Theorem lt2mulnq 7418

Description: Ordering property of multiplication for positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
lt2mulnq	⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐷)))

Proof of Theorem lt2mulnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmnqg 7414	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (𝐶 ·Q 𝐴) <Q (𝐶 ·Q 𝐵)))
2	1	3expa 1204	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ 𝐶 ∈ Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (𝐶 ·Q 𝐴) <Q (𝐶 ·Q 𝐵)))
3	2	adantrr 479	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (𝐶 ·Q 𝐴) <Q (𝐶 ·Q 𝐵)))
4		mulcomnqg 7396	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q) → (𝐶 ·Q 𝐴) = (𝐴 ·Q 𝐶))
5	4	ancoms 268	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → (𝐶 ·Q 𝐴) = (𝐴 ·Q 𝐶))
6	5	ad2ant2r 509	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → (𝐶 ·Q 𝐴) = (𝐴 ·Q 𝐶))
7		mulcomnqg 7396	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐶 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐶))
8	7	ancoms 268	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → (𝐶 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐶))
9	8	ad2ant2lr 510	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → (𝐶 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐶))
10	6, 9	breq12d 4028	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → ((𝐶 ·Q 𝐴) <Q (𝐶 ·Q 𝐵) ↔ (𝐴 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐶)))
11	3, 10	bitrd 188	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (𝐴 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐶)))
12		ltmnqg 7414	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐶 <Q 𝐷 ↔ (𝐵 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐷)))
13	12	3expa 1204	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q) ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐶 <Q 𝐷 ↔ (𝐵 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐷)))
14	13	ancoms 268	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → (𝐶 <Q 𝐷 ↔ (𝐵 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐷)))
15	14	adantll 476	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → (𝐶 <Q 𝐷 ↔ (𝐵 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐷)))
16	11, 15	anbi12d 473	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) ↔ ((𝐴 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐶) ∧ (𝐵 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐷))))
17		ltsonq 7411	. . 3 ⊢ <Q Or Q
18		ltrelnq 7378	. . 3 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
19	17, 18	sotri 5036	. 2 ⊢ (((𝐴 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐶) ∧ (𝐵 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐷)) → (𝐴 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐷))
20	16, 19	biimtrdi 163	1 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q)) → ((𝐴 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1363   ∈ wcel 2158   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  Qcnq 7293   ·_Q cmq 7296   <_Q cltq 7298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-eprel 4301  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-oadd 6435  df-omul 6436  df-er 6549  df-ec 6551  df-qs 6555  df-ni 7317  df-mi 7319  df-lti 7320  df-mpq 7358  df-enq 7360  df-nqqs 7361  df-mqqs 7363  df-ltnqqs 7366

This theorem is referenced by:  mulnqprlemrl  7586  mulnqprlemru  7587