 2 ) ) ) )

Proof of Theorem sincosq1eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfpire 15985	. . . . . 6 |- ( pi / 2 ) e. RR
2	1	recni 8339	. . . . 5 |- ( pi / 2 ) e. CC
3		mulcl 8307	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( pi / 2 ) e. CC ) -> ( A x. ( pi / 2 ) ) e. CC )
4	2, 3	mpan2 429	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A x. ( pi / 2 ) ) e. CC )
5		coshalfpim 16016	. . . 4 |- ( ( A x. ( pi / 2 ) ) e. CC -> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - ( A x. ( pi / 2 ) ) ) ) = ( sin ` ( A x. ( pi / 2 ) ) ) )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( A e. CC -> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - ( A x. ( pi / 2 ) ) ) ) = ( sin ` ( A x. ( pi / 2 ) ) ) )
7	6	3ad2ant1 1049	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( A + B ) = 1 ) -> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - ( A x. ( pi / 2 ) ) ) ) = ( sin ` ( A x. ( pi / 2 ) ) ) )
8		adddir 8318	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( pi / 2 ) e. CC ) -> ( ( A + B ) x. ( pi / 2 ) ) = ( ( A x. ( pi / 2 ) ) + ( B x. ( pi / 2 ) ) ) )
9	2, 8	mp3an3 1367	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) x. ( pi / 2 ) ) = ( ( A x. ( pi / 2 ) ) + ( B x. ( pi / 2 ) ) ) )
10	9	3adant3 1048	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( A + B ) = 1 ) -> ( ( A + B ) x. ( pi / 2 ) ) = ( ( A x. ( pi / 2 ) ) + ( B x. ( pi / 2 ) ) ) )
11		oveq1 6092	. . . . . . 7 |- ( ( A + B ) = 1 -> ( ( A + B ) x. ( pi / 2 ) ) = ( 1 x. ( pi / 2 ) ) )
12	2	mullidi 8330	. . . . . . 7 |- ( 1 x. ( pi / 2 ) ) = ( pi / 2 )
13	11, 12	eqtrdi 2287	. . . . . 6 |- ( ( A + B ) = 1 -> ( ( A + B ) x. ( pi / 2 ) ) = ( pi / 2 ) )
14	13	3ad2ant3 1051	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( A + B ) = 1 ) -> ( ( A + B ) x. ( pi / 2 ) ) = ( pi / 2 ) )
15	10, 14	eqtr3d 2273	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( A + B ) = 1 ) -> ( ( A x. ( pi / 2 ) ) + ( B x. ( pi / 2 ) ) ) = ( pi / 2 ) )
16		mulcl 8307	. . . . . . 7 |- ( ( B e. CC /\ ( pi / 2 ) e. CC ) -> ( B x. ( pi / 2 ) ) e. CC )
17	2, 16	mpan2 429	. . . . . 6 |- ( B e. CC -> ( B x. ( pi / 2 ) ) e. CC )
18		subadd 8531	. . . . . 6 |- ( ( ( pi / 2 ) e. CC /\ ( A x. ( pi / 2 ) ) e. CC /\ ( B x. ( pi / 2 ) ) e. CC ) -> ( ( ( pi / 2 ) - ( A x. ( pi / 2 ) ) ) = ( B x. ( pi / 2 ) ) <-> ( ( A x. ( pi / 2 ) ) + ( B x. ( pi / 2 ) ) ) = ( pi / 2 ) ) )
19	2, 4, 17, 18	mp3an3an 1384	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( pi / 2 ) - ( A x. ( pi / 2 ) ) ) = ( B x. ( pi / 2 ) ) <-> ( ( A x. ( pi / 2 ) ) + ( B x. ( pi / 2 ) ) ) = ( pi / 2 ) ) )
20	19	3adant3 1048	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( A + B ) = 1 ) -> ( ( ( pi / 2 ) - ( A x. ( pi / 2 ) ) ) = ( B x. ( pi / 2 ) ) <-> ( ( A x. ( pi / 2 ) ) + ( B x. ( pi / 2 ) ) ) = ( pi / 2 ) ) )
21	15, 20	mpbird 167	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( A + B ) = 1 ) -> ( ( pi / 2 ) - ( A x. ( pi / 2 ) ) ) = ( B x. ( pi / 2 ) ) )
22	21	fveq2d 5699	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( A + B ) = 1 ) -> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - ( A x. ( pi / 2 ) ) ) ) = ( cos ` ( B x. ( pi / 2 ) ) ) )
23	7, 22	eqtr3d 2273	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( A + B ) = 1 ) -> ( sin ` ( A x. ( pi / 2 ) ) ) = ( cos ` ( B x. ( pi / 2 ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   CCcc 8178   1c1 8181   + caddc 8183   x. cmul 8185   - cmin 8499   / cdiv 9005   2c2 9358   sincsin 12430   cosccos 12431   picpi 12433

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300  ax-pre-suploc 8301  ax-addf 8302  ax-mulf 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-of 6302  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-map 6924  df-pm 6925  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-sup 7325  df-inf 7326  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-7 9371  df-8 9372  df-9 9373  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-q 10030  df-rp 10066  df-xneg 10185  df-xadd 10186  df-ioo 10305  df-ioc 10306  df-ico 10307  df-icc 10308  df-fz 10423  df-fzo 10561  df-seqfrec 10900  df-exp 10991  df-fac 11180  df-bc 11202  df-ihash 11231  df-shft 11596  df-cj 11623  df-re 11624  df-im 11625  df-rsqrt 11780  df-abs 11781  df-clim 12064  df-sumdc 12139  df-ef 12434  df-sin 12436  df-cos 12437  df-pi 12439  df-rest 13648  df-topgen 13667  df-psmet 14964  df-xmet 14965  df-met 14966  df-bl 14967  df-mopn 14968  df-top 15190  df-topon 15203  df-bases 15235  df-ntr 15288  df-cn 15380  df-cnp 15381  df-tx 15445  df-cncf 15763  df-limced 15848  df-dvap 15849

This theorem is used by:  sincos4thpi  16033  sincos6thpi  16035