Theorem dfgcd3 12150

Description: Alternate definition of the gcd operator. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfgcd3	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))

Distinct variable groups:   𝑀,𝑑,𝑧   𝑁,𝑑,𝑧

Proof of Theorem dfgcd3

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑟 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcd0val 12100	. . 3 ⊢ (0 gcd 0) = 0
2		simprl 529	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 𝑀 = 0)
3		simprr 531	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 𝑁 = 0)
4	2, 3	oveq12d 5937	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (0 gcd 0))
5		0nn0 9258	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6	5	a1i 9	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 0 ∈ ℕ0)
7		0dvds 11957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑀 ↔ 𝑀 = 0))
8	7	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (0 ∥ 𝑀 ↔ 𝑀 = 0))
9	2, 8	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 0 ∥ 𝑀)
10		0dvds 11957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
11	10	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
12	3, 11	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 0 ∥ 𝑁)
13	9, 12	jca 306	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁))
14	13	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁))
15		0z 9331	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
16		breq1 4033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ 0 ∥ 𝑑))
17		breq1 4033	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 ∥ 𝑀 ↔ 0 ∥ 𝑀))
18		breq1 4033	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
19	17, 18	anbi12d 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 0 → ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) ↔ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁)))
20	16, 19	bibi12d 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 0 → ((𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)) ↔ (0 ∥ 𝑑 ↔ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁))))
21	20	rspcv 2861	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℤ → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)) → (0 ∥ 𝑑 ↔ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁))))
22	15, 21	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)) → (0 ∥ 𝑑 ↔ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁)))
23	22	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → (0 ∥ 𝑑 ↔ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁)))
24	14, 23	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → 0 ∥ 𝑑)
25		simplr 528	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → 𝑑 ∈ ℕ0)
26	25	nn0zd 9440	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → 𝑑 ∈ ℤ)
27		0dvds 11957	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑑 ↔ 𝑑 = 0))
28	26, 27	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → (0 ∥ 𝑑 ↔ 𝑑 = 0))
29	24, 28	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → 𝑑 = 0)
30		dvds0 11952	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∥ 0)
31	30	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∥ 0)
32		breq2 4034	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 0 → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ 𝑧 ∥ 0))
33	32	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ 𝑧 ∥ 0))
34	31, 33	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∥ 𝑑)
35	2	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑀 = 0)
36	31, 35	breqtrrd 4058	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∥ 𝑀)
37	3	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 = 0)
38	31, 37	breqtrrd 4058	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∥ 𝑁)
39	36, 38	jca 306	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))
40	34, 39	2thd 175	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
41	40	ralrimiva 2567	. . . . 5 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
42	29, 41	impbida 596	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)) ↔ 𝑑 = 0))
43	6, 42	riota5 5900	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) = 0)
44	1, 4, 43	3eqtr4a 2252	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))
45		bezoutlembi 12145	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))))
46		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))) → ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))
47	46	reximi 2591	. . . . 5 ⊢ (∃𝑟 ∈ ℕ0 (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))
48	45, 47	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))
49	48	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))
50		simplll 533	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
51		simpllr 534	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
52		simprl 529	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → 𝑟 ∈ ℕ0)
53		breq1 4033	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ 𝑧 ∥ 𝑟))
54		breq1 4033	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 ∥ 𝑀 ↔ 𝑧 ∥ 𝑀))
55		breq1 4033	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 ∥ 𝑁 ↔ 𝑧 ∥ 𝑁))
56	54, 55	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁) ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
57	53, 56	bibi12d 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ (𝑧 ∥ 𝑟 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))
58	57	cbvralv 2726	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑟 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
59	58	biimpi 120	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑟 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
60	59	ad2antll 491	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑟 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
61		simplr 528	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
62	50, 51, 52, 60, 61	bezoutlemsup 12149	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → 𝑟 = sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)}, ℝ, < ))
63		breq1 4033	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ 𝑧 ∥ 𝑑))
64	63, 56	bibi12d 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))
65	64	cbvralv 2726	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
66	65	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ0 → (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))
67	66	riotabiia 5892	. . . . 5 ⊢ (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁))) = (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
68		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))
69	50, 51, 52, 68	bezoutlemeu 12147	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → ∃!𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))
70		breq2 4034	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝑟 → (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ 𝑤 ∥ 𝑟))
71	70	bibi1d 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 𝑟 → ((𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁))))
72	71	ralbidv 2494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 𝑟 → (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁))))
73	72	riota2 5897	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∃!𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁))) → (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁))) = 𝑟))
74	52, 69, 73	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁))) = 𝑟))
75	68, 74	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁))) = 𝑟)
76	67, 75	eqtr3id 2240	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) = 𝑟)
77		gcdn0val 12101	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)}, ℝ, < ))
78	77	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → (𝑀 gcd 𝑁) = sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)}, ℝ, < ))
79	62, 76, 78	3eqtr4rd 2237	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → (𝑀 gcd 𝑁) = (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))
80	49, 79	rexlimddv 2616	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))
81		gcdmndc 12084	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
82		exmiddc 837	. . 3 ⊢ (DECID (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∨ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
83	81, 82	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∨ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
84	44, 80, 83	mpjaodan 799	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ∃wrex 2473  ∃!wreu 2474  {crab 2476   class class class wbr 4030  ℩crio 5873  (class class class)co 5919  supcsup 7043  ℝcr 7873  0cc0 7874   + caddc 7877   · cmul 7879   < clt 8056  ℕ₀cn0 9243  ℤcz 9320   ∥ cdvds 11933   gcd cgcd 12082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-sup 7045  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-fl 10342  df-mod 10397  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-dvds 11934  df-gcd 12083

This theorem is referenced by:  bezout  12151