Theorem absmulgcd 12018

Description: Distribute absolute value of multiplication over gcd. Theorem 1.4(c) in [ApostolNT] p. 16. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
absmulgcd	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (abs‘(𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))))

Proof of Theorem absmulgcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdcl 11967	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
2		nn0re 9185	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0 → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
3		nn0ge0 9201	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑀 gcd 𝑁))
4	2, 3	absidd 11176	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0 → (abs‘(𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁))
5	1, 4	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁))
6	5	oveq2d 5891	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐾) · (abs‘(𝑀 gcd 𝑁))) = ((abs‘𝐾) · (𝑀 gcd 𝑁)))
7	6	3adant1 1015	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐾) · (abs‘(𝑀 gcd 𝑁))) = ((abs‘𝐾) · (𝑀 gcd 𝑁)))
8		zcn 9258	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
9	1	nn0cnd 9231	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
10		absmul 11078	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℂ) → (abs‘(𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))) = ((abs‘𝐾) · (abs‘(𝑀 gcd 𝑁))))
11	8, 9, 10	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (abs‘(𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))) = ((abs‘𝐾) · (abs‘(𝑀 gcd 𝑁))))
12	11	3impb 1199	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))) = ((abs‘𝐾) · (abs‘(𝑀 gcd 𝑁))))
13		zcn 9258	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
14		zcn 9258	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
15		absmul 11078	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐾 · 𝑀)) = ((abs‘𝐾) · (abs‘𝑀)))
16		absmul 11078	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐾 · 𝑁)) = ((abs‘𝐾) · (abs‘𝑁)))
17	15, 16	oveqan12d 5894	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝐾 · 𝑀)) gcd (abs‘(𝐾 · 𝑁))) = (((abs‘𝐾) · (abs‘𝑀)) gcd ((abs‘𝐾) · (abs‘𝑁))))
18	17	3impdi 1293	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐾 · 𝑀)) gcd (abs‘(𝐾 · 𝑁))) = (((abs‘𝐾) · (abs‘𝑀)) gcd ((abs‘𝐾) · (abs‘𝑁))))
19	8, 13, 14, 18	syl3an 1280	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐾 · 𝑀)) gcd (abs‘(𝐾 · 𝑁))) = (((abs‘𝐾) · (abs‘𝑀)) gcd ((abs‘𝐾) · (abs‘𝑁))))
20		zmulcl 9306	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ)
21		zmulcl 9306	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ)
22		gcdabs 11989	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐾 · 𝑀)) gcd (abs‘(𝐾 · 𝑁))) = ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)))
23	20, 21, 22	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((abs‘(𝐾 · 𝑀)) gcd (abs‘(𝐾 · 𝑁))) = ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)))
24	23	3impdi 1293	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐾 · 𝑀)) gcd (abs‘(𝐾 · 𝑁))) = ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)))
25		nn0abscl 11094	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (abs‘𝐾) ∈ ℕ0)
26		zabscl 11095	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∈ ℤ)
27		zabscl 11095	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℤ)
28		mulgcd 12017	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (abs‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℤ) → (((abs‘𝐾) · (abs‘𝑀)) gcd ((abs‘𝐾) · (abs‘𝑁))) = ((abs‘𝐾) · ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁))))
29	25, 26, 27, 28	syl3an 1280	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝐾) · (abs‘𝑀)) gcd ((abs‘𝐾) · (abs‘𝑁))) = ((abs‘𝐾) · ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁))))
30	19, 24, 29	3eqtr3d 2218	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = ((abs‘𝐾) · ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁))))
31		gcdabs 11989	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁))
32	31	3adant1 1015	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁))
33	32	oveq2d 5891	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐾) · ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁))) = ((abs‘𝐾) · (𝑀 gcd 𝑁)))
34	30, 33	eqtrd 2210	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = ((abs‘𝐾) · (𝑀 gcd 𝑁)))
35	7, 12, 34	3eqtr4rd 2221	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (abs‘(𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ‘cfv 5217  (class class class)co 5875  ℂcc 7809   · cmul 7816  ℕ₀cn0 9176  ℤcz 9253  abscabs 11006   gcd cgcd 11943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-sup 6983  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-fl 10270  df-mod 10323  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-dvds 11795  df-gcd 11944

This theorem is referenced by: (None)