ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  binom2sub GIF version

Theorem binom2sub 10634
Description: Expand the square of a subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 10-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
binom2sub ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2) = (((๐ดโ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)))

Proof of Theorem binom2sub
StepHypRef Expression
1 negcl 8157 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ -๐ต โˆˆ โ„‚)
2 binom2 10632 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง -๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + -๐ต)โ†‘2) = (((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท -๐ต))) + (-๐ตโ†‘2)))
31, 2sylan2 286 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + -๐ต)โ†‘2) = (((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท -๐ต))) + (-๐ตโ†‘2)))
4 negsub 8205 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + -๐ต) = (๐ด โˆ’ ๐ต))
54oveq1d 5890 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + -๐ต)โ†‘2) = ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2))
63, 5eqtr3d 2212 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท -๐ต))) + (-๐ตโ†‘2)) = ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2))
7 mulneg2 8353 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท -๐ต) = -(๐ด ยท ๐ต))
87oveq2d 5891 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐ด ยท -๐ต)) = (2 ยท -(๐ด ยท ๐ต)))
9 2cn 8990 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„‚
10 mulcl 7938 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
11 mulneg2 8353 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท -(๐ด ยท ๐ต)) = -(2 ยท (๐ด ยท ๐ต)))
129, 10, 11sylancr 414 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท -(๐ด ยท ๐ต)) = -(2 ยท (๐ด ยท ๐ต)))
138, 12eqtr2d 2211 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ -(2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) = (2 ยท (๐ด ยท -๐ต)))
1413oveq2d 5891 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + -(2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) = ((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท -๐ต))))
15 sqcl 10581 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
1615adantr 276 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
17 mulcl 7938 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
189, 10, 17sylancr 414 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
1916, 18negsubd 8274 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + -(2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) = ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))))
2014, 19eqtr3d 2212 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท -๐ต))) = ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))))
21 sqneg 10579 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (-๐ตโ†‘2) = (๐ตโ†‘2))
2221adantl 277 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (-๐ตโ†‘2) = (๐ตโ†‘2))
2320, 22oveq12d 5893 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท -๐ต))) + (-๐ตโ†‘2)) = (((๐ดโ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)))
246, 23eqtr3d 2212 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2) = (((๐ดโ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  (class class class)co 5875  โ„‚cc 7809   + caddc 7814   ยท cmul 7816   โˆ’ cmin 8128  -cneg 8129  2c2 8970  โ†‘cexp 10519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-seqfrec 10446  df-exp 10520
This theorem is referenced by:  binom2sub1  10635  binom2subi  10636  resqrexlemover  11019  resqrexlemcalc1  11023  amgm2  11127  bdtrilem  11247  pythagtriplem1  12265  pythagtriplem14  12277  tangtx  14262
  Copyright terms: Public domain W3C validator