Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdssq GIF version

Theorem dvdssq 11626
 Description: Two numbers are divisible iff their squares are. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdssq ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))

Proof of Theorem dvdssq
StepHypRef Expression
1 0z 9019 . . . 4 0 ∈ ℤ
2 zdceq 9080 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 = 0)
31, 2mpan2 419 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → DECID 𝑀 = 0)
4 exmiddc 804 . . 3 (DECID 𝑀 = 0 → (𝑀 = 0 ∨ ¬ 𝑀 = 0))
5 0dvds 11420 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁𝑁 = 0))
6 zcn 9013 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
7 sqeq0 10307 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁↑2) = 0 ↔ 𝑁 = 0))
86, 7syl 14 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁↑2) = 0 ↔ 𝑁 = 0))
95, 8bitr4d 190 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁↑2) = 0))
10 zsqcl 10314 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁↑2) ∈ ℤ)
11 0dvds 11420 . . . . . . . 8 ((𝑁↑2) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝑁↑2) ↔ (𝑁↑2) = 0))
1210, 11syl 14 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ (𝑁↑2) ↔ (𝑁↑2) = 0))
139, 12bitr4d 190 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ (𝑁↑2)))
1413adantl 273 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ (𝑁↑2)))
15 breq1 3900 . . . . . 6 (𝑀 = 0 → (𝑀𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
16 sq0i 10335 . . . . . . 7 (𝑀 = 0 → (𝑀↑2) = 0)
1716breq1d 3907 . . . . . 6 (𝑀 = 0 → ((𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ 0 ∥ (𝑁↑2)))
1815, 17bibi12d 234 . . . . 5 (𝑀 = 0 → ((𝑀𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)) ↔ (0 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ (𝑁↑2))))
1914, 18syl5ibr 155 . . . 4 (𝑀 = 0 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2))))
20 df-ne 2284 . . . . 5 (𝑀 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑀 = 0)
21 nnabscl 10823 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ)
22 zdceq 9080 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
231, 22mpan2 419 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → DECID 𝑁 = 0)
24 exmiddc 804 . . . . . . . . . . 11 (DECID 𝑁 = 0 → (𝑁 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0))
25 nnz 9027 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((abs‘𝑀) ∈ ℕ → (abs‘𝑀) ∈ ℤ)
26 dvds0 11415 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs‘𝑀) ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∥ 0)
27 zsqcl 10314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((abs‘𝑀) ∈ ℤ → ((abs‘𝑀)↑2) ∈ ℤ)
28 dvds0 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((abs‘𝑀)↑2) ∈ ℤ → ((abs‘𝑀)↑2) ∥ 0)
2927, 28syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs‘𝑀) ∈ ℤ → ((abs‘𝑀)↑2) ∥ 0)
3026, 292thd 174 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((abs‘𝑀) ∈ ℤ → ((abs‘𝑀) ∥ 0 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ 0))
3125, 30syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 ((abs‘𝑀) ∈ ℕ → ((abs‘𝑀) ∥ 0 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ 0))
3231adantr 272 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 0 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ 0))
33 breq2 3901 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = 0 → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ 0))
34 sq0i 10335 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 = 0 → (𝑁↑2) = 0)
3534breq2d 3909 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = 0 → (((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ 0))
3633, 35bibi12d 234 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = 0 → (((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)) ↔ ((abs‘𝑀) ∥ 0 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ 0)))
3732, 36syl5ibr 155 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 0 → (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2))))
38 df-ne 2284 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑁 = 0)
39 nnabscl 10823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
40 dvdssqlem 11625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝑁) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ ((abs‘𝑁)↑2)))
4139, 40sylan2 282 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝑁) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ ((abs‘𝑁)↑2)))
42 simpl 108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
43 dvdsabsb 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((abs‘𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝑁)))
4425, 42, 43syl2an 285 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝑁)))
45 nnsqcl 10313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((abs‘𝑀) ∈ ℕ → ((abs‘𝑀)↑2) ∈ ℕ)
4645nnzd 9126 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((abs‘𝑀) ∈ ℕ → ((abs‘𝑀)↑2) ∈ ℤ)
4710adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑁↑2) ∈ ℤ)
48 dvdsabsb 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((abs‘𝑀)↑2) ∈ ℤ ∧ (𝑁↑2) ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (abs‘(𝑁↑2))))
4946, 47, 48syl2an 285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (abs‘(𝑁↑2))))
506adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
51 abssq 10804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℂ → ((abs‘𝑁)↑2) = (abs‘(𝑁↑2)))
5250, 51syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((abs‘𝑁)↑2) = (abs‘(𝑁↑2)))
5352breq2d 3909 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (((abs‘𝑀)↑2) ∥ ((abs‘𝑁)↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (abs‘(𝑁↑2))))
5453adantl 273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((abs‘𝑀)↑2) ∥ ((abs‘𝑁)↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (abs‘(𝑁↑2))))
5549, 54bitr4d 190 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ ((abs‘𝑁)↑2)))
5641, 44, 553bitr4d 219 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
5756anassrs 395 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
5857expcom 115 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ≠ 0 → (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2))))
5938, 58sylbir 134 . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = 0 → (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2))))
6037, 59jaoi 688 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0) → (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2))))
6123, 24, 603syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2))))
6261anabsi7 553 . . . . . . . . 9 (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
6321, 62sylan 279 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
64 absdvdsb 11418 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ 𝑁))
6564adantlr 466 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ 𝑁))
66 zsqcl 10314 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
6766adantr 272 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
68 absdvdsb 11418 . . . . . . . . . 10 (((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧ (𝑁↑2) ∈ ℤ) → ((𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ (abs‘(𝑀↑2)) ∥ (𝑁↑2)))
6967, 10, 68syl2an 285 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ (abs‘(𝑀↑2)) ∥ (𝑁↑2)))
70 zcn 9013 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
71 abssq 10804 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℂ → ((abs‘𝑀)↑2) = (abs‘(𝑀↑2)))
7270, 71syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℤ → ((abs‘𝑀)↑2) = (abs‘(𝑀↑2)))
7372eqcomd 2121 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘(𝑀↑2)) = ((abs‘𝑀)↑2))
7473adantr 272 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘(𝑀↑2)) = ((abs‘𝑀)↑2))
7574breq1d 3907 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((abs‘(𝑀↑2)) ∥ (𝑁↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
7675adantr 272 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝑀↑2)) ∥ (𝑁↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
7769, 76bitrd 187 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
7863, 65, 773bitr4d 219 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
7978an32s 540 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
8079expcom 115 . . . . 5 (𝑀 ≠ 0 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2))))
8120, 80sylbir 134 . . . 4 𝑀 = 0 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2))))
8219, 81jaoi 688 . . 3 ((𝑀 = 0 ∨ ¬ 𝑀 = 0) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2))))
833, 4, 823syl 17 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2))))
8483anabsi5 551 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 680  DECID wdc 802   = wceq 1314   ∈ wcel 1463   ≠ wne 2283   class class class wbr 3897  ‘cfv 5091  (class class class)co 5740  ℂcc 7582  0cc0 7584  ℕcn 8680  2c2 8731  ℤcz 9008  ↑cexp 10243  abscabs 10720   ∥ cdvds 11400 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 799  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-sup 6837  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-inn 8681  df-2 8739  df-3 8740  df-4 8741  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-q 9364  df-rp 9394  df-fz 9742  df-fzo 9871  df-fl 9994  df-mod 10047  df-seqfrec 10170  df-exp 10244  df-cj 10565  df-re 10566  df-im 10567  df-rsqrt 10721  df-abs 10722  df-dvds 11401  df-gcd 11543 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator