ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  crim GIF version

Theorem crim 10866
Description: The real part of a complex number representation. Definition 10-3.1 of [Gleason] p. 132. (Contributed by NM, 12-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
crim ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) = ๐ต)

Proof of Theorem crim
StepHypRef Expression
1 recn 7943 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 ax-icn 7905 . . . . 5 i โˆˆ โ„‚
3 recn 7943 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4 mulcl 7937 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
52, 3, 4sylancr 414 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
6 addcl 7935 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
71, 5, 6syl2an 289 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
8 imval 10858 . . 3 ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) = (โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) / i)))
97, 8syl 14 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) = (โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) / i)))
102, 4mpan 424 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
11 iap0 9141 . . . . . . 7 i # 0
12 divdirap 8653 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (i โˆˆ โ„‚ โˆง i # 0)) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) / i) = ((๐ด / i) + ((i ยท ๐ต) / i)))
13123expa 1203 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โˆง (i โˆˆ โ„‚ โˆง i # 0)) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) / i) = ((๐ด / i) + ((i ยท ๐ต) / i)))
142, 11, 13mpanr12 439 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) / i) = ((๐ด / i) + ((i ยท ๐ต) / i)))
1510, 14sylan2 286 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) / i) = ((๐ด / i) + ((i ยท ๐ต) / i)))
16 divrecap2 8645 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง i โˆˆ โ„‚ โˆง i # 0) โ†’ (๐ด / i) = ((1 / i) ยท ๐ด))
172, 11, 16mp3an23 1329 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด / i) = ((1 / i) ยท ๐ด))
18 irec 10619 . . . . . . . . 9 (1 / i) = -i
1918oveq1i 5884 . . . . . . . 8 ((1 / i) ยท ๐ด) = (-i ยท ๐ด)
2019a1i 9 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 / i) ยท ๐ด) = (-i ยท ๐ด))
21 mulneg12 8353 . . . . . . . 8 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (-i ยท ๐ด) = (i ยท -๐ด))
222, 21mpan 424 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (-i ยท ๐ด) = (i ยท -๐ด))
2317, 20, 223eqtrd 2214 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด / i) = (i ยท -๐ด))
24 divcanap3 8654 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง i โˆˆ โ„‚ โˆง i # 0) โ†’ ((i ยท ๐ต) / i) = ๐ต)
252, 11, 24mp3an23 1329 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ต) / i) = ๐ต)
2623, 25oveqan12d 5893 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด / i) + ((i ยท ๐ต) / i)) = ((i ยท -๐ด) + ๐ต))
27 negcl 8156 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ -๐ด โˆˆ โ„‚)
28 mulcl 7937 . . . . . . 7 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง -๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท -๐ด) โˆˆ โ„‚)
292, 27, 28sylancr 414 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท -๐ด) โˆˆ โ„‚)
30 addcom 8093 . . . . . 6 (((i ยท -๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท -๐ด) + ๐ต) = (๐ต + (i ยท -๐ด)))
3129, 30sylan 283 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท -๐ด) + ๐ต) = (๐ต + (i ยท -๐ด)))
3215, 26, 313eqtrrd 2215 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต + (i ยท -๐ด)) = ((๐ด + (i ยท ๐ต)) / i))
331, 3, 32syl2an 289 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต + (i ยท -๐ด)) = ((๐ด + (i ยท ๐ต)) / i))
3433fveq2d 5519 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ต + (i ยท -๐ด))) = (โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) / i)))
35 id 19 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
36 renegcl 8217 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ -๐ด โˆˆ โ„)
37 crre 10865 . . 3 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ต + (i ยท -๐ด))) = ๐ต)
3835, 36, 37syl2anr 290 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ต + (i ยท -๐ด))) = ๐ต)
399, 34, 383eqtr2d 2216 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) = ๐ต)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4003  โ€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  โ„‚cc 7808  โ„cr 7809  0cc0 7810  1c1 7811  ici 7812   + caddc 7813   ยท cmul 7815  -cneg 8128   # cap 8537   / cdiv 8628  โ„œcre 10848  โ„‘cim 10849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-2 8977  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852
This theorem is referenced by:  replim  10867  reim0  10869  remullem  10879  imcj  10883  imneg  10884  imadd  10885  imi  10908  crimi  10945  crimd  10985  absreimsq  11075  4sqlem4  12389  2sqlem2  14432
  Copyright terms: Public domain W3C validator