Theorem nn0z 9365

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0z	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 9363	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
2	1	sseli 3180	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  ℕ₀cn0 9268  ℤcz 9345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-ltadd 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-inn 9010  df-n0 9269  df-z 9346

This theorem is referenced by:  nn0negz  9379  nn0ltp1le  9407  nn0leltp1  9408  nn0ltlem1  9409  nn0sub  9411  nn0n0n1ge2b  9424  nn0lt10b  9425  nn0lt2  9426  nn0le2is012  9427  nn0lem1lt  9428  fnn0ind  9461  nn0pzuz  9680  nn01to3  9710  nn0ge2m1nnALT  9711  fz1n  10138  ige2m1fz  10204  elfz2nn0  10206  fznn0  10207  elfz0add  10214  fzctr  10227  difelfzle  10228  fzo1fzo0n0  10278  fzofzim  10283  elfzodifsumelfzo  10296  zpnn0elfzo  10302  fzossfzop1  10307  ubmelm1fzo  10321  adddivflid  10401  fldivnn0  10404  divfl0  10405  flqmulnn0  10408  fldivnn0le  10412  zmodidfzoimp  10465  modqmuladdnn0  10479  modifeq2int  10497  modfzo0difsn  10506  uzennn  10547  expdivap  10701  faclbnd3  10854  bccmpl  10865  bcnp1n  10870  bcn2  10875  bcp1m1  10876  iswrd  10956  wrdval  10957  wrdexg  10965  wrdnval  10984  wrdred1  10996  wrdred1hash  10997  nn0maxcl  11409  modfsummodlemstep  11641  bcxmas  11673  geo2sum2  11699  mertenslemi1  11719  mertensabs  11721  esum  11846  efcvgfsum  11851  ege2le3  11855  eftlcl  11872  reeftlcl  11873  eftlub  11874  effsumlt  11876  eirraplem  11961  dvds1  12037  dvdsext  12039  addmodlteqALT  12043  3dvds  12048  oddnn02np1  12064  oddge22np1  12065  nn0ehalf  12087  nn0o1gt2  12089  nno  12090  nn0o  12091  nn0oddm1d2  12093  modremain  12113  bitsmod  12140  bitsinv1  12146  gcdn0gt0  12172  nn0gcdid0  12175  bezoutlemmain  12192  nn0seqcvgd  12236  algcvgblem  12244  algcvga  12246  eucalgf  12250  prmndvdsfaclt  12351  nn0sqrtelqelz  12401  nonsq  12402  crth  12419  odzdvds  12441  coprimeprodsq  12453  coprimeprodsq2  12454  oddprm  12455  pcexp  12505  pcdvdsb  12516  pc11  12527  dvdsprmpweqle  12533  difsqpwdvds  12534  pcfac  12546  prmunb  12558  4sqexercise1  12594  4sqexercise2  12595  4sqlemsdc  12596  modxai  12612  mulgaddcom  13354  mulginvcom  13355  mulgz  13358  mulgdirlem  13361  mulgass  13367  mulgass2  13692  zncrng  14279  znzrh2  14280  zndvds  14283  znf1o  14285  znunit  14293  elply2  15079  elplyd  15085  dvply2g  15110  sgmnncl  15332  0sgmppw  15337  lgsneg1  15374  lgsdirnn0  15396  lgsdinn0  15397  2lgslem1c  15439  2lgslem3a1  15446  2lgslem3b1  15447  2lgslem3c1  15448  2lgsoddprmlem2  15455