Theorem sincosq1eq 12968

Description: Complementarity of the sine and cosine functions in the first quadrant. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sincosq1eq	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( A + B ) = 1 ) -> ( sin ` ( A x. ( pi / 2 ) ) ) = ( cos ` ( B x. ( pi / 2 ) ) ) )

Proof of Theorem sincosq1eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfpire 12921	. . . . . 6 |- ( pi / 2 ) e. RR
2	1	recni 7802	. . . . 5 |- ( pi / 2 ) e. CC
3		mulcl 7771	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( pi / 2 ) e. CC ) -> ( A x. ( pi / 2 ) ) e. CC )
4	2, 3	mpan2 422	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A x. ( pi / 2 ) ) e. CC )
5		coshalfpim 12952	. . . 4 |- ( ( A x. ( pi / 2 ) ) e. CC -> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - ( A x. ( pi / 2 ) ) ) ) = ( sin ` ( A x. ( pi / 2 ) ) ) )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( A e. CC -> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - ( A x. ( pi / 2 ) ) ) ) = ( sin ` ( A x. ( pi / 2 ) ) ) )
7	6	3ad2ant1 1003	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( A + B ) = 1 ) -> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - ( A x. ( pi / 2 ) ) ) ) = ( sin ` ( A x. ( pi / 2 ) ) ) )
8		adddir 7781	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( pi / 2 ) e. CC ) -> ( ( A + B ) x. ( pi / 2 ) ) = ( ( A x. ( pi / 2 ) ) + ( B x. ( pi / 2 ) ) ) )
9	2, 8	mp3an3 1305	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) x. ( pi / 2 ) ) = ( ( A x. ( pi / 2 ) ) + ( B x. ( pi / 2 ) ) ) )
10	9	3adant3 1002	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( A + B ) = 1 ) -> ( ( A + B ) x. ( pi / 2 ) ) = ( ( A x. ( pi / 2 ) ) + ( B x. ( pi / 2 ) ) ) )
11		oveq1 5789	. . . . . . 7 |- ( ( A + B ) = 1 -> ( ( A + B ) x. ( pi / 2 ) ) = ( 1 x. ( pi / 2 ) ) )
12	2	mulid2i 7793	. . . . . . 7 |- ( 1 x. ( pi / 2 ) ) = ( pi / 2 )
13	11, 12	eqtrdi 2189	. . . . . 6 |- ( ( A + B ) = 1 -> ( ( A + B ) x. ( pi / 2 ) ) = ( pi / 2 ) )
14	13	3ad2ant3 1005	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( A + B ) = 1 ) -> ( ( A + B ) x. ( pi / 2 ) ) = ( pi / 2 ) )
15	10, 14	eqtr3d 2175	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( A + B ) = 1 ) -> ( ( A x. ( pi / 2 ) ) + ( B x. ( pi / 2 ) ) ) = ( pi / 2 ) )
16		mulcl 7771	. . . . . . 7 |- ( ( B e. CC /\ ( pi / 2 ) e. CC ) -> ( B x. ( pi / 2 ) ) e. CC )
17	2, 16	mpan2 422	. . . . . 6 |- ( B e. CC -> ( B x. ( pi / 2 ) ) e. CC )
18		subadd 7989	. . . . . 6 |- ( ( ( pi / 2 ) e. CC /\ ( A x. ( pi / 2 ) ) e. CC /\ ( B x. ( pi / 2 ) ) e. CC ) -> ( ( ( pi / 2 ) - ( A x. ( pi / 2 ) ) ) = ( B x. ( pi / 2 ) ) <-> ( ( A x. ( pi / 2 ) ) + ( B x. ( pi / 2 ) ) ) = ( pi / 2 ) ) )
19	2, 4, 17, 18	mp3an3an 1322	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( pi / 2 ) - ( A x. ( pi / 2 ) ) ) = ( B x. ( pi / 2 ) ) <-> ( ( A x. ( pi / 2 ) ) + ( B x. ( pi / 2 ) ) ) = ( pi / 2 ) ) )
20	19	3adant3 1002	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( A + B ) = 1 ) -> ( ( ( pi / 2 ) - ( A x. ( pi / 2 ) ) ) = ( B x. ( pi / 2 ) ) <-> ( ( A x. ( pi / 2 ) ) + ( B x. ( pi / 2 ) ) ) = ( pi / 2 ) ) )
21	15, 20	mpbird 166	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( A + B ) = 1 ) -> ( ( pi / 2 ) - ( A x. ( pi / 2 ) ) ) = ( B x. ( pi / 2 ) ) )
22	21	fveq2d 5433	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( A + B ) = 1 ) -> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - ( A x. ( pi / 2 ) ) ) ) = ( cos ` ( B x. ( pi / 2 ) ) ) )
23	7, 22	eqtr3d 2175	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( A + B ) = 1 ) -> ( sin ` ( A x. ( pi / 2 ) ) ) = ( cos ` ( B x. ( pi / 2 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   CCcc 7642   1c1 7645   + caddc 7647   x. cmul 7649   - cmin 7957   / cdiv 8456   2c2 8795   sincsin 11387   cosccos 11388   picpi 11390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764  ax-pre-suploc 7765  ax-addf 7766  ax-mulf 7767

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-disj 3915  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-of 5990  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-frec 6296  df-1o 6321  df-oadd 6325  df-er 6437  df-map 6552  df-pm 6553  df-en 6643  df-dom 6644  df-fin 6645  df-sup 6879  df-inf 6880  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-5 8806  df-6 8807  df-7 8808  df-8 8809  df-9 8810  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-xneg 9589  df-xadd 9590  df-ioo 9705  df-ioc 9706  df-ico 9707  df-icc 9708  df-fz 9822  df-fzo 9951  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-fac 10504  df-bc 10526  df-ihash 10554  df-shft 10619  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-clim 11080  df-sumdc 11155  df-ef 11391  df-sin 11393  df-cos 11394  df-pi 11396  df-rest 12161  df-topgen 12180  df-psmet 12195  df-xmet 12196  df-met 12197  df-bl 12198  df-mopn 12199  df-top 12204  df-topon 12217  df-bases 12249  df-ntr 12304  df-cn 12396  df-cnp 12397  df-tx 12461  df-cncf 12766  df-limced 12833  df-dvap 12834

This theorem is referenced by:  sincos4thpi  12969  sincos6thpi  12971