Theorem dfgcd3 11943

Description: Alternate definition of the gcd operator. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfgcd3	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))

Distinct variable groups:   𝑀,𝑑,𝑧   𝑁,𝑑,𝑧

Proof of Theorem dfgcd3

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑟 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcd0val 11893	. . 3 ⊢ (0 gcd 0) = 0
2		simprl 521	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 𝑀 = 0)
3		simprr 522	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 𝑁 = 0)
4	2, 3	oveq12d 5860	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (0 gcd 0))
5		0nn0 9129	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6	5	a1i 9	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 0 ∈ ℕ0)
7		0dvds 11751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑀 ↔ 𝑀 = 0))
8	7	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (0 ∥ 𝑀 ↔ 𝑀 = 0))
9	2, 8	mpbird 166	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 0 ∥ 𝑀)
10		0dvds 11751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
11	10	ad2antlr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
12	3, 11	mpbird 166	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 0 ∥ 𝑁)
13	9, 12	jca 304	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁))
14	13	ad2antrr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁))
15		0z 9202	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
16		breq1 3985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ 0 ∥ 𝑑))
17		breq1 3985	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 ∥ 𝑀 ↔ 0 ∥ 𝑀))
18		breq1 3985	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
19	17, 18	anbi12d 465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 0 → ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) ↔ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁)))
20	16, 19	bibi12d 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 0 → ((𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)) ↔ (0 ∥ 𝑑 ↔ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁))))
21	20	rspcv 2826	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℤ → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)) → (0 ∥ 𝑑 ↔ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁))))
22	15, 21	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)) → (0 ∥ 𝑑 ↔ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁)))
23	22	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → (0 ∥ 𝑑 ↔ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁)))
24	14, 23	mpbird 166	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → 0 ∥ 𝑑)
25		simplr 520	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → 𝑑 ∈ ℕ0)
26	25	nn0zd 9311	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → 𝑑 ∈ ℤ)
27		0dvds 11751	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑑 ↔ 𝑑 = 0))
28	26, 27	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → (0 ∥ 𝑑 ↔ 𝑑 = 0))
29	24, 28	mpbid 146	. . . . 5 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → 𝑑 = 0)
30		dvds0 11746	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∥ 0)
31	30	adantl 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∥ 0)
32		breq2 3986	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 0 → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ 𝑧 ∥ 0))
33	32	ad2antlr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ 𝑧 ∥ 0))
34	31, 33	mpbird 166	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∥ 𝑑)
35	2	ad3antrrr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑀 = 0)
36	31, 35	breqtrrd 4010	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∥ 𝑀)
37	3	ad3antrrr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 = 0)
38	31, 37	breqtrrd 4010	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∥ 𝑁)
39	36, 38	jca 304	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))
40	34, 39	2thd 174	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
41	40	ralrimiva 2539	. . . . 5 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
42	29, 41	impbida 586	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)) ↔ 𝑑 = 0))
43	6, 42	riota5 5823	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) = 0)
44	1, 4, 43	3eqtr4a 2225	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))
45		bezoutlembi 11938	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))))
46		simpl 108	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))) → ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))
47	46	reximi 2563	. . . . 5 ⊢ (∃𝑟 ∈ ℕ0 (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))
48	45, 47	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))
49	48	adantr 274	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))
50		simplll 523	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
51		simpllr 524	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
52		simprl 521	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → 𝑟 ∈ ℕ0)
53		breq1 3985	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ 𝑧 ∥ 𝑟))
54		breq1 3985	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 ∥ 𝑀 ↔ 𝑧 ∥ 𝑀))
55		breq1 3985	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 ∥ 𝑁 ↔ 𝑧 ∥ 𝑁))
56	54, 55	anbi12d 465	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁) ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
57	53, 56	bibi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ (𝑧 ∥ 𝑟 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))
58	57	cbvralv 2692	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑟 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
59	58	biimpi 119	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑟 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
60	59	ad2antll 483	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑟 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
61		simplr 520	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
62	50, 51, 52, 60, 61	bezoutlemsup 11942	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → 𝑟 = sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)}, ℝ, < ))
63		breq1 3985	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ 𝑧 ∥ 𝑑))
64	63, 56	bibi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))
65	64	cbvralv 2692	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
66	65	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ0 → (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))
67	66	riotabiia 5815	. . . . 5 ⊢ (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁))) = (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
68		simprr 522	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))
69	50, 51, 52, 68	bezoutlemeu 11940	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → ∃!𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))
70		breq2 3986	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝑟 → (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ 𝑤 ∥ 𝑟))
71	70	bibi1d 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 𝑟 → ((𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁))))
72	71	ralbidv 2466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 𝑟 → (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁))))
73	72	riota2 5820	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∃!𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁))) → (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁))) = 𝑟))
74	52, 69, 73	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁))) = 𝑟))
75	68, 74	mpbid 146	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁))) = 𝑟)
76	67, 75	eqtr3id 2213	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) = 𝑟)
77		gcdn0val 11894	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)}, ℝ, < ))
78	77	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → (𝑀 gcd 𝑁) = sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)}, ℝ, < ))
79	62, 76, 78	3eqtr4rd 2209	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → (𝑀 gcd 𝑁) = (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))
80	49, 79	rexlimddv 2588	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))
81		gcdmndc 11877	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
82		exmiddc 826	. . 3 ⊢ (DECID (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∨ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
83	81, 82	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∨ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
84	44, 80, 83	mpjaodan 788	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698  DECID wdc 824   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444  ∃wrex 2445  ∃!wreu 2446  {crab 2448   class class class wbr 3982  ℩crio 5797  (class class class)co 5842  supcsup 6947  ℝcr 7752  0cc0 7753   + caddc 7756   · cmul 7758   < clt 7933  ℕ₀cn0 9114  ℤcz 9191   ∥ cdvds 11727   gcd cgcd 11875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-sup 6949  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-fl 10205  df-mod 10258  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-dvds 11728  df-gcd 11876

This theorem is referenced by:  bezout  11944