Theorem nn0z 9596

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0z	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 9594	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
2	1	sseli 3233	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203  ℕ₀cn0 9495  ℤcz 9576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-addass 8228  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-inn 9237  df-n0 9496  df-z 9577

This theorem is referenced by:  nn0negz  9610  nn0ltp1le  9639  nn0leltp1  9640  nn0ltlem1  9641  nn0sub  9643  nn0n0n1ge2b  9656  nn0lt10b  9657  nn0lt2  9658  nn0le2is012  9659  nn0lem1lt  9660  fnn0ind  9693  nn0pzuz  9918  nn01to3  9948  nn0ge2m1nnALT  9949  fz1n  10377  ige2m1fz  10443  elfz2nn0  10445  fznn0  10446  elfz0add  10453  fzctr  10466  difelfzle  10467  fzoun  10516  fzo1fzo0n0  10521  fzofzim  10526  elincfzoext  10537  elfzodifsumelfzo  10545  zpnn0elfzo  10551  fzossfzop1  10556  ubmelm1fzo  10570  adddivflid  10651  fldivnn0  10654  divfl0  10655  flqmulnn0  10658  fldivnn0le  10662  zmodidfzoimp  10715  modqmuladdnn0  10729  modifeq2int  10747  modfzo0difsn  10756  uzennn  10797  expdivap  10951  faclbnd3  11104  bccmpl  11115  bcnp1n  11120  bcn2  11125  bcp1m1  11126  iswrd  11222  wrdval  11223  wrdexg  11231  ffz0iswrdnn0  11247  wrdnval  11251  wrdred1  11263  wrdred1hash  11264  ccatalpha  11297  swrdfv2  11351  swrdsb0eq  11353  swrdsbslen  11354  swrdspsleq  11355  swrdlsw  11357  pfx0g  11364  fnpfx  11365  pfxclg  11366  pfxnd  11377  pfxwrdsymbg  11378  pfxccatin12lem4  11414  pfxccatin12lem3  11420  pfxccat3  11422  swrdccat  11423  pfxccat3a  11426  cats1fvd  11454  nn0maxcl  11906  modfsummodlemstep  12139  bcxmas  12171  geo2sum2  12197  mertenslemi1  12217  mertensabs  12219  esum  12344  efcvgfsum  12349  ege2le3  12353  eftlcl  12370  reeftlcl  12371  eftlub  12372  effsumlt  12374  eirraplem  12459  dvds1  12535  dvdsext  12537  addmodlteqALT  12541  3dvds  12546  oddnn02np1  12562  oddge22np1  12563  nn0ehalf  12585  nn0o1gt2  12587  nno  12588  nn0o  12589  nn0oddm1d2  12591  modremain  12611  bitsmod  12638  bitsinv1  12644  gcdn0gt0  12670  nn0gcdid0  12673  bezoutlemmain  12690  nn0seqcvgd  12734  algcvgblem  12742  algcvga  12744  eucalgf  12748  prmndvdsfaclt  12849  nn0sqrtelqelz  12899  nonsq  12900  crth  12917  odzdvds  12939  coprimeprodsq  12951  coprimeprodsq2  12952  oddprm  12953  pcexp  13003  pcdvdsb  13014  pc11  13025  dvdsprmpweqle  13031  difsqpwdvds  13032  pcfac  13044  prmunb  13056  4sqexercise1  13092  4sqexercise2  13093  4sqlemsdc  13094  modxai  13110  mulgaddcom  13855  mulginvcom  13856  mulgz  13859  mulgdirlem  13862  mulgass  13868  mulgass2  14194  zncrng  14785  znzrh2  14786  zndvds  14789  znf1o  14791  znunit  14799  elply2  15592  elplyd  15598  dvply2g  15623  sgmnncl  15848  0sgmppw  15853  lgsneg1  15890  lgsdirnn0  15912  lgsdinn0  15913  2lgslem1c  15955  2lgslem3a1  15962  2lgslem3b1  15963  2lgslem3c1  15964  2lgsoddprmlem2  15971  wlkv0  16356