Theorem unitnegcl 14168

Description: The negative of a unit is a unit. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitnegcl.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitnegcl.2	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitnegcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem unitnegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringgrp 14038	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
3		eqidd 2231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
4		unitnegcl.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
5	4	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
6		ringsrg 14084	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
7	6	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ SRing)
8		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
9	3, 5, 7, 8	unitcld 14146	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
10		eqid 2230	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11		unitnegcl.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
12	10, 11	grpinvcl 13654	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
13	2, 9, 12	syl2an2r 599	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
14		eqid 2230	. . . . . 6 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
15	10, 14, 11	dvdsrneg 14141	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁‘𝑋)(∥r‘𝑅)(𝑁‘(𝑁‘𝑋)))
16	13, 15	syldan 282	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋)(∥r‘𝑅)(𝑁‘(𝑁‘𝑋)))
17	10, 11	grpinvinv 13673	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)
18	2, 9, 17	syl2an2r 599	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)
19	16, 18	breqtrd 4115	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋)(∥r‘𝑅)𝑋)
20		eqidd 2231	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅))
21		eqidd 2231	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅))
22		eqidd 2231	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅))
23		eqidd 2231	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅)))
24	5, 20, 21, 22, 23, 7	isunitd 14144	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))))
25	8, 24	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
26	25	simpld 112	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
27	10, 14	dvdsrtr 14139	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝑋)(∥r‘𝑅)𝑋 ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)) → (𝑁‘𝑋)(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
28	1, 19, 26, 27	syl3anc 1273	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋)(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
29		eqid 2230	. . . . 5 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
30	29	opprring 14116	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
31	30	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
32	29, 10	opprbasg 14112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑅)))
33	32	eleq2d 2300	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑁‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ↔ (𝑁‘𝑋) ∈ (Base‘(oppr‘𝑅))))
34	33	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝑁‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ↔ (𝑁‘𝑋) ∈ (Base‘(oppr‘𝑅))))
35	13, 34	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋) ∈ (Base‘(oppr‘𝑅)))
36		eqid 2230	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(oppr‘𝑅)) = (Base‘(oppr‘𝑅))
37		eqid 2230	. . . . . . 7 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
38		eqid 2230	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘(oppr‘𝑅)) = (invg‘(oppr‘𝑅))
39	36, 37, 38	dvdsrneg 14141	. . . . . 6 ⊢ (((oppr‘𝑅) ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ (Base‘(oppr‘𝑅))) → (𝑁‘𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))((invg‘(oppr‘𝑅))‘(𝑁‘𝑋)))
40	30, 35, 39	syl2an2r 599	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))((invg‘(oppr‘𝑅))‘(𝑁‘𝑋)))
41	29, 11	opprnegg 14120	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑁 = (invg‘(oppr‘𝑅)))
42	41	fveq1d 5644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = ((invg‘(oppr‘𝑅))‘(𝑁‘𝑋)))
43	42	breq2d 4101	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑁‘𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))(𝑁‘(𝑁‘𝑋)) ↔ (𝑁‘𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))((invg‘(oppr‘𝑅))‘(𝑁‘𝑋))))
44	43	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝑁‘𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))(𝑁‘(𝑁‘𝑋)) ↔ (𝑁‘𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))((invg‘(oppr‘𝑅))‘(𝑁‘𝑋))))
45	40, 44	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))(𝑁‘(𝑁‘𝑋)))
46	45, 18	breqtrd 4115	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))𝑋)
47	25	simprd 114	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))
48	36, 37	dvdsrtr 14139	. . 3 ⊢ (((oppr‘𝑅) ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))𝑋 ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)) → (𝑁‘𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))
49	31, 46, 47, 48	syl3anc 1273	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))
50	5, 20, 21, 22, 23, 7	isunitd 14144	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝑁‘𝑋) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑁‘𝑋)(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ (𝑁‘𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))))
51	28, 49, 50	mpbir2and 952	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2201   class class class wbr 4089  ‘cfv 5328  Basecbs 13105  Grpcgrp 13606  inv_gcminusg 13607  1_rcur 13996  SRingcsrg 14000  Ringcrg 14033  opp_rcoppr 14104  ∥_rcdsr 14123  Unitcui 14124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-addass 8139  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-ltadd 8153

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-tpos 6416  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-ltxr 8224  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-sets 13112  df-plusg 13196  df-mulr 13197  df-0g 13364  df-mgm 13462  df-sgrp 13508  df-mnd 13523  df-grp 13609  df-minusg 13610  df-cmn 13896  df-abl 13897  df-mgp 13958  df-ur 13997  df-srg 14001  df-ring 14035  df-oppr 14105  df-dvdsr 14126  df-unit 14127

This theorem is referenced by:  aprsym  14322