Theorem mulgnn0ass 12972

Description: Product of group multiples, generalized to ℕ₀. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgass.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0ass	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgnn0ass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndsgrp 12776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Smgrp)
2	1	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Smgrp)
3	2	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐺 ∈ Smgrp)
4		simprl 529	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑀 ∈ ℕ)
5		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
6		simpr3 1005	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7	6	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		mulgass.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
9		mulgass.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝐺)
10	8, 9	mulgnnass 12971	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
11	3, 4, 5, 7, 10	syl13anc 1240	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
12	11	expr 375	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
13		eqid 2177	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
14	8, 13, 9	mulg0 12942	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
15	6, 14	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
16		simpr1 1003	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
17	16	nn0cnd 9229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℂ)
18	17	mul01d 8348	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · 0) = 0)
19	18	oveq1d 5889	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 0) · 𝑋) = (0 · 𝑋))
20	15	oveq2d 5890	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (0 · 𝑋)) = (𝑀 · (0g‘𝐺)))
21	8, 9, 13	mulgnn0z 12963	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
22	21	3ad2antr1 1162	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
23	20, 22	eqtrd 2210	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (0 · 𝑋)) = (0g‘𝐺))
24	15, 19, 23	3eqtr4d 2220	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 0) · 𝑋) = (𝑀 · (0 · 𝑋)))
25	24	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 0) · 𝑋) = (𝑀 · (0 · 𝑋)))
26		oveq2 5882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑀 · 𝑁) = (𝑀 · 0))
27	26	oveq1d 5889	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 0) · 𝑋))
28		oveq1 5881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
29	28	oveq2d 5890	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) = (𝑀 · (0 · 𝑋)))
30	27, 29	eqeq12d 2192	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) ↔ ((𝑀 · 0) · 𝑋) = (𝑀 · (0 · 𝑋))))
31	25, 30	syl5ibrcom 157	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 = 0 → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
32		simpr2 1004	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
33		elnn0 9176	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
34	32, 33	sylib 122	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
35	34	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
36	12, 31, 35	mpjaod 718	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
37	36	ex 115	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
38	32	nn0cnd 9229	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℂ)
39	38	mul02d 8347	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (0 · 𝑁) = 0)
40	39	oveq1d 5889	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((0 · 𝑁) · 𝑋) = (0 · 𝑋))
41	8, 9	mulgnn0cl 12953	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
42	41	3adant3r1 1212	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
43	8, 13, 9	mulg0 12942	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵 → (0 · (𝑁 · 𝑋)) = (0g‘𝐺))
44	42, 43	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (0 · (𝑁 · 𝑋)) = (0g‘𝐺))
45	15, 40, 44	3eqtr4d 2220	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((0 · 𝑁) · 𝑋) = (0 · (𝑁 · 𝑋)))
46		oveq1 5881	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 · 𝑁) = (0 · 𝑁))
47	46	oveq1d 5889	. . . 4 ⊢ (𝑀 = 0 → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = ((0 · 𝑁) · 𝑋))
48		oveq1 5881	. . . 4 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) = (0 · (𝑁 · 𝑋)))
49	47, 48	eqeq12d 2192	. . 3 ⊢ (𝑀 = 0 → (((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) ↔ ((0 · 𝑁) · 𝑋) = (0 · (𝑁 · 𝑋))))
50	45, 49	syl5ibrcom 157	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 = 0 → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
51		elnn0 9176	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
52	16, 51	sylib 122	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
53	37, 50, 52	mpjaod 718	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 708   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ‘cfv 5216  (class class class)co 5874  0cc0 7810   · cmul 7815  ℕcn 8917  ℕ₀cn0 9174  Basecbs 12456  0_gc0g 12695  Smgrpcsgrp 12761  Mndcmnd 12771  ._gcmg 12937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-inn 8918  df-2 8976  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-fz 10007  df-fzo 10140  df-seqfrec 10443  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-base 12462  df-plusg 12543  df-0g 12697  df-mgm 12729  df-sgrp 12762  df-mnd 12772  df-minusg 12835  df-mulg 12938

This theorem is referenced by:  mulgass  12973