Theorem zmulcl 9308

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zmulcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0 9270	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0)))
2		elznn0 9270	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
3		nn0mulcl 9214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
4	3	orcd 733	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
5	4	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)))
6		remulcl 7941	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ)
7	5, 6	jctild 316	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))))
8		nn0mulcl 9214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
9		recn 7946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → 𝑀 ∈ ℂ)
10		recn 7946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
11		mulneg1 8354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (-𝑀 · 𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
12	9, 10, 11	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (-𝑀 · 𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
13	12	eleq1d 2246	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ↔ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
14	8, 13	imbitrid 154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
15		olc 711	. . . . . . . 8 ⊢ (-(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
16	14, 15	syl6 33	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)))
17	16, 6	jctild 316	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))))
18		nn0mulcl 9214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 · -𝑁) ∈ ℕ0)
19		mulneg2 8355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 · -𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
20	9, 10, 19	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 · -𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
21	20	eleq1d 2246	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 · -𝑁) ∈ ℕ0 ↔ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
22	18, 21	imbitrid 154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
23	22, 15	syl6 33	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)))
24	23, 6	jctild 316	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))))
25		nn0mulcl 9214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑀 · -𝑁) ∈ ℕ0)
26		mul2neg 8357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (-𝑀 · -𝑁) = (𝑀 · 𝑁))
27	9, 10, 26	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (-𝑀 · -𝑁) = (𝑀 · 𝑁))
28	27	eleq1d 2246	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 · -𝑁) ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
29	25, 28	imbitrid 154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
30		orc 712	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
31	29, 30	syl6 33	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)))
32	31, 6	jctild 316	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))))
33	7, 17, 24, 32	ccased 965	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))))
34		elznn0 9270	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ↔ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)))
35	33, 34	imbitrrdi 162	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ))
36	35	imp 124	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
37	36	an4s 588	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
38	1, 2, 37	syl2anb 291	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  (class class class)co 5877  ℂcc 7811  ℝcr 7812   · cmul 7818  -cneg 8131  ℕ₀cn0 9178  ℤcz 9255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256

This theorem is referenced by:  zdivmul  9345  msqznn  9355  zmulcld  9383  uz2mulcl  9610  qaddcl  9637  qmulcl  9639  qreccl  9644  fzctr  10135  flqmulnn0  10301  zexpcl  10537  iexpcyc  10627  zesq  10641  fprodzcl  11619  dvdsmul1  11822  dvdsmul2  11823  muldvds1  11825  muldvds2  11826  dvdscmul  11827  dvdsmulc  11828  dvds2ln  11833  dvdstr  11837  dvdsmultr1  11840  dvdsmultr2  11842  3dvdsdec  11872  3dvds2dec  11873  oexpneg  11884  mulsucdiv2z  11892  divalgb  11932  divalgmod  11934  ndvdsi  11940  absmulgcd  12020  gcdmultiple  12023  gcdmultiplez  12024  dvdsmulgcd  12028  rpmulgcd  12029  lcmcllem  12069  rpmul  12100  cncongr1  12105  cncongr2  12106  modprminv  12251  modprminveq  12252  modprm0  12256  pythagtriplem4  12270  pcpremul  12295  pcmul  12303  gzmulcl  12378  zsubrg  13514  dvdsrzring  13532  lgslem3  14442  lgsval  14444  lgsval2lem  14450  lgsval4a  14462  lgsneg  14464  lgsdir2  14473  lgsdir  14475  lgsdilem2  14476  lgsdi  14477  lgsne0  14478  lgseisenlem1  14489  lgseisenlem2  14490  2lgsoddprmlem2  14493