ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulgcd GIF version

Theorem mulgcd 10880
Description: Distribute multiplication by a nonnegative integer over gcd. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
mulgcd ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)))

Proof of Theorem mulgcd
StepHypRef Expression
1 elnn0 8608 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0))
2 simp1 941 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℕ)
32nnzd 8800 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
4 simp2 942 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
53, 4zmulcld 8807 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ)
6 simp3 943 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
73, 6zmulcld 8807 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ)
85, 7gcdcld 10835 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∈ ℕ0)
92nnnn0d 8659 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℕ0)
10 gcdcl 10833 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
11103adant1 959 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
129, 11nn0mulcld 8664 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ0)
138nn0cnd 8661 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∈ ℂ)
142nncnd 8371 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℂ)
152nnap0d 8402 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 # 0)
1613, 14, 15divcanap2d 8197 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾)) = ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)))
17 gcddvds 10830 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑀) ∧ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑁)))
185, 7, 17syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑀) ∧ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑁)))
1918simpld 110 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑀))
2016, 19eqbrtrd 3840 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾)) ∥ (𝐾 · 𝑀))
21 dvdsmul1 10693 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ (𝐾 · 𝑀))
223, 4, 21syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ (𝐾 · 𝑀))
23 dvdsmul1 10693 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ (𝐾 · 𝑁))
243, 6, 23syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ (𝐾 · 𝑁))
25 dvdsgcd 10876 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝐾 · 𝑀) ∧ 𝐾 ∥ (𝐾 · 𝑁)) → 𝐾 ∥ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁))))
263, 5, 7, 25syl3anc 1172 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝐾 · 𝑀) ∧ 𝐾 ∥ (𝐾 · 𝑁)) → 𝐾 ∥ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁))))
2722, 24, 26mp2and 424 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)))
282nnne0d 8401 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ≠ 0)
298nn0zd 8799 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∈ ℤ)
30 dvdsval2 10674 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ↔ (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∈ ℤ))
313, 28, 29, 30syl3anc 1172 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ↔ (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∈ ℤ))
3227, 31mpbid 145 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∈ ℤ)
33 dvdscmulr 10700 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝐾 · (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾)) ∥ (𝐾 · 𝑀) ↔ (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ 𝑀))
3432, 4, 3, 28, 33syl112anc 1176 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾)) ∥ (𝐾 · 𝑀) ↔ (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ 𝑀))
3520, 34mpbid 145 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ 𝑀)
3618simprd 112 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑁))
3716, 36eqbrtrd 3840 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾)) ∥ (𝐾 · 𝑁))
38 dvdscmulr 10700 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝐾 · (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾)) ∥ (𝐾 · 𝑁) ↔ (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ 𝑁))
3932, 6, 3, 28, 38syl112anc 1176 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾)) ∥ (𝐾 · 𝑁) ↔ (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ 𝑁))
4037, 39mpbid 145 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ 𝑁)
41 dvdsgcd 10876 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ 𝑀 ∧ (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ 𝑁) → (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
4232, 4, 6, 41syl3anc 1172 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ 𝑀 ∧ (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ 𝑁) → (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
4335, 40, 42mp2and 424 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ (𝑀 gcd 𝑁))
4411nn0zd 8799 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
45 dvdscmul 10698 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ (𝑀 gcd 𝑁) → (𝐾 · (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾)) ∥ (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))))
4632, 44, 3, 45syl3anc 1172 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ (𝑀 gcd 𝑁) → (𝐾 · (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾)) ∥ (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))))
4743, 46mpd 13 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾)) ∥ (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)))
4816, 47eqbrtrrd 3842 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∥ (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)))
49 gcddvds 10830 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
50493adant1 959 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
