Theorem nn0z 9273

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0z	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 9271	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
2	1	sseli 3152	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2148  ℕ₀cn0 9176  ℤcz 9253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254

This theorem is referenced by:  nn0negz  9287  nn0ltp1le  9315  nn0leltp1  9316  nn0ltlem1  9317  nn0sub  9319  nn0n0n1ge2b  9332  nn0lt10b  9333  nn0lt2  9334  nn0le2is012  9335  nn0lem1lt  9336  fnn0ind  9369  nn0pzuz  9587  nn01to3  9617  nn0ge2m1nnALT  9618  fz1n  10044  ige2m1fz  10110  elfz2nn0  10112  fznn0  10113  elfz0add  10120  fzctr  10133  difelfzle  10134  fzo1fzo0n0  10183  fzofzim  10188  elfzodifsumelfzo  10201  zpnn0elfzo  10207  fzossfzop1  10212  ubmelm1fzo  10226  adddivflid  10292  fldivnn0  10295  divfl0  10296  flqmulnn0  10299  fldivnn0le  10303  zmodidfzoimp  10354  modqmuladdnn0  10368  modifeq2int  10386  modfzo0difsn  10395  uzennn  10436  expdivap  10571  faclbnd3  10723  bccmpl  10734  bcnp1n  10739  bcn2  10744  bcp1m1  10745  modfsummodlemstep  11465  bcxmas  11497  geo2sum2  11523  mertenslemi1  11543  mertensabs  11545  esum  11670  efcvgfsum  11675  ege2le3  11679  eftlcl  11696  reeftlcl  11697  eftlub  11698  effsumlt  11700  eirraplem  11784  dvds1  11859  dvdsext  11861  addmodlteqALT  11865  oddnn02np1  11885  oddge22np1  11886  nn0ehalf  11908  nn0o1gt2  11910  nno  11911  nn0o  11912  nn0oddm1d2  11914  modremain  11934  gcdn0gt0  11979  nn0gcdid0  11982  bezoutlemmain  11999  nn0seqcvgd  12041  algcvgblem  12049  algcvga  12051  eucalgf  12055  prmndvdsfaclt  12156  nn0sqrtelqelz  12206  nonsq  12207  crth  12224  odzdvds  12245  coprimeprodsq  12257  coprimeprodsq2  12258  oddprm  12259  pcexp  12309  pcdvdsb  12319  pc11  12330  dvdsprmpweqle  12336  difsqpwdvds  12337  pcfac  12348  prmunb  12360  mulgaddcom  13007  mulginvcom  13008  mulgz  13011  mulgdirlem  13014  mulgass  13020  mulgass2  13235  lgsneg1  14429  lgsdirnn0  14451  lgsdinn0  14452  2lgsoddprmlem2  14457