Theorem odzdvds 12383

Description: The only powers of 𝐴 that are congruent to 1 are the multiples of the order of 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
odzdvds	⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑𝐾) − 1) ↔ ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∥ 𝐾))

Proof of Theorem odzdvds

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 9337	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
2		zq 9691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℚ)
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℚ)
4	3	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℚ)
5		odzcl 12381	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ)
6	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ)
7		nnq 9698	. . . . . . . . 9 ⊢ (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ → ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℚ)
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℚ)
9	6	nngt0d 9026	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 < ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))
10		modqlt 10404	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℚ ∧ ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℚ ∧ 0 < ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) → (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) < ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))
11	4, 8, 9, 10	syl3anc 1249	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) < ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))
12	1	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
13	12, 6	zmodcld 10416	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ0)
14	13	nn0zd 9437	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℤ)
15	6	nnzd 9438	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℤ)
16		zltnle 9363	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℤ) → ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) < ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ↔ ¬ ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ≤ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))
17	14, 15, 16	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) < ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ↔ ¬ ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ≤ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))
18	11, 17	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ¬ ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ≤ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))
19		1zzd 9344	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1))) → 1 ∈ ℤ)
20		nnuz 9628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
21	20	rabeqi 2753	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)} = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)}
22		oveq2 5926	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))
23	22	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) → ((𝐴↑𝑛) − 1) = ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1))
24	23	breq2d 4041	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1)))
25	24	elrab 2916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)} ↔ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1)))
26	25	biimpri 133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1)) → (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)})
27	26	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1))) → (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)})
28		simp1 999	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℕ)
29	28	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1))) ∧ 𝑛 ∈ (1...(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
30		simp2 1000	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
31	30	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1))) ∧ 𝑛 ∈ (1...(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) → 𝐴 ∈ ℤ)
32		elfznn 10120	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
33	32	nnnn0d 9293	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
34	33	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1))) ∧ 𝑛 ∈ (1...(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
35		zexpcl 10625	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑛) ∈ ℤ)
36	31, 34, 35	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1))) ∧ 𝑛 ∈ (1...(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) → (𝐴↑𝑛) ∈ ℤ)
37		peano2zm 9355	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴↑𝑛) ∈ ℤ → ((𝐴↑𝑛) − 1) ∈ ℤ)
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1))) ∧ 𝑛 ∈ (1...(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) → ((𝐴↑𝑛) − 1) ∈ ℤ)
39		dvdsdc 11941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴↑𝑛) − 1) ∈ ℤ) → DECID 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1))
40	29, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1))) ∧ 𝑛 ∈ (1...(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) → DECID 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1))
41	19, 21, 27, 40	infssuzledc 12087	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1))) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))
42	41	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1)) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))
43	42	ancomsd 269	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1) ∧ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))
44		odzval 12379	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)}, ℝ, < ))
45	44	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)}, ℝ, < ))
46	45	breq1d 4039	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ≤ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ↔ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))
47	43, 46	sylibrd 169	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1) ∧ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ) → ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ≤ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))
48	18, 47	mtod 664	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ¬ (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1) ∧ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ))
49		imnan 691	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1) → ¬ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ) ↔ ¬ (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1) ∧ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ))
50	48, 49	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1) → ¬ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ))
51		elnn0 9242	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∨ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = 0))
52	13, 51	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∨ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = 0))
53	52	ord 725	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (¬ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ → (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = 0))
54	50, 53	syld 45	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1) → (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = 0))
55		simpl1 1002	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
56	55	nnzd 9438	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
57		dvds0 11949	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 0)
58	56, 57	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∥ 0)
59		simpl2 1003	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
60	59	zcnd 9440	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
61	60	exp0d 10738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑0) = 1)
62	61	oveq1d 5933	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑0) − 1) = (1 − 1))
63		1m1e0 9051	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
64	62, 63	eqtrdi 2242	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑0) − 1) = 0)
65	58, 64	breqtrrd 4057	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∥ ((𝐴↑0) − 1))
66		oveq2 5926	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = 0 → (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) = (𝐴↑0))
67	66	oveq1d 5933	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = 0 → ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1) = ((𝐴↑0) − 1))
68	67	breq2d 4041	. . . 4 ⊢ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = 0 → (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑0) − 1)))
69	65, 68	syl5ibrcom 157	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = 0 → 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1)))
70	54, 69	impbid 129	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1) ↔ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = 0))
71	6	nnnn0d 9293	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ0)
