Theorem addcomnqg 7742

Description: Addition of positive fractions is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addcomnqg	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐴))

Proof of Theorem addcomnqg

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7709	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		addpipqqs 7731	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = [⟨((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q )
3		addpipqqs 7731	. 2 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q +Q [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) = [⟨((𝑧 ·N 𝑦) +N (𝑤 ·N 𝑥)), (𝑤 ·N 𝑦)⟩] ~Q )
4		mulcompig 7692	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑤) = (𝑤 ·N 𝑥))
5		mulcompig 7692	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑧) = (𝑧 ·N 𝑦))
6	4, 5	oveqan12d 6098	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) = ((𝑤 ·N 𝑥) +N (𝑧 ·N 𝑦)))
7	6	an42s 597	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) = ((𝑤 ·N 𝑥) +N (𝑧 ·N 𝑦)))
8		mulclpi 7689	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ N ∧ 𝑥 ∈ N) → (𝑤 ·N 𝑥) ∈ N)
9	8	ancoms 268	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑤 ·N 𝑥) ∈ N)
10	9	ad2ant2rl 515	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → (𝑤 ·N 𝑥) ∈ N)
11		mulclpi 7689	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑧 ·N 𝑦) ∈ N)
12	11	ancoms 268	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑧 ·N 𝑦) ∈ N)
13	12	ad2ant2lr 514	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → (𝑧 ·N 𝑦) ∈ N)
14		addcompig 7690	. . . 4 ⊢ (((𝑤 ·N 𝑥) ∈ N ∧ (𝑧 ·N 𝑦) ∈ N) → ((𝑤 ·N 𝑥) +N (𝑧 ·N 𝑦)) = ((𝑧 ·N 𝑦) +N (𝑤 ·N 𝑥)))
15	10, 13, 14	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ((𝑤 ·N 𝑥) +N (𝑧 ·N 𝑦)) = ((𝑧 ·N 𝑦) +N (𝑤 ·N 𝑥)))
16	7, 15	eqtrd 2271	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) = ((𝑧 ·N 𝑦) +N (𝑤 ·N 𝑥)))
17		mulcompig 7692	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑤) = (𝑤 ·N 𝑦))
18	17	ad2ant2l 512	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → (𝑦 ·N 𝑤) = (𝑤 ·N 𝑦))
19	1, 2, 3, 16, 18	ecovicom 6911	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6079  Ncnpi 7633   +_N cpli 7634   ·_N cmi 7635   ~_Q ceq 7640  Qcnq 7641   +_Q cplq 7643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-oadd 6685  df-omul 6686  df-er 6801  df-ec 6803  df-qs 6807  df-ni 7665  df-pli 7666  df-mi 7667  df-plpq 7705  df-enq 7708  df-nqqs 7709  df-plqqs 7710

This theorem is referenced by:  lt2addnq  7765  ltaddnq  7768  prarloclemarch2  7780  addlocprlemeqgt  7893  addlocprlemgt  7895  addclpr  7898  prmuloclemcalc  7926  addcomprg  7939  distrlem4prl  7945  distrlem4pru  7946  ltexprlemm  7961  ltexprlemdisj  7967  ltexprlemloc  7968  ltexprlemfl  7970  ltexprlemrl  7971  ltexprlemfu  7972  ltexprlemru  7973  addcanprleml  7975  addcanprlemu  7976  prplnqu  7981  aptiprleml  8000  aptiprlemu  8001  cauappcvgprlemopl  8007  cauappcvgprlemlol  8008  cauappcvgprlemdisj  8012  cauappcvgprlemloc  8013  cauappcvgprlemladdfu  8015  cauappcvgprlemladdfl  8016  cauappcvgprlemladdru  8017  cauappcvgprlemladdrl  8018  cauappcvgprlem1  8020  caucvgprlemnkj  8027  caucvgprlemnbj  8028  caucvgprlemopl  8030  caucvgprlemlol  8031  caucvgprlemloc  8036  caucvgprlemladdfu  8038  caucvgprlemladdrl  8039  caucvgprprlemopl  8058  caucvgprprlemlol  8059