Theorem modqmuladdim 10622

Description: Implication of a decomposition of an integer into a multiple of a modulus and a remainder. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqmuladdim	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀

Proof of Theorem modqmuladdim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵)
2		simpl1 1024	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
3		zq 9853	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
4	2, 3	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℚ)
5		simpl2 1025	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝑀 ∈ ℚ)
6		simpl3 1026	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 0 < 𝑀)
7	4, 5, 6	modqcld 10583	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℚ)
8	1, 7	eqeltrrd 2307	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℚ)
9		qre 9852	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℝ)
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
11		modqge0 10587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 0 ≤ (𝐴 mod 𝑀))
12	4, 5, 6, 11	syl3anc 1271	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 mod 𝑀))
13	12, 1	breqtrd 4112	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 0 ≤ 𝐵)
14		modqlt 10588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (𝐴 mod 𝑀) < 𝑀)
15	4, 5, 6, 14	syl3anc 1271	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) < 𝑀)
16	1, 15	eqbrtrrd 4110	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐵 < 𝑀)
17		0re 8172	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
18		qre 9852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℚ → 𝑀 ∈ ℝ)
19		rexr 8218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → 𝑀 ∈ ℝ*)
20	5, 18, 19	3syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝑀 ∈ ℝ*)
21		elico2 10165	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑀)))
22	17, 20, 21	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → (𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑀)))
23	10, 13, 16, 22	mpbir3and 1204	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐵 ∈ (0[,)𝑀))
24	2, 8, 23, 5, 6	modqmuladd 10621	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))
25	1, 24	mpbid 147	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵))
26	25	ex 115	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013  ℝcr 8024  0cc0 8025   + caddc 8028   · cmul 8030  ℝ^*cxr 8206   < clt 8207   ≤ cle 8208  ℤcz 9472  ℚcq 9846  [,)cico 10118   mod cmo 10577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143  ax-arch 8144

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-n0 9396  df-z 9473  df-q 9847  df-rp 9882  df-ico 10122  df-fl 10523  df-mod 10578

This theorem is referenced by:  modqmuladdnn0  10623  2lgsoddprmlem2  15828