Theorem sinsub 11696

Description: Sine of difference. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
sinsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 − 𝐵)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))

Proof of Theorem sinsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 8112	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
2		sinadd 11692	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 + -𝐵)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘-𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘-𝐵))))
3	1, 2	sylan2 284	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 + -𝐵)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘-𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘-𝐵))))
4		negsub 8160	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
5	4	fveq2d 5498	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 + -𝐵)) = (sin‘(𝐴 − 𝐵)))
6		cosneg 11683	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (cos‘-𝐵) = (cos‘𝐵))
7	6	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘-𝐵) = (cos‘𝐵))
8	7	oveq2d 5867	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (cos‘-𝐵)) = ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)))
9		sinneg 11682	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (sin‘-𝐵) = -(sin‘𝐵))
10	9	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘-𝐵) = -(sin‘𝐵))
11	10	oveq2d 5867	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (sin‘-𝐵)) = ((cos‘𝐴) · -(sin‘𝐵)))
12		coscl 11663	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
13		sincl 11662	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (sin‘𝐵) ∈ ℂ)
14		mulneg2 8308	. . . . . 6 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐵) ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · -(sin‘𝐵)) = -((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
15	12, 13, 14	syl2an 287	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · -(sin‘𝐵)) = -((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
16	11, 15	eqtrd 2203	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (sin‘-𝐵)) = -((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)))
17	8, 16	oveq12d 5869	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((sin‘𝐴) · (cos‘-𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘-𝐵))) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + -((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
18		sincl 11662	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
19		coscl 11663	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
20		mulcl 7894	. . . . 5 ⊢ (((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐵) ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ)
21	18, 19, 20	syl2an 287	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ)
22		mulcl 7894	. . . . 5 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐵) ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ)
23	12, 13, 22	syl2an 287	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ)
24	21, 23	negsubd 8229	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + -((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
25	17, 24	eqtrd 2203	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((sin‘𝐴) · (cos‘-𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘-𝐵))) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
26	3, 5, 25	3eqtr3d 2211	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 − 𝐵)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ‘cfv 5196  (class class class)co 5851  ℂcc 7765   + caddc 7770   · cmul 7772   − cmin 8083  -cneg 8084  sincsin 11600  cosccos 11601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-mulrcl 7866  ax-addcom 7867  ax-mulcom 7868  ax-addass 7869  ax-mulass 7870  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-1rid 7874  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-precex 7877  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-apti 7882  ax-pre-ltadd 7883  ax-pre-mulgt0 7884  ax-pre-mulext 7885  ax-arch 7886  ax-caucvg 7887

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-disj 3965  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-irdg 6347  df-frec 6368  df-1o 6393  df-oadd 6397  df-er 6511  df-en 6717  df-dom 6718  df-fin 6719  df-sup 6959  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-reap 8487  df-ap 8494  df-div 8583  df-inn 8872  df-2 8930  df-3 8931  df-4 8932  df-n0 9129  df-z 9206  df-uz 9481  df-q 9572  df-rp 9604  df-ico 9844  df-fz 9959  df-fzo 10092  df-seqfrec 10395  df-exp 10469  df-fac 10653  df-bc 10675  df-ihash 10703  df-cj 10799  df-re 10800  df-im 10801  df-rsqrt 10955  df-abs 10956  df-clim 11235  df-sumdc 11310  df-ef 11604  df-sin 11606  df-cos 11607

This theorem is referenced by:  addsin  11698  subsin  11699  sin0pilem1  13461  sinmpi  13495  sinhalfpim  13501