Theorem crim 11140

Description: The real part of a complex number representation. Definition 10-3.1 of [Gleason] p. 132. (Contributed by NM, 12-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
crim	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = 𝐵)

Proof of Theorem crim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 8057	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		ax-icn 8019	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
3		recn 8057	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
4		mulcl 8051	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
6		addcl 8049	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
7	1, 5, 6	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
8		imval 11132	. . 3 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ → (ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) / i)))
9	7, 8	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) / i)))
10	2, 4	mpan 424	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
11		iap0 9259	. . . . . . 7 ⊢ i # 0
12		divdirap 8769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (i ∈ ℂ ∧ i # 0)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) / i) = ((𝐴 / i) + ((i · 𝐵) / i)))
13	12	3expa 1205	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) ∧ (i ∈ ℂ ∧ i # 0)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) / i) = ((𝐴 / i) + ((i · 𝐵) / i)))
14	2, 11, 13	mpanr12 439	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) / i) = ((𝐴 / i) + ((i · 𝐵) / i)))
15	10, 14	sylan2 286	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) / i) = ((𝐴 / i) + ((i · 𝐵) / i)))
16		divrecap2 8761	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i # 0) → (𝐴 / i) = ((1 / i) · 𝐴))
17	2, 11, 16	mp3an23 1341	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / i) = ((1 / i) · 𝐴))
18		irec 10782	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / i) = -i
19	18	oveq1i 5953	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / i) · 𝐴) = (-i · 𝐴)
20	19	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 / i) · 𝐴) = (-i · 𝐴))
21		mulneg12 8468	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) = (i · -𝐴))
22	2, 21	mpan 424	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) = (i · -𝐴))
23	17, 20, 22	3eqtrd 2241	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / i) = (i · -𝐴))
24		divcanap3 8770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i # 0) → ((i · 𝐵) / i) = 𝐵)
25	2, 11, 24	mp3an23 1341	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((i · 𝐵) / i) = 𝐵)
26	23, 25	oveqan12d 5962	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 / i) + ((i · 𝐵) / i)) = ((i · -𝐴) + 𝐵))
27		negcl 8271	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
28		mulcl 8051	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) ∈ ℂ)
29	2, 27, 28	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -𝐴) ∈ ℂ)
30		addcom 8208	. . . . . 6 ⊢ (((i · -𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · -𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (i · -𝐴)))
31	29, 30	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · -𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (i · -𝐴)))
32	15, 26, 31	3eqtrrd 2242	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + (i · -𝐴)) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) / i))
33	1, 3, 32	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 + (i · -𝐴)) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) / i))
34	33	fveq2d 5579	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝐵 + (i · -𝐴))) = (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) / i)))
35		id 19	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ)
36		renegcl 8332	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
37		crre 11139	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝐵 + (i · -𝐴))) = 𝐵)
38	35, 36, 37	syl2anr 290	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝐵 + (i · -𝐴))) = 𝐵)
39	9, 34, 38	3eqtr2d 2243	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1372   ∈ wcel 2175   class class class wbr 4043  ‘cfv 5270  (class class class)co 5943  ℂcc 7922  ℝcr 7923  0cc0 7924  1c1 7925  ici 7926   + caddc 7927   · cmul 7929  -cneg 8243   # cap 8653   / cdiv 8744  ℜcre 11122  ℑcim 11123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-2 9094  df-cj 11124  df-re 11125  df-im 11126

This theorem is referenced by:  replim  11141  reim0  11143  remullem  11153  imcj  11157  imneg  11158  imadd  11159  imi  11182  crimi  11219  crimd  11259  absreimsq  11349  4sqlem4  12686  2sqlem2  15563