ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdssq GIF version

Theorem dvdssq 10926
Description: Two numbers are divisible iff their squares are. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdssq ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))

Proof of Theorem dvdssq
StepHypRef Expression
1 0z 8697 . . . 4 0 ∈ ℤ
2 zdceq 8758 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 = 0)
31, 2mpan2 416 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → DECID 𝑀 = 0)
4 exmiddc 780 . . 3 (DECID 𝑀 = 0 → (𝑀 = 0 ∨ ¬ 𝑀 = 0))
5 0dvds 10722 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁𝑁 = 0))
6 zcn 8691 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
7 sqeq0 9920 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁↑2) = 0 ↔ 𝑁 = 0))
86, 7syl 14 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁↑2) = 0 ↔ 𝑁 = 0))
95, 8bitr4d 189 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁↑2) = 0))
10 zsqcl 9927 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁↑2) ∈ ℤ)
11 0dvds 10722 . . . . . . . 8 ((𝑁↑2) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝑁↑2) ↔ (𝑁↑2) = 0))
1210, 11syl 14 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ (𝑁↑2) ↔ (𝑁↑2) = 0))
139, 12bitr4d 189 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ (𝑁↑2)))
1413adantl 271 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ (𝑁↑2)))
15 breq1 3825 . . . . . 6 (𝑀 = 0 → (𝑀𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
16 sq0i 9948 . . . . . . 7 (𝑀 = 0 → (𝑀↑2) = 0)
1716breq1d 3832 . . . . . 6 (𝑀 = 0 → ((𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ 0 ∥ (𝑁↑2)))
1815, 17bibi12d 233 . . . . 5 (𝑀 = 0 → ((𝑀𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)) ↔ (0 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ (𝑁↑2))))
1914, 18syl5ibr 154 . . . 4 (𝑀 = 0 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2))))
20 df-ne 2252 . . . . 5 (𝑀 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑀 = 0)
21 nnabscl 10432 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ)
22 zdceq 8758 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
231, 22mpan2 416 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → DECID 𝑁 = 0)
24 exmiddc 780 . . . . . . . . . . 11 (DECID 𝑁 = 0 → (𝑁 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0))
25 nnz 8705 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((abs‘𝑀) ∈ ℕ → (abs‘𝑀) ∈ ℤ)
26 dvds0 10717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs‘𝑀) ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∥ 0)
27 zsqcl 9927 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((abs‘𝑀) ∈ ℤ → ((abs‘𝑀)↑2) ∈ ℤ)
28 dvds0 10717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((abs‘𝑀)↑2) ∈ ℤ → ((abs‘𝑀)↑2) ∥ 0)
2927, 28syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs‘𝑀) ∈ ℤ → ((abs‘𝑀)↑2) ∥ 0)
3026, 292thd 173 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((abs‘𝑀) ∈ ℤ → ((abs‘𝑀) ∥ 0 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ 0))
3125, 30syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 ((abs‘𝑀) ∈ ℕ → ((abs‘𝑀) ∥ 0 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ 0))
3231adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 0 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ 0))
33 breq2 3826 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = 0 → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ 0))
34 sq0i 9948 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 = 0 → (𝑁↑2) = 0)
3534breq2d 3834 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = 0 → (((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ 0))
3633, 35bibi12d 233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = 0 → (((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)) ↔ ((abs‘𝑀) ∥ 0 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ 0)))
3732, 36syl5ibr 154 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 0 → (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2))))
38 df-ne 2252 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑁 = 0)
39 nnabscl 10432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
40 dvdssqlem 10925 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝑁) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ ((abs‘𝑁)↑2)))
4139, 40sylan2 280 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝑁) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ ((abs‘𝑁)↑2)))
42 simpl 107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
43 dvdsabsb 10721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((abs‘𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝑁)))
4425, 42, 43syl2an 283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝑁)))
45 nnsqcl 9926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((abs‘𝑀) ∈ ℕ → ((abs‘𝑀)↑2) ∈ ℕ)
4645nnzd 8803 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((abs‘𝑀) ∈ ℕ → ((abs‘𝑀)↑2) ∈ ℤ)
4710adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑁↑2) ∈ ℤ)
48 dvdsabsb 10721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((abs‘𝑀)↑2) ∈ ℤ ∧ (𝑁↑2) ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (abs‘(𝑁↑2))))
