Theorem sinsub 11886

Description: Sine of difference. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
sinsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 − 𝐵)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))

Proof of Theorem sinsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 8221	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
2		sinadd 11882	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 + -𝐵)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘-𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘-𝐵))))
3	1, 2	sylan2 286	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 + -𝐵)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘-𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘-𝐵))))
4		negsub 8269	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
5	4	fveq2d 5559	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 + -𝐵)) = (sin‘(𝐴 − 𝐵)))
6		cosneg 11873	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (cos‘-𝐵) = (cos‘𝐵))
7	6	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘-𝐵) = (cos‘𝐵))
8	7	oveq2d 5935	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (cos‘-𝐵)) = ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)))
9		sinneg 11872	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (sin‘-𝐵) = -(sin‘𝐵))
10	9	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘-𝐵) = -(sin‘𝐵))
11	10	oveq2d 5935	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (sin‘-𝐵)) = ((cos‘𝐴) · -(sin‘𝐵)))
12		coscl 11853	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
13		sincl 11852	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (sin‘𝐵) ∈ ℂ)
14		mulneg2 8417	. . . . . 6 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐵) ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · -(sin‘𝐵)) = -((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
15	12, 13, 14	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · -(sin‘𝐵)) = -((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
16	11, 15	eqtrd 2226	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (sin‘-𝐵)) = -((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
17	8, 16	oveq12d 5937	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((sin‘𝐴) · (cos‘-𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘-𝐵))) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + -((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
18		sincl 11852	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
19		coscl 11853	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
20		mulcl 8001	. . . . 5 ⊢ (((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐵) ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ)
21	18, 19, 20	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ)
22		mulcl 8001	. . . . 5 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐵) ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ)
23	12, 13, 22	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ)
24	21, 23	negsubd 8338	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + -((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
25	17, 24	eqtrd 2226	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((sin‘𝐴) · (cos‘-𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘-𝐵))) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
26	3, 5, 25	3eqtr3d 2234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 − 𝐵)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  ℂcc 7872   + caddc 7877   · cmul 7879   − cmin 8192  -cneg 8193  sincsin 11790  cosccos 11791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-disj 4008  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-frec 6446  df-1o 6471  df-oadd 6475  df-er 6589  df-en 6797  df-dom 6798  df-fin 6799  df-sup 7045  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-ico 9963  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-fac 10800  df-bc 10822  df-ihash 10850  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-clim 11425  df-sumdc 11500  df-ef 11794  df-sin 11796  df-cos 11797

This theorem is referenced by:  addsin  11888  subsin  11889  sin0pilem1  14957  sinmpi  14991  sinhalfpim  14997