ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dfgcd3 GIF version

Theorem dfgcd3 11491
Description: Alternate definition of the gcd operator. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
dfgcd3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑑 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑑,𝑧   𝑁,𝑑,𝑧

Proof of Theorem dfgcd3
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑟 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gcd0val 11444 . . 3 (0 gcd 0) = 0
2 simprl 501 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 𝑀 = 0)
3 simprr 502 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 𝑁 = 0)
42, 3oveq12d 5724 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (0 gcd 0))
5 0nn0 8844 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
65a1i 9 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 0 ∈ ℕ0)
7 0dvds 11308 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑀𝑀 = 0))
87ad2antrr 475 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (0 ∥ 𝑀𝑀 = 0))
92, 8mpbird 166 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 0 ∥ 𝑀)
10 0dvds 11308 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁𝑁 = 0))
1110ad2antlr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (0 ∥ 𝑁𝑁 = 0))
123, 11mpbird 166 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 0 ∥ 𝑁)
139, 12jca 302 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁))
1413ad2antrr 475 . . . . . . 7 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))) → (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁))
15 0z 8917 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
16 breq1 3878 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 0 → (𝑧𝑑 ↔ 0 ∥ 𝑑))
17 breq1 3878 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 0 → (𝑧𝑀 ↔ 0 ∥ 𝑀))
18 breq1 3878 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 0 → (𝑧𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
1917, 18anbi12d 460 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 0 → ((𝑧𝑀𝑧𝑁) ↔ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁)))
2016, 19bibi12d 234 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 0 → ((𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁)) ↔ (0 ∥ 𝑑 ↔ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁))))
2120rspcv 2740 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℤ → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁)) → (0 ∥ 𝑑 ↔ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁))))
2215, 21ax-mp 7 . . . . . . . 8 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁)) → (0 ∥ 𝑑 ↔ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁)))
2322adantl 273 . . . . . . 7 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))) → (0 ∥ 𝑑 ↔ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁)))
2414, 23mpbird 166 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))) → 0 ∥ 𝑑)
25 simplr 500 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))) → 𝑑 ∈ ℕ0)
2625nn0zd 9023 . . . . . . 7 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))) → 𝑑 ∈ ℤ)
27 0dvds 11308 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑑𝑑 = 0))
2826, 27syl 14 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))) → (0 ∥ 𝑑𝑑 = 0))
2924, 28mpbid 146 . . . . 5 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))) → 𝑑 = 0)
30 dvds0 11303 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∥ 0)
3130adantl 273 . . . . . . . 8 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∥ 0)
32 breq2 3879 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 0 → (𝑧𝑑𝑧 ∥ 0))
3332ad2antlr 476 . . . . . . . 8 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧𝑑𝑧 ∥ 0))
3431, 33mpbird 166 . . . . . . 7 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧𝑑)
352ad3antrrr 479 . . . . . . . . 9 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑀 = 0)
3631, 35breqtrrd 3901 . . . . . . . 8 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧𝑀)
373ad3antrrr 479 . . . . . . . . 9 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 = 0)
3831, 37breqtrrd 3901 . . . . . . . 8 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧𝑁)
3936, 38jca 302 . . . . . . 7 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧𝑀𝑧𝑁))
4034, 392thd 174 . . . . . 6 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁)))
4140ralrimiva 2464 . . . . 5 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁)))
4229, 41impbida 566 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁)) ↔ 𝑑 = 0))
436, 42riota5 5687 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑑 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))) = 0)
441, 4, 433eqtr4a 2158 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑑 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))))
45 bezoutlembi 11486 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)) ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))))
46 simpl 108 . . . . . 6 ((∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)) ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))) → ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)))
4746reximi 2488 . . . . 5 (∃𝑟 ∈ ℕ0 (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)) ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))) → ∃𝑟 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)))
4845, 47syl 14 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑟 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)))
4948adantr 272 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ∃𝑟 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)))
50 simplll 503 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
51 simpllr 504 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
52 simprl 501 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)))) → 𝑟 ∈ ℕ0)
53 breq1 3878 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑧 → (𝑤𝑟𝑧𝑟))
