Theorem addcomnqg 7576

Description: Addition of positive fractions is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addcomnqg	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐴))

Proof of Theorem addcomnqg

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7543	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		addpipqqs 7565	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = [⟨((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q )
3		addpipqqs 7565	. 2 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q +Q [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) = [⟨((𝑧 ·N 𝑦) +N (𝑤 ·N 𝑥)), (𝑤 ·N 𝑦)⟩] ~Q )
4		mulcompig 7526	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑤) = (𝑤 ·N 𝑥))
5		mulcompig 7526	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑧) = (𝑧 ·N 𝑦))
6	4, 5	oveqan12d 6026	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) = ((𝑤 ·N 𝑥) +N (𝑧 ·N 𝑦)))
7	6	an42s 591	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) = ((𝑤 ·N 𝑥) +N (𝑧 ·N 𝑦)))
8		mulclpi 7523	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ N ∧ 𝑥 ∈ N) → (𝑤 ·N 𝑥) ∈ N)
9	8	ancoms 268	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑤 ·N 𝑥) ∈ N)
10	9	ad2ant2rl 511	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → (𝑤 ·N 𝑥) ∈ N)
11		mulclpi 7523	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑧 ·N 𝑦) ∈ N)
12	11	ancoms 268	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑧 ·N 𝑦) ∈ N)
13	12	ad2ant2lr 510	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → (𝑧 ·N 𝑦) ∈ N)
14		addcompig 7524	. . . 4 ⊢ (((𝑤 ·N 𝑥) ∈ N ∧ (𝑧 ·N 𝑦) ∈ N) → ((𝑤 ·N 𝑥) +N (𝑧 ·N 𝑦)) = ((𝑧 ·N 𝑦) +N (𝑤 ·N 𝑥)))
15	10, 13, 14	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ((𝑤 ·N 𝑥) +N (𝑧 ·N 𝑦)) = ((𝑧 ·N 𝑦) +N (𝑤 ·N 𝑥)))
16	7, 15	eqtrd 2262	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) = ((𝑧 ·N 𝑦) +N (𝑤 ·N 𝑥)))
17		mulcompig 7526	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑤) = (𝑤 ·N 𝑦))
18	17	ad2ant2l 508	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → (𝑦 ·N 𝑤) = (𝑤 ·N 𝑦))
19	1, 2, 3, 16, 18	ecovicom 6798	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6007  Ncnpi 7467   +_N cpli 7468   ·_N cmi 7469   ~_Q ceq 7474  Qcnq 7475   +_Q cplq 7477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-oadd 6572  df-omul 6573  df-er 6688  df-ec 6690  df-qs 6694  df-ni 7499  df-pli 7500  df-mi 7501  df-plpq 7539  df-enq 7542  df-nqqs 7543  df-plqqs 7544

This theorem is referenced by:  lt2addnq  7599  ltaddnq  7602  prarloclemarch2  7614  addlocprlemeqgt  7727  addlocprlemgt  7729  addclpr  7732  prmuloclemcalc  7760  addcomprg  7773  distrlem4prl  7779  distrlem4pru  7780  ltexprlemm  7795  ltexprlemdisj  7801  ltexprlemloc  7802  ltexprlemfl  7804  ltexprlemrl  7805  ltexprlemfu  7806  ltexprlemru  7807  addcanprleml  7809  addcanprlemu  7810  prplnqu  7815  aptiprleml  7834  aptiprlemu  7835  cauappcvgprlemopl  7841  cauappcvgprlemlol  7842  cauappcvgprlemdisj  7846  cauappcvgprlemloc  7847  cauappcvgprlemladdfu  7849  cauappcvgprlemladdfl  7850  cauappcvgprlemladdru  7851  cauappcvgprlemladdrl  7852  cauappcvgprlem1  7854  caucvgprlemnkj  7861  caucvgprlemnbj  7862  caucvgprlemopl  7864  caucvgprlemlol  7865  caucvgprlemloc  7870  caucvgprlemladdfu  7872  caucvgprlemladdrl  7873  caucvgprprlemopl  7892  caucvgprprlemlol  7893