Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ef0lem GIF version

Theorem ef0lem 11423
 Description: The series defining the exponential function converges in the (trivial) case of a zero argument. (Contributed by Steve Rodriguez, 7-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
efcllem.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
Assertion
Ref Expression
ef0lem (𝐴 = 0 → seq0( + , 𝐹) ⇝ 1)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem ef0lem
Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘0))
2 nn0uz 9404 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
31, 2eleqtrrdi 2234 . . . . 5 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4 elnn0 9023 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
53, 4sylib 121 . . . 4 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
6 0cnd 7803 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → 0 ∈ ℂ)
7 eleq1 2203 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 0 ∈ ℂ))
86, 7mpbird 166 . . . . . . . 8 (𝐴 = 0 → 𝐴 ∈ ℂ)
9 nnnn0 9028 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
109adantl 275 . . . . . . . 8 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
11 efcllem.1 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
1211eftvalcn 11420 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
138, 10, 12syl2an2r 585 . . . . . . 7 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
14 oveq1 5790 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → (𝐴𝑘) = (0↑𝑘))
15 0exp 10379 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (0↑𝑘) = 0)
1614, 15sylan9eq 2193 . . . . . . . 8 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) = 0)
1716oveq1d 5798 . . . . . . 7 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) = (0 / (!‘𝑘)))
18 faccl 10533 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
19 nncn 8772 . . . . . . . . 9 ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
20 nnap0 8793 . . . . . . . . 9 ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) # 0)
2119, 20div0apd 8591 . . . . . . . 8 ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (0 / (!‘𝑘)) = 0)
2210, 18, 213syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 / (!‘𝑘)) = 0)
2313, 17, 223eqtrd 2177 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = 0)
24 nnne0 8792 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
25 velsn 3550 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ {0} ↔ 𝑘 = 0)
2625necon3bbii 2346 . . . . . . . . 9 𝑘 ∈ {0} ↔ 𝑘 ≠ 0)
2724, 26sylibr 133 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ¬ 𝑘 ∈ {0})
2827adantl 275 . . . . . . 7 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ 𝑘 ∈ {0})
2928iffalsed 3490 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0) = 0)
3023, 29eqtr4d 2176 . . . . 5 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
31 fveq2 5430 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (𝐹𝑘) = (𝐹‘0))
32 0nn0 9036 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℕ0
3311eftvalcn 11420 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐹‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
348, 32, 33sylancl 410 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → (𝐹‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
35 oveq1 5790 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 0 → (𝐴↑0) = (0↑0))
36 0exp0e1 10349 . . . . . . . . . . 11 (0↑0) = 1
3735, 36eqtrdi 2189 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 0 → (𝐴↑0) = 1)
3837oveq1d 5798 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → ((𝐴↑0) / (!‘0)) = (1 / (!‘0)))
3934, 38eqtrd 2173 . . . . . . . 8 (𝐴 = 0 → (𝐹‘0) = (1 / (!‘0)))
40 fac0 10526 . . . . . . . . . 10 (!‘0) = 1
4140oveq2i 5794 . . . . . . . . 9 (1 / (!‘0)) = (1 / 1)
42 1div1e1 8508 . . . . . . . . 9 (1 / 1) = 1
4341, 42eqtr2i 2162 . . . . . . . 8 1 = (1 / (!‘0))
4439, 43eqtr4di 2191 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → (𝐹‘0) = 1)
4531, 44sylan9eqr 2195 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → (𝐹𝑘) = 1)
46 simpr 109 . . . . . . . 8 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 = 0)
