Theorem sinperlem 15665

Description: Lemma for sinper 15666 and cosper 15667. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
sinperlem.1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴))𝑂(exp‘(-i · 𝐴))) / 𝐷))
sinperlem.2	⊢ ((𝐴 + (𝐾 · (2 · π))) ∈ ℂ → (𝐹‘(𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = (((exp‘(i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))𝑂(exp‘(-i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))) / 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
sinperlem	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = (𝐹‘𝐴))

Proof of Theorem sinperlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9581	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
2		2cn 9307	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		picn 15644	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℂ
4	2, 3	mulcli 8278	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
5		mulcl 8253	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ) → (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ)
6	1, 4, 5	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ)
7		ax-icn 8221	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
8		adddi 8258	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ) → (i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = ((i · 𝐴) + (i · (𝐾 · (2 · π)))))
9	7, 8	mp3an1 1361	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ) → (i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = ((i · 𝐴) + (i · (𝐾 · (2 · π)))))
10	6, 9	sylan2 286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = ((i · 𝐴) + (i · (𝐾 · (2 · π)))))
11		mul12 8401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ) → (i · (𝐾 · (2 · π))) = (𝐾 · (i · (2 · π))))
12	7, 4, 11	mp3an13 1365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (i · (𝐾 · (2 · π))) = (𝐾 · (i · (2 · π))))
13	1, 12	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i · (𝐾 · (2 · π))) = (𝐾 · (i · (2 · π))))
14	7, 4	mulcli 8278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · (2 · π)) ∈ ℂ
15		mulcom 8255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (i · (2 · π)) ∈ ℂ) → (𝐾 · (i · (2 · π))) = ((i · (2 · π)) · 𝐾))
16	1, 14, 15	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · (i · (2 · π))) = ((i · (2 · π)) · 𝐾))
17	13, 16	eqtrd 2265	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i · (𝐾 · (2 · π))) = ((i · (2 · π)) · 𝐾))
18	17	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (i · (𝐾 · (2 · π))) = ((i · (2 · π)) · 𝐾))
19	18	oveq2d 6065	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((i · 𝐴) + (i · (𝐾 · (2 · π)))) = ((i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · 𝐾)))
20	10, 19	eqtrd 2265	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = ((i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · 𝐾)))
21	20	fveq2d 5673	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘(i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π))))) = (exp‘((i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · 𝐾))))
22		mulcl 8253	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
23	7, 22	mpan 424	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
24		efper 15664	. . . . . 6 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘((i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · 𝐾))) = (exp‘(i · 𝐴)))
25	23, 24	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘((i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · 𝐾))) = (exp‘(i · 𝐴)))
26	21, 25	eqtrd 2265	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘(i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π))))) = (exp‘(i · 𝐴)))
27		negicn 8473	. . . . . . . . 9 ⊢ -i ∈ ℂ
28		adddi 8258	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ) → (-i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = ((-i · 𝐴) + (-i · (𝐾 · (2 · π)))))
29	27, 28	mp3an1 1361	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ) → (-i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = ((-i · 𝐴) + (-i · (𝐾 · (2 · π)))))
30	6, 29	sylan2 286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (-i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = ((-i · 𝐴) + (-i · (𝐾 · (2 · π)))))
31	17	negeqd 8467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → -(i · (𝐾 · (2 · π))) = -((i · (2 · π)) · 𝐾))
32		mulneg1 8667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ) → (-i · (𝐾 · (2 · π))) = -(i · (𝐾 · (2 · π))))
33	7, 6, 32	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (-i · (𝐾 · (2 · π))) = -(i · (𝐾 · (2 · π))))
34		mulneg2 8668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((i · (2 · π)) ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((i · (2 · π)) · -𝐾) = -((i · (2 · π)) · 𝐾))
35	14, 1, 34	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((i · (2 · π)) · -𝐾) = -((i · (2 · π)) · 𝐾))
36	31, 33, 35	3eqtr4d 2275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (-i · (𝐾 · (2 · π))) = ((i · (2 · π)) · -𝐾))
37	36	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (-i · (𝐾 · (2 · π))) = ((i · (2 · π)) · -𝐾))
38	37	oveq2d 6065	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((-i · 𝐴) + (-i · (𝐾 · (2 · π)))) = ((-i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · -𝐾)))
39	30, 38	eqtrd 2265	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (-i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = ((-i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · -𝐾)))
40	39	fveq2d 5673	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘(-i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π))))) = (exp‘((-i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · -𝐾))))
41		mulcl 8253	. . . . . . 7 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
42	27, 41	mpan 424	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
43		znegcl 9607	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → -𝐾 ∈ ℤ)
44		efper 15664	. . . . . 6 ⊢ (((-i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ -𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘((-i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · -𝐾))) = (exp‘(-i · 𝐴)))
45	42, 43, 44	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘((-i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · -𝐾))) = (exp‘(-i · 𝐴)))
46	40, 45	eqtrd 2265	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘(-i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π))))) = (exp‘(-i · 𝐴)))
47	26, 46	oveq12d 6067	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((exp‘(i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))𝑂(exp‘(-i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))) = ((exp‘(i · 𝐴))𝑂(exp‘(-i · 𝐴))))
48	47	oveq1d 6064	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((exp‘(i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))𝑂(exp‘(-i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))) / 𝐷) = (((exp‘(i · 𝐴))𝑂(exp‘(-i · 𝐴))) / 𝐷))
49		addcl 8251	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐾 · (2 · π))) ∈ ℂ)
50	6, 49	sylan2 286	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐴 + (𝐾 · (2 · π))) ∈ ℂ)
51		sinperlem.2	. . 3 ⊢ ((𝐴 + (𝐾 · (2 · π))) ∈ ℂ → (𝐹‘(𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = (((exp‘(i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))𝑂(exp‘(-i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))) / 𝐷))
52	50, 51	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = (((exp‘(i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))𝑂(exp‘(-i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))) / 𝐷))
53		sinperlem.1	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴))𝑂(exp‘(-i · 𝐴))) / 𝐷))
54	53	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐹‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴))𝑂(exp‘(-i · 𝐴))) / 𝐷))
55	48, 52, 54	3eqtr4d 2275	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = (𝐹‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  ℂcc 8124  ici 8128   + caddc 8129   · cmul 8131  -cneg 8444   / cdiv 8945  2c2 9287  ℤcz 9576  expce 12324  πcpi 12329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244  ax-arch 8245  ax-caucvg 8246  ax-pre-suploc 8247  ax-addf 8248  ax-mulf 8249

