Theorem unitnegcl 14521

Description: The negative of a unit is a unit. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitnegcl.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitnegcl.2	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitnegcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem unitnegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringgrp 14389	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
3		eqidd 2239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
4		unitnegcl.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
5	4	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
6		ringsrg 14436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
7	6	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ SRing)
8		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
9	3, 5, 7, 8	unitcld 14499	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
10		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11		unitnegcl.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
12	10, 11	grpinvcl 13906	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
13	2, 9, 12	syl2an2r 603	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
14		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
15	10, 14, 11	dvdsrneg 14494	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁‘𝑋)(∥r‘𝑅)(𝑁‘(𝑁‘𝑋)))
16	13, 15	syldan 282	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋)(∥r‘𝑅)(𝑁‘(𝑁‘𝑋)))
17	10, 11	grpinvinv 13925	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)
18	2, 9, 17	syl2an2r 603	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)
19	16, 18	breqtrd 4156	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋)(∥r‘𝑅)𝑋)
20		eqidd 2239	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅))
21		eqidd 2239	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅))
22		eqidd 2239	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅))
23		eqidd 2239	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅)))
24	5, 20, 21, 22, 23, 7	isunitd 14497	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))))
25	8, 24	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
26	25	simpld 112	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
27	10, 14	dvdsrtr 14492	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝑋)(∥r‘𝑅)𝑋 ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)) → (𝑁‘𝑋)(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
28	1, 19, 26, 27	syl3anc 1278	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋)(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
29		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
30	29	opprring 14468	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
31	30	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
32	29, 10	opprbasg 14464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑅)))
33	32	eleq2d 2308	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑁‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ↔ (𝑁‘𝑋) ∈ (Base‘(oppr‘𝑅))))
34	33	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝑁‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ↔ (𝑁‘𝑋) ∈ (Base‘(oppr‘𝑅))))
35	13, 34	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋) ∈ (Base‘(oppr‘𝑅)))
36		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(oppr‘𝑅)) = (Base‘(oppr‘𝑅))
37		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
38		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘(oppr‘𝑅)) = (invg‘(oppr‘𝑅))
39	36, 37, 38	dvdsrneg 14494	. . . . . 6 ⊢ (((oppr‘𝑅) ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ (Base‘(oppr‘𝑅))) → (𝑁‘𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))((invg‘(oppr‘𝑅))‘(𝑁‘𝑋)))
40	30, 35, 39	syl2an2r 603	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))((invg‘(oppr‘𝑅))‘(𝑁‘𝑋)))
41	29, 11	opprnegg 14473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑁 = (invg‘(oppr‘𝑅)))
42	41	fveq1d 5697	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = ((invg‘(oppr‘𝑅))‘(𝑁‘𝑋)))
43	42	breq2d 4142	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑁‘𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))(𝑁‘(𝑁‘𝑋)) ↔ (𝑁‘𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))((invg‘(oppr‘𝑅))‘(𝑁‘𝑋))))
44	43	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝑁‘𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))(𝑁‘(𝑁‘𝑋)) ↔ (𝑁‘𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))((invg‘(oppr‘𝑅))‘(𝑁‘𝑋))))
45	40, 44	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))(𝑁‘(𝑁‘𝑋)))
46	45, 18	breqtrd 4156	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))𝑋)
47	25	simprd 114	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))
48	36, 37	dvdsrtr 14492	. . 3 ⊢ (((oppr‘𝑅) ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))𝑋 ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)) → (𝑁‘𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))
49	31, 46, 47, 48	syl3anc 1278	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))
50	5, 20, 21, 22, 23, 7	isunitd 14497	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝑁‘𝑋) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑁‘𝑋)(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ (𝑁‘𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))))
51	28, 49, 50	mpbir2and 957	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  Basecbs 13404  Grpcgrp 13858  inv_gcminusg 13859  1_rcur 14346  SRingcsrg 14351  Ringcrg 14384  opp_rcoppr 14456  ∥_rcdsr 14476  Unitcui 14477

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-tpos 6516  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-ltxr 8366  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-sets 13411  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-0g 13665  df-mgm 13729  df-sgrp 13770  df-mnd 13783  df-grp 13861  df-minusg 13862  df-cmn 14173  df-abl 14174  df-mgp 14302  df-ur 14347  df-srg 14352  df-ring 14386  df-oppr 14457  df-dvdsr 14479  df-unit 14480

This theorem is used by:  aprsym  14680