Theorem absmulgcd 12257

Description: Distribute absolute value of multiplication over gcd. Theorem 1.4(c) in [ApostolNT] p. 16. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
absmulgcd	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (abs‘(𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))))

Proof of Theorem absmulgcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdcl 12206	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
2		nn0re 9286	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0 → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
3		nn0ge0 9302	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑀 gcd 𝑁))
4	2, 3	absidd 11397	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0 → (abs‘(𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁))
5	1, 4	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁))
6	5	oveq2d 5950	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐾) · (abs‘(𝑀 gcd 𝑁))) = ((abs‘𝐾) · (𝑀 gcd 𝑁)))
7	6	3adant1 1017	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐾) · (abs‘(𝑀 gcd 𝑁))) = ((abs‘𝐾) · (𝑀 gcd 𝑁)))
8		zcn 9359	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
9	1	nn0cnd 9332	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
10		absmul 11299	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℂ) → (abs‘(𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))) = ((abs‘𝐾) · (abs‘(𝑀 gcd 𝑁))))
11	8, 9, 10	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (abs‘(𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))) = ((abs‘𝐾) · (abs‘(𝑀 gcd 𝑁))))
12	11	3impb 1201	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))) = ((abs‘𝐾) · (abs‘(𝑀 gcd 𝑁))))
13		zcn 9359	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
14		zcn 9359	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
15		absmul 11299	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐾 · 𝑀)) = ((abs‘𝐾) · (abs‘𝑀)))
16		absmul 11299	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐾 · 𝑁)) = ((abs‘𝐾) · (abs‘𝑁)))
17	15, 16	oveqan12d 5953	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝐾 · 𝑀)) gcd (abs‘(𝐾 · 𝑁))) = (((abs‘𝐾) · (abs‘𝑀)) gcd ((abs‘𝐾) · (abs‘𝑁))))
18	17	3impdi 1305	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐾 · 𝑀)) gcd (abs‘(𝐾 · 𝑁))) = (((abs‘𝐾) · (abs‘𝑀)) gcd ((abs‘𝐾) · (abs‘𝑁))))
19	8, 13, 14, 18	syl3an 1291	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐾 · 𝑀)) gcd (abs‘(𝐾 · 𝑁))) = (((abs‘𝐾) · (abs‘𝑀)) gcd ((abs‘𝐾) · (abs‘𝑁))))
20		zmulcl 9408	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ)
21		zmulcl 9408	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ)
22		gcdabs 12228	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐾 · 𝑀)) gcd (abs‘(𝐾 · 𝑁))) = ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)))
23	20, 21, 22	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((abs‘(𝐾 · 𝑀)) gcd (abs‘(𝐾 · 𝑁))) = ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)))
24	23	3impdi 1305	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐾 · 𝑀)) gcd (abs‘(𝐾 · 𝑁))) = ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)))
25		nn0abscl 11315	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (abs‘𝐾) ∈ ℕ0)
26		zabscl 11316	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∈ ℤ)
27		zabscl 11316	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℤ)
28		mulgcd 12256	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (abs‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℤ) → (((abs‘𝐾) · (abs‘𝑀)) gcd ((abs‘𝐾) · (abs‘𝑁))) = ((abs‘𝐾) · ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁))))
29	25, 26, 27, 28	syl3an 1291	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝐾) · (abs‘𝑀)) gcd ((abs‘𝐾) · (abs‘𝑁))) = ((abs‘𝐾) · ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁))))
30	19, 24, 29	3eqtr3d 2245	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = ((abs‘𝐾) · ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁))))
31		gcdabs 12228	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁))
32	31	3adant1 1017	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁))
33	32	oveq2d 5950	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐾) · ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁))) = ((abs‘𝐾) · (𝑀 gcd 𝑁)))
34	30, 33	eqtrd 2237	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = ((abs‘𝐾) · (𝑀 gcd 𝑁)))
35	7, 12, 34	3eqtr4rd 2248	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (abs‘(𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ‘cfv 5268  (class class class)co 5934  ℂcc 7905   · cmul 7912  ℕ₀cn0 9277  ℤcz 9354  abscabs 11227   gcd cgcd 12193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-iinf 4634  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-mulrcl 8006  ax-addcom 8007  ax-mulcom 8008  ax-addass 8009  ax-mulass 8010  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-1rid 8014  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-precex 8017  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-apti 8022  ax-pre-ltadd 8023  ax-pre-mulgt0 8024  ax-pre-mulext 8025  ax-arch 8026  ax-caucvg 8027

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4338  df-po 4341  df-iso 4342  df-iord 4411  df-on 4413  df-ilim 4414  df-suc 4416  df-iom 4637  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-recs 6381  df-frec 6467  df-sup 7068  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-reap 8630  df-ap 8637  df-div 8728  df-inn 9019  df-2 9077  df-3 9078  df-4 9079  df-n0 9278  df-z 9355  df-uz 9631  df-q 9723  df-rp 9758  df-fz 10113  df-fzo 10247  df-fl 10394  df-mod 10449  df-seqfrec 10574  df-exp 10665  df-cj 11072  df-re 11073  df-im 11074  df-rsqrt 11228  df-abs 11229  df-dvds 12018  df-gcd 12194

This theorem is referenced by: (None)