54 breq1 3878 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑧 → (𝑤𝑀𝑧𝑀))
55 breq1 3878 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑧 → (𝑤𝑁𝑧𝑁))
5654, 55anbi12d 460 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑧 → ((𝑤𝑀𝑤𝑁) ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁)))
5753, 56bibi12d 234 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑧 → ((𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)) ↔ (𝑧𝑟 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))))
5857cbvralv 2612 . . . . . . 7 (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑟 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁)))
5958biimpi 119 . . . . . 6 (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑟 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁)))
6059ad2antll 478 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)))) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑟 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁)))
61 simplr 500 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)))) → ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
6250, 51, 52, 60, 61bezoutlemsup 11490 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)))) → 𝑟 = sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝑀𝑧𝑁)}, ℝ, < ))
63 breq1 3878 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑧 → (𝑤𝑑𝑧𝑑))
6463, 56bibi12d 234 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑧 → ((𝑤𝑑 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)) ↔ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))))
6564cbvralv 2612 . . . . . . 7 (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑑 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁)))
6665a1i 9 . . . . . 6 (𝑑 ∈ ℕ0 → (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑑 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))))
6766riotabiia 5679 . . . . 5 (𝑑 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑑 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁))) = (𝑑 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁)))
68 simprr 502 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)))) → ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)))
6950, 51, 52, 68bezoutlemeu 11488 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)))) → ∃!𝑑 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑑 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)))
70 breq2 3879 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑟 → (𝑤𝑑𝑤𝑟))
7170bibi1d 232 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑟 → ((𝑤𝑑 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)) ↔ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁))))
7271ralbidv 2396 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑟 → (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑑 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁))))
7372riota2 5684 . . . . . . 7 ((𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∃!𝑑 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑑 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁))) → (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)) ↔ (𝑑 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑑 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁))) = 𝑟))
7452, 69, 73syl2anc 406 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)))) → (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)) ↔ (𝑑 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑑 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁))) = 𝑟))
7568, 74mpbid 146 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)))) → (𝑑 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑑 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁))) = 𝑟)
7667, 75syl5eqr 2146 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)))) → (𝑑 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))) = 𝑟)
77 gcdn0val 11445 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝑀𝑧𝑁)}, ℝ, < ))
7877adantr 272 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)))) → (𝑀 gcd 𝑁) = sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧𝑀𝑧𝑁)}, ℝ, < ))
7962, 76, 783eqtr4rd 2143 . . 3 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑟 ↔ (𝑤𝑀𝑤𝑁)))) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑑 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))))
8049, 79rexlimddv 2513 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑑 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))))
81 gcdmndc 11432 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
82 exmiddc 788 . . 3 (DECID (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∨ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
8381, 82syl 14 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∨ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
8444, 80, 83mpjaodan 753 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑑 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝑀𝑧𝑁))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 670  DECID wdc 786   = wceq 1299  wcel 1448  wral 2375  wrex 2376  ∃!wreu 2377  {crab 2379   class class class wbr 3875  crio 5661  (class class class)co 5706  supcsup 6784  cr 7499  0cc0 7500   + caddc 7503   · cmul 7505   < clt 7672  0cn0 8829  cz 8906  cdvds 11288   gcd cgcd 11430
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613  ax-arch 7614  ax-caucvg 7615
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-frec 6218  df-sup 6786  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-2 8637  df-3 8638  df-4 8639  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-q 9262  df-rp 9292  df-fz 9632  df-fzo 9761  df-fl 9884  df-mod 9937  df-seqfrec 10060  df-exp 10134  df-cj 10455  df-re 10456  df-im 10457  df-rsqrt 10610  df-abs 10611  df-dvds 11289  df-gcd 11431
This theorem is referenced by:  bezout  11492
  Copyright terms: Public domain W3C validator