Theorem nn0z 9454

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0z	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 9452	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
2	1	sseli 3220	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  ℕ₀cn0 9357  ℤcz 9434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-addcom 8087  ax-addass 8089  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-ltadd 8103

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-inn 9099  df-n0 9358  df-z 9435

This theorem is referenced by:  nn0negz  9468  nn0ltp1le  9497  nn0leltp1  9498  nn0ltlem1  9499  nn0sub  9501  nn0n0n1ge2b  9514  nn0lt10b  9515  nn0lt2  9516  nn0le2is012  9517  nn0lem1lt  9518  fnn0ind  9551  nn0pzuz  9770  nn01to3  9800  nn0ge2m1nnALT  9801  fz1n  10228  ige2m1fz  10294  elfz2nn0  10296  fznn0  10297  elfz0add  10304  fzctr  10317  difelfzle  10318  fzoun  10367  fzo1fzo0n0  10371  fzofzim  10376  elincfzoext  10386  elfzodifsumelfzo  10394  zpnn0elfzo  10400  fzossfzop1  10405  ubmelm1fzo  10419  adddivflid  10499  fldivnn0  10502  divfl0  10503  flqmulnn0  10506  fldivnn0le  10510  zmodidfzoimp  10563  modqmuladdnn0  10577  modifeq2int  10595  modfzo0difsn  10604  uzennn  10645  expdivap  10799  faclbnd3  10952  bccmpl  10963  bcnp1n  10968  bcn2  10973  bcp1m1  10974  iswrd  11060  wrdval  11061  wrdexg  11069  wrdnval  11088  wrdred1  11100  wrdred1hash  11101  swrdfv2  11181  swrdsb0eq  11183  swrdsbslen  11184  swrdspsleq  11185  swrdlsw  11187  pfx0g  11194  fnpfx  11195  pfxclg  11196  pfxnd  11207  pfxwrdsymbg  11208  pfxccatin12lem4  11244  pfxccatin12lem3  11250  pfxccat3  11252  swrdccat  11253  pfxccat3a  11256  cats1fvd  11284  nn0maxcl  11722  modfsummodlemstep  11954  bcxmas  11986  geo2sum2  12012  mertenslemi1  12032  mertensabs  12034  esum  12159  efcvgfsum  12164  ege2le3  12168  eftlcl  12185  reeftlcl  12186  eftlub  12187  effsumlt  12189  eirraplem  12274  dvds1  12350  dvdsext  12352  addmodlteqALT  12356  3dvds  12361  oddnn02np1  12377  oddge22np1  12378  nn0ehalf  12400  nn0o1gt2  12402  nno  12403  nn0o  12404  nn0oddm1d2  12406  modremain  12426  bitsmod  12453  bitsinv1  12459  gcdn0gt0  12485  nn0gcdid0  12488  bezoutlemmain  12505  nn0seqcvgd  12549  algcvgblem  12557  algcvga  12559  eucalgf  12563  prmndvdsfaclt  12664  nn0sqrtelqelz  12714  nonsq  12715  crth  12732  odzdvds  12754  coprimeprodsq  12766  coprimeprodsq2  12767  oddprm  12768  pcexp  12818  pcdvdsb  12829  pc11  12840  dvdsprmpweqle  12846  difsqpwdvds  12847  pcfac  12859  prmunb  12871  4sqexercise1  12907  4sqexercise2  12908  4sqlemsdc  12909  modxai  12925  mulgaddcom  13669  mulginvcom  13670  mulgz  13673  mulgdirlem  13676  mulgass  13682  mulgass2  14007  zncrng  14594  znzrh2  14595  zndvds  14598  znf1o  14600  znunit  14608  elply2  15394  elplyd  15400  dvply2g  15425  sgmnncl  15647  0sgmppw  15652  lgsneg1  15689  lgsdirnn0  15711  lgsdinn0  15712  2lgslem1c  15754  2lgslem3a1  15761  2lgslem3b1  15762  2lgslem3c1  15763  2lgsoddprmlem2  15770