Theorem nn0z 9617

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0z	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 9615	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
2	1	sseli 3238	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205  ℕ₀cn0 9516  ℤcz 9597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-inn 9258  df-n0 9517  df-z 9598

This theorem is referenced by:  nn0negz  9631  nn0ltp1le  9660  nn0leltp1  9661  nn0ltlem1  9662  nn0sub  9664  nn0n0n1ge2b  9678  nn0lt10b  9679  nn0lt2  9680  nn0le2is012  9681  nn0lem1lt  9682  fnn0ind  9715  nn0pzuz  9940  nn01to3  9970  nn0ge2m1nnALT  9971  fz1n  10401  ige2m1fz  10469  elfz2nn0  10471  fznn0  10472  elfz0add  10479  fzctr  10492  difelfzle  10493  fzoun  10542  fzo1fzo0n0  10547  fzofzim  10552  elincfzoext  10563  elfzodifsumelfzo  10571  zpnn0elfzo  10577  fzossfzop1  10582  ubmelm1fzo  10596  adddivflid  10679  fldivnn0  10682  divfl0  10683  flqmulnn0  10686  fldivnn0le  10690  zmodidfzoimp  10743  modqmuladdnn0  10757  modifeq2int  10775  modfzo0difsn  10784  uzennn  10825  expdivap  10979  faclbnd3  11133  bccmpl  11144  bcnp1n  11149  bcn2  11154  bcp1m1  11155  iswrd  11254  wrdval  11255  wrdexg  11263  ffz0iswrdnn0  11279  wrdnval  11283  wrdred1  11295  wrdred1hash  11296  ccatalpha  11329  swrdfv2  11383  swrdsb0eq  11385  swrdsbslen  11386  swrdspsleq  11387  swrdlsw  11389  pfx0g  11396  fnpfx  11397  pfxclg  11398  pfxnd  11409  pfxwrdsymbg  11410  pfxccatin12lem4  11446  pfxccatin12lem3  11452  pfxccat3  11454  swrdccat  11455  pfxccat3a  11458  cats1fvd  11486  nn0maxcl  11939  modfsummodlemstep  12172  bcxmas  12204  geo2sum2  12230  mertenslemi1  12250  mertensabs  12252  esum  12377  efcvgfsum  12382  ege2le3  12386  eftlcl  12403  reeftlcl  12404  eftlub  12405  effsumlt  12407  eirraplem  12492  dvds1  12568  dvdsext  12570  addmodlteqALT  12574  3dvds  12579  oddnn02np1  12595  oddge22np1  12596  nn0ehalf  12618  nn0o1gt2  12620  nno  12621  nn0o  12622  nn0oddm1d2  12624  modremain  12644  bitsmod  12671  bitsinv1  12677  gcdn0gt0  12703  nn0gcdid0  12706  bezoutlemmain  12723  nn0seqcvgd  12767  algcvgblem  12775  algcvga  12777  eucalgf  12781  prmndvdsfaclt  12882  nn0sqrtelqelz  12932  nonsq  12933  crth  12950  odzdvds  12972  coprimeprodsq  12984  coprimeprodsq2  12985  oddprm  12986  pcexp  13036  pcdvdsb  13047  pc11  13058  dvdsprmpweqle  13064  difsqpwdvds  13065  pcfac  13077  prmunb  13089  4sqexercise1  13125  4sqexercise2  13126  4sqlemsdc  13127  modxai  13143  mulgaddcom  13903  mulginvcom  13904  mulgz  13907  mulgdirlem  13910  mulgass  13916  mulgass2  14305  zncrng  14923  znzrh2  14924  zndvds  14927  znf1o  14929  znunit  14937  elply2  15730  elplyd  15736  dvply2g  15761  sgmnncl  15986  0sgmppw  15991  lgsneg1  16028  lgsdirnn0  16050  lgsdinn0  16051  2lgslem1c  16093  2lgslem3a1  16100  2lgslem3b1  16101  2lgslem3c1  16102  2lgsoddprmlem2  16109  wlkv0  16494