ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dfgcd3 GIF version

Theorem dfgcd3 11081
Description: Alternate definition of the gcd operator. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
dfgcd3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑑 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑑,𝑧   𝑁,𝑑,𝑧

Proof of Theorem dfgcd3
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑟 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gcd0val 11034 . . 3 (0 gcd 0) = 0
2 simprl 498 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 𝑀 = 0)
3 simprr 499 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 𝑁 = 0)
42, 3oveq12d 5652 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (0 gcd 0))
5 0nn0 8658 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
65a1i 9 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 0 ∈ ℕ0)
7 0dvds 10898 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑀𝑀 = 0))
87ad2antrr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (0 ∥ 𝑀𝑀 = 0))
92, 8mpbird 165 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 0 ∥ 𝑀)
10 0dvds 10898 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁𝑁 = 0))
1110ad2antlr 473 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (0 ∥ 𝑁𝑁 = 0))
123, 11mpbird 165 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 0 ∥ 𝑁)
139, 12jca 300 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁))
1413ad2antrr 472 . . . . . . 7 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))) → (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁))
15 0z 8731 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
16 breq1 3840 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 0 → (𝑧𝑑 ↔ 0 ∥ 𝑑))
17 breq1 3840 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 0 → (𝑧𝑀 ↔ 0 ∥ 𝑀))
18 breq1 3840 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 0 → (𝑧𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
1917, 18anbi12d 457 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 0 → ((𝑧𝑀𝑧𝑁) ↔ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁)))
2016, 19bibi12d 233 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 0 → ((𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁)) ↔ (0 ∥ 𝑑 ↔ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁))))
2120rspcv 2718 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℤ → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁)) → (0 ∥ 𝑑 ↔ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁))))
2215, 21ax-mp 7 . . . . . . . 8 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁)) → (0 ∥ 𝑑 ↔ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁)))
2322adantl 271 . . . . . . 7 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))) → (0 ∥ 𝑑 ↔ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁)))
2414, 23mpbird 165 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))) → 0 ∥ 𝑑)
25 simplr 497 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))) → 𝑑 ∈ ℕ0)
2625nn0zd 8836 . . . . . . 7 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))) → 𝑑 ∈ ℤ)
27 0dvds 10898 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑑𝑑 = 0))
2826, 27syl 14 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))) → (0 ∥ 𝑑𝑑 = 0))
2924, 28mpbid 145 . . . . 5 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))) → 𝑑 = 0)
30 dvds0 10893 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∥ 0)
3130adantl 271 . . . . . . . 8 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∥ 0)
32 breq2 3841 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 0 → (𝑧𝑑𝑧 ∥ 0))
3332ad2antlr 473 . . . . . . . 8 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧𝑑𝑧 ∥ 0))
3431, 33mpbird 165 . . . . . . 7 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧𝑑)
352ad3antrrr 476 . . . . . . . . 9 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑀 = 0)
3631, 35breqtrrd 3863 . . . . . . . 8 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧𝑀)
373ad3antrrr 476 . . . . . . . . 9 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 = 0)
3831, 37breqtrrd 3863 . . . . . . . 8 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧𝑁)
3936, 38jca 300 . . . . . . 7 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧𝑀𝑧𝑁))
4034, 392thd 173 . . . . . 6 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁)))
4140ralrimiva 2446 . . . . 5 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁)))
4229, 41impbida 563 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁)) ↔ 𝑑 = 0))
436, 42riota5 5615 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑑 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))) = 0)
441, 4, 433eqtr4a 2146 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑑 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))))
45 bezoutlembi 11076 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)) ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))))
46 simpl 107 . . . . . 6 ((∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)) ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))) → ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)))
4746reximi 2470 . . . . 5 (∃𝑟 ∈ ℕ0 (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)) ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))) → ∃𝑟 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)))
4845, 47syl 14 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑟 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)))
4948adantr 270 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ∃𝑟 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)))
50 simplll 500 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
51 simpllr 501 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
52 simprl 498 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)))) → 𝑟 ∈ ℕ0)
53 breq1 3840 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑧 → (𝑤𝑟𝑧𝑟))
54 breq1 3840 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑧 → (𝑤𝑀𝑧𝑀))
55 breq1 3840 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑧 → (𝑤𝑁𝑧𝑁))
5654, 55anbi12d 457 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑧 → ((𝑤𝑀𝑤𝑁) ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁)))
5753, 56bibi12d 233 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑧 → ((𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)) ↔ (𝑧𝑟 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))))
5857cbvralv 2590 . . . . . . 7 (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑟 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁)))
5958biimpi 118 . . . . . 6 (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑟 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁)))
6059ad2antll 475 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)))) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑟 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁)))
61 simplr 497 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)))) → ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
6250, 51, 52, 60, 61bezoutlemsup 11080 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)))) → 𝑟 = sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝑀𝑧𝑁)}, ℝ, < ))
63 breq1 3840 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑧 → (𝑤𝑑𝑧𝑑))
6463, 56bibi12d 233 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑧 → ((𝑤𝑑 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)) ↔ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))))
6564cbvralv 2590 . . . . . . 7 (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑑 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁)))
6665a1i 9 . . . . . 6 (𝑑 ∈ ℕ0 → (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑑 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))))
6766riotabiia 5607 . . . . 5 (𝑑 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑑 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁))) = (𝑑 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁)))
68 simprr 499 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)))) → ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)))
6950, 51, 52, 68bezoutlemeu 11078 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)))) → ∃!𝑑 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑑 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)))
70 breq2 3841 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑟 → (𝑤𝑑𝑤𝑟))
7170bibi1d 231 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑟 → ((𝑤𝑑 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)) ↔ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁))))
7271ralbidv 2380 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑟 → (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑑 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁))))
7372riota2 5612 . . . . . . 7 ((𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∃!𝑑 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑑 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁))) → (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)) ↔ (𝑑 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑑 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁))) = 𝑟))
7452, 69, 73syl2anc 403 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)))) → (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)) ↔ (𝑑 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑑 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁))) = 𝑟))
7568, 74mpbid 145 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)))) → (𝑑 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑑 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁))) = 𝑟)
7667, 75syl5eqr 2134 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)))) → (𝑑 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))) = 𝑟)
77 gcdn0val 11035 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝑀𝑧𝑁)}, ℝ, < ))
7877adantr 270 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)))) → (𝑀 gcd 𝑁) = sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝑀𝑧𝑁)}, ℝ, < ))
7962, 76, 783eqtr4rd 2131 . . 3 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)))) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑑 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))))
8049, 79rexlimddv 2493 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑑 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))))
81 gcdmndc 11022 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
82 exmiddc 782 . . 3 (DECID (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∨ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
8381, 82syl 14 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∨ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
8444, 80, 83mpjaodan 747 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑑 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 664  DECID wdc 780   = wceq 1289  wcel 1438  wral 2359  wrex 2360  ∃!wreu 2361  {crab 2363   class class class wbr 3837  crio 5589  (class class class)co 5634  supcsup 6656  cr 7328  0cc0 7329   + caddc 7332   · cmul 7334   < clt 7501  0cn0 8643  cz 8720  cdvds 10878   gcd cgcd 11020
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443  ax-caucvg 7444
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-sup 6658  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-3 8453  df-4 8454  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-q 9074  df-rp 9104  df-fz 9394  df-fzo 9519  df-fl 9642  df-mod 9695  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920  df-cj 10241  df-re 10242  df-im 10243  df-rsqrt 10396  df-abs 10397  df-dvds 10879  df-gcd 11021
This theorem is referenced by:  bezout  11082
  Copyright terms: Public domain W3C validator