Theorem sinperlem 16047

Description: Lemma for sinper 16048 and cosper 16049. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
sinperlem.1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴))𝑂(exp‘( -i · 𝐴))) / 𝐷))
sinperlem.2	⊢ ((𝐴 + (𝐾 · (2 · π))) ∈ ℂ → (𝐹‘(𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = (((exp‘(i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))𝑂(exp‘( -i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))) / 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
sinperlem	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = (𝐹‘𝐴))

Proof of Theorem sinperlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9661	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
2		2cn 9385	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		picn 16026	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℂ
4	2, 3	mulcli 8338	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
5		mulcl 8313	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ) → (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ)
6	1, 4, 5	sylancl 417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ)
7		ax-icn 8281	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
8		adddi 8318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ) → (i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = ((i · 𝐴) + (i · (𝐾 · (2 · π)))))
9	7, 8	mp3an1 1365	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ) → (i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = ((i · 𝐴) + (i · (𝐾 · (2 · π)))))
10	6, 9	sylan2 286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = ((i · 𝐴) + (i · (𝐾 · (2 · π)))))
11		mul12 8463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ) → (i · (𝐾 · (2 · π))) = (𝐾 · (i · (2 · π))))
12	7, 4, 11	mp3an13 1369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (i · (𝐾 · (2 · π))) = (𝐾 · (i · (2 · π))))
13	1, 12	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i · (𝐾 · (2 · π))) = (𝐾 · (i · (2 · π))))
14	7, 4	mulcli 8338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · (2 · π)) ∈ ℂ
15		mulcom 8315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (i · (2 · π)) ∈ ℂ) → (𝐾 · (i · (2 · π))) = ((i · (2 · π)) · 𝐾))
16	1, 14, 15	sylancl 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · (i · (2 · π))) = ((i · (2 · π)) · 𝐾))
17	13, 16	eqtrd 2271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i · (𝐾 · (2 · π))) = ((i · (2 · π)) · 𝐾))
18	17	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (i · (𝐾 · (2 · π))) = ((i · (2 · π)) · 𝐾))
19	18	oveq2d 6104	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((i · 𝐴) + (i · (𝐾 · (2 · π)))) = ((i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · 𝐾)))
20	10, 19	eqtrd 2271	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = ((i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · 𝐾)))
21	20	fveq2d 5702	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘(i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π))))) = (exp‘((i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · 𝐾))))
22		mulcl 8313	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
23	7, 22	mpan 428	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
24		efper 16046	. . . . . 6 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘((i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · 𝐾))) = (exp‘(i · 𝐴)))
25	23, 24	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘((i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · 𝐾))) = (exp‘(i · 𝐴)))
26	21, 25	eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘(i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π))))) = (exp‘(i · 𝐴)))
27		negicn 8535	. . . . . . . . 9 ⊢ -i ∈ ℂ
28		adddi 8318	. . . . . . . . 9 ⊢ (( -i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ) → ( -i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = (( -i · 𝐴) + ( -i · (𝐾 · (2 · π)))))
29	27, 28	mp3an1 1365	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ) → ( -i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = (( -i · 𝐴) + ( -i · (𝐾 · (2 · π)))))
30	6, 29	sylan2 286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ( -i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = (( -i · 𝐴) + ( -i · (𝐾 · (2 · π)))))
31	17	negeqd 8529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → -(i · (𝐾 · (2 · π))) = -((i · (2 · π)) · 𝐾))
32		mulneg1 8730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ) → ( -i · (𝐾 · (2 · π))) = -(i · (𝐾 · (2 · π))))
33	7, 6, 32	sylancr 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ( -i · (𝐾 · (2 · π))) = -(i · (𝐾 · (2 · π))))
34		mulneg2 8731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((i · (2 · π)) ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((i · (2 · π)) · -𝐾) = -((i · (2 · π)) · 𝐾))
35	14, 1, 34	sylancr 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((i · (2 · π)) · -𝐾) = -((i · (2 · π)) · 𝐾))
36	31, 33, 35	3eqtr4d 2281	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ( -i · (𝐾 · (2 · π))) = ((i · (2 · π)) · -𝐾))
37	36	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ( -i · (𝐾 · (2 · π))) = ((i · (2 · π)) · -𝐾))
38	37	oveq2d 6104	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (( -i · 𝐴) + ( -i · (𝐾 · (2 · π)))) = (( -i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · -𝐾)))
39	30, 38	eqtrd 2271	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ( -i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = (( -i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · -𝐾)))
40	39	fveq2d 5702	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘( -i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π))))) = (exp‘(( -i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · -𝐾))))
41		mulcl 8313	. . . . . . 7 ⊢ (( -i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ( -i · 𝐴) ∈ ℂ)
42	27, 41	mpan 428	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -i · 𝐴) ∈ ℂ)
43		znegcl 9687	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → -𝐾 ∈ ℤ)
44		efper 16046	. . . . . 6 ⊢ ((( -i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ -𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘(( -i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · -𝐾))) = (exp‘( -i · 𝐴)))
45	42, 43, 44	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘(( -i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · -𝐾))) = (exp‘( -i · 𝐴)))
46	40, 45	eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘( -i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π))))) = (exp‘( -i · 𝐴)))
47	26, 46	oveq12d 6106	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((exp‘(i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))𝑂(exp‘( -i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))) = ((exp‘(i · 𝐴))𝑂(exp‘( -i · 𝐴))))
48	47	oveq1d 6103	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((exp‘(i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))𝑂(exp‘( -i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))) / 𝐷) = (((exp‘(i · 𝐴))𝑂(exp‘( -i · 𝐴))) / 𝐷))
49		addcl 8311	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐾 · (2 · π))) ∈ ℂ)
50	6, 49	sylan2 286	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐴 + (𝐾 · (2 · π))) ∈ ℂ)
51		sinperlem.2	. . 3 ⊢ ((𝐴 + (𝐾 · (2 · π))) ∈ ℂ → (𝐹‘(𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = (((exp‘(i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))𝑂(exp‘( -i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))) / 𝐷))
52	50, 51	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = (((exp‘(i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))𝑂(exp‘( -i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))) / 𝐷))
53		sinperlem.1	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴))𝑂(exp‘( -i · 𝐴))) / 𝐷))
54	53	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐹‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴))𝑂(exp‘( -i · 𝐴))) / 𝐷))
55	48, 52, 54	3eqtr4d 2281	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = (𝐹‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℂcc 8184  ici 8188   + caddc 8189   · cmul 8191   -cneg 8506   / cdiv 9011  2c2 9365  ℤcz 9656  expce 12435  πcpi 12440

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306  ax-pre-suploc 8307  ax-addf 8308  ax-mulf 8309

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-map 6928  df-pm 6929  df-en 7028  df-dom 7029  df-fin 7030  df-sup 7331  df-inf 7332  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-q 10037  df-rp 10073  df-xneg 10192  df-xadd 10193  df-ioo 10312  df-ioc 10313  df-ico 10314  df-icc 10315  df-fz 10430  df-fzo 10568  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-fac 11187  df-bc 11209  df-ihash 11238  df-shft 11603  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788  df-clim 12071  df-sumdc 12146  df-ef 12441  df-sin 12443  df-cos 12444  df-pi 12446  df-rest 13655  df-topgen 13674  df-psmet 14990  df-xmet 14991  df-met 14992  df-bl 14993  df-mopn 14994  df-top 15236  df-topon 15249  df-bases 15281  df-ntr 15334  df-cn 15426  df-cnp 15427  df-tx 15491  df-cncf 15809  df-limced 15894  df-dvap 15895

This theorem is used by:  sinper  16048  cosper  16049