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-disj 4085  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-isom 5360  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-of 6265  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-irdg 6600  df-frec 6621  df-1o 6646  df-oadd 6650  df-er 6766  df-map 6883  df-pm 6884  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-sup 7274  df-inf 7275  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-5 9298  df-6 9299  df-7 9300  df-8 9301  df-9 9302  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-q 9951  df-rp 9986  df-xneg 10104  df-xadd 10105  df-ioo 10224  df-ioc 10225  df-ico 10226  df-icc 10227  df-fz 10342  df-fzo 10476  df-seqfrec 10809  df-exp 10900  df-fac 11087  df-bc 11109  df-ihash 11137  df-shft 11496  df-cj 11523  df-re 11524  df-im 11525  df-rsqrt 11679  df-abs 11680  df-clim 11960  df-sumdc 12035  df-ef 12330  df-sin 12332  df-cos 12333  df-pi 12335  df-rest 13446  df-topgen 13465  df-psmet 14683  df-xmet 14684  df-met 14685  df-bl 14686  df-mopn 14687  df-top 14855  df-topon 14868  df-bases 14900  df-ntr 14953  df-cn 15045  df-cnp 15046  df-tx 15110  df-cncf 15428  df-limced 15513  df-dvap 15514

This theorem is referenced by:  sinper  15666  cosper  15667