Theorem binom2sub 11105

Description: Expand the square of a subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 10-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
binom2sub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))

Proof of Theorem binom2sub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 8528	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
2		binom2 11103	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + -𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · -𝐵))) + (-𝐵↑2)))
3	1, 2	sylan2 286	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + -𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · -𝐵))) + (-𝐵↑2)))
4		negsub 8576	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
5	4	oveq1d 6100	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + -𝐵)↑2) = ((𝐴 − 𝐵)↑2))
6	3, 5	eqtr3d 2273	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · -𝐵))) + (-𝐵↑2)) = ((𝐴 − 𝐵)↑2))
7		mulneg2 8725	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
8	7	oveq2d 6101	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 · -𝐵)) = (2 · -(𝐴 · 𝐵)))
9		2cn 9378	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		mulcl 8307	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
11		mulneg2 8725	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ) → (2 · -(𝐴 · 𝐵)) = -(2 · (𝐴 · 𝐵)))
12	9, 10, 11	sylancr 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · -(𝐴 · 𝐵)) = -(2 · (𝐴 · 𝐵)))
13	8, 12	eqtr2d 2272	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(2 · (𝐴 · 𝐵)) = (2 · (𝐴 · -𝐵)))
14	13	oveq2d 6101	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) + -(2 · (𝐴 · 𝐵))) = ((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · -𝐵))))
15		sqcl 11052	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
16	15	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
17		mulcl 8307	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
18	9, 10, 17	sylancr 418	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
19	16, 18	negsubd 8645	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) + -(2 · (𝐴 · 𝐵))) = ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵))))
20	14, 19	eqtr3d 2273	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · -𝐵))) = ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵))))
21		sqneg 11050	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (-𝐵↑2) = (𝐵↑2))
22	21	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐵↑2) = (𝐵↑2))
23	20, 22	oveq12d 6103	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · -𝐵))) + (-𝐵↑2)) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
24	6, 23	eqtr3d 2273	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  ℂcc 8178   + caddc 8183   · cmul 8185   − cmin 8499  -cneg 8500  2c2 9358  ↑cexp 10990

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-seqfrec 10900  df-exp 10991

This theorem is used by:  binom2sub1  11106  binom2subi  11107  resqrexlemover  11792  resqrexlemcalc1  11796  amgm2  11901  bdtrilem  12024  pythagtriplem1  13067  pythagtriplem14  13079  tangtx  16031  qdiff  17265