ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addcomnqg GIF version

Theorem addcomnqg 7371
Description: Addition of positive fractions is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
addcomnqg ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐴))

Proof of Theorem addcomnqg
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 7338 . 2 Q = ((N × N) / ~Q )
2 addpipqqs 7360 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = [⟨((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q )
3 addpipqqs 7360 . 2 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑥N𝑦N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q +Q [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) = [⟨((𝑧 ·N 𝑦) +N (𝑤 ·N 𝑥)), (𝑤 ·N 𝑦)⟩] ~Q )
4 mulcompig 7321 . . . . 5 ((𝑥N𝑤N) → (𝑥 ·N 𝑤) = (𝑤 ·N 𝑥))
5 mulcompig 7321 . . . . 5 ((𝑦N𝑧N) → (𝑦 ·N 𝑧) = (𝑧 ·N 𝑦))
64, 5oveqan12d 5888 . . . 4 (((𝑥N𝑤N) ∧ (𝑦N𝑧N)) → ((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) = ((𝑤 ·N 𝑥) +N (𝑧 ·N 𝑦)))
76an42s 589 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) = ((𝑤 ·N 𝑥) +N (𝑧 ·N 𝑦)))
8 mulclpi 7318 . . . . . 6 ((𝑤N𝑥N) → (𝑤 ·N 𝑥) ∈ N)
98ancoms 268 . . . . 5 ((𝑥N𝑤N) → (𝑤 ·N 𝑥) ∈ N)
109ad2ant2rl 511 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → (𝑤 ·N 𝑥) ∈ N)
11 mulclpi 7318 . . . . . 6 ((𝑧N𝑦N) → (𝑧 ·N 𝑦) ∈ N)
1211ancoms 268 . . . . 5 ((𝑦N𝑧N) → (𝑧 ·N 𝑦) ∈ N)
1312ad2ant2lr 510 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → (𝑧 ·N 𝑦) ∈ N)
14 addcompig 7319 . . . 4 (((𝑤 ·N 𝑥) ∈ N ∧ (𝑧 ·N 𝑦) ∈ N) → ((𝑤 ·N 𝑥) +N (𝑧 ·N 𝑦)) = ((𝑧 ·N 𝑦) +N (𝑤 ·N 𝑥)))
1510, 13, 14syl2anc 411 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ((𝑤 ·N 𝑥) +N (𝑧 ·N 𝑦)) = ((𝑧 ·N 𝑦) +N (𝑤 ·N 𝑥)))
167, 15eqtrd 2210 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) = ((𝑧 ·N 𝑦) +N (𝑤 ·N 𝑥)))
17 mulcompig 7321 . . 3 ((𝑦N𝑤N) → (𝑦 ·N 𝑤) = (𝑤 ·N 𝑦))
1817ad2ant2l 508 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → (𝑦 ·N 𝑤) = (𝑤 ·N 𝑦))
191, 2, 3, 16, 18ecovicom 6637 1 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  (class class class)co 5869  Ncnpi 7262   +N cpli 7263   ·N cmi 7264   ~Q ceq 7269  Qcnq 7270   +Q cplq 7272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-oadd 6415  df-omul 6416  df-er 6529  df-ec 6531  df-qs 6535  df-ni 7294  df-pli 7295  df-mi 7296  df-plpq 7334  df-enq 7337  df-nqqs 7338  df-plqqs 7339
This theorem is referenced by:  lt2addnq  7394  ltaddnq  7397  prarloclemarch2  7409  addlocprlemeqgt  7522  addlocprlemgt  7524  addclpr  7527  prmuloclemcalc  7555  addcomprg  7568  distrlem4prl  7574  distrlem4pru  7575  ltexprlemm  7590  ltexprlemdisj  7596  ltexprlemloc  7597  ltexprlemfl  7599  ltexprlemrl  7600  ltexprlemfu  7601  ltexprlemru  7602  addcanprleml  7604  addcanprlemu  7605  prplnqu  7610  aptiprleml  7629  aptiprlemu  7630  cauappcvgprlemopl  7636  cauappcvgprlemlol  7637  cauappcvgprlemdisj  7641  cauappcvgprlemloc  7642  cauappcvgprlemladdfu  7644  cauappcvgprlemladdfl  7645  cauappcvgprlemladdru  7646  cauappcvgprlemladdrl  7647  cauappcvgprlem1  7649  caucvgprlemnkj  7656  caucvgprlemnbj  7657  caucvgprlemopl  7659  caucvgprlemlol  7660  caucvgprlemloc  7665  caucvgprlemladdfu  7667  caucvgprlemladdrl  7668  caucvgprprlemopl  7687  caucvgprprlemlol  7688
  Copyright terms: Public domain W3C validator