Theorem sincosq1eq 12925

Description: Complementarity of the sine and cosine functions in the first quadrant. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sincosq1eq	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( A + B ) = 1 ) -> ( sin ` ( A x. ( pi / 2 ) ) ) = ( cos ` ( B x. ( pi / 2 ) ) ) )

Proof of Theorem sincosq1eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfpire 12878	. . . . . 6 |- ( pi / 2 ) e. RR
2	1	recni 7783	. . . . 5 |- ( pi / 2 ) e. CC
3		mulcl 7752	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( pi / 2 ) e. CC ) -> ( A x. ( pi / 2 ) ) e. CC )
4	2, 3	mpan2 421	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A x. ( pi / 2 ) ) e. CC )
5		coshalfpim 12909	. . . 4 |- ( ( A x. ( pi / 2 ) ) e. CC -> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - ( A x. ( pi / 2 ) ) ) ) = ( sin ` ( A x. ( pi / 2 ) ) ) )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( A e. CC -> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - ( A x. ( pi / 2 ) ) ) ) = ( sin ` ( A x. ( pi / 2 ) ) ) )
7	6	3ad2ant1 1002	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( A + B ) = 1 ) -> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - ( A x. ( pi / 2 ) ) ) ) = ( sin ` ( A x. ( pi / 2 ) ) ) )
8		adddir 7762	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( pi / 2 ) e. CC ) -> ( ( A + B ) x. ( pi / 2 ) ) = ( ( A x. ( pi / 2 ) ) + ( B x. ( pi / 2 ) ) ) )
9	2, 8	mp3an3 1304	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) x. ( pi / 2 ) ) = ( ( A x. ( pi / 2 ) ) + ( B x. ( pi / 2 ) ) ) )
10	9	3adant3 1001	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( A + B ) = 1 ) -> ( ( A + B ) x. ( pi / 2 ) ) = ( ( A x. ( pi / 2 ) ) + ( B x. ( pi / 2 ) ) ) )
11		oveq1 5781	. . . . . . 7 |- ( ( A + B ) = 1 -> ( ( A + B ) x. ( pi / 2 ) ) = ( 1 x. ( pi / 2 ) ) )
12	2	mulid2i 7774	. . . . . . 7 |- ( 1 x. ( pi / 2 ) ) = ( pi / 2 )
13	11, 12	syl6eq 2188	. . . . . 6 |- ( ( A + B ) = 1 -> ( ( A + B ) x. ( pi / 2 ) ) = ( pi / 2 ) )
14	13	3ad2ant3 1004	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( A + B ) = 1 ) -> ( ( A + B ) x. ( pi / 2 ) ) = ( pi / 2 ) )
15	10, 14	eqtr3d 2174	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( A + B ) = 1 ) -> ( ( A x. ( pi / 2 ) ) + ( B x. ( pi / 2 ) ) ) = ( pi / 2 ) )
16		mulcl 7752	. . . . . . 7 |- ( ( B e. CC /\ ( pi / 2 ) e. CC ) -> ( B x. ( pi / 2 ) ) e. CC )
17	2, 16	mpan2 421	. . . . . 6 |- ( B e. CC -> ( B x. ( pi / 2 ) ) e. CC )
18		subadd 7970	. . . . . 6 |- ( ( ( pi / 2 ) e. CC /\ ( A x. ( pi / 2 ) ) e. CC /\ ( B x. ( pi / 2 ) ) e. CC ) -> ( ( ( pi / 2 ) - ( A x. ( pi / 2 ) ) ) = ( B x. ( pi / 2 ) ) <-> ( ( A x. ( pi / 2 ) ) + ( B x. ( pi / 2 ) ) ) = ( pi / 2 ) ) )
19	2, 4, 17, 18	mp3an3an 1321	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( pi / 2 ) - ( A x. ( pi / 2 ) ) ) = ( B x. ( pi / 2 ) ) <-> ( ( A x. ( pi / 2 ) ) + ( B x. ( pi / 2 ) ) ) = ( pi / 2 ) ) )
20	19	3adant3 1001	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( A + B ) = 1 ) -> ( ( ( pi / 2 ) - ( A x. ( pi / 2 ) ) ) = ( B x. ( pi / 2 ) ) <-> ( ( A x. ( pi / 2 ) ) + ( B x. ( pi / 2 ) ) ) = ( pi / 2 ) ) )
21	15, 20	mpbird 166	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( A + B ) = 1 ) -> ( ( pi / 2 ) - ( A x. ( pi / 2 ) ) ) = ( B x. ( pi / 2 ) ) )
22	21	fveq2d 5425	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( A + B ) = 1 ) -> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - ( A x. ( pi / 2 ) ) ) ) = ( cos ` ( B x. ( pi / 2 ) ) ) )
23	7, 22	eqtr3d 2174	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( A + B ) = 1 ) -> ( sin ` ( A x. ( pi / 2 ) ) ) = ( cos ` ( B x. ( pi / 2 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7623   1c1 7626   + caddc 7628   x. cmul 7630   - cmin 7938   / cdiv 8437   2c2 8776   sincsin 11355   cosccos 11356   picpi 11358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7716  ax-resscn 7717  ax-1cn 7718  ax-1re 7719  ax-icn 7720  ax-addcl 7721  ax-addrcl 7722  ax-mulcl 7723  ax-mulrcl 7724  ax-addcom 7725  ax-mulcom 7726  ax-addass 7727  ax-mulass 7728  ax-distr 7729  ax-i2m1 7730  ax-0lt1 7731  ax-1rid 7732  ax-0id 7733  ax-rnegex 7734  ax-precex 7735  ax-cnre 7736  ax-pre-ltirr 7737  ax-pre-ltwlin 7738  ax-pre-lttrn 7739  ax-pre-apti 7740  ax-pre-ltadd 7741  ax-pre-mulgt0 7742  ax-pre-mulext 7743  ax-arch 7744  ax-caucvg 7745  ax-pre-suploc 7746  ax-addf 7747  ax-mulf 7748

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-disj 3907  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-of 5982  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-map 6544  df-pm 6545  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7807  df-mnf 7808  df-xr 7809  df-ltxr 7810  df-le 7811  df-sub 7940  df-neg 7941  df-reap 8342  df-ap 8349  df-div 8438  df-inn 8726  df-2 8784  df-3 8785  df-4 8786  df-5 8787  df-6 8788  df-7 8789  df-8 8790  df-9 8791  df-n0 8983  df-z 9060  df-uz 9332  df-q 9417  df-rp 9447  df-xneg 9564  df-xadd 9565  df-ioo 9680  df-ioc 9681  df-ico 9682  df-icc 9683  df-fz 9796  df-fzo 9925  df-seqfrec 10224  df-exp 10298  df-fac 10477  df-bc 10499  df-ihash 10527  df-shft 10592  df-cj 10619  df-re 10620  df-im 10621  df-rsqrt 10775  df-abs 10776  df-clim 11053  df-sumdc 11128  df-ef 11359  df-sin 11361  df-cos 11362  df-pi 11364  df-rest 12127  df-topgen 12146  df-psmet 12161  df-xmet 12162  df-met 12163  df-bl 12164  df-mopn 12165  df-top 12170  df-topon 12183  df-bases 12215  df-ntr 12270  df-cn 12362  df-cnp 12363  df-tx 12427  df-cncf 12732  df-limced 12799  df-dvap 12800

This theorem is referenced by:  sincos4thpi  12926  sincos6thpi  12928