Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  crim GIF version

Theorem crim 10637
 Description: The real part of a complex number representation. Definition 10-3.1 of [Gleason] p. 132. (Contributed by NM, 12-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
crim ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = 𝐵)

Proof of Theorem crim
StepHypRef Expression
1 recn 7760 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 ax-icn 7722 . . . . 5 i ∈ ℂ
3 recn 7760 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
4 mulcl 7754 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
52, 3, 4sylancr 410 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
6 addcl 7752 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
71, 5, 6syl2an 287 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
8 imval 10629 . . 3 ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ → (ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) / i)))
97, 8syl 14 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) / i)))
102, 4mpan 420 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
11 iap0 8950 . . . . . . 7 i # 0
12 divdirap 8464 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (i ∈ ℂ ∧ i # 0)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) / i) = ((𝐴 / i) + ((i · 𝐵) / i)))
13123expa 1181 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) ∧ (i ∈ ℂ ∧ i # 0)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) / i) = ((𝐴 / i) + ((i · 𝐵) / i)))
142, 11, 13mpanr12 435 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) / i) = ((𝐴 / i) + ((i · 𝐵) / i)))
1510, 14sylan2 284 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) / i) = ((𝐴 / i) + ((i · 𝐵) / i)))
16 divrecap2 8456 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i # 0) → (𝐴 / i) = ((1 / i) · 𝐴))
172, 11, 16mp3an23 1307 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / i) = ((1 / i) · 𝐴))
18 irec 10399 . . . . . . . . 9 (1 / i) = -i
1918oveq1i 5784 . . . . . . . 8 ((1 / i) · 𝐴) = (-i · 𝐴)
2019a1i 9 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 / i) · 𝐴) = (-i · 𝐴))
21 mulneg12 8166 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) = (i · -𝐴))
222, 21mpan 420 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) = (i · -𝐴))
2317, 20, 223eqtrd 2176 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / i) = (i · -𝐴))
24 divcanap3 8465 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i # 0) → ((i · 𝐵) / i) = 𝐵)
252, 11, 24mp3an23 1307 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → ((i · 𝐵) / i) = 𝐵)
2623, 25oveqan12d 5793 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 / i) + ((i · 𝐵) / i)) = ((i · -𝐴) + 𝐵))
27 negcl 7969 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
28 mulcl 7754 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) ∈ ℂ)
292, 27, 28sylancr 410 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (i · -𝐴) ∈ ℂ)
30 addcom 7906 . . . . . 6 (((i · -𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · -𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (i · -𝐴)))
3129, 30sylan 281 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · -𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (i · -𝐴)))
3215, 26, 313eqtrrd 2177 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + (i · -𝐴)) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) / i))
331, 3, 32syl2an 287 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 + (i · -𝐴)) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) / i))
3433fveq2d 5425 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝐵 + (i · -𝐴))) = (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) / i)))
35 id 19 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ)
36 renegcl 8030 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
37 crre 10636 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝐵 + (i · -𝐴))) = 𝐵)
3835, 36, 37syl2anr 288 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝐵 + (i · -𝐴))) = 𝐵)
399, 34, 383eqtr2d 2178 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = 𝐵)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7625  ℝcr 7626  0cc0 7627  1c1 7628  ici 7629   + caddc 7630   · cmul 7632  -cneg 7941   # cap 8350   / cdiv 8439  ℜcre 10619  ℑcim 10620 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-2 8786  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623 This theorem is referenced by:  replim  10638  reim0  10640  remullem  10650  imcj  10654  imneg  10655  imadd  10656  imi  10679  crimi  10716  crimd  10756  absreimsq  10846
 Copyright terms: Public domain W3C validator