Theorem lt2mulnq 7766

Description: Ordering property of multiplication for positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
lt2mulnq	⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐷)))

Proof of Theorem lt2mulnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmnqg 7762	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (𝐶 ·Q 𝐴) <Q (𝐶 ·Q 𝐵)))
2	1	3expa 1234	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ 𝐶 ∈ Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (𝐶 ·Q 𝐴) <Q (𝐶 ·Q 𝐵)))
3	2	adantrr 483	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (𝐶 ·Q 𝐴) <Q (𝐶 ·Q 𝐵)))
4		mulcomnqg 7744	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q) → (𝐶 ·Q 𝐴) = (𝐴 ·Q 𝐶))
5	4	ancoms 268	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → (𝐶 ·Q 𝐴) = (𝐴 ·Q 𝐶))
6	5	ad2ant2r 513	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → (𝐶 ·Q 𝐴) = (𝐴 ·Q 𝐶))
7		mulcomnqg 7744	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐶 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐶))
8	7	ancoms 268	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → (𝐶 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐶))
9	8	ad2ant2lr 514	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → (𝐶 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐶))
10	6, 9	breq12d 4141	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → ((𝐶 ·Q 𝐴) <Q (𝐶 ·Q 𝐵) ↔ (𝐴 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐶)))
11	3, 10	bitrd 188	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (𝐴 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐶)))
12		ltmnqg 7762	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐶 <Q 𝐷 ↔ (𝐵 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐷)))
13	12	3expa 1234	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q) ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐶 <Q 𝐷 ↔ (𝐵 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐷)))
14	13	ancoms 268	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → (𝐶 <Q 𝐷 ↔ (𝐵 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐷)))
15	14	adantll 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → (𝐶 <Q 𝐷 ↔ (𝐵 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐷)))
16	11, 15	anbi12d 477	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) ↔ ((𝐴 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐶) ∧ (𝐵 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐷))))
17		ltsonq 7759	. . 3 ⊢ <Q Or Q
18		ltrelnq 7726	. . 3 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
19	17, 18	sotri 5181	. 2 ⊢ (((𝐴 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐶) ∧ (𝐵 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐷)) → (𝐴 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐷))
20	16, 19	biimtrdi 163	1 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128  (class class class)co 6079  Qcnq 7641   ·_Q cmq 7644   <_Q cltq 7646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-eprel 4432  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-oadd 6685  df-omul 6686  df-er 6801  df-ec 6803  df-qs 6807  df-ni 7665  df-mi 7667  df-lti 7668  df-mpq 7706  df-enq 7708  df-nqqs 7709  df-mqqs 7711  df-ltnqqs 7714

This theorem is referenced by:  mulnqprlemrl  7934  mulnqprlemru  7935