Theorem nn0z 9666

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0z	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 9664	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
2	1	sseli 3244	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ℕ₀cn0 9565  ℤcz 9646

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9306  df-n0 9566  df-z 9647

This theorem is used by:  nn0negz  9680  nn0ltp1le  9709  nn0leltp1  9710  nn0ltlem1  9711  nn0sub  9713  nn0n0n1ge2b  9727  nn0lt10b  9728  nn0lt2  9729  nn0le2is012  9730  nn0lem1lt  9731  fnn0ind  9764  nn0pzuz  9989  nn01to3  10019  nn0ge2m1nnALT  10020  fz1n  10450  ige2m1fz  10519  elfz2nn0  10521  fznn0  10522  elfz0add  10529  fzctr  10542  difelfzle  10543  fzoun  10592  fzo1fzo0n0  10597  fzofzim  10602  elincfzoext  10613  elfzodifsumelfzo  10621  zpnn0elfzo  10627  fzossfzop1  10632  ubmelm1fzo  10646  adddivflid  10729  fldivnn0  10732  divfl0  10733  flqmulnn0  10736  fldivnn0le  10740  zmodidfzoimp  10793  modqmuladdnn0  10807  modifeq2int  10825  modfzo0difsn  10834  uzennn  10875  expdivap  11029  faclbnd3  11183  bccmpl  11194  bcnp1n  11199  bcn2  11204  bcp1m1  11205  iswrd  11308  wrdval  11309  wrdexg  11317  ffz0iswrdnn0  11333  wrdnval  11337  wrdred1  11349  wrdred1hash  11350  ccatalpha  11383  swrdfv2  11437  swrdsb0eq  11439  swrdsbslen  11440  swrdspsleq  11441  swrdlsw  11443  pfx0g  11450  fnpfx  11451  pfxclg  11452  pfxnd  11463  pfxwrdsymbg  11464  pfxccatin12lem4  11500  pfxccatin12lem3  11506  pfxccat3  11508  swrdccat  11509  pfxccat3a  11512  cats1fvd  11540  nn0maxcl  11993  modfsummodlemstep  12226  bcxmas  12258  geo2sum2  12284  mertenslemi1  12304  mertensabs  12306  esum  12431  efcvgfsum  12436  ege2le3  12440  eftlcl  12457  reeftlcl  12458  eftlub  12459  effsumlt  12461  eirraplem  12546  dvds1  12622  dvdsext  12624  addmodlteqALT  12628  3dvds  12633  oddnn02np1  12649  oddge22np1  12650  nn0ehalf  12672  nn0o1gt2  12674  nno  12675  nn0o  12676  nn0oddm1d2  12678  modremain  12698  bitsmod  12725  bitsinv1  12731  gcdn0gt0  12757  nn0gcdid0  12760  bezoutlemmain  12777  nn0seqcvgd  12821  algcvgblem  12829  algcvga  12831  eucalgf  12835  prmndvdsfaclt  12936  nn0sqrtelqelz  12986  nonsq  12987  crth  13004  odzdvds  13026  coprimeprodsq  13038  coprimeprodsq2  13039  oddprm  13040  pcexp  13090  pcdvdsb  13101  pc11  13112  dvdsprmpweqle  13118  difsqpwdvds  13119  pcfac  13131  prmunb  13143  4sqexercise1  13179  4sqexercise2  13180  4sqlemsdc  13181  modxai  13197  mulgaddcom  13951  mulginvcom  13952  mulgz  13955  mulgdirlem  13958  mulgass  13964  mulgass2  14365  zncrng  14982  znzrh2  14983  zndvds  14986  znf1o  14988  znunit  14996  elply2  15838  elplyd  15844  dvply2g  15869  log2tlbndlog2  16088  birthdaylem1g  16093  birthdaylem3  16095  sgmnncl  16108  0sgmppw  16113  bcmono  16124  bcmax  16125  bcp1ctr  16126  lgsneg1  16156  lgsdirnn0  16178  lgsdinn0  16179  2lgslem1c  16221  2lgslem3a1  16228  2lgslem3b1  16229  2lgslem3c1  16230  2lgsoddprmlem2  16237  wlkv0  16622