Theorem modqmuladdim 10635

Description: Implication of a decomposition of an integer into a multiple of a modulus and a remainder. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqmuladdim	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀

Proof of Theorem modqmuladdim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵)
2		simpl1 1026	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
3		zq 9865	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
4	2, 3	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℚ)
5		simpl2 1027	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝑀 ∈ ℚ)
6		simpl3 1028	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 0 < 𝑀)
7	4, 5, 6	modqcld 10596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℚ)
8	1, 7	eqeltrrd 2308	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℚ)
9		qre 9864	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℝ)
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
11		modqge0 10600	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 0 ≤ (𝐴 mod 𝑀))
12	4, 5, 6, 11	syl3anc 1273	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 mod 𝑀))
13	12, 1	breqtrd 4115	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 0 ≤ 𝐵)
14		modqlt 10601	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (𝐴 mod 𝑀) < 𝑀)
15	4, 5, 6, 14	syl3anc 1273	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) < 𝑀)
16	1, 15	eqbrtrrd 4113	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐵 < 𝑀)
17		0re 8184	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
18		qre 9864	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℚ → 𝑀 ∈ ℝ)
19		rexr 8230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → 𝑀 ∈ ℝ*)
20	5, 18, 19	3syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝑀 ∈ ℝ*)
21		elico2 10177	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑀)))
22	17, 20, 21	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → (𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑀)))
23	10, 13, 16, 22	mpbir3and 1206	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐵 ∈ (0[,)𝑀))
24	2, 8, 23, 5, 6	modqmuladd 10634	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))
25	1, 24	mpbid 147	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵))
26	25	ex 115	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  ∃wrex 2510   class class class wbr 4089  (class class class)co 6023  ℝcr 8036  0cc0 8037   + caddc 8040   · cmul 8042  ℝ^*cxr 8218   < clt 8219   ≤ cle 8220  ℤcz 9484  ℚcq 9858  [,)cico 10130   mod cmo 10590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155  ax-arch 8156

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-n0 9408  df-z 9485  df-q 9859  df-rp 9894  df-ico 10134  df-fl 10536  df-mod 10591

This theorem is referenced by:  modqmuladdnn0  10636  2lgsoddprmlem2  15864