5150simpld 110 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀)
52 dvdscmul 10698 . . . . . . . . 9 (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑀)))
5344, 4, 3, 52syl3anc 1172 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑀)))
5451, 53mpd 13 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑀))
5550simprd 112 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
56 dvdscmul 10698 . . . . . . . . 9 (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑁)))
5744, 6, 3, 56syl3anc 1172 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑁)))
5855, 57mpd 13 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑁))
5912nn0zd 8799 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
60 dvdsgcd 10876 . . . . . . . 8 (((𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑀) ∧ (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑁)) → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁))))
6159, 5, 7, 60syl3anc 1172 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑀) ∧ (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑁)) → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁))))
6254, 58, 61mp2and 424 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)))
63 dvdseq 10724 . . . . . 6 (((((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ0) ∧ (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∥ (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∧ (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)))) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)))
648, 12, 48, 62, 63syl22anc 1173 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)))
65643expib 1144 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))))
66103adant1 959 . . . . . . . . 9 ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
6766nn0cnd 8661 . . . . . . . 8 ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
6867mul02d 7814 . . . . . . 7 ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 · (𝑀 gcd 𝑁)) = 0)
69 gcd0val 10827 . . . . . . 7 (0 gcd 0) = 0
7068, 69syl6reqr 2136 . . . . . 6 ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 gcd 0) = (0 · (𝑀 gcd 𝑁)))
71 simp1 941 . . . . . . . . 9 ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 = 0)
7271oveq1d 5628 . . . . . . . 8 ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑀) = (0 · 𝑀))
73 zcn 8688 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
74733ad2ant2 963 . . . . . . . . 9 ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
7574mul02d 7814 . . . . . . . 8 ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 · 𝑀) = 0)
7672, 75eqtrd 2117 . . . . . . 7 ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑀) = 0)
7771oveq1d 5628 . . . . . . . 8 ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑁) = (0 · 𝑁))
78 zcn 8688 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
79783ad2ant3 964 . . . . . . . . 9 ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
8079mul02d 7814 . . . . . . . 8 ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 · 𝑁) = 0)
8177, 80eqtrd 2117 . . . . . . 7 ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑁) = 0)
8276, 81oveq12d 5631 . . . . . 6 ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (0 gcd 0))
8371oveq1d 5628 . . . . . 6 ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) = (0 · (𝑀 gcd 𝑁)))
8470, 82, 833eqtr4d 2127 . . . . 5 ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)))
85843expib 1144 . . . 4 (𝐾 = 0 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))))
8665, 85jaoi 669 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))))
871, 86sylbi 119 . 2 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))))
88873impib 1139 1 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  w3a 922   = wceq 1287  wcel 1436  wne 2251   class class class wbr 3820  (class class class)co 5613  cc 7292  0cc0 7294   · cmul 7299   / cdiv 8078  cn 8357  0cn0 8606  cz 8683  cdvds 10671   gcd cgcd 10813
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3929  ax-sep 3932  ax-nul 3940  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-iinf 4376  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-1cn 7382  ax-1re 7383  ax-icn 7384  ax-addcl 7385  ax-addrcl 7386  ax-mulcl 7387  ax-mulrcl 7388  ax-addcom 7389  ax-mulcom 7390  ax-addass 7391  ax-mulass 7392  ax-distr 7393  ax-i2m1 7394  ax-0lt1 7395  ax-1rid 7396  ax-0id 7397  ax-rnegex 7398  ax-precex 7399  ax-cnre 7400  ax-pre-ltirr 7401  ax-pre-ltwlin 7402  ax-pre-lttrn 7403  ax-pre-apti 7404  ax-pre-ltadd 7405  ax-pre-mulgt0 7406  ax-pre-mulext 7407  ax-arch 7408  ax-caucvg 7409
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-iun 3715  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-tr 3912  df-id 4094  df-po 4097  df-iso 4098  df-iord 4167  df-on 4169  df-ilim 4170  df-suc 4172  df-iom 4379  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-f1 4986  df-fo 4987  df-f1o 4988  df-fv 4989  df-riota 5569  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-1st 5868  df-2nd 5869  df-recs 6024  df-frec 6110  df-sup 6623  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472  df-sub 7599  df-neg 7600  df-reap 7993  df-ap 8000  df-div 8079  df-inn 8358  df-2 8416  df-3 8417  df-4 8418  df-n0 8607  df-z 8684  df-uz 8952  df-q 9037  df-rp 9067  df-fz 9357  df-fzo 9482  df-fl 9605  df-mod 9658  df-iseq 9780  df-iexp 9853  df-cj 10171  df-re 10172  df-im 10173  df-rsqrt 10326  df-abs 10327  df-dvds 10672  df-gcd 10814
This theorem is referenced by:  absmulgcd  10881  mulgcdr  10882  mulgcddvds  10951  qredeu  10954
  Copyright terms: Public domain W3C validator