ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addcomnqg GIF version

Theorem addcomnqg 6843
Description: Addition of positive fractions is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
addcomnqg ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐴))

Proof of Theorem addcomnqg
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6810 . 2 Q = ((N × N) / ~Q )
2 addpipqqs 6832 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = [⟨((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q )
3 addpipqqs 6832 . 2 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑥N𝑦N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q +Q [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) = [⟨((𝑧 ·N 𝑦) +N (𝑤 ·N 𝑥)), (𝑤 ·N 𝑦)⟩] ~Q )
4 mulcompig 6793 . . . . 5 ((𝑥N𝑤N) → (𝑥 ·N 𝑤) = (𝑤 ·N 𝑥))
5 mulcompig 6793 . . . . 5 ((𝑦N𝑧N) → (𝑦 ·N 𝑧) = (𝑧 ·N 𝑦))
64, 5oveqan12d 5610 . . . 4 (((𝑥N𝑤N) ∧ (𝑦N𝑧N)) → ((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) = ((𝑤 ·N 𝑥) +N (𝑧 ·N 𝑦)))
76an42s 554 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) = ((𝑤 ·N 𝑥) +N (𝑧 ·N 𝑦)))
8 mulclpi 6790 . . . . . 6 ((𝑤N𝑥N) → (𝑤 ·N 𝑥) ∈ N)
98ancoms 264 . . . . 5 ((𝑥N𝑤N) → (𝑤 ·N 𝑥) ∈ N)
109ad2ant2rl 495 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → (𝑤 ·N 𝑥) ∈ N)
11 mulclpi 6790 . . . . . 6 ((𝑧N𝑦N) → (𝑧 ·N 𝑦) ∈ N)
1211ancoms 264 . . . . 5 ((𝑦N𝑧N) → (𝑧 ·N 𝑦) ∈ N)
1312ad2ant2lr 494 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → (𝑧 ·N 𝑦) ∈ N)
14 addcompig 6791 . . . 4 (((𝑤 ·N 𝑥) ∈ N ∧ (𝑧 ·N 𝑦) ∈ N) → ((𝑤 ·N 𝑥) +N (𝑧 ·N 𝑦)) = ((𝑧 ·N 𝑦) +N (𝑤 ·N 𝑥)))
1510, 13, 14syl2anc 403 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ((𝑤 ·N 𝑥) +N (𝑧 ·N 𝑦)) = ((𝑧 ·N 𝑦) +N (𝑤 ·N 𝑥)))
167, 15eqtrd 2115 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) = ((𝑧 ·N 𝑦) +N (𝑤 ·N 𝑥)))
17 mulcompig 6793 . . 3 ((𝑦N𝑤N) → (𝑦 ·N 𝑤) = (𝑤 ·N 𝑦))
1817ad2ant2l 492 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → (𝑦 ·N 𝑤) = (𝑤 ·N 𝑦))
191, 2, 3, 16, 18ecovicom 6330 1 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1285  wcel 1434  (class class class)co 5591  Ncnpi 6734   +N cpli 6735   ·N cmi 6736   ~Q ceq 6741  Qcnq 6742   +Q cplq 6744
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4084  df-iord 4157  df-on 4159  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-recs 6002  df-irdg 6067  df-oadd 6117  df-omul 6118  df-er 6222  df-ec 6224  df-qs 6228  df-ni 6766  df-pli 6767  df-mi 6768  df-plpq 6806  df-enq 6809  df-nqqs 6810  df-plqqs 6811
This theorem is referenced by:  lt2addnq  6866  ltaddnq  6869  prarloclemarch2  6881  addlocprlemeqgt  6994  addlocprlemgt  6996  addclpr  6999  prmuloclemcalc  7027  addcomprg  7040  distrlem4prl  7046  distrlem4pru  7047  ltexprlemm  7062  ltexprlemdisj  7068  ltexprlemloc  7069  ltexprlemfl  7071  ltexprlemrl  7072  ltexprlemfu  7073  ltexprlemru  7074  addcanprleml  7076  addcanprlemu  7077  prplnqu  7082  aptiprleml  7101  aptiprlemu  7102  cauappcvgprlemopl  7108  cauappcvgprlemlol  7109  cauappcvgprlemdisj  7113  cauappcvgprlemloc  7114  cauappcvgprlemladdfu  7116  cauappcvgprlemladdfl  7117  cauappcvgprlemladdru  7118  cauappcvgprlemladdrl  7119  cauappcvgprlem1  7121  caucvgprlemnkj  7128  caucvgprlemnbj  7129  caucvgprlemopl  7131  caucvgprlemlol  7132  caucvgprlemloc  7137  caucvgprlemladdfu  7139  caucvgprlemladdrl  7140  caucvgprprlemopl  7159  caucvgprprlemlol  7160
  Copyright terms: Public domain W3C validator