72		znq 9689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℚ)
73	12, 6, 72	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℚ)
74		nn0ge0 9265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾)
75	74	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐾)
76		nn0re 9249	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
77	76	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
78	6	nnred 8995	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℝ)
79		ge0div 8890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) → (0 ≤ 𝐾 ↔ 0 ≤ (𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))
80	77, 78, 9, 79	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝐾 ↔ 0 ≤ (𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))
81	75, 80	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))
82		flqge0nn0 10362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℚ ∧ 0 ≤ (𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) → (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) ∈ ℕ0)
83	73, 81, 82	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) ∈ ℕ0)
84	71, 83	nn0mulcld 9298	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) ∈ ℕ0)
85		zexpcl 10625	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) ∈ ℤ)
86	59, 84, 85	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) ∈ ℤ)
87		zq 9691	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) ∈ ℤ → (𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) ∈ ℚ)
88	86, 87	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) ∈ ℚ)
89		1z 9343	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
90		zq 9691	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
91	89, 90	mp1i 10	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℚ)
92		zexpcl 10625	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ)
93	59, 13, 92	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ)
94		nnq 9698	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
95	55, 94	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℚ)
96	55	nngt0d 9026	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑁)
97	60, 83, 71	expmuld 10747	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) = ((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴))↑(⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))))
98	97	oveq1d 5933	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) mod 𝑁) = (((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴))↑(⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁))
99		zexpcl 10625	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℤ)
100	59, 71, 99	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℤ)
101		1zzd 9344	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℤ)
102		odzid 12382	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∥ ((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) − 1))
103	102	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∥ ((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) − 1))
104		moddvds 11942	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) − 1)))
105	55, 100, 101, 104	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) − 1)))
106	103, 105	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
107	100, 101, 83, 95, 96, 106	modqexp 10737	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴))↑(⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = ((1↑(⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁))
108	73	flqcld 10346	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ)
109		1exp 10639	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ → (1↑(⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) = 1)
110	108, 109	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (1↑(⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) = 1)
111	110	oveq1d 5933	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((1↑(⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
112	98, 107, 111	3eqtrd 2230	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
113	88, 91, 93, 95, 96, 112	modqmul1 10448	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) · (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = ((1 · (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁))
114	60, 13, 84	expaddd 10746	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) = ((𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) · (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))))
115		modqval 10395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℚ ∧ ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℚ ∧ 0 < ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) → (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = (𝐾 − (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))))
116	4, 8, 9, 115	syl3anc 1249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = (𝐾 − (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))))
117	116	oveq2d 5934	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) = ((((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 − (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))))))
118	84	nn0cnd 9295	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) ∈ ℂ)
119	77	recnd 8048	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℂ)
120	118, 119	pncan3d 8333	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 − (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))))) = 𝐾)
121	117, 120	eqtrd 2226	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) = 𝐾)
122	121	oveq2d 5934	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) = (𝐴↑𝐾))
123	114, 122	eqtr3d 2228	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) · (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) = (𝐴↑𝐾))
124	123	oveq1d 5933	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) · (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = ((𝐴↑𝐾) mod 𝑁))
125	93	zcnd 9440	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) ∈ ℂ)
126	125	mulid2d 8038	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (1 · (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) = (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))
127	126	oveq1d 5933	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((1 · (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) mod 𝑁))
128	113, 124, 127	3eqtr3d 2234	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝐾) mod 𝑁) = ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) mod 𝑁))
129	128	eqeq1d 2202	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑𝐾) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)))
130		zexpcl 10625	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐾) ∈ ℤ)
131	59, 130	sylancom 420	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐾) ∈ ℤ)
132		moddvds 11942	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝐾) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴↑𝐾) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝐾) − 1)))
133	55, 131, 101, 132	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑𝐾) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝐾) − 1)))
134		moddvds 11942	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1)))
135	55, 93, 101, 134	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1)))
136	129, 133, 135	3bitr3d 218	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑𝐾) − 1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1)))
137		dvdsval3 11934	. . 3 ⊢ ((((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∥ 𝐾 ↔ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = 0))
138	6, 12, 137	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∥ 𝐾 ↔ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = 0))
139	70, 136, 138	3bitr4d 220	1 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑𝐾) − 1) ↔ ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∥ 𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  DECID wdc 835   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  {crab 2476   class class class wbr 4029  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  infcinf 7042  ℝcr 7871  0cc0 7872  1c1 7873   + caddc 7875   · cmul 7877   < clt 8054   ≤ cle 8055   − cmin 8190   / cdiv 8691  ℕcn 8982  ℕ₀cn0 9240  ℤcz 9317  ℤ_≥cuz 9592  ℚcq 9684  ...cfz 10074  ⌊cfl 10337   mod cmo 10393  ↑cexp 10609   ∥ cdvds 11930   gcd cgcd 12079  od_ℤcodz 12346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-oadd 6473  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-sup 7043  df-inf 7044  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-fl 10339  df-mod 10394  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-ihash 10847  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-proddc 11694  df-dvds 11931  df-gcd 12080  df-odz 12348  df-phi 12349

This theorem is referenced by:  odzphi  12384  pockthlem  12494