Theorem swrd0g 11245

Description: A subword of an empty set is always the empty set. (Contributed by AV, 31-Mar-2018.) (Revised by AV, 20-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
swrd0g	⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)

Proof of Theorem swrd0g

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4216	. 2 ⊢ ∅ ∈ V
2		swrdval 11233	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅))
3		fzonlt0 10404	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 𝐹 < 𝐿 ↔ (𝐹..^𝐿) = ∅))
4	3	biimprd 158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐹..^𝐿) = ∅ → ¬ 𝐹 < 𝐿))
5	4	con2d 629	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 𝐿 → ¬ (𝐹..^𝐿) = ∅))
6	5	impcom 125	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐹..^𝐿) = ∅)
7		ss0 3535	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹..^𝐿) ⊆ ∅ → (𝐹..^𝐿) = ∅)
8	6, 7	nsyl 633	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ ∅)
9		dm0 4945	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom ∅ = ∅
10	9	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom ∅ = ∅)
11	10	sseq2d 3257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅ ↔ (𝐹..^𝐿) ⊆ ∅))
12	8, 11	mtbird 679	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅)
13	12	iffalsed 3615	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = ∅)
14	13	ancoms 268	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐹 < 𝐿) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = ∅)
15		ssidd 3248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ∅ ⊆ ∅)
16	3	biimpac 298	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐹..^𝐿) = ∅)
17	9	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom ∅ = ∅)
18	15, 16, 17	3sstr4d 3272	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅)
19	18	iftrued 3612	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))))
20		zre 9483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
21		zre 9483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ ℤ → 𝐹 ∈ ℝ)
22		lenlt 8255	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → (𝐿 ≤ 𝐹 ↔ ¬ 𝐹 < 𝐿))
23	22	bicomd 141	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → (¬ 𝐹 < 𝐿 ↔ 𝐿 ≤ 𝐹))
24	20, 21, 23	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 𝐹 < 𝐿 ↔ 𝐿 ≤ 𝐹))
25		fzo0n 10403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝐹 ↔ (0..^(𝐿 − 𝐹)) = ∅))
26	24, 25	bitrd 188	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 𝐹 < 𝐿 ↔ (0..^(𝐿 − 𝐹)) = ∅))
27	26	biimpac 298	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (0..^(𝐿 − 𝐹)) = ∅)
28	27	mpteq1d 4174	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))))
29	28	dmeqd 4933	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = dom (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))))
30		ral0 3596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ (∅‘(𝑥 + 𝐹)) ∈ V
31		dmmptg 5234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ ∅ (∅‘(𝑥 + 𝐹)) ∈ V → dom (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅)
32	30, 31	mp1i 10	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅)
33	29, 32	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅)
34		mptrel 4858	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹)))
35		reldm0 4949	. . . . . . . . 9 ⊢ (Rel (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅ ↔ dom (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅))
36	34, 35	mp1i 10	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅ ↔ dom (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅))
37	33, 36	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅)
38	19, 37	eqtrd 2264	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = ∅)
39	38	ancoms 268	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐹 < 𝐿) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = ∅)
40		zdclt 9557	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → DECID 𝐹 < 𝐿)
41		exmiddc 843	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝐹 < 𝐿 → (𝐹 < 𝐿 ∨ ¬ 𝐹 < 𝐿))
42	40, 41	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 𝐿 ∨ ¬ 𝐹 < 𝐿))
43	14, 39, 42	mpjaodan 805	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = ∅)
44	43	3adant1 1041	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = ∅)
45	2, 44	eqtrd 2264	. 2 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
46	1, 45	mp3an1 1360	1 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715  DECID wdc 841   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  Vcvv 2802   ⊆ wss 3200  ∅c0 3494  ifcif 3605  ⟨cop 3672   class class class wbr 4088   ↦ cmpt 4150  dom cdm 4725  Rel wrel 4730  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  ℝcr 8031  0cc0 8032   + caddc 8035   < clt 8214   ≤ cle 8215   − cmin 8350  ℤcz 9479  ..^cfzo 10377   substr csubstr 11230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-er 6702  df-en 6910  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-substr 11231

This theorem is referenced by:  pfx0g  11261