ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdssq GIF version

Theorem dvdssq 10799
Description: Two numbers are divisible iff their squares are. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdssq ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))

Proof of Theorem dvdssq
StepHypRef Expression
1 0z 8656 . . . 4 0 ∈ ℤ
2 zdceq 8717 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 = 0)
31, 2mpan2 416 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → DECID 𝑀 = 0)
4 exmiddc 778 . . 3 (DECID 𝑀 = 0 → (𝑀 = 0 ∨ ¬ 𝑀 = 0))
5 0dvds 10595 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁𝑁 = 0))
6 zcn 8650 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
7 sqeq0 9854 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁↑2) = 0 ↔ 𝑁 = 0))
86, 7syl 14 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁↑2) = 0 ↔ 𝑁 = 0))
95, 8bitr4d 189 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁↑2) = 0))
10 zsqcl 9861 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁↑2) ∈ ℤ)
11 0dvds 10595 . . . . . . . 8 ((𝑁↑2) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝑁↑2) ↔ (𝑁↑2) = 0))
1210, 11syl 14 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ (𝑁↑2) ↔ (𝑁↑2) = 0))
139, 12bitr4d 189 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ (𝑁↑2)))
1413adantl 271 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ (𝑁↑2)))
15 breq1 3814 . . . . . 6 (𝑀 = 0 → (𝑀𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
16 sq0i 9882 . . . . . . 7 (𝑀 = 0 → (𝑀↑2) = 0)
1716breq1d 3821 . . . . . 6 (𝑀 = 0 → ((𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ 0 ∥ (𝑁↑2)))
1815, 17bibi12d 233 . . . . 5 (𝑀 = 0 → ((𝑀𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)) ↔ (0 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ (𝑁↑2))))
1914, 18syl5ibr 154 . . . 4 (𝑀 = 0 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2))))
20 df-ne 2250 . . . . 5 (𝑀 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑀 = 0)
21 nnabscl 10359 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ)
22 zdceq 8717 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
231, 22mpan2 416 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → DECID 𝑁 = 0)
24 exmiddc 778 . . . . . . . . . . 11 (DECID 𝑁 = 0 → (𝑁 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0))
25 nnz 8664 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((abs‘𝑀) ∈ ℕ → (abs‘𝑀) ∈ ℤ)
26 dvds0 10590 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs‘𝑀) ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∥ 0)
27 zsqcl 9861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((abs‘𝑀) ∈ ℤ → ((abs‘𝑀)↑2) ∈ ℤ)
28 dvds0 10590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((abs‘𝑀)↑2) ∈ ℤ → ((abs‘𝑀)↑2) ∥ 0)
2927, 28syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs‘𝑀) ∈ ℤ → ((abs‘𝑀)↑2) ∥ 0)
3026, 292thd 173 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((abs‘𝑀) ∈ ℤ → ((abs‘𝑀) ∥ 0 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ 0))
3125, 30syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 ((abs‘𝑀) ∈ ℕ → ((abs‘𝑀) ∥ 0 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ 0))
3231adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 0 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ 0))
33 breq2 3815 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = 0 → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ 0))
34 sq0i 9882 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 = 0 → (𝑁↑2) = 0)
3534breq2d 3823 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = 0 → (((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ 0))
3633, 35bibi12d 233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = 0 → (((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)) ↔ ((abs‘𝑀) ∥ 0 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ 0)))
3732, 36syl5ibr 154 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 0 → (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2))))
38 df-ne 2250 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑁 = 0)
39 nnabscl 10359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
40 dvdssqlem 10798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝑁) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ ((abs‘𝑁)↑2)))
4139, 40sylan2 280 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝑁) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ ((abs‘𝑁)↑2)))
42 simpl 107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
43 dvdsabsb 10594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((abs‘𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝑁)))
4425, 42, 43syl2an 283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝑁)))
45 nnsqcl 9860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((abs‘𝑀) ∈ ℕ → ((abs‘𝑀)↑2) ∈ ℕ)
4645nnzd 8762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((abs‘𝑀) ∈ ℕ → ((abs‘𝑀)↑2) ∈ ℤ)
4710adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑁↑2) ∈ ℤ)
48 dvdsabsb 10594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((abs‘𝑀)↑2) ∈ ℤ ∧ (𝑁↑2) ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (abs‘(𝑁↑2))))
4946, 47, 48syl2an 283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (abs‘(𝑁↑2))))
506adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
51 abssq 10340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℂ → ((abs‘𝑁)↑2) = (abs‘(𝑁↑2)))
5250, 51syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((abs‘𝑁)↑2) = (abs‘(𝑁↑2)))
5352breq2d 3823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (((abs‘𝑀)↑2) ∥ ((abs‘𝑁)↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (abs‘(𝑁↑2))))
5453adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((abs‘𝑀)↑2) ∥ ((abs‘𝑁)↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (abs‘(𝑁↑2))))
5549, 54bitr4d 189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ ((abs‘𝑁)↑2)))
5641, 44, 553bitr4d 218 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
5756anassrs 392 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
5857expcom 114 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ≠ 0 → (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2))))
5938, 58sylbir 133 . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = 0 → (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2))))
6037, 59jaoi 669 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0) → (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2))))
6123, 24, 603syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2))))
6261anabsi7 546 . . . . . . . . 9 (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
6321, 62sylan 277 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
64 absdvdsb 10593 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ 𝑁))
6564adantlr 461 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ 𝑁))
66 zsqcl 9861 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
6766adantr 270 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
68 absdvdsb 10593 . . . . . . . . . 10 (((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧ (𝑁↑2) ∈ ℤ) → ((𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ (abs‘(𝑀↑2)) ∥ (𝑁↑2)))
6967, 10, 68syl2an 283 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ (abs‘(𝑀↑2)) ∥ (𝑁↑2)))
70 zcn 8650 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
71 abssq 10340 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℂ → ((abs‘𝑀)↑2) = (abs‘(𝑀↑2)))
7270, 71syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℤ → ((abs‘𝑀)↑2) = (abs‘(𝑀↑2)))
7372eqcomd 2088 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘(𝑀↑2)) = ((abs‘𝑀)↑2))
7473adantr 270 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘(𝑀↑2)) = ((abs‘𝑀)↑2))
7574breq1d 3821 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((abs‘(𝑀↑2)) ∥ (𝑁↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
7675adantr 270 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝑀↑2)) ∥ (𝑁↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
7769, 76bitrd 186 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
7863, 65, 773bitr4d 218 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
7978an32s 533 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
8079expcom 114 . . . . 5 (𝑀 ≠ 0 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2))))
8120, 80sylbir 133 . . . 4 𝑀 = 0 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2))))
8219, 81jaoi 669 . . 3 ((𝑀 = 0 ∨ ¬ 𝑀 = 0) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2))))
833, 4, 823syl 17 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2))))
8483anabsi5 544 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  DECID wdc 776   = wceq 1285  wcel 1434  wne 2249   class class class wbr 3811  cfv 4968  (class class class)co 5590  cc 7250  0cc0 7252  cn 8315  2c2 8365  cz 8645  cexp 9790  abscabs 10256  cdvds 10575
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-iinf 4365  ax-cnex 7338  ax-resscn 7339  ax-1cn 7340  ax-1re 7341  ax-icn 7342  ax-addcl 7343  ax-addrcl 7344  ax-mulcl 7345  ax-mulrcl 7346  ax-addcom 7347  ax-mulcom 7348  ax-addass 7349  ax-mulass 7350  ax-distr 7351  ax-i2m1 7352  ax-0lt1 7353  ax-1rid 7354  ax-0id 7355  ax-rnegex 7356  ax-precex 7357  ax-cnre 7358  ax-pre-ltirr 7359  ax-pre-ltwlin 7360  ax-pre-lttrn 7361  ax-pre-apti 7362  ax-pre-ltadd 7363  ax-pre-mulgt0 7364  ax-pre-mulext 7365  ax-arch 7366  ax-caucvg 7367
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-if 3374  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4083  df-po 4086  df-iso 4087  df-iord 4156  df-on 4158  df-ilim 4159  df-suc 4161  df-iom 4368  df-xp 4406  df-rel 4407  df-cnv 4408  df-co 4409  df-dm 4410  df-rn 4411  df-res 4412  df-ima 4413  df-iota 4933  df-fun 4970  df-fn 4971  df-f 4972  df-f1 4973  df-fo 4974  df-f1o 4975  df-fv 4976  df-riota 5546  df-ov 5593  df-oprab 5594  df-mpt2 5595  df-1st 5845  df-2nd 5846  df-recs 6001  df-frec 6087  df-sup 6585  df-pnf 7426  df-mnf 7427  df-xr 7428  df-ltxr 7429  df-le 7430  df-sub 7557  df-neg 7558  df-reap 7951  df-ap 7958  df-div 8037  df-inn 8316  df-2 8374  df-3 8375  df-4 8376  df-n0 8565  df-z 8646  df-uz 8914  df-q 8999  df-rp 9029  df-fz 9319  df-fzo 9443  df-fl 9565  df-mod 9618  df-iseq 9740  df-iexp 9791  df-cj 10102  df-re 10103  df-im 10104  df-rsqrt 10257  df-abs 10258  df-dvds 10576  df-gcd 10718
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator