ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dfgcd3 GIF version

Theorem dfgcd3 12011
Description: Alternate definition of the gcd operator. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
dfgcd3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = (โ„ฉ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘))))
Distinct variable groups:   ๐‘€,๐‘‘,๐‘ง   ๐‘,๐‘‘,๐‘ง

Proof of Theorem dfgcd3
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ ๐‘Ÿ ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gcd0val 11961 . . 3 (0 gcd 0) = 0
2 simprl 529 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โ†’ ๐‘€ = 0)
3 simprr 531 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โ†’ ๐‘ = 0)
42, 3oveq12d 5893 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = (0 gcd 0))
5 0nn0 9191 . . . . 5 0 โˆˆ โ„•0
65a1i 9 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โ†’ 0 โˆˆ โ„•0)
7 0dvds 11818 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 โˆฅ ๐‘€ โ†” ๐‘€ = 0))
87ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โ†’ (0 โˆฅ ๐‘€ โ†” ๐‘€ = 0))
92, 8mpbird 167 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โ†’ 0 โˆฅ ๐‘€)
10 0dvds 11818 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘ = 0))
1110ad2antlr 489 . . . . . . . . . 10 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โ†’ (0 โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘ = 0))
123, 11mpbird 167 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โ†’ 0 โˆฅ ๐‘)
139, 12jca 306 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โ†’ (0 โˆฅ ๐‘€ โˆง 0 โˆฅ ๐‘))
1413ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘))) โ†’ (0 โˆฅ ๐‘€ โˆง 0 โˆฅ ๐‘))
15 0z 9264 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ โ„ค
16 breq1 4007 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = 0 โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” 0 โˆฅ ๐‘‘))
17 breq1 4007 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = 0 โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘€ โ†” 0 โˆฅ ๐‘€))
18 breq1 4007 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = 0 โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ โ†” 0 โˆฅ ๐‘))
1917, 18anbi12d 473 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = 0 โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘) โ†” (0 โˆฅ ๐‘€ โˆง 0 โˆฅ ๐‘)))
2016, 19bibi12d 235 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = 0 โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘)) โ†” (0 โˆฅ ๐‘‘ โ†” (0 โˆฅ ๐‘€ โˆง 0 โˆฅ ๐‘))))
2120rspcv 2838 . . . . . . . . 9 (0 โˆˆ โ„ค โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘)) โ†’ (0 โˆฅ ๐‘‘ โ†” (0 โˆฅ ๐‘€ โˆง 0 โˆฅ ๐‘))))
2215, 21ax-mp 5 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘)) โ†’ (0 โˆฅ ๐‘‘ โ†” (0 โˆฅ ๐‘€ โˆง 0 โˆฅ ๐‘)))
2322adantl 277 . . . . . . 7 (((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘))) โ†’ (0 โˆฅ ๐‘‘ โ†” (0 โˆฅ ๐‘€ โˆง 0 โˆฅ ๐‘)))
2414, 23mpbird 167 . . . . . 6 (((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘))) โ†’ 0 โˆฅ ๐‘‘)
25 simplr 528 . . . . . . . 8 (((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘))) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„•0)
2625nn0zd 9373 . . . . . . 7 (((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘))) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„ค)
27 0dvds 11818 . . . . . . 7 (๐‘‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 โˆฅ ๐‘‘ โ†” ๐‘‘ = 0))
2826, 27syl 14 . . . . . 6 (((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘))) โ†’ (0 โˆฅ ๐‘‘ โ†” ๐‘‘ = 0))
2924, 28mpbid 147 . . . . 5 (((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘))) โ†’ ๐‘‘ = 0)
30 dvds0 11813 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ง โˆฅ 0)
3130adantl 277 . . . . . . . 8 ((((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘‘ = 0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ง โˆฅ 0)
32 breq2 4008 . . . . . . . . 9 (๐‘‘ = 0 โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” ๐‘ง โˆฅ 0))
3332ad2antlr 489 . . . . . . . 8 ((((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘‘ = 0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” ๐‘ง โˆฅ 0))
3431, 33mpbird 167 . . . . . . 7 ((((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘‘ = 0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ง โˆฅ ๐‘‘)
352ad3antrrr 492 . . . . . . . . 9 ((((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘‘ = 0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ = 0)
3631, 35breqtrrd 4032 . . . . . . . 8 ((((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘‘ = 0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ง โˆฅ ๐‘€)
373ad3antrrr 492 . . . . . . . . 9 ((((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘‘ = 0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ = 0)
3831, 37breqtrrd 4032 . . . . . . . 8 ((((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘‘ = 0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ง โˆฅ ๐‘)
3936, 38jca 306 . . . . . . 7 ((((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘‘ = 0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘))
4034, 392thd 175 . . . . . 6 ((((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘‘ = 0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘)))
4140ralrimiva 2550 . . . . 5 (((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘‘ = 0) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘)))
4229, 41impbida 596 . . . 4 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘)) โ†” ๐‘‘ = 0))
436, 42riota5 5856 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โ†’ (โ„ฉ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘))) = 0)
441, 4, 433eqtr4a 2236 . 2 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = (โ„ฉ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘))))
45 bezoutlembi 12006 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 (โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ค โˆฅ ๐‘Ÿ โ†” (๐‘ค โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ค โˆฅ ๐‘)) โˆง โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค ๐‘Ÿ = ((๐‘€ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘))))
46 simpl 109 . . . . . 6 ((โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ค โˆฅ ๐‘Ÿ โ†” (๐‘ค โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ค โˆฅ ๐‘)) โˆง โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค ๐‘Ÿ = ((๐‘€ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘))) โ†’ โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ค โˆฅ ๐‘Ÿ โ†” (๐‘ค โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ค โˆฅ ๐‘)))
4746reximi 2574 . . . . 5 (โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 (โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ค โˆฅ ๐‘Ÿ โ†” (๐‘ค โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ค โˆฅ ๐‘)) โˆง โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค ๐‘Ÿ = ((๐‘€ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘))) โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ค โˆฅ ๐‘Ÿ โ†” (๐‘ค โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ค โˆฅ ๐‘)))
4845, 47syl 14 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ค โˆฅ ๐‘Ÿ โ†” (๐‘ค โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ค โˆฅ ๐‘)))
4948adantr 276 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ค โˆฅ ๐‘Ÿ โ†” (๐‘ค โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ค โˆฅ ๐‘)))
50 simplll 533 . . . . 5 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ค โˆฅ ๐‘Ÿ โ†” (๐‘ค โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ค โˆฅ ๐‘)))) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
51 simpllr 534 . . . . 5 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ค โˆฅ ๐‘Ÿ โ†” (๐‘ค โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ค โˆฅ ๐‘)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
52 simprl 529 . . . . 5 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ค โˆฅ ๐‘Ÿ โ†” (๐‘ค โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ค โˆฅ ๐‘)))) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0)
53 breq1 4007 . . . . . . . . 9 (๐‘ค = ๐‘ง โ†’ (๐‘ค โˆฅ ๐‘Ÿ โ†” ๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ))
54 breq1 4007 . . . . . . . . . 10 (๐‘ค = ๐‘ง โ†’ (๐‘ค โˆฅ ๐‘€ โ†” ๐‘ง โˆฅ ๐‘€))
55 breq1 4007 . . . . . . . . . 10 (๐‘ค = ๐‘ง โ†’ (๐‘ค โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘ง โˆฅ ๐‘))
5654, 55anbi12d 473 . . . . . . . . 9 (๐‘ค = ๐‘ง โ†’ ((๐‘ค โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ค โˆฅ ๐‘) โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘)))
5753, 56bibi12d 235 . . . . . . . 8 (๐‘ค = ๐‘ง โ†’ ((๐‘ค โˆฅ ๐‘Ÿ โ†” (๐‘ค โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ค โˆฅ ๐‘)) โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘))))
5857cbvralv 2704 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ค โˆฅ ๐‘Ÿ โ†” (๐‘ค โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ค โˆฅ ๐‘)) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘)))
5958biimpi 120 . . . . . 6 (โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ค โˆฅ ๐‘Ÿ โ†” (๐‘ค โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ค โˆฅ ๐‘)) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘)))
6059ad2antll 491 . . . . 5 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ค โˆฅ ๐‘Ÿ โ†” (๐‘ค โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ค โˆฅ ๐‘)))) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘)))
61 simplr 528 . . . . 5 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ค โˆฅ ๐‘Ÿ โ†” (๐‘ค โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ค โˆฅ ๐‘)))) โ†’ ยฌ (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0))
6250, 51, 52, 60, 61bezoutlemsup 12010 . . . 4 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ค โˆฅ ๐‘Ÿ โ†” (๐‘ค โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ค โˆฅ ๐‘)))) โ†’ ๐‘Ÿ = sup({๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ (๐‘ง โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘)}, โ„, < ))
63 breq1 4007 . . . . . . . . 9 (๐‘ค = ๐‘ง โ†’ (๐‘ค โˆฅ ๐‘‘ โ†” ๐‘ง โˆฅ ๐‘‘))
6463, 56bibi12d 235 . . . . . . . 8 (๐‘ค = ๐‘ง โ†’ ((๐‘ค โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ค โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ค โˆฅ ๐‘)) โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘))))
6564cbvralv 2704 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ค โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ค โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ค โˆฅ ๐‘)) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘)))
6665a1i 9 . . . . . 6 (๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ค โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ค โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ค โˆฅ ๐‘)) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘))))
