Theorem pceq0 12720

Description: There are zero powers of a prime 𝑃 in 𝑁 iff 𝑃 does not divide 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pceq0	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem pceq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnne0 9084	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ → (𝑃 pCnt 𝑁) ≠ 0)
2	1	neneqd 2398	. . . 4 ⊢ ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ → ¬ (𝑃 pCnt 𝑁) = 0)
3	2	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ) → ¬ (𝑃 pCnt 𝑁) = 0)
4		pcelnn 12719	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑃 ∥ 𝑁))
5	4	biimpa 296	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ 𝑁)
6	5	notnotd 631	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ) → ¬ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁)
7	3, 6	2falsed 704	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁))
8		simpr 110	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 pCnt 𝑁) = 0) → (𝑃 pCnt 𝑁) = 0)
9	1	necon2bi 2432	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 pCnt 𝑁) = 0 → ¬ (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
10	9	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 pCnt 𝑁) = 0) → ¬ (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
11	4	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 pCnt 𝑁) = 0) → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑃 ∥ 𝑁))
12	10, 11	mtbid 674	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 pCnt 𝑁) = 0) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑁)
13	8, 12	2thd 175	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 pCnt 𝑁) = 0) → ((𝑃 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁))
14		pccl 12697	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
15		elnn0 9317	. . 3 ⊢ ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ∨ (𝑃 pCnt 𝑁) = 0))
16	14, 15	sylib 122	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ∨ (𝑃 pCnt 𝑁) = 0))
17	7, 13, 16	mpjaodan 800	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 710   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4051  (class class class)co 5957  0cc0 7945  ℕcn 9056  ℕ₀cn0 9315   ∥ cdvds 12173  ℙcprime 12504   pCnt cpc 12682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062  ax-pre-mulext 8063  ax-arch 8064  ax-caucvg 8065

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-isom 5289  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-frec 6490  df-1o 6515  df-2o 6516  df-er 6633  df-en 6841  df-sup 7101  df-inf 7102  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-reap 8668  df-ap 8675  df-div 8766  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-q 9761  df-rp 9796  df-fz 10151  df-fzo 10285  df-fl 10435  df-mod 10490  df-seqfrec 10615  df-exp 10706  df-cj 11228  df-re 11229  df-im 11230  df-rsqrt 11384  df-abs 11385  df-dvds 12174  df-gcd 12350  df-prm 12505  df-pc 12683

This theorem is referenced by:  pcprmpw2  12731  pcaddlem  12737  pcmpt  12741  pcprod  12744  lgsval2lem  15562  lgsmod  15578  lgsdilem2  15588  lgsne0  15590