Theorem nn0z 9669

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0z	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 9667	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
2	1	sseli 3244	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ℕ₀cn0 9568  ℤcz 9649

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-n0 9569  df-z 9650

This theorem is used by:  nn0negz  9683  nn0ltp1le  9712  nn0leltp1  9713  nn0ltlem1  9714  nn0sub  9716  nn0n0n1ge2b  9730  nn0lt10b  9731  nn0lt2  9732  nn0le2is012  9733  nn0lem1lt  9734  fnn0ind  9767  nn0pzuz  9997  nn01to3  10027  nn0ge2m1nnALT  10028  fz1n  10459  ige2m1fz  10528  elfz2nn0  10530  fznn0  10531  elfz0add  10538  fzctr  10551  difelfzle  10552  fzoun  10601  fzo1fzo0n0  10606  fzofzim  10611  elincfzoext  10622  elfzodifsumelfzo  10630  zpnn0elfzo  10636  fzossfzop1  10641  ubmelm1fzo  10655  adddivflid  10741  fldivnn0  10744  divfl0  10745  flqmulnn0  10748  fldivnn0le  10752  zmodidfzoimp  10805  modqmuladdnn0  10819  modifeq2int  10837  modfzo0difsn  10846  uzennn  10887  expdivap  11041  nn0sqdc  11161  faclbnd3  11196  bccmpl  11207  bcnp1n  11212  bcn2  11217  bcp1m1  11218  iswrd  11321  wrdval  11322  wrdexg  11330  ffz0iswrdnn0  11346  wrdnval  11350  wrdred1  11362  wrdred1hash  11363  ccatalpha  11396  swrdfv2  11450  swrdsb0eq  11452  swrdsbslen  11453  swrdspsleq  11454  swrdlsw  11456  pfx0g  11463  fnpfx  11464  pfxclg  11465  pfxnd  11476  pfxwrdsymbg  11477  pfxccatin12lem4  11513  pfxccatin12lem3  11519  pfxccat3  11521  swrdccat  11522  pfxccat3a  11525  cats1fvd  11553  nn0maxcl  12007  modfsummodlemstep  12242  bcxmas  12274  geo2sum2  12300  mertenslemi1  12320  mertensabs  12322  esum  12447  efcvgfsum  12452  ege2le3  12456  eftlcl  12473  reeftlcl  12474  eftlub  12475  effsumlt  12477  eirraplem  12562  dvds1  12638  dvdsext  12640  addmodlteqALT  12644  3dvds  12649  oddnn02np1  12665  oddge22np1  12666  nn0ehalf  12688  nn0o1gt2  12690  nno  12691  nn0o  12692  nn0oddm1d2  12694  modremain  12714  bitsmod  12741  bitsinv1  12747  gcdn0gt0  12773  nn0gcdid0  12776  bezoutlemmain  12793  nn0seqcvgd  12837  algcvgblem  12845  algcvga  12847  eucalgf  12851  prmndvdsfaclt  12953  nn0sqrtelqelz  13004  nonsq  13005  sqrtrirr  13007  crth  13024  odzdvds  13046  coprimeprodsq  13058  coprimeprodsq2  13059  oddprm  13060  pcexp  13110  pcdvdsb  13121  pc11  13132  dvdsprmpweqle  13138  difsqpwdvds  13139  pcfac  13151  prmunb  13163  4sqexercise1  13199  4sqexercise2  13200  4sqlemsdc  13201  modxai  13217  mulgaddcom  14000  mulginvcom  14001  mulgz  14004  mulgdirlem  14007  mulgass  14013  mulgass2  14414  zncrng  15031  znzrh2  15032  zndvds  15035  znf1o  15037  znunit  15045  elply2  15888  elplyd  15894  dvply2g  15919  log2tlbndlog2  16142  birthdaylem1g  16147  birthdaylem3  16149  sgmnncl  16179  0sgmppw  16209  bcmono  16226  bcmax  16227  bcp1ctr  16228  lgsneg1  16266  lgsdirnn0  16288  lgsdinn0  16289  2lgslem1c  16331  2lgslem3a1  16338  2lgslem3b1  16339  2lgslem3c1  16340  2lgsoddprmlem2  16347  wlkv0  16732