Theorem zmodcl 10502

Description: Closure law for the modulo operation restricted to integers. (Contributed by NM, 27-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
zmodcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem zmodcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zq 9760	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℚ)
3		nnq 9767	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℚ)
4	3	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℚ)
5		nngt0 9074	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
6	5	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
7		modqval 10482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1250	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
9		nnz 9404	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
10	9	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
11		znq 9758	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
12	11	flqcld 10433	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℤ)
13	10, 12	zmulcld 9514	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) ∈ ℤ)
14		zsubcl 9426	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) ∈ ℤ) → (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) ∈ ℤ)
15	13, 14	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) ∈ ℤ)
16	8, 15	eqeltrd 2283	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℤ)
17		modqge0 10490	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 mod 𝐵))
18	2, 4, 6, 17	syl3anc 1250	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴 mod 𝐵))
19		elnn0z 9398	. 2 ⊢ ((𝐴 mod 𝐵) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐴 mod 𝐵) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐴 mod 𝐵)))
20	16, 18, 19	sylanbrc 417	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4048  ‘cfv 5277  (class class class)co 5954  0cc0 7938   · cmul 7943   < clt 8120   ≤ cle 8121   − cmin 8256   / cdiv 8758  ℕcn 9049  ℕ₀cn0 9308  ℤcz 9385  ℚcq 9753  ⌊cfl 10424   mod cmo 10480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-mulrcl 8037  ax-addcom 8038  ax-mulcom 8039  ax-addass 8040  ax-mulass 8041  ax-distr 8042  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-1rid 8045  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-precex 8048  ax-cnre 8049  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-ltwlin 8051  ax-pre-lttrn 8052  ax-pre-apti 8053  ax-pre-ltadd 8054  ax-pre-mulgt0 8055  ax-pre-mulext 8056  ax-arch 8057

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-iun 3932  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-id 4345  df-po 4348  df-iso 4349  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-fv 5285  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-1st 6236  df-2nd 6237  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-xr 8124  df-ltxr 8125  df-le 8126  df-sub 8258  df-neg 8259  df-reap 8661  df-ap 8668  df-div 8759  df-inn 9050  df-n0 9309  df-z 9386  df-q 9754  df-rp 9789  df-fl 10426  df-mod 10481

This theorem is referenced by:  zmodcld  10503  zmodfz  10504  modaddmodup  10545  modaddmodlo  10546  modfsummodlemstep  11818  divalglemnn  12279  divalgmod  12288  modgcd  12362  eucalgf  12427  eucalginv  12428  modprmn0modprm0  12629  fldivp1  12721  lgsmod  15553  lgsdir2lem4  15558  lgsdir2lem5  15559  lgsne0  15565