ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqmuladdim GIF version

Theorem modqmuladdim 10369
Description: Implication of a decomposition of an integer into a multiple of a modulus and a remainder. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
modqmuladdim ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = ๐ต โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘€

Proof of Theorem modqmuladdim
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต)
2 simpl1 1000 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
3 zq 9628 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
42, 3syl 14 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
5 simpl2 1001 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„š)
6 simpl3 1002 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ 0 < ๐‘€)
74, 5, 6modqcld 10330 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) โˆˆ โ„š)
81, 7eqeltrrd 2255 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„š)
9 qre 9627 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„š โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
108, 9syl 14 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
11 modqge0 10334 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด mod ๐‘€))
124, 5, 6, 11syl3anc 1238 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด mod ๐‘€))
1312, 1breqtrd 4031 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
14 modqlt 10335 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) < ๐‘€)
154, 5, 6, 14syl3anc 1238 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) < ๐‘€)
161, 15eqbrtrrd 4029 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ ๐ต < ๐‘€)
17 0re 7959 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„
18 qre 9627 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„š โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
19 rexr 8005 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„*)
205, 18, 193syl 17 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„*)
21 elico2 9939 . . . . . 6 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ต โˆˆ (0[,)๐‘€) โ†” (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต < ๐‘€)))
2217, 20, 21sylancr 414 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ (๐ต โˆˆ (0[,)๐‘€) โ†” (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต < ๐‘€)))
2310, 13, 16, 22mpbir3and 1180 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,)๐‘€))
242, 8, 23, 5, 6modqmuladd 10368 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = ๐ต โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต)))
251, 24mpbid 147 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต))
2625ex 115 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = ๐ต โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆƒwrex 2456   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877  โ„cr 7812  0cc0 7813   + caddc 7816   ยท cmul 7818  โ„*cxr 7993   < clt 7994   โ‰ค cle 7995  โ„คcz 9255  โ„šcq 9621  [,)cico 9892   mod cmo 10324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-q 9622  df-rp 9656  df-ico 9896  df-fl 10272  df-mod 10325
This theorem is referenced by:  modqmuladdnn0  10370  2lgsoddprmlem2  14539
  Copyright terms: Public domain W3C validator