Theorem unitinvinv 14144

Description: The inverse of the inverse of a unit is the same element. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitinvcl.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitinvcl.2	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitinvinv	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝐼‘(𝐼‘𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem unitinvinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitinvcl.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2	1	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
3		eqid 2231	. . . . . . 7 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
4	3	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
5		ringsrg 14066	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
6	2, 4, 5	unitgrpbasd 14135	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
7	6	eleq2d 2301	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
8	7	pm5.32i 454	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
9	1, 3	unitgrp 14136	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
10		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
11		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
12	10, 11	grpinvinv 13655	. . . 4 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))) → ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑋)) = 𝑋)
13	9, 12	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))) → ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑋)) = 𝑋)
14	8, 13	sylbi 121	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑋)) = 𝑋)
15		unitinvcl.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
16	15	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐼 = (invr‘𝑅))
17		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
18	2, 4, 16, 17	invrfvald 14142	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐼 = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
19	18	fveq1d 5641	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐼‘𝑋) = ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑋))
20	18, 19	fveq12d 5646	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐼‘(𝐼‘𝑋)) = ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑋)))
21	20	eqeq1d 2240	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐼‘(𝐼‘𝑋)) = 𝑋 ↔ ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑋)) = 𝑋))
22	21	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝐼‘(𝐼‘𝑋)) = 𝑋 ↔ ((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘((invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))‘𝑋)) = 𝑋))
23	14, 22	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝐼‘(𝐼‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  Basecbs 13087   ↾_s cress 13088  Grpcgrp 13588  inv_gcminusg 13589  mulGrpcmgp 13939  Ringcrg 14015  Unitcui 14106  inv_rcinvr 14140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-tpos 6411  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-ndx 13090  df-slot 13091  df-base 13093  df-sets 13094  df-iress 13095  df-plusg 13178  df-mulr 13179  df-0g 13346  df-mgm 13444  df-sgrp 13490  df-mnd 13505  df-grp 13591  df-minusg 13592  df-cmn 13878  df-abl 13879  df-mgp 13940  df-ur 13979  df-srg 13983  df-ring 14017  df-oppr 14087  df-dvdsr 14108  df-unit 14109  df-invr 14141

This theorem is referenced by: (None)