Theorem dvdssq 11986

Description: Two numbers are divisible iff their squares are. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdssq	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))

Proof of Theorem dvdssq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9223	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		zdceq 9287	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 = 0)
3	1, 2	mpan2 423	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → DECID 𝑀 = 0)
4		exmiddc 831	. . 3 ⊢ (DECID 𝑀 = 0 → (𝑀 = 0 ∨ ¬ 𝑀 = 0))
5		0dvds 11773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
6		zcn 9217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
7		sqeq0 10539	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁↑2) = 0 ↔ 𝑁 = 0))
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁↑2) = 0 ↔ 𝑁 = 0))
9	5, 8	bitr4d 190	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁↑2) = 0))
10		zsqcl 10546	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁↑2) ∈ ℤ)
11		0dvds 11773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁↑2) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝑁↑2) ↔ (𝑁↑2) = 0))
12	10, 11	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ (𝑁↑2) ↔ (𝑁↑2) = 0))
13	9, 12	bitr4d 190	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ (𝑁↑2)))
14	13	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ (𝑁↑2)))
15		breq1 3992	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
16		sq0i 10567	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑2) = 0)
17	16	breq1d 3999	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = 0 → ((𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ 0 ∥ (𝑁↑2)))
18	15, 17	bibi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = 0 → ((𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)) ↔ (0 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ (𝑁↑2))))
19	14, 18	syl5ibr 155	. . . 4 ⊢ (𝑀 = 0 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2))))
20		df-ne 2341	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑀 = 0)
21		nnabscl 11064	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ)
22		zdceq 9287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
23	1, 22	mpan2 423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → DECID 𝑁 = 0)
24		exmiddc 831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (DECID 𝑁 = 0 → (𝑁 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0))
25		nnz 9231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((abs‘𝑀) ∈ ℕ → (abs‘𝑀) ∈ ℤ)
26		dvds0 11768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((abs‘𝑀) ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∥ 0)
27		zsqcl 10546	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((abs‘𝑀) ∈ ℤ → ((abs‘𝑀)↑2) ∈ ℤ)
28		dvds0 11768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((abs‘𝑀)↑2) ∈ ℤ → ((abs‘𝑀)↑2) ∥ 0)
29	27, 28	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((abs‘𝑀) ∈ ℤ → ((abs‘𝑀)↑2) ∥ 0)
30	26, 29	2thd 174	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((abs‘𝑀) ∈ ℤ → ((abs‘𝑀) ∥ 0 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ 0))
31	25, 30	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((abs‘𝑀) ∈ ℕ → ((abs‘𝑀) ∥ 0 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ 0))
32	31	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 0 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ 0))
33		breq2 3993	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = 0 → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ 0))
34		sq0i 10567	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁↑2) = 0)
35	34	breq2d 4001	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = 0 → (((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ 0))
36	33, 35	bibi12d 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = 0 → (((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)) ↔ ((abs‘𝑀) ∥ 0 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ 0)))
37	32, 36	syl5ibr 155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = 0 → (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2))))
38		df-ne 2341	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑁 = 0)
39		nnabscl 11064	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
40		dvdssqlem 11985	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝑁) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ ((abs‘𝑁)↑2)))
41	39, 40	sylan2 284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝑁) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ ((abs‘𝑁)↑2)))
42		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
43		dvdsabsb 11772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝑁)))
44	25, 42, 43	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝑁)))
45		nnsqcl 10545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((abs‘𝑀) ∈ ℕ → ((abs‘𝑀)↑2) ∈ ℕ)
46	45	nnzd 9333	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((abs‘𝑀) ∈ ℕ → ((abs‘𝑀)↑2) ∈ ℤ)
47	10	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑁↑2) ∈ ℤ)
48		dvdsabsb 11772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((abs‘𝑀)↑2) ∈ ℤ ∧ (𝑁↑2) ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (abs‘(𝑁↑2))))
49	46, 47, 48	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (abs‘(𝑁↑2))))
50	6	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
51		abssq 11045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((abs‘𝑁)↑2) = (abs‘(𝑁↑2)))
52	50, 51	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((abs‘𝑁)↑2) = (abs‘(𝑁↑2)))
53	52	breq2d 4001	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (((abs‘𝑀)↑2) ∥ ((abs‘𝑁)↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (abs‘(𝑁↑2))))
54	53	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((abs‘𝑀)↑2) ∥ ((abs‘𝑁)↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (abs‘(𝑁↑2))))
55	49, 54	bitr4d 190	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ ((abs‘𝑁)↑2)))
56	41, 44, 55	3bitr4d 219	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
57	56	anassrs 398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
58	57	expcom 115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2))))
59	38, 58	sylbir 134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑁 = 0 → (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2))))
60	37, 59	jaoi 711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0) → (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2))))
61	23, 24, 60	3syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2))))
62	61	anabsi7 576	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
63	21, 62	sylan 281	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
64		absdvdsb 11771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ 𝑁))
65	64	adantlr 474	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ 𝑁))
66		zsqcl 10546	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
67	66	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
68		absdvdsb 11771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧ (𝑁↑2) ∈ ℤ) → ((𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ (abs‘(𝑀↑2)) ∥ (𝑁↑2)))
69	67, 10, 68	syl2an 287	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ (abs‘(𝑀↑2)) ∥ (𝑁↑2)))
70		zcn 9217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
71		abssq 11045	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((abs‘𝑀)↑2) = (abs‘(𝑀↑2)))
72	70, 71	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((abs‘𝑀)↑2) = (abs‘(𝑀↑2)))
73	72	eqcomd 2176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘(𝑀↑2)) = ((abs‘𝑀)↑2))
74	73	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘(𝑀↑2)) = ((abs‘𝑀)↑2))
75	74	breq1d 3999	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((abs‘(𝑀↑2)) ∥ (𝑁↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
76	75	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝑀↑2)) ∥ (𝑁↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
77	69, 76	bitrd 187	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
78	63, 65, 77	3bitr4d 219	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
79	78	an32s 563	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
80	79	expcom 115	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ≠ 0 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2))))
81	20, 80	sylbir 134	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 = 0 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2))))
82	19, 81	jaoi 711	. . 3 ⊢ ((𝑀 = 0 ∨ ¬ 𝑀 = 0) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2))))
83	3, 4, 82	3syl 17	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2))))
84	83	anabsi5 574	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 703  DECID wdc 829   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  0cc0 7774  ℕcn 8878  2c2 8929  ℤcz 9212  ↑cexp 10475  abscabs 10961   ∥ cdvds 11749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-sup 6961  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-dvds 11750  df-gcd 11898

This theorem is referenced by:  pythagtriplem19  12236  4sqlem9  12338  4sqlem10  12339  lgsdir  13730  2sqlem8a  13752