Theorem odzdvds 12247

Description: The only powers of 𝐴 that are congruent to 1 are the multiples of the order of 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
odzdvds	⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑𝐾) − 1) ↔ ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∥ 𝐾))

Proof of Theorem odzdvds

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 9275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
2		zq 9628	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℚ)
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℚ)
4	3	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℚ)
5		odzcl 12245	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ)
6	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ)
7		nnq 9635	. . . . . . . . 9 ⊢ (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ → ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℚ)
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℚ)
9	6	nngt0d 8965	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 < ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))
10		modqlt 10335	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℚ ∧ ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℚ ∧ 0 < ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) → (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) < ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))
11	4, 8, 9, 10	syl3anc 1238	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) < ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))
12	1	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
13	12, 6	zmodcld 10347	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ0)
14	13	nn0zd 9375	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℤ)
15	6	nnzd 9376	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℤ)
16		zltnle 9301	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℤ) → ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) < ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ↔ ¬ ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ≤ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))
17	14, 15, 16	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) < ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ↔ ¬ ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ≤ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))
18	11, 17	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ¬ ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ≤ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))
19		1zzd 9282	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1))) → 1 ∈ ℤ)
20		nnuz 9565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
21	20	rabeqi 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)} = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)}
22		oveq2 5885	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))
23	22	oveq1d 5892	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) → ((𝐴↑𝑛) − 1) = ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1))
24	23	breq2d 4017	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1)))
25	24	elrab 2895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)} ↔ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1)))
26	25	biimpri 133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1)) → (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)})
27	26	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1))) → (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)})
28		simp1 997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℕ)
29	28	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1))) ∧ 𝑛 ∈ (1...(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
30		simp2 998	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
31	30	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1))) ∧ 𝑛 ∈ (1...(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) → 𝐴 ∈ ℤ)
32		elfznn 10056	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
33	32	nnnn0d 9231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
34	33	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1))) ∧ 𝑛 ∈ (1...(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
35		zexpcl 10537	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑛) ∈ ℤ)
36	31, 34, 35	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1))) ∧ 𝑛 ∈ (1...(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) → (𝐴↑𝑛) ∈ ℤ)
37		peano2zm 9293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴↑𝑛) ∈ ℤ → ((𝐴↑𝑛) − 1) ∈ ℤ)
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1))) ∧ 𝑛 ∈ (1...(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) → ((𝐴↑𝑛) − 1) ∈ ℤ)
39		dvdsdc 11807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴↑𝑛) − 1) ∈ ℤ) → DECID 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1))
40	29, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1))) ∧ 𝑛 ∈ (1...(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) → DECID 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1))
41	19, 21, 27, 40	infssuzledc 11953	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1))) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))
42	41	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1)) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))
43	42	ancomsd 269	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1) ∧ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))
44		odzval 12243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)}, ℝ, < ))
45	44	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)}, ℝ, < ))
46	45	breq1d 4015	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ≤ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ↔ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))
47	43, 46	sylibrd 169	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1) ∧ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ) → ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ≤ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))
48	18, 47	mtod 663	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ¬ (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1) ∧ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ))
49		imnan 690	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1) → ¬ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ) ↔ ¬ (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1) ∧ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ))
50	48, 49	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1) → ¬ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ))
51		elnn0 9180	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∨ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = 0))
52	13, 51	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∨ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = 0))
53	52	ord 724	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (¬ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ → (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = 0))
54	50, 53	syld 45	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1) → (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = 0))
55		simpl1 1000	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
56	55	nnzd 9376	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
57		dvds0 11815	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 0)
58	56, 57	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∥ 0)
59		simpl2 1001	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
60	59	zcnd 9378	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
61	60	exp0d 10650	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑0) = 1)
62	61	oveq1d 5892	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑0) − 1) = (1 − 1))
63		1m1e0 8990	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
64	62, 63	eqtrdi 2226	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑0) − 1) = 0)
65	58, 64	breqtrrd 4033	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∥ ((𝐴↑0) − 1))
66		oveq2 5885	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = 0 → (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) = (𝐴↑0))
67	66	oveq1d 5892	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = 0 → ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1) = ((𝐴↑0) − 1))
68	67	breq2d 4017	. . . 4 ⊢ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = 0 → (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑0) − 1)))
69	65, 68	syl5ibrcom 157	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = 0 → 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1)))
70	54, 69	impbid 129	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1) ↔ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = 0))
71	6	nnnn0d 9231	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ0)
72		znq 9626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℚ)
