Theorem sinsub 12121

Description: Sine of difference. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
sinsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 − 𝐵)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))

Proof of Theorem sinsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 8287	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
2		sinadd 12117	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 + -𝐵)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘-𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘-𝐵))))
3	1, 2	sylan2 286	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 + -𝐵)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘-𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘-𝐵))))
4		negsub 8335	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
5	4	fveq2d 5592	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 + -𝐵)) = (sin‘(𝐴 − 𝐵)))
6		cosneg 12108	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (cos‘-𝐵) = (cos‘𝐵))
7	6	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘-𝐵) = (cos‘𝐵))
8	7	oveq2d 5972	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (cos‘-𝐵)) = ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)))
9		sinneg 12107	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (sin‘-𝐵) = -(sin‘𝐵))
10	9	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘-𝐵) = -(sin‘𝐵))
11	10	oveq2d 5972	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (sin‘-𝐵)) = ((cos‘𝐴) · -(sin‘𝐵)))
12		coscl 12088	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
13		sincl 12087	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (sin‘𝐵) ∈ ℂ)
14		mulneg2 8483	. . . . . 6 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐵) ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · -(sin‘𝐵)) = -((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
15	12, 13, 14	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · -(sin‘𝐵)) = -((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
16	11, 15	eqtrd 2239	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (sin‘-𝐵)) = -((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
17	8, 16	oveq12d 5974	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((sin‘𝐴) · (cos‘-𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘-𝐵))) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + -((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
18		sincl 12087	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
19		coscl 12088	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
20		mulcl 8067	. . . . 5 ⊢ (((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐵) ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ)
21	18, 19, 20	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ)
22		mulcl 8067	. . . . 5 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐵) ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ)
23	12, 13, 22	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ)
24	21, 23	negsubd 8404	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + -((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
25	17, 24	eqtrd 2239	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((sin‘𝐴) · (cos‘-𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘-𝐵))) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
26	3, 5, 25	3eqtr3d 2247	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 − 𝐵)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ‘cfv 5279  (class class class)co 5956  ℂcc 7938   + caddc 7943   · cmul 7945   − cmin 8258  -cneg 8259  sincsin 12025  cosccos 12026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4166  ax-sep 4169  ax-nul 4177  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-iinf 4643  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-mulrcl 8039  ax-addcom 8040  ax-mulcom 8041  ax-addass 8042  ax-mulass 8043  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-1rid 8047  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-precex 8050  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-apti 8055  ax-pre-ltadd 8056  ax-pre-mulgt0 8057  ax-pre-mulext 8058  ax-arch 8059  ax-caucvg 8060

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-iun 3934  df-disj 4027  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-tr 4150  df-id 4347  df-po 4350  df-iso 4351  df-iord 4420  df-on 4422  df-ilim 4423  df-suc 4425  df-iom 4646  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287  df-isom 5288  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-1st 6238  df-2nd 6239  df-recs 6403  df-irdg 6468  df-frec 6489  df-1o 6514  df-oadd 6518  df-er 6632  df-en 6840  df-dom 6841  df-fin 6842  df-sup 7100  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-sub 8260  df-neg 8261  df-reap 8663  df-ap 8670  df-div 8761  df-inn 9052  df-2 9110  df-3 9111  df-4 9112  df-n0 9311  df-z 9388  df-uz 9664  df-q 9756  df-rp 9791  df-ico 10031  df-fz 10146  df-fzo 10280  df-seqfrec 10610  df-exp 10701  df-fac 10888  df-bc 10910  df-ihash 10938  df-cj 11223  df-re 11224  df-im 11225  df-rsqrt 11379  df-abs 11380  df-clim 11660  df-sumdc 11735  df-ef 12029  df-sin 12031  df-cos 12032

This theorem is referenced by:  addsin  12123  subsin  12124  sin0pilem1  15323  sinmpi  15357  sinhalfpim  15363