4946, 47, 48syl2an 283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (abs‘(𝑁↑2))))
506adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
51 abssq 10413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℂ → ((abs‘𝑁)↑2) = (abs‘(𝑁↑2)))
5250, 51syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((abs‘𝑁)↑2) = (abs‘(𝑁↑2)))
5352breq2d 3834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (((abs‘𝑀)↑2) ∥ ((abs‘𝑁)↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (abs‘(𝑁↑2))))
5453adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((abs‘𝑀)↑2) ∥ ((abs‘𝑁)↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (abs‘(𝑁↑2))))
5549, 54bitr4d 189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ ((abs‘𝑁)↑2)))
5641, 44, 553bitr4d 218 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
5756anassrs 392 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
5857expcom 114 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ≠ 0 → (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2))))
5938, 58sylbir 133 . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = 0 → (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2))))
6037, 59jaoi 669 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0) → (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2))))
6123, 24, 603syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2))))
6261anabsi7 546 . . . . . . . . 9 (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
6321, 62sylan 277 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
64 absdvdsb 10720 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ 𝑁))
6564adantlr 461 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ 𝑁))
66 zsqcl 9927 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
6766adantr 270 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
68 absdvdsb 10720 . . . . . . . . . 10 (((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧ (𝑁↑2) ∈ ℤ) → ((𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ (abs‘(𝑀↑2)) ∥ (𝑁↑2)))
6967, 10, 68syl2an 283 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ (abs‘(𝑀↑2)) ∥ (𝑁↑2)))
70 zcn 8691 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
71 abssq 10413 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℂ → ((abs‘𝑀)↑2) = (abs‘(𝑀↑2)))
7270, 71syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℤ → ((abs‘𝑀)↑2) = (abs‘(𝑀↑2)))
7372eqcomd 2090 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘(𝑀↑2)) = ((abs‘𝑀)↑2))
7473adantr 270 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘(𝑀↑2)) = ((abs‘𝑀)↑2))
7574breq1d 3832 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((abs‘(𝑀↑2)) ∥ (𝑁↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
7675adantr 270 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝑀↑2)) ∥ (𝑁↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
7769, 76bitrd 186 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
7863, 65, 773bitr4d 218 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
7978an32s 533 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
8079expcom 114 . . . . 5 (𝑀 ≠ 0 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2))))
8120, 80sylbir 133 . . . 4 𝑀 = 0 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2))))
8219, 81jaoi 669 . . 3 ((𝑀 = 0 ∨ ¬ 𝑀 = 0) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2))))
833, 4, 823syl 17 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2))))
8483anabsi5 544 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  DECID wdc 778   = wceq 1287  wcel 1436  wne 2251   class class class wbr 3822  cfv 4983  (class class class)co 5615  cc 7295  0cc0 7297  cn 8360  2c2 8410  cz 8686  cexp 9856  abscabs 10329  cdvds 10702
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3931  ax-sep 3934  ax-nul 3942  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-iinf 4378  ax-cnex 7383  ax-resscn 7384  ax-1cn 7385  ax-1re 7386  ax-icn 7387  ax-addcl 7388  ax-addrcl 7389  ax-mulcl 7390  ax-mulrcl 7391  ax-addcom 7392  ax-mulcom 7393  ax-addass 7394  ax-mulass 7395  ax-distr 7396  ax-i2m1 7397  ax-0lt1 7398  ax-1rid 7399  ax-0id 7400  ax-rnegex 7401  ax-precex 7402  ax-cnre 7403  ax-pre-ltirr 7404  ax-pre-ltwlin 7405  ax-pre-lttrn 7406  ax-pre-apti 7407  ax-pre-ltadd 7408  ax-pre-mulgt0 7409  ax-pre-mulext 7410  ax-arch 7411  ax-caucvg 7412
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-iun 3717  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-tr 3914  df-id 4096  df-po 4099  df-iso 4100  df-iord 4169  df-on 4171  df-ilim 4172  df-suc 4174  df-iom 4381  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990  df-fv 4991  df-riota 5571  df-ov 5618  df-oprab 5619  df-mpt2 5620  df-1st 5870  df-2nd 5871  df-recs 6026  df-frec 6112  df-sup 6626  df-pnf 7471  df-mnf 7472  df-xr 7473  df-ltxr 7474  df-le 7475  df-sub 7602  df-neg 7603  df-reap 7996  df-ap 8003  df-div 8082  df-inn 8361  df-2 8419  df-3 8420  df-4 8421  df-n0 8610  df-z 8687  df-uz 8955  df-q 9040  df-rp 9070  df-fz 9360  df-fzo 9485  df-fl 9608  df-mod 9661  df-iseq 9783  df-iexp 9857  df-cj 10175  df-re 10176  df-im 10177  df-rsqrt 10330  df-abs 10331  df-dvds 10703  df-gcd 10845
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator