Theorem nn0z 9346

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0z	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 9344	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
2	1	sseli 3179	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  ℕ₀cn0 9249  ℤcz 9326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327

This theorem is referenced by:  nn0negz  9360  nn0ltp1le  9388  nn0leltp1  9389  nn0ltlem1  9390  nn0sub  9392  nn0n0n1ge2b  9405  nn0lt10b  9406  nn0lt2  9407  nn0le2is012  9408  nn0lem1lt  9409  fnn0ind  9442  nn0pzuz  9661  nn01to3  9691  nn0ge2m1nnALT  9692  fz1n  10119  ige2m1fz  10185  elfz2nn0  10187  fznn0  10188  elfz0add  10195  fzctr  10208  difelfzle  10209  fzo1fzo0n0  10259  fzofzim  10264  elfzodifsumelfzo  10277  zpnn0elfzo  10283  fzossfzop1  10288  ubmelm1fzo  10302  adddivflid  10382  fldivnn0  10385  divfl0  10386  flqmulnn0  10389  fldivnn0le  10393  zmodidfzoimp  10446  modqmuladdnn0  10460  modifeq2int  10478  modfzo0difsn  10487  uzennn  10528  expdivap  10682  faclbnd3  10835  bccmpl  10846  bcnp1n  10851  bcn2  10856  bcp1m1  10857  iswrd  10937  wrdval  10938  wrdexg  10946  wrdnval  10965  wrdred1  10977  wrdred1hash  10978  nn0maxcl  11390  modfsummodlemstep  11622  bcxmas  11654  geo2sum2  11680  mertenslemi1  11700  mertensabs  11702  esum  11827  efcvgfsum  11832  ege2le3  11836  eftlcl  11853  reeftlcl  11854  eftlub  11855  effsumlt  11857  eirraplem  11942  dvds1  12018  dvdsext  12020  addmodlteqALT  12024  3dvds  12029  oddnn02np1  12045  oddge22np1  12046  nn0ehalf  12068  nn0o1gt2  12070  nno  12071  nn0o  12072  nn0oddm1d2  12074  modremain  12094  gcdn0gt0  12145  nn0gcdid0  12148  bezoutlemmain  12165  nn0seqcvgd  12209  algcvgblem  12217  algcvga  12219  eucalgf  12223  prmndvdsfaclt  12324  nn0sqrtelqelz  12374  nonsq  12375  crth  12392  odzdvds  12414  coprimeprodsq  12426  coprimeprodsq2  12427  oddprm  12428  pcexp  12478  pcdvdsb  12489  pc11  12500  dvdsprmpweqle  12506  difsqpwdvds  12507  pcfac  12519  prmunb  12531  4sqexercise1  12567  4sqexercise2  12568  4sqlemsdc  12569  modxai  12585  mulgaddcom  13276  mulginvcom  13277  mulgz  13280  mulgdirlem  13283  mulgass  13289  mulgass2  13614  zncrng  14201  znzrh2  14202  zndvds  14205  znf1o  14207  znunit  14215  elply2  14971  elplyd  14977  dvply2g  15002  sgmnncl  15224  0sgmppw  15229  lgsneg1  15266  lgsdirnn0  15288  lgsdinn0  15289  2lgslem1c  15331  2lgslem3a1  15338  2lgslem3b1  15339  2lgslem3c1  15340  2lgsoddprmlem2  15347