Theorem dfgcd3 11928

Description: Alternate definition of the gcd operator. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfgcd3	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))

Distinct variable groups:   𝑀,𝑑,𝑧   𝑁,𝑑,𝑧

Proof of Theorem dfgcd3

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑟 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcd0val 11878	. . 3 ⊢ (0 gcd 0) = 0
2		simprl 521	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 𝑀 = 0)
3		simprr 522	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 𝑁 = 0)
4	2, 3	oveq12d 5854	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (0 gcd 0))
5		0nn0 9120	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6	5	a1i 9	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 0 ∈ ℕ0)
7		0dvds 11737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑀 ↔ 𝑀 = 0))
8	7	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (0 ∥ 𝑀 ↔ 𝑀 = 0))
9	2, 8	mpbird 166	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 0 ∥ 𝑀)
10		0dvds 11737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
11	10	ad2antlr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
12	3, 11	mpbird 166	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 0 ∥ 𝑁)
13	9, 12	jca 304	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁))
14	13	ad2antrr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁))
15		0z 9193	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
16		breq1 3979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ 0 ∥ 𝑑))
17		breq1 3979	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 ∥ 𝑀 ↔ 0 ∥ 𝑀))
18		breq1 3979	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
19	17, 18	anbi12d 465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 0 → ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) ↔ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁)))
20	16, 19	bibi12d 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 0 → ((𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)) ↔ (0 ∥ 𝑑 ↔ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁))))
21	20	rspcv 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℤ → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)) → (0 ∥ 𝑑 ↔ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁))))
22	15, 21	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)) → (0 ∥ 𝑑 ↔ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁)))
23	22	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → (0 ∥ 𝑑 ↔ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁)))
24	14, 23	mpbird 166	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → 0 ∥ 𝑑)
25		simplr 520	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → 𝑑 ∈ ℕ0)
26	25	nn0zd 9302	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → 𝑑 ∈ ℤ)
27		0dvds 11737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑑 ↔ 𝑑 = 0))
28	26, 27	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → (0 ∥ 𝑑 ↔ 𝑑 = 0))
29	24, 28	mpbid 146	. . . . 5 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → 𝑑 = 0)
30		dvds0 11732	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∥ 0)
31	30	adantl 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∥ 0)
32		breq2 3980	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 0 → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ 𝑧 ∥ 0))
33	32	ad2antlr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ 𝑧 ∥ 0))
34	31, 33	mpbird 166	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∥ 𝑑)
35	2	ad3antrrr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑀 = 0)
36	31, 35	breqtrrd 4004	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∥ 𝑀)
37	3	ad3antrrr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 = 0)
38	31, 37	breqtrrd 4004	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∥ 𝑁)
39	36, 38	jca 304	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))
40	34, 39	2thd 174	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
41	40	ralrimiva 2537	. . . . 5 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
42	29, 41	impbida 586	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)) ↔ 𝑑 = 0))
43	6, 42	riota5 5817	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) = 0)
44	1, 4, 43	3eqtr4a 2223	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))
45		bezoutlembi 11923	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))))
46		simpl 108	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))) → ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))
47	46	reximi 2561	. . . . 5 ⊢ (∃𝑟 ∈ ℕ0 (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))
48	45, 47	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))
49	48	adantr 274	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))
50		simplll 523	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
51		simpllr 524	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
52		simprl 521	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → 𝑟 ∈ ℕ0)
53		breq1 3979	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ 𝑧 ∥ 𝑟))
54		breq1 3979	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 ∥ 𝑀 ↔ 𝑧 ∥ 𝑀))
55		breq1 3979	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 ∥ 𝑁 ↔ 𝑧 ∥ 𝑁))
56	54, 55	anbi12d 465	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁) ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
57	53, 56	bibi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ (𝑧 ∥ 𝑟 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))
58	57	cbvralv 2689	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑟 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
59	58	biimpi 119	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑟 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
60	59	ad2antll 483	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑟 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
61		simplr 520	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
62	50, 51, 52, 60, 61	bezoutlemsup 11927	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → 𝑟 = sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)}, ℝ, < ))
63		breq1 3979	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ 𝑧 ∥ 𝑑))
64	63, 56	bibi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))
65	64	cbvralv 2689	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
66	65	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ0 → (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))
67	66	riotabiia 5809	. . . . 5 ⊢ (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁))) = (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
68		simprr 522	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))
69	50, 51, 52, 68	bezoutlemeu 11925	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → ∃!𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))
70		breq2 3980	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝑟 → (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ 𝑤 ∥ 𝑟))
71	70	bibi1d 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 𝑟 → ((𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁))))
72	71	ralbidv 2464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 𝑟 → (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁))))
73	72	riota2 5814	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∃!𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁))) → (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁))) = 𝑟))
74	52, 69, 73	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁))) = 𝑟))
75	68, 74	mpbid 146	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁))) = 𝑟)
76	67, 75	eqtr3id 2211	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) = 𝑟)
77		gcdn0val 11879	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)}, ℝ, < ))
78	77	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → (𝑀 gcd 𝑁) = sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)}, ℝ, < ))
79	62, 76, 78	3eqtr4rd 2208	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → (𝑀 gcd 𝑁) = (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))
80	49, 79	rexlimddv 2586	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))
81		gcdmndc 11862	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
82		exmiddc 826	. . 3 ⊢ (DECID (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∨ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
83	81, 82	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∨ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
84	44, 80, 83	mpjaodan 788	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698  DECID wdc 824   = wceq 1342   ∈ wcel 2135  ∀wral 2442  ∃wrex 2443  ∃!wreu 2444  {crab 2446   class class class wbr 3976  ℩crio 5791  (class class class)co 5836  supcsup 6938  ℝcr 7743  0cc0 7744   + caddc 7747   · cmul 7749   < clt 7924  ℕ₀cn0 9105  ℤcz 9182   ∥ cdvds 11713   gcd cgcd 11860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-iinf 4559  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-mulrcl 7843  ax-addcom 7844  ax-mulcom 7845  ax-addass 7846  ax-mulass 7847  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-1rid 7851  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-precex 7854  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-apti 7859  ax-pre-ltadd 7860  ax-pre-mulgt0 7861  ax-pre-mulext 7862  ax-arch 7863  ax-caucvg 7864

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-if 3516  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-id 4265  df-po 4268  df-iso 4269  df-iord 4338  df-on 4340  df-ilim 4341  df-suc 4343  df-iom 4562  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-recs 6264  df-frec 6350  df-sup 6940  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-reap 8464  df-ap 8471  df-div 8560  df-inn 8849  df-2 8907  df-3 8908  df-4 8909  df-n0 9106  df-z 9183  df-uz 9458  df-q 9549  df-rp 9581  df-fz 9936  df-fzo 10068  df-fl 10195  df-mod 10248  df-seqfrec 10371  df-exp 10445  df-cj 10770  df-re 10771  df-im 10772  df-rsqrt 10926  df-abs 10927  df-dvds 11714  df-gcd 11861

This theorem is referenced by:  bezout  11929