Theorem ef0lem 11004

Description: The series defining the exponential function converges in the (trivial) case of a zero argument. (Contributed by Steve Rodriguez, 7-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
efcllem.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
ef0lem	⊢ (𝐴 = 0 → seq0( + , 𝐹) ⇝ 1)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem ef0lem

Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
2		nn0uz 9107	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
3	1, 2	syl6eleqr 2182	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4		elnn0 8729	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
5	3, 4	sylib 121	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
6		0cnd 7535	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → 0 ∈ ℂ)
7		eleq1 2151	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 0 ∈ ℂ))
8	6, 7	mpbird 166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → 𝐴 ∈ ℂ)
9		nnnn0 8734	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
10	9	adantl 272	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
11		efcllem.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
12	11	eftvalcn 11001	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
13	8, 10, 12	syl2an2r 563	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
14		oveq1 5673	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑘) = (0↑𝑘))
15		0exp 10044	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (0↑𝑘) = 0)
16	14, 15	sylan9eq 2141	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) = 0)
17	16	oveq1d 5681	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (0 / (!‘𝑘)))
18		faccl 10197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
19		nncn 8484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
20		nnap0 8505	. . . . . . . . 9 ⊢ ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) # 0)
21	19, 20	div0apd 8308	. . . . . . . 8 ⊢ ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (0 / (!‘𝑘)) = 0)
22	10, 18, 21	3syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 / (!‘𝑘)) = 0)
23	13, 17, 22	3eqtrd 2125	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = 0)
24		nnne0 8504	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
25		velsn 3467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ {0} ↔ 𝑘 = 0)
26	25	necon3bbii 2293	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ {0} ↔ 𝑘 ≠ 0)
27	24, 26	sylibr 133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ¬ 𝑘 ∈ {0})
28	27	adantl 272	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ 𝑘 ∈ {0})
29	28	iffalsed 3407	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0) = 0)
30	23, 29	eqtr4d 2124	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
31		fveq2 5318	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘0))
32		0nn0 8742	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33	11	eftvalcn 11001	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐹‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
34	8, 32, 33	sylancl 405	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐹‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
35		oveq1 5673	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑0) = (0↑0))
36		0exp0e1 10014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0↑0) = 1
37	35, 36	syl6eq 2137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑0) = 1)
38	37	oveq1d 5681	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴↑0) / (!‘0)) = (1 / (!‘0)))
39	34, 38	eqtrd 2121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐹‘0) = (1 / (!‘0)))
40		fac0 10190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (!‘0) = 1
41	40	oveq2i 5677	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / (!‘0)) = (1 / 1)
42		1div1e1 8225	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 1) = 1
43	41, 42	eqtr2i 2110	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1 / (!‘0))
44	39, 43	syl6eqr 2139	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐹‘0) = 1)
45	31, 44	sylan9eqr 2143	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → (𝐹‘𝑘) = 1)
46		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 = 0)
47	46, 25	sylibr 133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ {0})
48	47	iftrued 3404	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0) = 1)
49	45, 48	eqtr4d 2124	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
50	30, 49	jaodan 747	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
51	5, 50	syldan 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
52	32, 2	eleqtri 2163	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (ℤ≥‘0)
53	52	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → 0 ∈ (ℤ≥‘0))
54		1cnd 7558	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ {0}) → 1 ∈ ℂ)
55	25	biimpri 132	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → 𝑘 ∈ {0})
56	27, 55	orim12i 712	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0) → (¬ 𝑘 ∈ {0} ∨ 𝑘 ∈ {0}))
57	5, 56	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → (¬ 𝑘 ∈ {0} ∨ 𝑘 ∈ {0}))
58	57	orcomd 684	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → (𝑘 ∈ {0} ∨ ¬ 𝑘 ∈ {0}))
59		df-dc 782	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑘 ∈ {0} ↔ (𝑘 ∈ {0} ∨ ¬ 𝑘 ∈ {0}))
60	58, 59	sylibr 133	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → DECID 𝑘 ∈ {0})
61		0z 8815	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
62		fzsn 9534	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...0) = {0})
63	61, 62	ax-mp 7	. . . . 5 ⊢ (0...0) = {0}
64	63	eqimss2i 3082	. . . 4 ⊢ {0} ⊆ (0...0)
65	64	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → {0} ⊆ (0...0))
66	51, 53, 54, 60, 65	fsum3cvg2 10841	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (seq0( + , 𝐹)‘0))
67	61	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → 0 ∈ ℤ)
68	8, 3, 12	syl2an2r 563	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
69		eftcl 10998	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
70	8, 3, 69	syl2an2r 563	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
71	68, 70	eqeltrd 2165	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
72		addcl 7521	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℂ)
73	72	adantl 272	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℂ)
74	67, 71, 73	seq3-1 9931	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (seq0( + , 𝐹)‘0) = (𝐹‘0))
75	74, 44	eqtrd 2121	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → (seq0( + , 𝐹)‘0) = 1)
76	66, 75	breqtrd 3875	1 ⊢ (𝐴 = 0 → seq0( + , 𝐹) ⇝ 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 665  DECID wdc 781   = wceq 1290   ∈ wcel 1439   ≠ wne 2256   ⊆ wss 3000  ifcif 3397  {csn 3450   class class class wbr 3851   ↦ cmpt 3905  ‘cfv 5028  (class class class)co 5666  ℂcc 7402  0cc0 7404  1c1 7405   + caddc 7407   / cdiv 8193  ℕcn 8476  ℕ₀cn0 8727  ℤcz 8804  ℤ_≥cuz 9073  ...cfz 9478  seqcseq 9906  ↑cexp 10008  !cfa 10187   ⇝ cli 10720

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-mulrcl 7498  ax-addcom 7499  ax-mulcom 7500  ax-addass 7501  ax-mulass 7502  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0lt1 7505  ax-1rid 7506  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-precex 7509  ax-cnre 7510  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-ltwlin 7512  ax-pre-lttrn 7513  ax-pre-apti 7514  ax-pre-ltadd 7515  ax-pre-mulgt0 7516  ax-pre-mulext 7517

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582  df-sub 7709  df-neg 7710  df-reap 8106  df-ap 8113  df-div 8194  df-inn 8477  df-2 8535  df-n0 8728  df-z 8805  df-uz 9074  df-rp 9189  df-fz 9479  df-iseq 9907  df-seq3 9908  df-exp 10009  df-fac 10188  df-cj 10330  df-rsqrt 10485  df-abs 10486  df-clim 10721

This theorem is referenced by:  ef0  11016