Theorem odzdvds 12881

Description: The only powers of 𝐴 that are congruent to 1 are the multiples of the order of 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
odzdvds	⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑𝐾) − 1) ↔ ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∥ 𝐾))

Proof of Theorem odzdvds

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 9543	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
2		zq 9904	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℚ)
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℚ)
4	3	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℚ)
5		odzcl 12879	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ)
6	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ)
7		nnq 9911	. . . . . . . . 9 ⊢ (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ → ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℚ)
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℚ)
9	6	nngt0d 9229	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 < ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))
10		modqlt 10641	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℚ ∧ ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℚ ∧ 0 < ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) → (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) < ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))
11	4, 8, 9, 10	syl3anc 1274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) < ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))
12	1	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
13	12, 6	zmodcld 10653	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ0)
14	13	nn0zd 9644	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℤ)
15	6	nnzd 9645	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℤ)
16		zltnle 9569	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℤ) → ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) < ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ↔ ¬ ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ≤ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))
17	14, 15, 16	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) < ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ↔ ¬ ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ≤ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))
18	11, 17	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ¬ ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ≤ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))
19		1zzd 9550	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1))) → 1 ∈ ℤ)
20		nnuz 9836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
21	20	rabeqi 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)} = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)}
22		oveq2 6036	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))
23	22	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) → ((𝐴↑𝑛) − 1) = ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1))
24	23	breq2d 4105	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1)))
25	24	elrab 2963	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)} ↔ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1)))
26	25	biimpri 133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1)) → (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)})
27	26	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1))) → (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)})
28		simp1 1024	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℕ)
29	28	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1))) ∧ 𝑛 ∈ (1...(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
30		simp2 1025	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
31	30	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1))) ∧ 𝑛 ∈ (1...(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) → 𝐴 ∈ ℤ)
32		elfznn 10334	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
33	32	nnnn0d 9499	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
34	33	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1))) ∧ 𝑛 ∈ (1...(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
35		zexpcl 10862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑛) ∈ ℤ)
36	31, 34, 35	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1))) ∧ 𝑛 ∈ (1...(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) → (𝐴↑𝑛) ∈ ℤ)
37		peano2zm 9561	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴↑𝑛) ∈ ℤ → ((𝐴↑𝑛) − 1) ∈ ℤ)
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1))) ∧ 𝑛 ∈ (1...(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) → ((𝐴↑𝑛) − 1) ∈ ℤ)
39		dvdsdc 12422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴↑𝑛) − 1) ∈ ℤ) → DECID 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1))
40	29, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1))) ∧ 𝑛 ∈ (1...(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) → DECID 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1))
41	19, 21, 27, 40	infssuzledc 10540	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1))) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))
42	41	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1)) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))
43	42	ancomsd 269	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1) ∧ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))
44		odzval 12877	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)}, ℝ, < ))
45	44	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)}, ℝ, < ))
46	45	breq1d 4103	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ≤ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ↔ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))
47	43, 46	sylibrd 169	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1) ∧ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ) → ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ≤ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))
48	18, 47	mtod 669	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ¬ (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1) ∧ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ))
49		imnan 697	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1) → ¬ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ) ↔ ¬ (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1) ∧ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ))
50	48, 49	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1) → ¬ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ))
51		elnn0 9446	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∨ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = 0))
52	13, 51	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∨ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = 0))
53	52	ord 732	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (¬ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ → (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = 0))
54	50, 53	syld 45	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1) → (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = 0))
55		simpl1 1027	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
56	55	nnzd 9645	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
57		dvds0 12430	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 0)
58	56, 57	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∥ 0)
59		simpl2 1028	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
60	59	zcnd 9647	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
61	60	exp0d 10975	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑0) = 1)
62	61	oveq1d 6043	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑0) − 1) = (1 − 1))
63		1m1e0 9254	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
64	62, 63	eqtrdi 2280	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑0) − 1) = 0)
65	58, 64	breqtrrd 4121	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∥ ((𝐴↑0) − 1))
66		oveq2 6036	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = 0 → (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) = (𝐴↑0))
67	66	oveq1d 6043	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = 0 → ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1) = ((𝐴↑0) − 1))
68	67	breq2d 4105	. . . 4 ⊢ ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = 0 → (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑0) − 1)))
69	65, 68	syl5ibrcom 157	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = 0 → 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1)))
70	54, 69	impbid 129	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1) ↔ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = 0))
71	6	nnnn0d 9499	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ0)
72		znq 9902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℚ)
73	12, 6, 72	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℚ)
74		nn0ge0 9469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾)
75	74	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐾)
76		nn0re 9453	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
77	76	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
78	6	nnred 9198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℝ)
79		ge0div 9093	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) → (0 ≤ 𝐾 ↔ 0 ≤ (𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))
80	77, 78, 9, 79	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝐾 ↔ 0 ≤ (𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))
81	75, 80	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))
82		flqge0nn0 10599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℚ ∧ 0 ≤ (𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) → (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) ∈ ℕ0)
83	73, 81, 82	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) ∈ ℕ0)
84	71, 83	nn0mulcld 9504	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) ∈ ℕ0)
85		zexpcl 10862	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) ∈ ℤ)
86	59, 84, 85	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) ∈ ℤ)
87		zq 9904	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) ∈ ℤ → (𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) ∈ ℚ)
88	86, 87	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) ∈ ℚ)
89		1z 9549	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
90		zq 9904	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
91	89, 90	mp1i 10	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℚ)
92		zexpcl 10862	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ)
93	59, 13, 92	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ)
94		nnq 9911	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
95	55, 94	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℚ)
96	55	nngt0d 9229	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑁)
97	60, 83, 71	expmuld 10984	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) = ((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴))↑(⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))))
98	97	oveq1d 6043	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) mod 𝑁) = (((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴))↑(⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁))
99		zexpcl 10862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℤ)
100	59, 71, 99	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℤ)
101		1zzd 9550	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℤ)
102		odzid 12880	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∥ ((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) − 1))
103	102	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∥ ((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) − 1))
104		moddvds 12423	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) − 1)))
105	55, 100, 101, 104	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) − 1)))
106	103, 105	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
107	100, 101, 83, 95, 96, 106	modqexp 10974	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑((odℤ‘𝑁)‘𝐴))↑(⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = ((1↑(⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁))
108	73	flqcld 10583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ)
109		1exp 10876	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ → (1↑(⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) = 1)
110	108, 109	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (1↑(⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) = 1)
111	110	oveq1d 6043	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((1↑(⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
112	98, 107, 111	3eqtrd 2268	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
113	88, 91, 93, 95, 96, 112	modqmul1 10685	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) · (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = ((1 · (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁))
114	60, 13, 84	expaddd 10983	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) = ((𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) · (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))))
115		modqval 10632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℚ ∧ ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℚ ∧ 0 < ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) → (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = (𝐾 − (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))))
116	4, 8, 9, 115	syl3anc 1274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = (𝐾 − (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))))
117	116	oveq2d 6044	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) = ((((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 − (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))))))
118	84	nn0cnd 9501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) ∈ ℂ)
119	77	recnd 8250	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℂ)
120	118, 119	pncan3d 8535	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 − (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))))) = 𝐾)
121	117, 120	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) = 𝐾)
122	121	oveq2d 6044	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) = (𝐴↑𝐾))
123	114, 122	eqtr3d 2266	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) · (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) = (𝐴↑𝐾))
124	123	oveq1d 6043	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑(((odℤ‘𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))) · (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = ((𝐴↑𝐾) mod 𝑁))
125	93	zcnd 9647	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) ∈ ℂ)
126	125	mullidd 8240	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (1 · (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) = (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))))
127	126	oveq1d 6043	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((1 · (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) mod 𝑁))
128	113, 124, 127	3eqtr3d 2272	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝐾) mod 𝑁) = ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) mod 𝑁))
129	128	eqeq1d 2240	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑𝐾) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)))
130		zexpcl 10862	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐾) ∈ ℤ)
131	59, 130	sylancom 420	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐾) ∈ ℤ)
132		moddvds 12423	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝐾) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴↑𝐾) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝐾) − 1)))
133	55, 131, 101, 132	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑𝐾) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑𝐾) − 1)))
134		moddvds 12423	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1)))
135	55, 93, 101, 134	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1)))
136	129, 133, 135	3bitr3d 218	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑𝐾) − 1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴))) − 1)))
137		dvdsval3 12415	. . 3 ⊢ ((((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∥ 𝐾 ↔ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = 0))
138	6, 12, 137	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∥ 𝐾 ↔ (𝐾 mod ((odℤ‘𝑁)‘𝐴)) = 0))
139	70, 136, 138	3bitr4d 220	1 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑𝐾) − 1) ↔ ((odℤ‘𝑁)‘𝐴) ∥ 𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716  DECID wdc 842   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  {crab 2515   class class class wbr 4093  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  infcinf 7225  ℝcr 8074  0cc0 8075  1c1 8076   + caddc 8078   · cmul 8080   < clt 8256   ≤ cle 8257   − cmin 8392   / cdiv 8894  ℕcn 9185  ℕ₀cn0 9444  ℤcz 9523  ℤ_≥cuz 9799  ℚcq 9897  ...cfz 10288  ⌊cfl 10574   mod cmo 10630  ↑cexp 10846   ∥ cdvds 12411   gcd cgcd 12587  od_ℤcodz 12843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-sup 7226  df-inf 7227  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-q 9898  df-rp 9933  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-fl 10576  df-mod 10631  df-seqfrec 10756  df-exp 10847  df-ihash 11084  df-cj 11465  df-re 11466  df-im 11467  df-rsqrt 11621  df-abs 11622  df-clim 11902  df-proddc 12175  df-dvds 12412  df-gcd 12588  df-odz 12845  df-phi 12846

This theorem is referenced by:  odzphi  12882  pockthlem  12992