Theorem lt2mulnq 7625

Description: Ordering property of multiplication for positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
lt2mulnq	⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐷)))

Proof of Theorem lt2mulnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmnqg 7621	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (𝐶 ·Q 𝐴) <Q (𝐶 ·Q 𝐵)))
2	1	3expa 1229	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ 𝐶 ∈ Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (𝐶 ·Q 𝐴) <Q (𝐶 ·Q 𝐵)))
3	2	adantrr 479	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (𝐶 ·Q 𝐴) <Q (𝐶 ·Q 𝐵)))
4		mulcomnqg 7603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q) → (𝐶 ·Q 𝐴) = (𝐴 ·Q 𝐶))
5	4	ancoms 268	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → (𝐶 ·Q 𝐴) = (𝐴 ·Q 𝐶))
6	5	ad2ant2r 509	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → (𝐶 ·Q 𝐴) = (𝐴 ·Q 𝐶))
7		mulcomnqg 7603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐶 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐶))
8	7	ancoms 268	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → (𝐶 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐶))
9	8	ad2ant2lr 510	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → (𝐶 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐶))
10	6, 9	breq12d 4101	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → ((𝐶 ·Q 𝐴) <Q (𝐶 ·Q 𝐵) ↔ (𝐴 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐶)))
11	3, 10	bitrd 188	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (𝐴 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐶)))
12		ltmnqg 7621	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐶 <Q 𝐷 ↔ (𝐵 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐷)))
13	12	3expa 1229	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q) ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐶 <Q 𝐷 ↔ (𝐵 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐷)))
14	13	ancoms 268	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → (𝐶 <Q 𝐷 ↔ (𝐵 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐷)))
15	14	adantll 476	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → (𝐶 <Q 𝐷 ↔ (𝐵 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐷)))
16	11, 15	anbi12d 473	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) ↔ ((𝐴 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐶) ∧ (𝐵 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐷))))
17		ltsonq 7618	. . 3 ⊢ <Q Or Q
18		ltrelnq 7585	. . 3 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
19	17, 18	sotri 5132	. 2 ⊢ (((𝐴 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐶) ∧ (𝐵 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐷)) → (𝐴 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐷))
20	16, 19	biimtrdi 163	1 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6018  Qcnq 7500   ·_Q cmq 7503   <_Q cltq 7505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-eprel 4386  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-oadd 6586  df-omul 6587  df-er 6702  df-ec 6704  df-qs 6708  df-ni 7524  df-mi 7526  df-lti 7527  df-mpq 7565  df-enq 7567  df-nqqs 7568  df-mqqs 7570  df-ltnqqs 7573

This theorem is referenced by:  mulnqprlemrl  7793  mulnqprlemru  7794