Theorem pceq0 12349

Description: There are zero powers of a prime 𝑃 in 𝑁 iff 𝑃 does not divide 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pceq0	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem pceq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnne0 8972	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ → (𝑃 pCnt 𝑁) ≠ 0)
2	1	neneqd 2381	. . . 4 ⊢ ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ → ¬ (𝑃 pCnt 𝑁) = 0)
3	2	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ) → ¬ (𝑃 pCnt 𝑁) = 0)
4		pcelnn 12348	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑃 ∥ 𝑁))
5	4	biimpa 296	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ 𝑁)
6	5	notnotd 631	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ) → ¬ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁)
7	3, 6	2falsed 703	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁))
8		simpr 110	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 pCnt 𝑁) = 0) → (𝑃 pCnt 𝑁) = 0)
9	1	necon2bi 2415	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 pCnt 𝑁) = 0 → ¬ (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
10	9	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 pCnt 𝑁) = 0) → ¬ (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
11	4	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 pCnt 𝑁) = 0) → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑃 ∥ 𝑁))
12	10, 11	mtbid 673	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 pCnt 𝑁) = 0) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑁)
13	8, 12	2thd 175	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 pCnt 𝑁) = 0) → ((𝑃 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁))
14		pccl 12326	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
15		elnn0 9203	. . 3 ⊢ ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ∨ (𝑃 pCnt 𝑁) = 0))
16	14, 15	sylib 122	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ∨ (𝑃 pCnt 𝑁) = 0))
17	7, 13, 16	mpjaodan 799	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5892  0cc0 7836  ℕcn 8944  ℕ₀cn0 9201   ∥ cdvds 11821  ℙcprime 12134   pCnt cpc 12311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1cn 7929  ax-1re 7930  ax-icn 7931  ax-addcl 7932  ax-addrcl 7933  ax-mulcl 7934  ax-mulrcl 7935  ax-addcom 7936  ax-mulcom 7937  ax-addass 7938  ax-mulass 7939  ax-distr 7940  ax-i2m1 7941  ax-0lt1 7942  ax-1rid 7943  ax-0id 7944  ax-rnegex 7945  ax-precex 7946  ax-cnre 7947  ax-pre-ltirr 7948  ax-pre-ltwlin 7949  ax-pre-lttrn 7950  ax-pre-apti 7951  ax-pre-ltadd 7952  ax-pre-mulgt0 7953  ax-pre-mulext 7954  ax-arch 7955  ax-caucvg 7956

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-isom 5241  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-recs 6325  df-frec 6411  df-1o 6436  df-2o 6437  df-er 6554  df-en 6762  df-sup 7008  df-inf 7009  df-pnf 8019  df-mnf 8020  df-xr 8021  df-ltxr 8022  df-le 8023  df-sub 8155  df-neg 8156  df-reap 8557  df-ap 8564  df-div 8655  df-inn 8945  df-2 9003  df-3 9004  df-4 9005  df-n0 9202  df-z 9279  df-uz 9554  df-q 9645  df-rp 9679  df-fz 10034  df-fzo 10168  df-fl 10296  df-mod 10349  df-seqfrec 10472  df-exp 10546  df-cj 10878  df-re 10879  df-im 10880  df-rsqrt 11034  df-abs 11035  df-dvds 11822  df-gcd 11971  df-prm 12135  df-pc 12312

This theorem is referenced by:  pcprmpw2  12360  pcaddlem  12366  pcmpt  12370  pcprod  12373  lgsval2lem  14848  lgsmod  14864  lgsdilem2  14874  lgsne0  14876