6766riotabiia 5848 . . . . 5 (โ„ฉ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ค โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ค โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ค โˆฅ ๐‘))) = (โ„ฉ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘)))
68 simprr 531 . . . . . 6 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ค โˆฅ ๐‘Ÿ โ†” (๐‘ค โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ค โˆฅ ๐‘)))) โ†’ โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ค โˆฅ ๐‘Ÿ โ†” (๐‘ค โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ค โˆฅ ๐‘)))
6950, 51, 52, 68bezoutlemeu 12008 . . . . . . 7 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ค โˆฅ ๐‘Ÿ โ†” (๐‘ค โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ค โˆฅ ๐‘)))) โ†’ โˆƒ!๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ค โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ค โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ค โˆฅ ๐‘)))
70 breq2 4008 . . . . . . . . . 10 (๐‘‘ = ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ค โˆฅ ๐‘‘ โ†” ๐‘ค โˆฅ ๐‘Ÿ))
7170bibi1d 233 . . . . . . . . 9 (๐‘‘ = ๐‘Ÿ โ†’ ((๐‘ค โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ค โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ค โˆฅ ๐‘)) โ†” (๐‘ค โˆฅ ๐‘Ÿ โ†” (๐‘ค โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ค โˆฅ ๐‘))))
7271ralbidv 2477 . . . . . . . 8 (๐‘‘ = ๐‘Ÿ โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ค โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ค โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ค โˆฅ ๐‘)) โ†” โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ค โˆฅ ๐‘Ÿ โ†” (๐‘ค โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ค โˆฅ ๐‘))))
7372riota2 5853 . . . . . . 7 ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆƒ!๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ค โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ค โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ค โˆฅ ๐‘))) โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ค โˆฅ ๐‘Ÿ โ†” (๐‘ค โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ค โˆฅ ๐‘)) โ†” (โ„ฉ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ค โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ค โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ค โˆฅ ๐‘))) = ๐‘Ÿ))
7452, 69, 73syl2anc 411 . . . . . 6 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ค โˆฅ ๐‘Ÿ โ†” (๐‘ค โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ค โˆฅ ๐‘)))) โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ค โˆฅ ๐‘Ÿ โ†” (๐‘ค โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ค โˆฅ ๐‘)) โ†” (โ„ฉ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ค โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ค โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ค โˆฅ ๐‘))) = ๐‘Ÿ))
7568, 74mpbid 147 . . . . 5 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ค โˆฅ ๐‘Ÿ โ†” (๐‘ค โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ค โˆฅ ๐‘)))) โ†’ (โ„ฉ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ค โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ค โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ค โˆฅ ๐‘))) = ๐‘Ÿ)
7667, 75eqtr3id 2224 . . . 4 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ค โˆฅ ๐‘Ÿ โ†” (๐‘ค โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ค โˆฅ ๐‘)))) โ†’ (โ„ฉ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘))) = ๐‘Ÿ)
77 gcdn0val 11962 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = sup({๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ (๐‘ง โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘)}, โ„, < ))
7877adantr 276 . . . 4 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ค โˆฅ ๐‘Ÿ โ†” (๐‘ค โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ค โˆฅ ๐‘)))) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = sup({๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ (๐‘ง โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘)}, โ„, < ))
7962, 76, 783eqtr4rd 2221 . . 3 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ค โˆฅ ๐‘Ÿ โ†” (๐‘ค โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ค โˆฅ ๐‘)))) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = (โ„ฉ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘))))
8049, 79rexlimddv 2599 . 2 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = (โ„ฉ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘))))
81 gcdmndc 11945 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ DECID (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0))
82 exmiddc 836 . . 3 (DECID (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0) โˆจ ยฌ (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)))
8381, 82syl 14 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0) โˆจ ยฌ (๐‘€ = 0 โˆง ๐‘ = 0)))
8444, 80, 83mpjaodan 798 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = (โ„ฉ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆ€wral 2455  โˆƒwrex 2456  โˆƒ!wreu 2457  {crab 2459   class class class wbr 4004  โ„ฉcrio 5830  (class class class)co 5875  supcsup 6981  โ„cr 7810  0cc0 7811   + caddc 7814   ยท cmul 7816   < clt 7992  โ„•0cn0 9176  โ„คcz 9253   โˆฅ cdvds 11794   gcd cgcd 11943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-sup 6983  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-fl 10270  df-mod 10323  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-dvds 11795  df-gcd 11944
This theorem is referenced by:  bezout  12012
  Copyright terms: Public domain W3C validator