Theorem crim 11547

Description: The real part of a complex number representation. Definition 10-3.1 of [Gleason] p. 132. (Contributed by NM, 12-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
crim	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = 𝐵)

Proof of Theorem crim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 8262	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		ax-icn 8224	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
3		recn 8262	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
4		mulcl 8256	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
6		addcl 8254	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
7	1, 5, 6	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
8		imval 11539	. . 3 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ → (ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) / i)))
9	7, 8	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) / i)))
10	2, 4	mpan 424	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
11		iap0 9463	. . . . . . 7 ⊢ i # 0
12		divdirap 8973	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (i ∈ ℂ ∧ i # 0)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) / i) = ((𝐴 / i) + ((i · 𝐵) / i)))
13	12	3expa 1230	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) ∧ (i ∈ ℂ ∧ i # 0)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) / i) = ((𝐴 / i) + ((i · 𝐵) / i)))
14	2, 11, 13	mpanr12 439	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) / i) = ((𝐴 / i) + ((i · 𝐵) / i)))
15	10, 14	sylan2 286	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) / i) = ((𝐴 / i) + ((i · 𝐵) / i)))
16		divrecap2 8965	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i # 0) → (𝐴 / i) = ((1 / i) · 𝐴))
17	2, 11, 16	mp3an23 1366	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / i) = ((1 / i) · 𝐴))
18		irec 11005	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / i) = -i
19	18	oveq1i 6062	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / i) · 𝐴) = (-i · 𝐴)
20	19	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 / i) · 𝐴) = (-i · 𝐴))
21		mulneg12 8672	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) = (i · -𝐴))
22	2, 21	mpan 424	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) = (i · -𝐴))
23	17, 20, 22	3eqtrd 2271	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / i) = (i · -𝐴))
24		divcanap3 8974	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i # 0) → ((i · 𝐵) / i) = 𝐵)
25	2, 11, 24	mp3an23 1366	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((i · 𝐵) / i) = 𝐵)
26	23, 25	oveqan12d 6071	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 / i) + ((i · 𝐵) / i)) = ((i · -𝐴) + 𝐵))
27		negcl 8475	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
28		mulcl 8256	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) ∈ ℂ)
29	2, 27, 28	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -𝐴) ∈ ℂ)
30		addcom 8412	. . . . . 6 ⊢ (((i · -𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · -𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (i · -𝐴)))
31	29, 30	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · -𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (i · -𝐴)))
32	15, 26, 31	3eqtrrd 2272	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + (i · -𝐴)) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) / i))
33	1, 3, 32	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 + (i · -𝐴)) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) / i))
34	33	fveq2d 5676	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝐵 + (i · -𝐴))) = (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) / i)))
35		id 19	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ)
36		renegcl 8536	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
37		crre 11546	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝐵 + (i · -𝐴))) = 𝐵)
38	35, 36, 37	syl2anr 290	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝐵 + (i · -𝐴))) = 𝐵)
39	9, 34, 38	3eqtr2d 2273	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4111  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  ℂcc 8127  ℝcr 8128  0cc0 8129  1c1 8130  ici 8131   + caddc 8132   · cmul 8134  -cneg 8447   # cap 8857   / cdiv 8948  ℜcre 11529  ℑcim 11530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246  ax-pre-mulext 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858  df-div 8949  df-2 9298  df-cj 11531  df-re 11532  df-im 11533

This theorem is referenced by:  replim  11548  reim0  11550  remullem  11560  imcj  11564  imneg  11565  imadd  11566  imi  11589  crimi  11626  crimd  11666  absreimsq  11756  4sqlem4  13094  2sqlem2  16005