Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  absmulgcd GIF version

Theorem absmulgcd 11761
 Description: Distribute absolute value of multiplication over gcd. Theorem 1.4(c) in [ApostolNT] p. 16. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
absmulgcd ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (abs‘(𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))))

Proof of Theorem absmulgcd
StepHypRef Expression
1 gcdcl 11711 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
2 nn0re 9030 . . . . . 6 ((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0 → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
3 nn0ge0 9046 . . . . . 6 ((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑀 gcd 𝑁))
42, 3absidd 10991 . . . . 5 ((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0 → (abs‘(𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁))
51, 4syl 14 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁))
65oveq2d 5799 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐾) · (abs‘(𝑀 gcd 𝑁))) = ((abs‘𝐾) · (𝑀 gcd 𝑁)))
763adant1 1000 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐾) · (abs‘(𝑀 gcd 𝑁))) = ((abs‘𝐾) · (𝑀 gcd 𝑁)))
8 zcn 9103 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
91nn0cnd 9076 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
10 absmul 10893 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℂ) → (abs‘(𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))) = ((abs‘𝐾) · (abs‘(𝑀 gcd 𝑁))))
118, 9, 10syl2an 287 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (abs‘(𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))) = ((abs‘𝐾) · (abs‘(𝑀 gcd 𝑁))))
12113impb 1178 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))) = ((abs‘𝐾) · (abs‘(𝑀 gcd 𝑁))))
13 zcn 9103 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
14 zcn 9103 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
15 absmul 10893 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐾 · 𝑀)) = ((abs‘𝐾) · (abs‘𝑀)))
16 absmul 10893 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐾 · 𝑁)) = ((abs‘𝐾) · (abs‘𝑁)))
1715, 16oveqan12d 5802 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝐾 · 𝑀)) gcd (abs‘(𝐾 · 𝑁))) = (((abs‘𝐾) · (abs‘𝑀)) gcd ((abs‘𝐾) · (abs‘𝑁))))
18173impdi 1272 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐾 · 𝑀)) gcd (abs‘(𝐾 · 𝑁))) = (((abs‘𝐾) · (abs‘𝑀)) gcd ((abs‘𝐾) · (abs‘𝑁))))
198, 13, 14, 18syl3an 1259 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐾 · 𝑀)) gcd (abs‘(𝐾 · 𝑁))) = (((abs‘𝐾) · (abs‘𝑀)) gcd ((abs‘𝐾) · (abs‘𝑁))))
20 zmulcl 9151 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ)
21 zmulcl 9151 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ)
22 gcdabs 11732 . . . . . 6 (((𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐾 · 𝑀)) gcd (abs‘(𝐾 · 𝑁))) = ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)))
2320, 21, 22syl2an 287 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((abs‘(𝐾 · 𝑀)) gcd (abs‘(𝐾 · 𝑁))) = ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)))
24233impdi 1272 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐾 · 𝑀)) gcd (abs‘(𝐾 · 𝑁))) = ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)))
25 nn0abscl 10909 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → (abs‘𝐾) ∈ ℕ0)
26 zabscl 10910 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∈ ℤ)
27 zabscl 10910 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℤ)
28 mulgcd 11760 . . . . 5 (((abs‘𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (abs‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℤ) → (((abs‘𝐾) · (abs‘𝑀)) gcd ((abs‘𝐾) · (abs‘𝑁))) = ((abs‘𝐾) · ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁))))
2925, 26, 27, 28syl3an 1259 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝐾) · (abs‘𝑀)) gcd ((abs‘𝐾) · (abs‘𝑁))) = ((abs‘𝐾) · ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁))))
3019, 24, 293eqtr3d 2181 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = ((abs‘𝐾) · ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁))))
31 gcdabs 11732 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁))
32313adant1 1000 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁))
3332oveq2d 5799 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐾) · ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁))) = ((abs‘𝐾) · (𝑀 gcd 𝑁)))
3430, 33eqtrd 2173 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = ((abs‘𝐾) · (𝑀 gcd 𝑁)))
357, 12, 343eqtr4rd 2184 1 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (abs‘(𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ‘cfv 5132  (class class class)co 5783  ℂcc 7662   · cmul 7669  ℕ0cn0 9021  ℤcz 9098  abscabs 10821   gcd cgcd 11691 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-iinf 4511  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-1re 7758  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-mulrcl 7763  ax-addcom 7764  ax-mulcom 7765  ax-addass 7766  ax-mulass 7767  ax-distr 7768  ax-i2m1 7769  ax-0lt1 7770  ax-1rid 7771  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-precex 7774  ax-cnre 7775  ax-pre-ltirr 7776  ax-pre-ltwlin 7777  ax-pre-lttrn 7778  ax-pre-apti 7779  ax-pre-ltadd 7780  ax-pre-mulgt0 7781  ax-pre-mulext 7782  ax-arch 7783  ax-caucvg 7784 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-if 3481  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-tr 4036  df-id 4224  df-po 4227  df-iso 4228  df-iord 4297  df-on 4299  df-ilim 4300  df-suc 4302  df-iom 4514  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-f1 5137  df-fo 5138  df-f1o 5139  df-fv 5140  df-riota 5739  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-1st 6047  df-2nd 6048  df-recs 6211  df-frec 6297  df-sup 6881  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-ltxr 7849  df-le 7850  df-sub 7979  df-neg 7980  df-reap 8381  df-ap 8388  df-div 8477  df-inn 8765  df-2 8823  df-3 8824  df-4 8825  df-n0 9022  df-z 9099  df-uz 9371  df-q 9459  df-rp 9491  df-fz 9842  df-fzo 9971  df-fl 10094  df-mod 10147  df-seqfrec 10270  df-exp 10344  df-cj 10666  df-re 10667  df-im 10668  df-rsqrt 10822  df-abs 10823  df-dvds 11550  df-gcd 11692 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator