ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lt2mulnq GIF version

Theorem lt2mulnq 7418
Description: Ordering property of multiplication for positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
lt2mulnq (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐷)))

Proof of Theorem lt2mulnq
StepHypRef Expression
1 ltmnqg 7414 . . . . . 6 ((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (𝐶 ·Q 𝐴) <Q (𝐶 ·Q 𝐵)))
213expa 1204 . . . . 5 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ 𝐶Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (𝐶 ·Q 𝐴) <Q (𝐶 ·Q 𝐵)))
32adantrr 479 . . . 4 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (𝐶 ·Q 𝐴) <Q (𝐶 ·Q 𝐵)))
4 mulcomnqg 7396 . . . . . . 7 ((𝐶Q𝐴Q) → (𝐶 ·Q 𝐴) = (𝐴 ·Q 𝐶))
54ancoms 268 . . . . . 6 ((𝐴Q𝐶Q) → (𝐶 ·Q 𝐴) = (𝐴 ·Q 𝐶))
65ad2ant2r 509 . . . . 5 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → (𝐶 ·Q 𝐴) = (𝐴 ·Q 𝐶))
7 mulcomnqg 7396 . . . . . . 7 ((𝐶Q𝐵Q) → (𝐶 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐶))
87ancoms 268 . . . . . 6 ((𝐵Q𝐶Q) → (𝐶 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐶))
98ad2ant2lr 510 . . . . 5 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → (𝐶 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐶))
106, 9breq12d 4028 . . . 4 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → ((𝐶 ·Q 𝐴) <Q (𝐶 ·Q 𝐵) ↔ (𝐴 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐶)))
113, 10bitrd 188 . . 3 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (𝐴 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐶)))
12 ltmnqg 7414 . . . . . 6 ((𝐶Q𝐷Q𝐵Q) → (𝐶 <Q 𝐷 ↔ (𝐵 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐷)))
13123expa 1204 . . . . 5 (((𝐶Q𝐷Q) ∧ 𝐵Q) → (𝐶 <Q 𝐷 ↔ (𝐵 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐷)))
1413ancoms 268 . . . 4 ((𝐵Q ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → (𝐶 <Q 𝐷 ↔ (𝐵 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐷)))
1514adantll 476 . . 3 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → (𝐶 <Q 𝐷 ↔ (𝐵 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐷)))
1611, 15anbi12d 473 . 2 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) ↔ ((𝐴 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐶) ∧ (𝐵 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐷))))
17 ltsonq 7411 . . 3 <Q Or Q
18 ltrelnq 7378 . . 3 <Q ⊆ (Q × Q)
1917, 18sotri 5036 . 2 (((𝐴 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐶) ∧ (𝐵 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐷)) → (𝐴 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐷))
2016, 19biimtrdi 163 1 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝐶Q𝐷Q)) → ((𝐴 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐷) → (𝐴 ·Q 𝐶) <Q (𝐵 ·Q 𝐷)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1363  wcel 2158   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  Qcnq 7293   ·Q cmq 7296   <Q cltq 7298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-eprel 4301  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-oadd 6435  df-omul 6436  df-er 6549  df-ec 6551  df-qs 6555  df-ni 7317  df-mi 7319  df-lti 7320  df-mpq 7358  df-enq 7360  df-nqqs 7361  df-mqqs 7363  df-ltnqqs 7366
This theorem is referenced by:  mulnqprlemrl  7586  mulnqprlemru  7587
  Copyright terms: Public domain W3C validator