Theorem nn0z 9474

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0z	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 9472	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
2	1	sseli 3220	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  ℕ₀cn0 9377  ℤcz 9454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-addass 8109  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-inn 9119  df-n0 9378  df-z 9455

This theorem is referenced by:  nn0negz  9488  nn0ltp1le  9517  nn0leltp1  9518  nn0ltlem1  9519  nn0sub  9521  nn0n0n1ge2b  9534  nn0lt10b  9535  nn0lt2  9536  nn0le2is012  9537  nn0lem1lt  9538  fnn0ind  9571  nn0pzuz  9790  nn01to3  9820  nn0ge2m1nnALT  9821  fz1n  10248  ige2m1fz  10314  elfz2nn0  10316  fznn0  10317  elfz0add  10324  fzctr  10337  difelfzle  10338  fzoun  10387  fzo1fzo0n0  10391  fzofzim  10396  elincfzoext  10407  elfzodifsumelfzo  10415  zpnn0elfzo  10421  fzossfzop1  10426  ubmelm1fzo  10440  adddivflid  10520  fldivnn0  10523  divfl0  10524  flqmulnn0  10527  fldivnn0le  10531  zmodidfzoimp  10584  modqmuladdnn0  10598  modifeq2int  10616  modfzo0difsn  10625  uzennn  10666  expdivap  10820  faclbnd3  10973  bccmpl  10984  bcnp1n  10989  bcn2  10994  bcp1m1  10995  iswrd  11081  wrdval  11082  wrdexg  11090  ffz0iswrdnn0  11106  wrdnval  11110  wrdred1  11122  wrdred1hash  11123  swrdfv2  11203  swrdsb0eq  11205  swrdsbslen  11206  swrdspsleq  11207  swrdlsw  11209  pfx0g  11216  fnpfx  11217  pfxclg  11218  pfxnd  11229  pfxwrdsymbg  11230  pfxccatin12lem4  11266  pfxccatin12lem3  11272  pfxccat3  11274  swrdccat  11275  pfxccat3a  11278  cats1fvd  11306  nn0maxcl  11744  modfsummodlemstep  11976  bcxmas  12008  geo2sum2  12034  mertenslemi1  12054  mertensabs  12056  esum  12181  efcvgfsum  12186  ege2le3  12190  eftlcl  12207  reeftlcl  12208  eftlub  12209  effsumlt  12211  eirraplem  12296  dvds1  12372  dvdsext  12374  addmodlteqALT  12378  3dvds  12383  oddnn02np1  12399  oddge22np1  12400  nn0ehalf  12422  nn0o1gt2  12424  nno  12425  nn0o  12426  nn0oddm1d2  12428  modremain  12448  bitsmod  12475  bitsinv1  12481  gcdn0gt0  12507  nn0gcdid0  12510  bezoutlemmain  12527  nn0seqcvgd  12571  algcvgblem  12579  algcvga  12581  eucalgf  12585  prmndvdsfaclt  12686  nn0sqrtelqelz  12736  nonsq  12737  crth  12754  odzdvds  12776  coprimeprodsq  12788  coprimeprodsq2  12789  oddprm  12790  pcexp  12840  pcdvdsb  12851  pc11  12862  dvdsprmpweqle  12868  difsqpwdvds  12869  pcfac  12881  prmunb  12893  4sqexercise1  12929  4sqexercise2  12930  4sqlemsdc  12931  modxai  12947  mulgaddcom  13691  mulginvcom  13692  mulgz  13695  mulgdirlem  13698  mulgass  13704  mulgass2  14029  zncrng  14617  znzrh2  14618  zndvds  14621  znf1o  14623  znunit  14631  elply2  15417  elplyd  15423  dvply2g  15448  sgmnncl  15670  0sgmppw  15675  lgsneg1  15712  lgsdirnn0  15734  lgsdinn0  15735  2lgslem1c  15777  2lgslem3a1  15784  2lgslem3b1  15785  2lgslem3c1  15786  2lgsoddprmlem2  15793  wlkv0  16090