Theorem nn0z 9207

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0z	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 9205	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
2	1	sseli 3137	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136  ℕ₀cn0 9110  ℤcz 9187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-addcom 7849  ax-addass 7851  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-ltadd 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-br 3982  df-opab 4043  df-id 4270  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-inn 8854  df-n0 9111  df-z 9188

This theorem is referenced by:  nn0negz  9221  nn0ltp1le  9249  nn0leltp1  9250  nn0ltlem1  9251  nn0sub  9253  nn0n0n1ge2b  9266  nn0lt10b  9267  nn0lt2  9268  nn0le2is012  9269  nn0lem1lt  9270  fnn0ind  9303  nn0pzuz  9521  nn01to3  9551  nn0ge2m1nnALT  9552  fz1n  9975  ige2m1fz  10041  elfz2nn0  10043  fznn0  10044  elfz0add  10051  fzctr  10064  difelfzle  10065  fzo1fzo0n0  10114  fzofzim  10119  elfzodifsumelfzo  10132  zpnn0elfzo  10138  fzossfzop1  10143  ubmelm1fzo  10157  adddivflid  10223  fldivnn0  10226  divfl0  10227  flqmulnn0  10230  fldivnn0le  10234  zmodidfzoimp  10285  modqmuladdnn0  10299  modifeq2int  10317  modfzo0difsn  10326  uzennn  10367  expdivap  10502  faclbnd3  10652  bccmpl  10663  bcnp1n  10668  bcn2  10673  bcp1m1  10674  modfsummodlemstep  11394  bcxmas  11426  geo2sum2  11452  mertenslemi1  11472  mertensabs  11474  esum  11599  efcvgfsum  11604  ege2le3  11608  eftlcl  11625  reeftlcl  11626  eftlub  11627  effsumlt  11629  eirraplem  11713  dvds1  11787  dvdsext  11789  addmodlteqALT  11793  oddnn02np1  11813  oddge22np1  11814  nn0ehalf  11836  nn0o1gt2  11838  nno  11839  nn0o  11840  nn0oddm1d2  11842  modremain  11862  gcdn0gt0  11907  nn0gcdid0  11910  bezoutlemmain  11927  nn0seqcvgd  11969  algcvgblem  11977  algcvga  11979  eucalgf  11983  prmndvdsfaclt  12084  nn0sqrtelqelz  12134  nonsq  12135  crth  12152  odzdvds  12173  coprimeprodsq  12185  coprimeprodsq2  12186  oddprm  12187  pcexp  12237  pcdvdsb  12247  pc11  12258  dvdsprmpweqle  12264  difsqpwdvds  12265  pcfac  12276  prmunb  12288  lgsneg1  13526  lgsdirnn0  13548  lgsdinn0  13549