4746, 25sylibr 133 . . . . . . 7 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ {0})
4847iftrued 3487 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0) = 1)
4945, 48eqtr4d 2176 . . . . 5 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 = 0) → (𝐹𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
5030, 49jaodan 787 . . . 4 ((𝐴 = 0 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0)) → (𝐹𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
515, 50syldan 280 . . 3 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (𝐹𝑘) = if(𝑘 ∈ {0}, 1, 0))
5232, 2eleqtri 2215 . . . 4 0 ∈ (ℤ‘0)
5352a1i 9 . . 3 (𝐴 = 0 → 0 ∈ (ℤ‘0))
54 1cnd 7826 . . 3 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ {0}) → 1 ∈ ℂ)
5525biimpri 132 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → 𝑘 ∈ {0})
5627, 55orim12i 749 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0) → (¬ 𝑘 ∈ {0} ∨ 𝑘 ∈ {0}))
575, 56syl 14 . . . . 5 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (¬ 𝑘 ∈ {0} ∨ 𝑘 ∈ {0}))
5857orcomd 719 . . . 4 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (𝑘 ∈ {0} ∨ ¬ 𝑘 ∈ {0}))
59 df-dc 821 . . . 4 (DECID 𝑘 ∈ {0} ↔ (𝑘 ∈ {0} ∨ ¬ 𝑘 ∈ {0}))
6058, 59sylibr 133 . . 3 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → DECID 𝑘 ∈ {0})
61 0z 9109 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
62 fzsn 9897 . . . . . 6 (0 ∈ ℤ → (0...0) = {0})
6361, 62ax-mp 5 . . . . 5 (0...0) = {0}
6463eqimss2i 3160 . . . 4 {0} ⊆ (0...0)
6564a1i 9 . . 3 (𝐴 = 0 → {0} ⊆ (0...0))
6651, 53, 54, 60, 65fsum3cvg2 11215 . 2 (𝐴 = 0 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (seq0( + , 𝐹)‘0))
6761a1i 9 . . . 4 (𝐴 = 0 → 0 ∈ ℤ)
688, 3, 12syl2an2r 585 . . . . 5 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
69 eftcl 11417 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
708, 3, 69syl2an2r 585 . . . . 5 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
7168, 70eqeltrd 2217 . . . 4 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
72 addcl 7789 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℂ)
7372adantl 275 . . . 4 ((𝐴 = 0 ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℂ)
7467, 71, 73seq3-1 10284 . . 3 (𝐴 = 0 → (seq0( + , 𝐹)‘0) = (𝐹‘0))
7574, 44eqtrd 2173 . 2 (𝐴 = 0 → (seq0( + , 𝐹)‘0) = 1)
7666, 75breqtrd 3963 1 (𝐴 = 0 → seq0( + , 𝐹) ⇝ 1)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698  DECID wdc 820   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   ≠ wne 2309   ⊆ wss 3077  ifcif 3480  {csn 3533   class class class wbr 3938   ↦ cmpt 3998  ‘cfv 5132  (class class class)co 5783  ℂcc 7662  0cc0 7664  1c1 7665   + caddc 7667   / cdiv 8476  ℕcn 8764  ℕ0cn0 9021  ℤcz 9098  ℤ≥cuz 9370  ...cfz 9841  seqcseq 10269  ↑cexp 10343  !cfa 10523   ⇝ cli 11099 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-iinf 4511  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-1re 7758  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-mulrcl 7763  ax-addcom 7764  ax-mulcom 7765  ax-addass 7766  ax-mulass 7767  ax-distr 7768  ax-i2m1 7769  ax-0lt1 7770  ax-1rid 7771  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-precex 7774  ax-cnre 7775  ax-pre-ltirr 7776  ax-pre-ltwlin 7777  ax-pre-lttrn 7778  ax-pre-apti 7779  ax-pre-ltadd 7780  ax-pre-mulgt0 7781  ax-pre-mulext 7782 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-if 3481  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-tr 4036  df-id 4224  df-po 4227  df-iso 4228  df-iord 4297  df-on 4299  df-ilim 4300  df-suc 4302  df-iom 4514  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-f1 5137  df-fo 5138  df-f1o 5139  df-fv 5140  df-riota 5739  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-1st 6047  df-2nd 6048  df-recs 6211  df-frec 6297  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-ltxr 7849  df-le 7850  df-sub 7979  df-neg 7980  df-reap 8381  df-ap 8388  df-div 8477  df-inn 8765  df-2 8823  df-n0 9022  df-z 9099  df-uz 9371  df-rp 9491  df-fz 9842  df-seqfrec 10270  df-exp 10344  df-fac 10524  df-cj 10666  df-rsqrt 10822  df-abs 10823  df-clim 11100 This theorem is referenced by:  ef0  11435
 Copyright terms: Public domain W3C validator