Theorem dfgcd3 11965

Description: Alternate definition of the gcd operator. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfgcd3	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))

Distinct variable groups:   𝑀,𝑑,𝑧   𝑁,𝑑,𝑧

Proof of Theorem dfgcd3

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑟 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcd0val 11915	. . 3 ⊢ (0 gcd 0) = 0
2		simprl 526	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 𝑀 = 0)
3		simprr 527	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 𝑁 = 0)
4	2, 3	oveq12d 5871	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (0 gcd 0))
5		0nn0 9150	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6	5	a1i 9	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 0 ∈ ℕ0)
7		0dvds 11773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑀 ↔ 𝑀 = 0))
8	7	ad2antrr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (0 ∥ 𝑀 ↔ 𝑀 = 0))
9	2, 8	mpbird 166	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 0 ∥ 𝑀)
10		0dvds 11773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
11	10	ad2antlr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
12	3, 11	mpbird 166	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 0 ∥ 𝑁)
13	9, 12	jca 304	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁))
14	13	ad2antrr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁))
15		0z 9223	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
16		breq1 3992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ 0 ∥ 𝑑))
17		breq1 3992	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 ∥ 𝑀 ↔ 0 ∥ 𝑀))
18		breq1 3992	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
19	17, 18	anbi12d 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 0 → ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) ↔ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁)))
20	16, 19	bibi12d 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 0 → ((𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)) ↔ (0 ∥ 𝑑 ↔ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁))))
21	20	rspcv 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℤ → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)) → (0 ∥ 𝑑 ↔ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁))))
22	15, 21	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)) → (0 ∥ 𝑑 ↔ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁)))
23	22	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → (0 ∥ 𝑑 ↔ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁)))
24	14, 23	mpbird 166	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → 0 ∥ 𝑑)
25		simplr 525	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → 𝑑 ∈ ℕ0)
26	25	nn0zd 9332	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → 𝑑 ∈ ℤ)
27		0dvds 11773	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑑 ↔ 𝑑 = 0))
28	26, 27	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → (0 ∥ 𝑑 ↔ 𝑑 = 0))
29	24, 28	mpbid 146	. . . . 5 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) → 𝑑 = 0)
30		dvds0 11768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∥ 0)
31	30	adantl 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∥ 0)
32		breq2 3993	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 0 → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ 𝑧 ∥ 0))
33	32	ad2antlr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ 𝑧 ∥ 0))
34	31, 33	mpbird 166	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∥ 𝑑)
35	2	ad3antrrr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑀 = 0)
36	31, 35	breqtrrd 4017	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∥ 𝑀)
37	3	ad3antrrr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 = 0)
38	31, 37	breqtrrd 4017	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∥ 𝑁)
39	36, 38	jca 304	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))
40	34, 39	2thd 174	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
41	40	ralrimiva 2543	. . . . 5 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 = 0) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
42	29, 41	impbida 591	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)) ↔ 𝑑 = 0))
43	6, 42	riota5 5834	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) = 0)
44	1, 4, 43	3eqtr4a 2229	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))
45		bezoutlembi 11960	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))))
46		simpl 108	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))) → ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))
47	46	reximi 2567	. . . . 5 ⊢ (∃𝑟 ∈ ℕ0 (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))
48	45, 47	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))
49	48	adantr 274	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))
50		simplll 528	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
51		simpllr 529	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
52		simprl 526	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → 𝑟 ∈ ℕ0)
53		breq1 3992	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ 𝑧 ∥ 𝑟))
54		breq1 3992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 ∥ 𝑀 ↔ 𝑧 ∥ 𝑀))
55		breq1 3992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 ∥ 𝑁 ↔ 𝑧 ∥ 𝑁))
56	54, 55	anbi12d 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁) ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
57	53, 56	bibi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ (𝑧 ∥ 𝑟 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))
58	57	cbvralv 2696	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑟 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
59	58	biimpi 119	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑟 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
60	59	ad2antll 488	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑟 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
61		simplr 525	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
62	50, 51, 52, 60, 61	bezoutlemsup 11964	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → 𝑟 = sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)}, ℝ, < ))
63		breq1 3992	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ 𝑧 ∥ 𝑑))
64	63, 56	bibi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))
65	64	cbvralv 2696	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
66	65	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ0 → (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))
67	66	riotabiia 5826	. . . . 5 ⊢ (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁))) = (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)))
68		simprr 527	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))
69	50, 51, 52, 68	bezoutlemeu 11962	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → ∃!𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))
70		breq2 3993	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝑟 → (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ 𝑤 ∥ 𝑟))
71	70	bibi1d 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 𝑟 → ((𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁))))
72	71	ralbidv 2470	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 𝑟 → (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁))))
73	72	riota2 5831	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∃!𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁))) → (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁))) = 𝑟))
74	52, 69, 73	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → (∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)) ↔ (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁))) = 𝑟))
75	68, 74	mpbid 146	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁))) = 𝑟)
76	67, 75	eqtr3id 2217	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))) = 𝑟)
77		gcdn0val 11916	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)}, ℝ, < ))
78	77	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → (𝑀 gcd 𝑁) = sup({𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)}, ℝ, < ))
79	62, 76, 78	3eqtr4rd 2214	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑟 ↔ (𝑤 ∥ 𝑀 ∧ 𝑤 ∥ 𝑁)))) → (𝑀 gcd 𝑁) = (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))
80	49, 79	rexlimddv 2592	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))
81		gcdmndc 11899	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
82		exmiddc 831	. . 3 ⊢ (DECID (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∨ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
83	81, 82	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∨ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
84	44, 80, 83	mpjaodan 793	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (℩𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 703  DECID wdc 829   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448  ∃wrex 2449  ∃!wreu 2450  {crab 2452   class class class wbr 3989  ℩crio 5808  (class class class)co 5853  supcsup 6959  ℝcr 7773  0cc0 7774   + caddc 7777   · cmul 7779   < clt 7954  ℕ₀cn0 9135  ℤcz 9212   ∥ cdvds 11749   gcd cgcd 11897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-sup 6961  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-dvds 11750  df-gcd 11898

This theorem is referenced by:  bezout  11966