Theorem nn0z 9232

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0z	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 9230	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
2	1	sseli 3143	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  ℕ₀cn0 9135  ℤcz 9212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213

This theorem is referenced by:  nn0negz  9246  nn0ltp1le  9274  nn0leltp1  9275  nn0ltlem1  9276  nn0sub  9278  nn0n0n1ge2b  9291  nn0lt10b  9292  nn0lt2  9293  nn0le2is012  9294  nn0lem1lt  9295  fnn0ind  9328  nn0pzuz  9546  nn01to3  9576  nn0ge2m1nnALT  9577  fz1n  10000  ige2m1fz  10066  elfz2nn0  10068  fznn0  10069  elfz0add  10076  fzctr  10089  difelfzle  10090  fzo1fzo0n0  10139  fzofzim  10144  elfzodifsumelfzo  10157  zpnn0elfzo  10163  fzossfzop1  10168  ubmelm1fzo  10182  adddivflid  10248  fldivnn0  10251  divfl0  10252  flqmulnn0  10255  fldivnn0le  10259  zmodidfzoimp  10310  modqmuladdnn0  10324  modifeq2int  10342  modfzo0difsn  10351  uzennn  10392  expdivap  10527  faclbnd3  10677  bccmpl  10688  bcnp1n  10693  bcn2  10698  bcp1m1  10699  modfsummodlemstep  11420  bcxmas  11452  geo2sum2  11478  mertenslemi1  11498  mertensabs  11500  esum  11625  efcvgfsum  11630  ege2le3  11634  eftlcl  11651  reeftlcl  11652  eftlub  11653  effsumlt  11655  eirraplem  11739  dvds1  11813  dvdsext  11815  addmodlteqALT  11819  oddnn02np1  11839  oddge22np1  11840  nn0ehalf  11862  nn0o1gt2  11864  nno  11865  nn0o  11866  nn0oddm1d2  11868  modremain  11888  gcdn0gt0  11933  nn0gcdid0  11936  bezoutlemmain  11953  nn0seqcvgd  11995  algcvgblem  12003  algcvga  12005  eucalgf  12009  prmndvdsfaclt  12110  nn0sqrtelqelz  12160  nonsq  12161  crth  12178  odzdvds  12199  coprimeprodsq  12211  coprimeprodsq2  12212  oddprm  12213  pcexp  12263  pcdvdsb  12273  pc11  12284  dvdsprmpweqle  12290  difsqpwdvds  12291  pcfac  12302  prmunb  12314  lgsneg1  13720  lgsdirnn0  13742  lgsdinn0  13743