ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eulerthlem1 GIF version

Theorem eulerthlem1 12229
Description: Lemma for eulerth 12235. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerthlem1.1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1))
eulerthlem1.2 ๐‘† = {๐‘ฆ โˆˆ (0..^๐‘) โˆฃ (๐‘ฆ gcd ๐‘) = 1}
eulerthlem1.3 ๐‘‡ = (1...(ฯ•โ€˜๐‘))
eulerthlem1.4 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘‡โ€“1-1-ontoโ†’๐‘†)
eulerthlem1.5 ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘))
Assertion
Ref Expression
eulerthlem1 (๐œ‘ โ†’ ๐บ:๐‘‡โŸถ๐‘†)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐น,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐บ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘†   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘‡,๐‘ฆ
Allowed substitution hint:   ๐‘†(๐‘ฆ)

Proof of Theorem eulerthlem1
StepHypRef Expression
1 eulerthlem1.1 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1))
21simp2d 1010 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
32adantr 276 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
4 eulerthlem1.4 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘‡โ€“1-1-ontoโ†’๐‘†)
5 f1of 5463 . . . . . . . . . 10 (๐น:๐‘‡โ€“1-1-ontoโ†’๐‘† โ†’ ๐น:๐‘‡โŸถ๐‘†)
64, 5syl 14 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘‡โŸถ๐‘†)
76ffvelcdmda 5653 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘†)
8 oveq1 5884 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฆ gcd ๐‘) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) gcd ๐‘))
98eqeq1d 2186 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘ฅ) โ†’ ((๐‘ฆ gcd ๐‘) = 1 โ†” ((๐นโ€˜๐‘ฅ) gcd ๐‘) = 1))
10 eulerthlem1.2 . . . . . . . . 9 ๐‘† = {๐‘ฆ โˆˆ (0..^๐‘) โˆฃ (๐‘ฆ gcd ๐‘) = 1}
119, 10elrab2 2898 . . . . . . . 8 ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†” ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ((๐นโ€˜๐‘ฅ) gcd ๐‘) = 1))
127, 11sylib 122 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ((๐นโ€˜๐‘ฅ) gcd ๐‘) = 1))
1312simpld 112 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (0..^๐‘))
14 elfzoelz 10149 . . . . . 6 ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
1513, 14syl 14 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
163, 15zmulcld 9383 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ค)
171simp1d 1009 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
1817adantr 276 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
19 zmodfzo 10349 . . . 4 (((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) โˆˆ (0..^๐‘))
2016, 18, 19syl2anc 411 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) โˆˆ (0..^๐‘))
21 modgcd 11994 . . . . 5 (((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) gcd ๐‘) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) gcd ๐‘))
2216, 18, 21syl2anc 411 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) gcd ๐‘) = ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) gcd ๐‘))
2317nnzd 9376 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2423adantr 276 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2516, 24gcdcomd 11977 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) gcd ๐‘) = (๐‘ gcd (๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ))))
2623, 2gcdcomd 11977 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd ๐ด) = (๐ด gcd ๐‘))
271simp3d 1011 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐‘) = 1)
2826, 27eqtrd 2210 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ gcd ๐ด) = 1)
2928adantr 276 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐‘ gcd ๐ด) = 1)
3024, 15gcdcomd 11977 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐‘ gcd (๐นโ€˜๐‘ฅ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) gcd ๐‘))
3112simprd 114 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) gcd ๐‘) = 1)
3230, 31eqtrd 2210 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐‘ gcd (๐นโ€˜๐‘ฅ)) = 1)
33 rpmul 12100 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ gcd ๐ด) = 1 โˆง (๐‘ gcd (๐นโ€˜๐‘ฅ)) = 1) โ†’ (๐‘ gcd (๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ))) = 1))
3424, 3, 15, 33syl3anc 1238 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (((๐‘ gcd ๐ด) = 1 โˆง (๐‘ gcd (๐นโ€˜๐‘ฅ)) = 1) โ†’ (๐‘ gcd (๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ))) = 1))
3529, 32, 34mp2and 433 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐‘ gcd (๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ))) = 1)
3622, 25, 353eqtrd 2214 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) gcd ๐‘) = 1)
37 oveq1 5884 . . . . 5 (๐‘ฆ = ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) โ†’ (๐‘ฆ gcd ๐‘) = (((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) gcd ๐‘))
3837eqeq1d 2186 . . . 4 (๐‘ฆ = ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) โ†’ ((๐‘ฆ gcd ๐‘) = 1 โ†” (((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) gcd ๐‘) = 1))
3938, 10elrab2 2898 . . 3 (((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) โˆˆ ๐‘† โ†” (((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) โˆˆ (0..^๐‘) โˆง (((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) gcd ๐‘) = 1))
4020, 36, 39sylanbrc 417 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘) โˆˆ ๐‘†)
41 eulerthlem1.5 . 2 ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โ†ฆ ((๐ด ยท (๐นโ€˜๐‘ฅ)) mod ๐‘))
4240, 41fmptd 5672 1 (๐œ‘ โ†’ ๐บ:๐‘‡โŸถ๐‘†)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  {crab 2459   โ†ฆ cmpt 4066  โŸถwf 5214  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 5217  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  0cc0 7813  1c1 7814   ยท cmul 7818  โ„•cn 8921  โ„คcz 9255  ...cfz 10010  ..^cfzo 10144   mod cmo 10324   gcd cgcd 11945  ฯ•cphi 12211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-sup 6985  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-fl 10272  df-mod 10325  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-dvds 11797  df-gcd 11946
This theorem is referenced by:  eulerthlemh  12233  eulerthlemth  12234
  Copyright terms: Public domain W3C validator