Theorem mulgcd 12017

Description: Distribute multiplication by a nonnegative integer over gcd. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mulgcd	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)))

Proof of Theorem mulgcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9178	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0))
2		simp1 997	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℕ)
3	2	nnzd 9374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
4		simp2 998	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
5	3, 4	zmulcld 9381	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ)
6		simp3 999	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
7	3, 6	zmulcld 9381	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ)
8	5, 7	gcdcld 11969	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∈ ℕ0)
9	2	nnnn0d 9229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℕ0)
10		gcdcl 11967	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
11	10	3adant1 1015	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
12	9, 11	nn0mulcld 9234	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ0)
13	8	nn0cnd 9231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∈ ℂ)
14	2	nncnd 8933	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℂ)
15	2	nnap0d 8965	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 # 0)
16	13, 14, 15	divcanap2d 8749	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾)) = ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)))
17		gcddvds 11964	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑀) ∧ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑁)))
18	5, 7, 17	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑀) ∧ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑁)))
19	18	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑀))
20	16, 19	eqbrtrd 4026	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾)) ∥ (𝐾 · 𝑀))
21		dvdsmul1 11820	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ (𝐾 · 𝑀))
22	3, 4, 21	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ (𝐾 · 𝑀))
23		dvdsmul1 11820	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ (𝐾 · 𝑁))
24	3, 6, 23	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ (𝐾 · 𝑁))
25		dvdsgcd 12013	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝐾 · 𝑀) ∧ 𝐾 ∥ (𝐾 · 𝑁)) → 𝐾 ∥ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁))))
26	3, 5, 7, 25	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝐾 · 𝑀) ∧ 𝐾 ∥ (𝐾 · 𝑁)) → 𝐾 ∥ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁))))
27	22, 24, 26	mp2and 433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)))
28	2	nnne0d 8964	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ≠ 0)
29	8	nn0zd 9373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∈ ℤ)
30		dvdsval2 11797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ↔ (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∈ ℤ))
31	3, 28, 29, 30	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ↔ (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∈ ℤ))
32	27, 31	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∈ ℤ)
33		dvdscmulr 11827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝐾 · (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾)) ∥ (𝐾 · 𝑀) ↔ (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ 𝑀))
34	32, 4, 3, 28, 33	syl112anc 1242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾)) ∥ (𝐾 · 𝑀) ↔ (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ 𝑀))
35	20, 34	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ 𝑀)
36	18	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑁))
37	16, 36	eqbrtrd 4026	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾)) ∥ (𝐾 · 𝑁))
38		dvdscmulr 11827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝐾 · (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾)) ∥ (𝐾 · 𝑁) ↔ (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ 𝑁))
39	32, 6, 3, 28, 38	syl112anc 1242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾)) ∥ (𝐾 · 𝑁) ↔ (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ 𝑁))
40	37, 39	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ 𝑁)
41		dvdsgcd 12013	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ 𝑀 ∧ (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ 𝑁) → (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
42	32, 4, 6, 41	syl3anc 1238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ 𝑀 ∧ (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ 𝑁) → (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
43	35, 40, 42	mp2and 433	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ (𝑀 gcd 𝑁))
44	11	nn0zd 9373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
45		dvdscmul 11825	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ (𝑀 gcd 𝑁) → (𝐾 · (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾)) ∥ (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))))
46	32, 44, 3, 45	syl3anc 1238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ (𝑀 gcd 𝑁) → (𝐾 · (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾)) ∥ (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))))
47	43, 46	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾)) ∥ (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)))
48	16, 47	eqbrtrrd 4028	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∥ (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)))
49		gcddvds 11964	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
50	49	3adant1 1015	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
51	50	simpld 112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀)
52		dvdscmul 11825	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑀)))
53	44, 4, 3, 52	syl3anc 1238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑀)))
54	51, 53	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑀))
55	50	simprd 114	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
56		dvdscmul 11825	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑁)))
57	44, 6, 3, 56	syl3anc 1238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑁)))
58	55, 57	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑁))
59	12	nn0zd 9373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
60		dvdsgcd 12013	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑀) ∧ (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑁)) → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁))))
61	59, 5, 7, 60	syl3anc 1238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑀) ∧ (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑁)) → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁))))
62	54, 58, 61	mp2and 433	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)))
63		dvdseq 11854	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ0) ∧ (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∥ (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∧ (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)))) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)))
64	8, 12, 48, 62, 63	syl22anc 1239	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)))
65	64	3expib 1206	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))))
66		gcd0val 11961	. . . . . . 7 ⊢ (0 gcd 0) = 0
67	10	3adant1 1015	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
68	67	nn0cnd 9231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
69	68	mul02d 8349	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 · (𝑀 gcd 𝑁)) = 0)
70	66, 69	eqtr4id 2229	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 gcd 0) = (0 · (𝑀 gcd 𝑁)))
71		simp1 997	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 = 0)
72	71	oveq1d 5890	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑀) = (0 · 𝑀))
73		zcn 9258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
74	73	3ad2ant2 1019	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
75	74	mul02d 8349	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 · 𝑀) = 0)
76	72, 75	eqtrd 2210	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑀) = 0)
77	71	oveq1d 5890	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑁) = (0 · 𝑁))
78		zcn 9258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
79	78	3ad2ant3 1020	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
80	79	mul02d 8349	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 · 𝑁) = 0)
81	77, 80	eqtrd 2210	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑁) = 0)
82	76, 81	oveq12d 5893	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (0 gcd 0))
83	71	oveq1d 5890	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) = (0 · (𝑀 gcd 𝑁)))
84	70, 82, 83	3eqtr4d 2220	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)))
85	84	3expib 1206	. . . 4 ⊢ (𝐾 = 0 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))))
86	65, 85	jaoi 716	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))))
87	1, 86	sylbi 121	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))))
88	87	3impib 1201	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875  ℂcc 7809  0cc0 7811   · cmul 7816   / cdiv 8629  ℕcn 8919  ℕ₀cn0 9176  ℤcz 9253   ∥ cdvds 11794   gcd cgcd 11943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-sup 6983  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-fl 10270  df-mod 10323  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-dvds 11795  df-gcd 11944

This theorem is referenced by:  absmulgcd  12018  mulgcdr  12019  mulgcddvds  12094  qredeu  12097  coprimeprodsq  12257  pythagtriplem4  12268  2sqlem8  14473