Theorem dfgcd3 12586

Description: Alternate definition of the gcd operator. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfgcd3	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))

Distinct variable groups:   𝑀,𝑑,𝑧   𝑁,𝑑,𝑧

Proof of Theorem dfgcd3

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑟 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcd0val 12536	. . 3 ⊢ (0 gcd 0) = 0
2		simprl 531	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 𝑀 = 0)
3		simprr 533	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 𝑁 = 0)
4	2, 3	oveq12d 6036	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (0 gcd 0))
5		0nn0 9417	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6	5	a1i 9	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 0 ∈ ℕ0)
7		0dvds 12377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑀 ↔ 𝑀 = 0))
8	7	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (0 ∥ 𝑀 ↔ 𝑀 = 0))
9	2, 8	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 0 ∥ 𝑀)
10		0dvds 12377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
11	10	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
12	3, 11	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 0 ∥ 𝑁)
13	9, 12	jca 306	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁))
14	13	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁))
15		0z 9490	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
16		breq1 4091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ 0 ∥ 𝑑))
17		breq1 4091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 ∥ 𝑀 ↔ 0 ∥ 𝑀))
18		breq1 4091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
19	17, 18	anbi12d 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 0 → ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) ↔ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁)))
20	16, 19	bibi12d 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 0 → ((𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)) ↔ (0 ∥ 𝑑 ↔ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁))))
21	20	rspcv 2906	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℤ → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)) → (0 ∥ 𝑑 ↔ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁))))
22	15, 21	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)) → (0 ∥ 𝑑 ↔ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁)))
23	22	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → (0 ∥ 𝑑 ↔ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁)))
24	14, 23	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → 0 ∥ 𝑑)
25		simplr 529	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → 𝑑 ∈ ℕ0)
26	25	nn0zd 9600	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → 𝑑 ∈ ℤ)
27		0dvds 12377	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑑 ↔ 𝑑 = 0))
28	26, 27	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → (0 ∥ 𝑑 ↔ 𝑑 = 0))
29	24, 28	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → 𝑑 = 0)
30		dvds0 12372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∥ 0)
31	30	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∥ 0)
32		breq2 4092	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 0 → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ 𝑧 ∥ 0))
33	32	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ 𝑧 ∥ 0))
34	31, 33	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∥ 𝑑)
35	2	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑀 = 0)
36	31, 35	breqtrrd 4116	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∥ 𝑀)
37	3	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 = 0)
38	31, 37	breqtrrd 4116	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∥ 𝑁)
39	36, 38	jca 306	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))
40	34, 39	2thd 175	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
41	40	ralrimiva 2605	. . . . 5 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
42	29, 41	impbida 600	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)) ↔ 𝑑 = 0))
43	6, 42	riota5 5999	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) = 0)
44	1, 4, 43	3eqtr4a 2290	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))
45		bezoutlembi 12581	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))))
46		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))) → ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))
47	46	reximi 2629	. . . . 5 ⊢ (∃𝑟 ∈ ℕ0 (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))
48	45, 47	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))
49	48	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))
50		simplll 535	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
51		simpllr 536	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
52		simprl 531	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → 𝑟 ∈ ℕ0)
53		breq1 4091	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ 𝑧 ∥ 𝑟))
54		breq1 4091	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 ∥ 𝑀 ↔ 𝑧 ∥ 𝑀))
55		breq1 4091	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 ∥ 𝑁 ↔ 𝑧 ∥ 𝑁))
56	54, 55	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁) ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
57	53, 56	bibi12d 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ (𝑧 ∥ 𝑟 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))
58	57	cbvralv 2767	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑟 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
59	58	biimpi 120	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑟 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
60	59	ad2antll 491	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑟 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
61		simplr 529	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
62	50, 51, 52, 60, 61	bezoutlemsup 12585	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → 𝑟 = sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)}, ℝ, < ))
63		breq1 4091	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ 𝑧 ∥ 𝑑))
64	63, 56	bibi12d 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))
65	64	cbvralv 2767	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
66	65	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ0 → (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))
67	66	riotabiia 5990	. . . . 5 ⊢ (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁))) = (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
68		simprr 533	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))
69	50, 51, 52, 68	bezoutlemeu 12583	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → ∃!𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))
70		breq2 4092	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝑟 → (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ 𝑤 ∥ 𝑟))
71	70	bibi1d 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 𝑟 → ((𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁))))
72	71	ralbidv 2532	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 𝑟 → (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁))))
73	72	riota2 5995	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∃!𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁))) → (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁))) = 𝑟))
74	52, 69, 73	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁))) = 𝑟))
75	68, 74	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁))) = 𝑟)
76	67, 75	eqtr3id 2278	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) = 𝑟)
77		gcdn0val 12537	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)}, ℝ, < ))
78	77	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → (𝑀 gcd 𝑁) = sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)}, ℝ, < ))
79	62, 76, 78	3eqtr4rd 2275	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → (𝑀 gcd 𝑁) = (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))
80	49, 79	rexlimddv 2655	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))
81		gcdmndc 12531	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
82		exmiddc 843	. . 3 ⊢ (DECID (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∨ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
83	81, 82	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∨ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
84	44, 80, 83	mpjaodan 805	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715  DECID wdc 841   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  ∃wrex 2511  ∃!wreu 2512  {crab 2514   class class class wbr 4088  ℩crio 5970  (class class class)co 6018  supcsup 7181  ℝcr 8031  0cc0 8032   + caddc 8035   · cmul 8037   < clt 8214  ℕ₀cn0 9402  ℤcz 9479   ∥ cdvds 12353   gcd cgcd 12529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-sup 7183  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-fl 10531  df-mod 10586  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-cj 11407  df-re 11408  df-im 11409  df-rsqrt 11563  df-abs 11564  df-dvds 12354  df-gcd 12530

This theorem is referenced by:  bezout  12587