Theorem ef0lem 11842

Description: The series defining the exponential function converges in the (trivial) case of a zero argument. (Contributed by Steve Rodriguez, 7-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
efcllem.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
ef0lem	⊢ (𝐴 = 0 → seq0( + , 𝐹) ⇝ 1)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem ef0lem

Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
2		nn0uz 9653	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
3	1, 2	eleqtrrdi 2290	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4		elnn0 9268	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
5	3, 4	sylib 122	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
6		0cnd 8036	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → 0 ∈ ℂ)
7		eleq1 2259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 0 ∈ ℂ))
8	6, 7	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → 𝐴 ∈ ℂ)
9		nnnn0 9273	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
10	9	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
11		efcllem.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
12	11	eftvalcn 11839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
13	8, 10, 12	syl2an2r 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
14		oveq1 5932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑘) = (0↑𝑘))
15		0exp 10683	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (0↑𝑘) = 0)
16	14, 15	sylan9eq 2249	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) = 0)
17	16	oveq1d 5940	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (0 / (!‘𝑘)))
18		faccl 10844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
19		nncn 9015	. . . . . . . . 9 ⊢ ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
20		nnap0 9036	. . . . . . . . 9 ⊢ ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) # 0)
21	19, 20	div0apd 8831	. . . . . . . 8 ⊢ ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (0 / (!‘𝑘)) = 0)
22	10, 18, 21	3syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 / (!‘𝑘)) = 0)
23	13, 17, 22	3eqtrd 2233	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = 0)
24		nnne0 9035	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
25		velsn 3640	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ {0} ↔ 𝑘 = 0)
26	25	necon3bbii 2404	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ {0} ↔ 𝑘 ≠ 0)
27	24, 26	sylibr 134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ¬ 𝑘 ∈ {0})
28	27	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ 𝑘 ∈ {0})
29	28	iffalsed 3572	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0) = 0)
30	23, 29	eqtr4d 2232	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
31		fveq2 5561	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘0))
32		0nn0 9281	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℕ0
33	11	eftvalcn 11839	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐹‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
34	8, 32, 33	sylancl 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐹‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
35		oveq1 5932	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑0) = (0↑0))
36		0exp0e1 10653	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0↑0) = 1
37	35, 36	eqtrdi 2245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑0) = 1)
38	37	oveq1d 5940	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴↑0) / (!‘0)) = (1 / (!‘0)))
39	34, 38	eqtrd 2229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐹‘0) = (1 / (!‘0)))
40		fac0 10837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (!‘0) = 1
41	40	oveq2i 5936	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / (!‘0)) = (1 / 1)
42		1div1e1 8748	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 1) = 1
43	41, 42	eqtr2i 2218	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1 / (!‘0))
44	39, 43	eqtr4di 2247	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐹‘0) = 1)
45	31, 44	sylan9eqr 2251	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → (𝐹‘𝑘) = 1)
46		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 = 0)
47	46, 25	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ {0})
48	47	iftrued 3569	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0) = 1)
49	45, 48	eqtr4d 2232	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
50	30, 49	jaodan 798	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
51	5, 50	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
52	32, 2	eleqtri 2271	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (ℤ≥‘0)
53	52	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → 0 ∈ (ℤ≥‘0))
54		1cnd 8059	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ {0}) → 1 ∈ ℂ)
55	25	biimpri 133	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → 𝑘 ∈ {0})
56	27, 55	orim12i 760	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0) → (¬ 𝑘 ∈ {0} ∨ 𝑘 ∈ {0}))
57	5, 56	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → (¬ 𝑘 ∈ {0} ∨ 𝑘 ∈ {0}))
58	57	orcomd 730	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → (𝑘 ∈ {0} ∨ ¬ 𝑘 ∈ {0}))
59		df-dc 836	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑘 ∈ {0} ↔ (𝑘 ∈ {0} ∨ ¬ 𝑘 ∈ {0}))
60	58, 59	sylibr 134	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → DECID 𝑘 ∈ {0})
61		0z 9354	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
62		fzsn 10158	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...0) = {0})
63	61, 62	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0...0) = {0}
64	63	eqimss2i 3241	. . . 4 ⊢ {0} ⊆ (0...0)
65	64	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → {0} ⊆ (0...0))
66	51, 53, 54, 60, 65	fsum3cvg2 11576	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (seq0( + , 𝐹)‘0))
67	61	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → 0 ∈ ℤ)
68	8, 3, 12	syl2an2r 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
69		eftcl 11836	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
70	8, 3, 69	syl2an2r 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
71	68, 70	eqeltrd 2273	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
72		addcl 8021	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℂ)
73	72	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℂ)
74	67, 71, 73	seq3-1 10571	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (seq0( + , 𝐹)‘0) = (𝐹‘0))
75	74, 44	eqtrd 2229	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → (seq0( + , 𝐹)‘0) = 1)
76	66, 75	breqtrd 4060	1 ⊢ (𝐴 = 0 → seq0( + , 𝐹) ⇝ 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367   ⊆ wss 3157  ifcif 3562  {csn 3623   class class class wbr 4034   ↦ cmpt 4095  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  ℂcc 7894  0cc0 7896  1c1 7897   + caddc 7899   / cdiv 8716  ℕcn 9007  ℕ₀cn0 9266  ℤcz 9343  ℤ_≥cuz 9618  ...cfz 10100  seqcseq 10556  ↑cexp 10647  !cfa 10834   ⇝ cli 11460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-rp 9746  df-fz 10101  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-fac 10835  df-cj 11024  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461

This theorem is referenced by:  ef0  11854