ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eulerthlem1 GIF version

Theorem eulerthlem1 12101
Description: Lemma for eulerth 12107. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerthlem1.1 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
eulerthlem1.2 𝑆 = {𝑦 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑦 gcd 𝑁) = 1}
eulerthlem1.3 𝑇 = (1...(ϕ‘𝑁))
eulerthlem1.4 (𝜑𝐹:𝑇1-1-onto𝑆)
eulerthlem1.5 𝐺 = (𝑥𝑇 ↦ ((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁))
Assertion
Ref Expression
eulerthlem1 (𝜑𝐺:𝑇𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)

Proof of Theorem eulerthlem1
StepHypRef Expression
1 eulerthlem1.1 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
21simp2d 995 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
32adantr 274 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → 𝐴 ∈ ℤ)
4 eulerthlem1.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝑇1-1-onto𝑆)
5 f1of 5414 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑇1-1-onto𝑆𝐹:𝑇𝑆)
64, 5syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑇𝑆)
76ffvelrnda 5602 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
8 oveq1 5831 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑥) → (𝑦 gcd 𝑁) = ((𝐹𝑥) gcd 𝑁))
98eqeq1d 2166 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐹𝑥) → ((𝑦 gcd 𝑁) = 1 ↔ ((𝐹𝑥) gcd 𝑁) = 1))
10 eulerthlem1.2 . . . . . . . . 9 𝑆 = {𝑦 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑦 gcd 𝑁) = 1}
119, 10elrab2 2871 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐹𝑥) ∈ (0..^𝑁) ∧ ((𝐹𝑥) gcd 𝑁) = 1))
127, 11sylib 121 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑇) → ((𝐹𝑥) ∈ (0..^𝑁) ∧ ((𝐹𝑥) gcd 𝑁) = 1))
1312simpld 111 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐹𝑥) ∈ (0..^𝑁))
14 elfzoelz 10046 . . . . . 6 ((𝐹𝑥) ∈ (0..^𝑁) → (𝐹𝑥) ∈ ℤ)
1513, 14syl 14 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐹𝑥) ∈ ℤ)
163, 15zmulcld 9292 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐴 · (𝐹𝑥)) ∈ ℤ)
171simp1d 994 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1817adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑇) → 𝑁 ∈ ℕ)
19 zmodfzo 10246 . . . 4 (((𝐴 · (𝐹𝑥)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
2016, 18, 19syl2anc 409 . . 3 ((𝜑𝑥𝑇) → ((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
21 modgcd 11874 . . . . 5 (((𝐴 · (𝐹𝑥)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹𝑥)) gcd 𝑁))
2216, 18, 21syl2anc 409 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑇) → (((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹𝑥)) gcd 𝑁))
2317nnzd 9285 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2423adantr 274 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → 𝑁 ∈ ℤ)
2516, 24gcdcomd 11857 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑇) → ((𝐴 · (𝐹𝑥)) gcd 𝑁) = (𝑁 gcd (𝐴 · (𝐹𝑥))))
2623, 2gcdcomd 11857 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝐴) = (𝐴 gcd 𝑁))
271simp3d 996 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝑁) = 1)
2826, 27eqtrd 2190 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝐴) = 1)
2928adantr 274 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝑁 gcd 𝐴) = 1)
3024, 15gcdcomd 11857 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝑁 gcd (𝐹𝑥)) = ((𝐹𝑥) gcd 𝑁))
3112simprd 113 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑇) → ((𝐹𝑥) gcd 𝑁) = 1)
3230, 31eqtrd 2190 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝑁 gcd (𝐹𝑥)) = 1)
33 rpmul 11974 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℤ) → (((𝑁 gcd 𝐴) = 1 ∧ (𝑁 gcd (𝐹𝑥)) = 1) → (𝑁 gcd (𝐴 · (𝐹𝑥))) = 1))
3424, 3, 15, 33syl3anc 1220 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → (((𝑁 gcd 𝐴) = 1 ∧ (𝑁 gcd (𝐹𝑥)) = 1) → (𝑁 gcd (𝐴 · (𝐹𝑥))) = 1))
3529, 32, 34mp2and 430 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝑁 gcd (𝐴 · (𝐹𝑥))) = 1)
3622, 25, 353eqtrd 2194 . . 3 ((𝜑𝑥𝑇) → (((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = 1)
37 oveq1 5831 . . . . 5 (𝑦 = ((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) → (𝑦 gcd 𝑁) = (((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) gcd 𝑁))
3837eqeq1d 2166 . . . 4 (𝑦 = ((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) → ((𝑦 gcd 𝑁) = 1 ↔ (((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = 1))
3938, 10elrab2 2871 . . 3 (((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) ∈ 𝑆 ↔ (((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁) ∧ (((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = 1))
4020, 36, 39sylanbrc 414 . 2 ((𝜑𝑥𝑇) → ((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) ∈ 𝑆)
41 eulerthlem1.5 . 2 𝐺 = (𝑥𝑇 ↦ ((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁))
4240, 41fmptd 5621 1 (𝜑𝐺:𝑇𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 963   = wceq 1335  wcel 2128  {crab 2439  cmpt 4025  wf 5166  1-1-ontowf1o 5169  cfv 5170  (class class class)co 5824  0cc0 7732  1c1 7733   · cmul 7737  cn 8833  cz 9167  ...cfz 9912  ..^cfzo 10041   mod cmo 10221   gcd cgcd 11828  ϕcphi 12083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850  ax-arch 7851  ax-caucvg 7852
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-frec 6338  df-sup 6928  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-2 8892  df-3 8893  df-4 8894  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-q 9529  df-rp 9561  df-fz 9913  df-fzo 10042  df-fl 10169  df-mod 10222  df-seqfrec 10345  df-exp 10419  df-cj 10742  df-re 10743  df-im 10744  df-rsqrt 10898  df-abs 10899  df-dvds 11684  df-gcd 11829
This theorem is referenced by:  eulerthlemh  12105  eulerthlemth  12106
  Copyright terms: Public domain W3C validator