73	12, 6, 72	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℚ)
74		nn0ge0 9203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾)
75	74	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐾)
76		nn0re 9187	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
77	76	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
78	6	nnred 8934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℝ)
79		ge0div 8830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) → (0 ≤ 𝐾 ↔ 0 ≤ (𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))
80	77, 78, 9, 79	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝐾 ↔ 0 ≤ (𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))
81	75, 80	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))
82		flqge0nn0 10295	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℚ ∧ 0 ≤ (𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) → (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) ∈ ℕ0)
83	73, 81, 82	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) ∈ ℕ0)
84	71, 83	nn0mulcld 9236	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) ∈ ℕ0)
85		zexpcl 10537	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) ∈ ℤ)
86	59, 84, 85	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) ∈ ℤ)
87		zq 9628	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) ∈ ℤ → (𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) ∈ ℚ)
88	86, 87	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) ∈ ℚ)
89		1z 9281	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
90		zq 9628	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
91	89, 90	mp1i 10	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℚ)
92		zexpcl 10537	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ)
93	59, 13, 92	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ)
94		nnq 9635	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
95	55, 94	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℚ)
96	55	nngt0d 8965	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑁)
97	60, 83, 71	expmuld 10659	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) = ((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴))↑(⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))))
98	97	oveq1d 5892	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) mod 𝑁) = (((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴))↑(⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁))
99		zexpcl 10537	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℤ)
100	59, 71, 99	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℤ)
101		1zzd 9282	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℤ)
102		odzid 12246	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∥ ((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) − 1))
103	102	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∥ ((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) − 1))
104		moddvds 11808	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) − 1)))
105	55, 100, 101, 104	syl3anc 1238	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) − 1)))
106	103, 105	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
107	100, 101, 83, 95, 96, 106	modqexp 10649	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴))↑(⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = ((1↑(⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁))
108	73	flqcld 10279	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ)
109		1exp 10551	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ → (1↑(⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) = 1)
110	108, 109	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (1↑(⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) = 1)
111	110	oveq1d 5892	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((1↑(⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
112	98, 107, 111	3eqtrd 2214	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
113	88, 91, 93, 95, 96, 112	modqmul1 10379	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) · (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = ((1 · (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁))
114	60, 13, 84	expaddd 10658	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) = ((𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) · (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))))
115		modqval 10326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℚ ∧ ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℚ ∧ 0 < ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) → (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = (𝐾 − (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))))
116	4, 8, 9, 115	syl3anc 1238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = (𝐾 − (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))))
117	116	oveq2d 5893	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) = ((((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 − (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))))))
118	84	nn0cnd 9233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) ∈ ℂ)
119	77	recnd 7988	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℂ)
120	118, 119	pncan3d 8273	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 − (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))))) = 𝐾)
121	117, 120	eqtrd 2210	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) = 𝐾)
122	121	oveq2d 5893	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) = (𝐴↑𝐾))
123	114, 122	eqtr3d 2212	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) · (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) = (𝐴↑𝐾))
124	123	oveq1d 5892	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) · (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = ((𝐴↑𝐾) mod 𝑁))
125	93	zcnd 9378	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) ∈ ℂ)
126	125	mulid2d 7978	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (1 · (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) = (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))
127	126	oveq1d 5892	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((1 · (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) mod 𝑁))
128	113, 124, 127	3eqtr3d 2218	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝐾) mod 𝑁) = ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) mod 𝑁))
129	128	eqeq1d 2186	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑𝐾) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)))
130		zexpcl 10537	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐾) ∈ ℤ)
131	59, 130	sylancom 420	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐾) ∈ ℤ)
132		moddvds 11808	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝐾) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴↑𝐾) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝐾) − 1)))
133	55, 131, 101, 132	syl3anc 1238	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑𝐾) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝐾) − 1)))
134		moddvds 11808	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1)))
135	55, 93, 101, 134	syl3anc 1238	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1)))
136	129, 133, 135	3bitr3d 218	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑𝐾) − 1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1)))
137		dvdsval3 11800	. . 3 ⊢ ((((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∥ 𝐾 ↔ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = 0))
138	6, 12, 137	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∥ 𝐾 ↔ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = 0))
139	70, 136, 138	3bitr4d 220	1 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑𝐾) − 1) ↔ ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∥ 𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708  DECID wdc 834   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {crab 2459   class class class wbr 4005  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  infcinf 6984  ℝcr 7812  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816   · cmul 7818   < clt 7994   ≤ cle 7995   − cmin 8130   / cdiv 8631  ℕcn 8921  ℕ₀cn0 9178  ℤcz 9255  ℤ_≥cuz 9530  ℚcq 9621  ...cfz 10010  ⌊cfl 10270   mod cmo 10324  ↑cexp 10521   ∥ cdvds 11796   gcd cgcd 11945  od_ℤcodz 12210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-frec 6394  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-er 6537  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-fl 10272  df-mod 10325  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-ihash 10758  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289  df-proddc 11561  df-dvds 11797  df-gcd 11946  df-odz 12212  df-phi 12213

This theorem is referenced by:  odzphi  12248  pockthlem  12356