Theorem nn0z 9542

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0z	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 9540	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
2	1	sseli 3224	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  ℕ₀cn0 9445  ℤcz 9522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-inn 9187  df-n0 9446  df-z 9523

This theorem is referenced by:  nn0negz  9556  nn0ltp1le  9585  nn0leltp1  9586  nn0ltlem1  9587  nn0sub  9589  nn0n0n1ge2b  9602  nn0lt10b  9603  nn0lt2  9604  nn0le2is012  9605  nn0lem1lt  9606  fnn0ind  9639  nn0pzuz  9864  nn01to3  9894  nn0ge2m1nnALT  9895  fz1n  10322  ige2m1fz  10388  elfz2nn0  10390  fznn0  10391  elfz0add  10398  fzctr  10411  difelfzle  10412  fzoun  10461  fzo1fzo0n0  10466  fzofzim  10471  elincfzoext  10482  elfzodifsumelfzo  10490  zpnn0elfzo  10496  fzossfzop1  10501  ubmelm1fzo  10515  adddivflid  10596  fldivnn0  10599  divfl0  10600  flqmulnn0  10603  fldivnn0le  10607  zmodidfzoimp  10660  modqmuladdnn0  10674  modifeq2int  10692  modfzo0difsn  10701  uzennn  10742  expdivap  10896  faclbnd3  11049  bccmpl  11060  bcnp1n  11065  bcn2  11070  bcp1m1  11071  iswrd  11162  wrdval  11163  wrdexg  11171  ffz0iswrdnn0  11187  wrdnval  11191  wrdred1  11203  wrdred1hash  11204  ccatalpha  11237  swrdfv2  11291  swrdsb0eq  11293  swrdsbslen  11294  swrdspsleq  11295  swrdlsw  11297  pfx0g  11304  fnpfx  11305  pfxclg  11306  pfxnd  11317  pfxwrdsymbg  11318  pfxccatin12lem4  11354  pfxccatin12lem3  11360  pfxccat3  11362  swrdccat  11363  pfxccat3a  11366  cats1fvd  11394  nn0maxcl  11846  modfsummodlemstep  12079  bcxmas  12111  geo2sum2  12137  mertenslemi1  12157  mertensabs  12159  esum  12284  efcvgfsum  12289  ege2le3  12293  eftlcl  12310  reeftlcl  12311  eftlub  12312  effsumlt  12314  eirraplem  12399  dvds1  12475  dvdsext  12477  addmodlteqALT  12481  3dvds  12486  oddnn02np1  12502  oddge22np1  12503  nn0ehalf  12525  nn0o1gt2  12527  nno  12528  nn0o  12529  nn0oddm1d2  12531  modremain  12551  bitsmod  12578  bitsinv1  12584  gcdn0gt0  12610  nn0gcdid0  12613  bezoutlemmain  12630  nn0seqcvgd  12674  algcvgblem  12682  algcvga  12684  eucalgf  12688  prmndvdsfaclt  12789  nn0sqrtelqelz  12839  nonsq  12840  crth  12857  odzdvds  12879  coprimeprodsq  12891  coprimeprodsq2  12892  oddprm  12893  pcexp  12943  pcdvdsb  12954  pc11  12965  dvdsprmpweqle  12971  difsqpwdvds  12972  pcfac  12984  prmunb  12996  4sqexercise1  13032  4sqexercise2  13033  4sqlemsdc  13034  modxai  13050  mulgaddcom  13794  mulginvcom  13795  mulgz  13798  mulgdirlem  13801  mulgass  13807  mulgass2  14133  zncrng  14721  znzrh2  14722  zndvds  14725  znf1o  14727  znunit  14735  elply2  15526  elplyd  15532  dvply2g  15557  sgmnncl  15782  0sgmppw  15787  lgsneg1  15824  lgsdirnn0  15846  lgsdinn0  15847  2lgslem1c  15889  2lgslem3a1  15896  2lgslem3b1  15897  2lgslem3c1  15898  2lgsoddprmlem2  15905  wlkv0  16290