ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nonsq GIF version

Theorem nonsq 12086
Description: Any integer strictly between two adjacent squares has a non-rational square root. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
nonsq (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → ¬ (√‘𝐴) ∈ ℚ)

Proof of Theorem nonsq
StepHypRef Expression
1 nn0z 9188 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ)
21ad2antlr 481 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 𝐵 ∈ ℤ)
3 simprl 521 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → (𝐵↑2) < 𝐴)
4 simpll 519 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 𝐴 ∈ ℕ0)
54nn0red 9145 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 𝐴 ∈ ℝ)
64nn0ge0d 9147 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 0 ≤ 𝐴)
7 resqrtth 10935 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
85, 6, 7syl2anc 409 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
93, 8breqtrrd 3993 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → (𝐵↑2) < ((√‘𝐴)↑2))
10 simplr 520 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 𝐵 ∈ ℕ0)
1110nn0red 9145 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 𝐵 ∈ ℝ)
12 nn0re 9100 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
1312ad2antrr 480 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 𝐴 ∈ ℝ)
1413, 6resqrtcld 11067 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
1510nn0ge0d 9147 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 0 ≤ 𝐵)
1613, 6sqrtge0d 11070 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 0 ≤ (√‘𝐴))
1711, 14, 15, 16lt2sqd 10586 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → (𝐵 < (√‘𝐴) ↔ (𝐵↑2) < ((√‘𝐴)↑2)))
189, 17mpbird 166 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 𝐵 < (√‘𝐴))
19 simprr 522 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))
208, 19eqbrtrd 3987 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → ((√‘𝐴)↑2) < ((𝐵 + 1)↑2))
21 peano2re 8012 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
2211, 21syl 14 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
23 peano2nn0 9131 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 1) ∈ ℕ0)
2423ad2antlr 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → (𝐵 + 1) ∈ ℕ0)
2524nn0ge0d 9147 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → 0 ≤ (𝐵 + 1))
2614, 22, 16, 25lt2sqd 10586 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → ((√‘𝐴) < (𝐵 + 1) ↔ ((√‘𝐴)↑2) < ((𝐵 + 1)↑2)))
2720, 26mpbird 166 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → (√‘𝐴) < (𝐵 + 1))
28 btwnnz 9259 . . 3 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 < (√‘𝐴) ∧ (√‘𝐴) < (𝐵 + 1)) → ¬ (√‘𝐴) ∈ ℤ)
292, 18, 27, 28syl3anc 1220 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → ¬ (√‘𝐴) ∈ ℤ)
30 nn0sqrtelqelz 12085 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (√‘𝐴) ∈ ℤ)
3130ex 114 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0 → ((√‘𝐴) ∈ ℚ → (√‘𝐴) ∈ ℤ))
3231ad2antrr 480 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → ((√‘𝐴) ∈ ℚ → (√‘𝐴) ∈ ℤ))
3329, 32mtod 653 1 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐵↑2) < 𝐴𝐴 < ((𝐵 + 1)↑2))) → ¬ (√‘𝐴) ∈ ℚ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103   = wceq 1335  wcel 2128   class class class wbr 3966  cfv 5171  (class class class)co 5825  cr 7732  0cc0 7733  1c1 7734   + caddc 7736   < clt 7913  cle 7914  2c2 8885  0cn0 9091  cz 9168  cq 9529  cexp 10422  csqrt 10900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4080  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-iinf 4548  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-mulrcl 7832  ax-addcom 7833  ax-mulcom 7834  ax-addass 7835  ax-mulass 7836  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0lt1 7839  ax-1rid 7840  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-precex 7843  ax-cnre 7844  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-ltwlin 7846  ax-pre-lttrn 7847  ax-pre-apti 7848  ax-pre-ltadd 7849  ax-pre-mulgt0 7850  ax-pre-mulext 7851  ax-arch 7852  ax-caucvg 7853
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-id 4254  df-po 4257  df-iso 4258  df-iord 4327  df-on 4329  df-ilim 4330  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-recs 6253  df-frec 6339  df-sup 6929  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919  df-sub 8049  df-neg 8050  df-reap 8451  df-ap 8458  df-div 8547  df-inn 8835  df-2 8893  df-3 8894  df-4 8895  df-n0 9092  df-z 9169  df-uz 9441  df-q 9530  df-rp 9562  df-fz 9914  df-fzo 10046  df-fl 10173  df-mod 10226  df-seqfrec 10349  df-exp 10423  df-cj 10746  df-re 10747  df-im 10748  df-rsqrt 10902  df-abs 10903  df-dvds 11688  df-gcd 11834  df-numer 12062  df-denom 12063
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator