Theorem nn0z 9647

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0z	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 9645	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
2	1	sseli 3244	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ℕ₀cn0 9546  ℤcz 9627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628

This theorem is referenced by:  nn0negz  9661  nn0ltp1le  9690  nn0leltp1  9691  nn0ltlem1  9692  nn0sub  9694  nn0n0n1ge2b  9708  nn0lt10b  9709  nn0lt2  9710  nn0le2is012  9711  nn0lem1lt  9712  fnn0ind  9745  nn0pzuz  9970  nn01to3  10000  nn0ge2m1nnALT  10001  fz1n  10431  ige2m1fz  10500  elfz2nn0  10502  fznn0  10503  elfz0add  10510  fzctr  10523  difelfzle  10524  fzoun  10573  fzo1fzo0n0  10578  fzofzim  10583  elincfzoext  10594  elfzodifsumelfzo  10602  zpnn0elfzo  10608  fzossfzop1  10613  ubmelm1fzo  10627  adddivflid  10710  fldivnn0  10713  divfl0  10714  flqmulnn0  10717  fldivnn0le  10721  zmodidfzoimp  10774  modqmuladdnn0  10788  modifeq2int  10806  modfzo0difsn  10815  uzennn  10856  expdivap  11010  faclbnd3  11164  bccmpl  11175  bcnp1n  11180  bcn2  11185  bcp1m1  11186  iswrd  11289  wrdval  11290  wrdexg  11298  ffz0iswrdnn0  11314  wrdnval  11318  wrdred1  11330  wrdred1hash  11331  ccatalpha  11364  swrdfv2  11418  swrdsb0eq  11420  swrdsbslen  11421  swrdspsleq  11422  swrdlsw  11424  pfx0g  11431  fnpfx  11432  pfxclg  11433  pfxnd  11444  pfxwrdsymbg  11445  pfxccatin12lem4  11481  pfxccatin12lem3  11487  pfxccat3  11489  swrdccat  11490  pfxccat3a  11493  cats1fvd  11521  nn0maxcl  11974  modfsummodlemstep  12207  bcxmas  12239  geo2sum2  12265  mertenslemi1  12285  mertensabs  12287  esum  12412  efcvgfsum  12417  ege2le3  12421  eftlcl  12438  reeftlcl  12439  eftlub  12440  effsumlt  12442  eirraplem  12527  dvds1  12603  dvdsext  12605  addmodlteqALT  12609  3dvds  12614  oddnn02np1  12630  oddge22np1  12631  nn0ehalf  12653  nn0o1gt2  12655  nno  12656  nn0o  12657  nn0oddm1d2  12659  modremain  12679  bitsmod  12706  bitsinv1  12712  gcdn0gt0  12738  nn0gcdid0  12741  bezoutlemmain  12758  nn0seqcvgd  12802  algcvgblem  12810  algcvga  12812  eucalgf  12816  prmndvdsfaclt  12917  nn0sqrtelqelz  12967  nonsq  12968  crth  12985  odzdvds  13007  coprimeprodsq  13019  coprimeprodsq2  13020  oddprm  13021  pcexp  13071  pcdvdsb  13082  pc11  13093  dvdsprmpweqle  13099  difsqpwdvds  13100  pcfac  13112  prmunb  13124  4sqexercise1  13160  4sqexercise2  13161  4sqlemsdc  13162  modxai  13178  mulgaddcom  13932  mulginvcom  13933  mulgz  13936  mulgdirlem  13939  mulgass  13945  mulgass2  14346  zncrng  14963  znzrh2  14964  zndvds  14967  znf1o  14969  znunit  14977  elply2  15819  elplyd  15825  dvply2g  15850  log2tlbndlog2  16065  birthdaylem1g  16070  birthdaylem3  16072  sgmnncl  16085  0sgmppw  16090  lgsneg1  16127  lgsdirnn0  16149  lgsdinn0  16150  2lgslem1c  16192  2lgslem3a1  16199  2lgslem3b1  16200  2lgslem3c1  16201  2lgsoddprmlem2  16208  wlkv0  16593