Theorem nn0z 9614

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0z	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 9612	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
2	1	sseli 3238	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205  ℕ₀cn0 9513  ℤcz 9594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595

This theorem is referenced by:  nn0negz  9628  nn0ltp1le  9657  nn0leltp1  9658  nn0ltlem1  9659  nn0sub  9661  nn0n0n1ge2b  9675  nn0lt10b  9676  nn0lt2  9677  nn0le2is012  9678  nn0lem1lt  9679  fnn0ind  9712  nn0pzuz  9937  nn01to3  9967  nn0ge2m1nnALT  9968  fz1n  10398  ige2m1fz  10466  elfz2nn0  10468  fznn0  10469  elfz0add  10476  fzctr  10489  difelfzle  10490  fzoun  10539  fzo1fzo0n0  10544  fzofzim  10549  elincfzoext  10560  elfzodifsumelfzo  10568  zpnn0elfzo  10574  fzossfzop1  10579  ubmelm1fzo  10593  adddivflid  10676  fldivnn0  10679  divfl0  10680  flqmulnn0  10683  fldivnn0le  10687  zmodidfzoimp  10740  modqmuladdnn0  10754  modifeq2int  10772  modfzo0difsn  10781  uzennn  10822  expdivap  10976  faclbnd3  11130  bccmpl  11141  bcnp1n  11146  bcn2  11151  bcp1m1  11152  iswrd  11251  wrdval  11252  wrdexg  11260  ffz0iswrdnn0  11276  wrdnval  11280  wrdred1  11292  wrdred1hash  11293  ccatalpha  11326  swrdfv2  11380  swrdsb0eq  11382  swrdsbslen  11383  swrdspsleq  11384  swrdlsw  11386  pfx0g  11393  fnpfx  11394  pfxclg  11395  pfxnd  11406  pfxwrdsymbg  11407  pfxccatin12lem4  11443  pfxccatin12lem3  11449  pfxccat3  11451  swrdccat  11452  pfxccat3a  11455  cats1fvd  11483  nn0maxcl  11935  modfsummodlemstep  12168  bcxmas  12200  geo2sum2  12226  mertenslemi1  12246  mertensabs  12248  esum  12373  efcvgfsum  12378  ege2le3  12382  eftlcl  12399  reeftlcl  12400  eftlub  12401  effsumlt  12403  eirraplem  12488  dvds1  12564  dvdsext  12566  addmodlteqALT  12570  3dvds  12575  oddnn02np1  12591  oddge22np1  12592  nn0ehalf  12614  nn0o1gt2  12616  nno  12617  nn0o  12618  nn0oddm1d2  12620  modremain  12640  bitsmod  12667  bitsinv1  12673  gcdn0gt0  12699  nn0gcdid0  12702  bezoutlemmain  12719  nn0seqcvgd  12763  algcvgblem  12771  algcvga  12773  eucalgf  12777  prmndvdsfaclt  12878  nn0sqrtelqelz  12928  nonsq  12929  crth  12946  odzdvds  12968  coprimeprodsq  12980  coprimeprodsq2  12981  oddprm  12982  pcexp  13032  pcdvdsb  13043  pc11  13054  dvdsprmpweqle  13060  difsqpwdvds  13061  pcfac  13073  prmunb  13085  4sqexercise1  13121  4sqexercise2  13122  4sqlemsdc  13123  modxai  13139  mulgaddcom  13947  mulginvcom  13948  mulgz  13951  mulgdirlem  13954  mulgass  13960  mulgass2  14286  zncrng  14905  znzrh2  14906  zndvds  14909  znf1o  14911  znunit  14919  elply2  15712  elplyd  15718  dvply2g  15743  sgmnncl  15968  0sgmppw  15973  lgsneg1  16010  lgsdirnn0  16032  lgsdinn0  16033  2lgslem1c  16075  2lgslem3a1  16082  2lgslem3b1  16083  2lgslem3c1  16084  2lgsoddprmlem2  16091  wlkv0  16476