ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ef0lem GIF version

Theorem ef0lem 11265
Description: The series defining the exponential function converges in the (trivial) case of a zero argument. (Contributed by Steve Rodriguez, 7-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
efcllem.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
Assertion
Ref Expression
ef0lem (𝐴 = 0 → seq0( + , 𝐹) ⇝ 1)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem ef0lem
Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘0))
2 nn0uz 9309 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
31, 2syl6eleqr 2209 . . . . 5 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4 elnn0 8930 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
53, 4sylib 121 . . . 4 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
6 0cnd 7723 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → 0 ∈ ℂ)
7 eleq1 2178 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 0 ∈ ℂ))
86, 7mpbird 166 . . . . . . . 8 (𝐴 = 0 → 𝐴 ∈ ℂ)
9 nnnn0 8935 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
109adantl 273 . . . . . . . 8 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
11 efcllem.1 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
1211eftvalcn 11262 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
138, 10, 12syl2an2r 567 . . . . . . 7 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
14 oveq1 5747 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → (𝐴𝑘) = (0↑𝑘))
15 0exp 10268 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (0↑𝑘) = 0)
1614, 15sylan9eq 2168 . . . . . . . 8 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) = 0)
1716oveq1d 5755 . . . . . . 7 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) = (0 / (!‘𝑘)))
18 faccl 10421 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
19 nncn 8685 . . . . . . . . 9 ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
20 nnap0 8706 . . . . . . . . 9 ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) # 0)
2119, 20div0apd 8507 . . . . . . . 8 ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (0 / (!‘𝑘)) = 0)
2210, 18, 213syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 / (!‘𝑘)) = 0)
2313, 17, 223eqtrd 2152 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = 0)
24 nnne0 8705 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
25 velsn 3512 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ {0} ↔ 𝑘 = 0)
2625necon3bbii 2320 . . . . . . . . 9 𝑘 ∈ {0} ↔ 𝑘 ≠ 0)
2724, 26sylibr 133 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ¬ 𝑘 ∈ {0})
2827adantl 273 . . . . . . 7 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ 𝑘 ∈ {0})
2928iffalsed 3452 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0) = 0)
3023, 29eqtr4d 2151 . . . . 5 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
31 fveq2 5387 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (𝐹𝑘) = (𝐹‘0))
32 0nn0 8943 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℕ0
3311eftvalcn 11262 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐹‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
348, 32, 33sylancl 407 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → (𝐹‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
35 oveq1 5747 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 0 → (𝐴↑0) = (0↑0))
36 0exp0e1 10238 . . . . . . . . . . 11 (0↑0) = 1
3735, 36syl6eq 2164 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 0 → (𝐴↑0) = 1)
3837oveq1d 5755 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → ((𝐴↑0) / (!‘0)) = (1 / (!‘0)))
3934, 38eqtrd 2148 . . . . . . . 8 (𝐴 = 0 → (𝐹‘0) = (1 / (!‘0)))
40 fac0 10414 . . . . . . . . . 10 (!‘0) = 1
4140oveq2i 5751 . . . . . . . . 9 (1 / (!‘0)) = (1 / 1)
42 1div1e1 8424 . . . . . . . . 9 (1 / 1) = 1
4341, 42eqtr2i 2137 . . . . . . . 8 1 = (1 / (!‘0))
4439, 43syl6eqr 2166 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → (𝐹‘0) = 1)
4531, 44sylan9eqr 2170 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → (𝐹𝑘) = 1)
46 simpr 109 . . . . . . . 8 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 = 0)
4746, 25sylibr 133 . . . . . . 7 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ {0})
4847iftrued 3449 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0) = 1)
4945, 48eqtr4d 2151 . . . . 5 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → (𝐹𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
5030, 49jaodan 769 . . . 4 ((𝐴 = 0 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0)) → (𝐹𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
515, 50syldan 278 . . 3 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (𝐹𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
5232, 2eleqtri 2190 . . . 4 0 ∈ (ℤ‘0)
5352a1i 9 . . 3 (𝐴 = 0 → 0 ∈ (ℤ‘0))
54 1cnd 7746 . . 3 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ {0}) → 1 ∈ ℂ)
5525biimpri 132 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → 𝑘 ∈ {0})
5627, 55orim12i 731 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0) → (¬ 𝑘 ∈ {0} ∨ 𝑘 ∈ {0}))
575, 56syl 14 . . . . 5 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (¬ 𝑘 ∈ {0} ∨ 𝑘 ∈ {0}))
5857orcomd 701 . . . 4 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (𝑘 ∈ {0} ∨ ¬ 𝑘 ∈ {0}))
59 df-dc 803 . . . 4 (DECID 𝑘 ∈ {0} ↔ (𝑘 ∈ {0} ∨ ¬ 𝑘 ∈ {0}))
6058, 59sylibr 133 . . 3 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → DECID 𝑘 ∈ {0})
61 0z 9016 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
62 fzsn 9786 . . . . . 6 (0 ∈ ℤ → (0...0) = {0})
6361, 62ax-mp 5 . . . . 5 (0...0) = {0}
6463eqimss2i 3122 . . . 4 {0} ⊆ (0...0)
6564a1i 9 . . 3 (𝐴 = 0 → {0} ⊆ (0...0))
6651, 53, 54, 60, 65fsum3cvg2 11103 . 2 (𝐴 = 0 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (seq0( + , 𝐹)‘0))
6761a1i 9 . . . 4 (𝐴 = 0 → 0 ∈ ℤ)
688, 3, 12syl2an2r 567 . . . . 5 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
69 eftcl 11259 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
708, 3, 69syl2an2r 567 . . . . 5 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
7168, 70eqeltrd 2192 . . . 4 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
72 addcl 7709 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℂ)
7372adantl 273 . . . 4 ((𝐴 = 0 ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℂ)
7467, 71, 73seq3-1 10173 . . 3 (𝐴 = 0 → (seq0( + , 𝐹)‘0) = (𝐹‘0))
7574, 44eqtrd 2148 . 2 (𝐴 = 0 → (seq0( + , 𝐹)‘0) = 1)
7666, 75breqtrd 3922 1 (𝐴 = 0 → seq0( + , 𝐹) ⇝ 1)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wo 680  DECID wdc 802   = wceq 1314  wcel 1463  wne 2283  wss 3039  ifcif 3442  {csn 3495   class class class wbr 3897  cmpt 3957  cfv 5091  (class class class)co 5740  cc 7582  0cc0 7584  1c1 7585   + caddc 7587   / cdiv 8392  cn 8677  0cn0 8928  cz 9005  cuz 9275  ...cfz 9730  seqcseq 10158  cexp 10232  !cfa 10411  cli 10987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-rp 9391  df-fz 9731  df-seqfrec 10159  df-exp 10233  df-fac 10412  df-cj 10554  df-rsqrt 10710  df-abs 10711  df-clim 10988
This theorem is referenced by:  ef0  11277
  Copyright terms: Public domain W3C validator